第六章截面的几何性质 第一节静矩和形心 第二节惯性矩和惯性积 惯性矩和惯性积的 第三平行移轴和转轴公式 第四节主惯性轴和主惯性矩 第五节组合截面惯性矩的计算 小结 返回
第六章 截面的几何性质 • 静矩和形心 • 惯性矩和惯性积 • 惯性矩和惯性积的 • 平行移轴和转轴公式 • 主惯性轴和主惯性矩 • 组合截面惯性矩的计算 • 小结 第一节 第二节 第三节 第四节 返回 第五节
第六章截面的几何性质 第一节静矩和形心 、静矩(面积矩)定义:微面积dA对 轴和y轴的静矩分别为yd!和=d4 截面(面积A)对z轴和y轴的静矩分 别为: S y·A dA; 1 静矩为代数值。静矩单位:m;m 不同截面对同一坐标轴的静矩不同;同 截面对不同坐标轴的静矩也不同 若截面形心坐标为、y,将面积视为平行力(即看作等 厚、均质薄板的重力),由合力矩定理可得: y·dA=A.y z·dA=A 当S:=0或S,=0时,必有y=0或x=0,可知截面对某轴的 静矩为零时,该轴必通过截面形心;反之,若某轴通过形心, 则截面对该轴的静矩为零。 返回下一磁上一[小结
第六章 截面的几何性质 • 第一节 静矩和形心 一、静矩(面积矩）定义： 微面积dA对 z轴和y轴的静矩分别为 y dA 和 zdA 截面（面积A)对z轴和y轴的静矩分 别为： ; = A ; Sy z dA = A Sz y dA 静矩为代数值。静矩单位： ; ; 3 3 m mm 不同截面对同一坐标轴的静矩不同；同 一截面对不同坐标轴的静矩也不同。 若截面形心坐标为zc、yc，将面积视为平行力（即看作等 厚、均质薄板的重力），由合力矩定理可得： ; c A z S = y dA = A y ; c A y S = zdA = Az 当Sz=0或Sy=0时，必有yc=0或zc=0，可知截面对某轴的 静矩为零时，该轴必通过截面形心；反之，若某轴通过形心， 则截面对该轴的静矩为零。 返回 下一张 上一张 小结
二、形心公式: 三、组合截面的静矩:n个简单图形组成的截面,其静矩为: S=∑4ya ∑A 四、组合截面形心公式:∑4,y ∑A 2 ∑A ∑A i=1 例5-1求图示T形截面形心位置。 解:取参考坐标轴y、z由对称图形,z=0。 分解图形为1、2两个矩形,则 A1=0.072m2,y1=2.46m,2=0.48m2,y2=1.2m, A1y1+A2y20.072×2.46+0.48×12 1.36m; A,+a 0.072+048 若分解为1、2、3三个矩形,则 06×2.52×(1.26-1.2) 0.16 0.2 0.6×2.52-2×0.2×2.4 返回 上强小结
二、形心公式： ; . A S z A S y y c z c = = 三、组合截面的静矩：n个简单图形组成的截面，其静矩为： ; 1 = = n i z i ci S A y ; 1 = = n i y i ci S A z 四、组合截面形心公式： ; 1 1 = = = n i i n i i ci c A A y y ; 1 1 = = = n i i n i i ci c A A z z 例5-1 求图示T形截面形心位置。 解：取参考坐标轴y、z,由对称图形,zc=0。 分解图形为１、２两个矩形，则 0.072 , 2.46 ; 0.48 , 1.2 ; 2 2 1 2 2 A1 = m y = m A = m y = m 1.36 ; 0.072 0.48 0.072 2.46 0.48 1.2 1 2 1 1 2 2 m A A A y A y yc = + + = + + = 若分解为１、２、３三个矩形，则 0.16 ; 0.6 2.52 2 0.2 2.4 0.6 2.52 (1.26 1.2) y' c = m − − = 返回 下一张 上一张 小结
第二节惯性矩和惯性积 极惯性矩 定义:平面图形中任一微面积dA与它到坐 标原点O的距离p平方的乘积p2dA,称为该面积 dA对于坐标原点o的极惯性矩 截面对坐标原点o的极惯性矩为: p=LD'd4; 简单图形的极惯性矩可由定义式积分计算。 D 实心圆截面:12= p·2n22D4 空心圆截面: D (1-a4);(a= 32 惯性矩 定义:平面图形中任一微面积dA对z轴、y轴的惯性矩分别为: y2dA和z2dA;则整个图形(面积为A)对z轴、y轴的惯性矩分别为: Svds, S2di, 返回下一张上强[小结
第二节 惯性矩和惯性积 一、极惯性矩： 定义：平面图形中任一微面积dA与它到坐 标原点Ｏ的距离ρ平方的乘积ρ 2dA,称为该面积 dA对于坐标原点o的极惯性矩。 截面对坐标原点o的极惯性矩为： = A I P dA; 2 简单图形的极惯性矩可由定义式积分计算。 实心圆截面： ; 32 2 4 2 0 2 D I dA D P = = 空心圆截面： (1 );( ) 32 4 4 D D d I P = − = 二、惯性矩： 定义：平面图形中任一微面积dA对z轴、y轴的惯性矩分别为： y 2dA和Z 2dA；则整个图形（面积为A)对z轴、y轴的惯性矩分别为： ; 2 = A I z y dA ; 2 = A I y z dA 返回 下一张 上一张 小结
惯性矩是对某轴而言的,同一截面对不同轴的惯性矩值不同 惯性矩单位:m或mm4; 惯性矩恒为正值。 简单图形对轴的惯性矩由定义式积分计算。 三、惯性积: 定义:平面图形内,微面积dA与其两个 坐标z、y的乘积zydA在整个图形内的积分称 CA 为该图形对z、y轴的惯性积。 z·y·d4 特点:①惯性积是截面对某两个正交 坐标轴而言。不同截面对同一对轴或同一截面对不同轴的惯性积 均不同。惯性积是代数值。 ②若截面有一根为对称轴,则该截面对包括此对称轴在 内的一对正交坐标轴的惯性积必为零。 单位:m4,mm2; 返回
定义:平面图形内，微面积dA与其两个 坐标z、y的乘积zydA在整个图形内的积分称 为该图形对z、y轴的惯性积。 ; = A I zy z y dA 特点：①惯性积是截面对某两个正交 坐标轴而言。不同截面对同一对轴或同一截面对不同轴的惯性积 均不同。惯性积是代数值。 单位： , ; 4 4 m mm ②若截面有一根为对称轴,则该截面对包括此对称轴在 内的一对正交坐标轴的惯性积必为零。 惯性矩是对某轴而言的，同一截面对不同轴的惯性矩值不同。 惯性矩单位：m4或mm4； 惯性矩恒为正值。 简单图形对轴的惯性矩由定义式积分计算。 返回 下一张 上一张 小结 三、惯性积：
例5-2求矩形截面对其对称轴的惯性矩和惯性积 解:取yoz坐标系。取微面积dA=bdy,则: h/2 bh dy da y-bdy h/2 12 取微面积dA=hdz,则: b/2 hb dA hdz b/2 12 取微面积dA=dzdy,则:F=0 例5-3圆形截面对其形心轴的惯性矩。 z 解:取yoz坐标系。取微面积dA=2zdy,则: r dA ZR zD4 1: =Lyda=.2yVR-y'dy= 464 由对称性:l,=12= D 643由几何关系 :p-y 1=Jp3l4=J(2+=2)=12+ 返回
例5-2 求矩形截面对其对称轴的惯性矩和惯性积。 解：取yoz坐标系。取微面积dA=bdy,则： ; 12 3 / 2 / 2 2 2 bh I y dA y bdy h A h z = = = − ; 12 3 / 2 / 2 2 2 hb I z dA z hdz b A b y = = = − 取微面积dA=hdz,则： 例5-3 圆形截面对其形心轴的惯性矩。 解：取yoz坐标系。取微面积dA=2zdy,则： ; 4 64 2 4 4 2 2 2 2 R D I y dA y R y dy R A R z = = − = = − ; 64 4 D I I y z 由对称性： = = , 2 2 2 由几何关系： ＝y + z ( ) . 2 2 2 Z y A A P I = dA = y + z dA = I + I 取微面积dA=dzdy，则： = 0; zy I 返回 下一张 上一张 小结
第三节惯性矩和惯性积的平行移轴和转轴公式 平行移轴公式 ∫a=「(y+a)2d4 ∫y2dA+2a∫ydA+a2JdA Ⅰ,=I+a2A =1+b2A +aba 注意:y、z轴必须是形心轴。 、转轴公式 ∥、(1aA4 (cosa-zsin a) dA A ycos2a-I·sin2a: 1+1, cos2a+l·sn2a 2 2 2Sin 2a+Iv cos 2a 返回
第三节 惯性矩和惯性积的平行移轴和转轴公式 一、平行移轴公式： y dA a ydA a dA y dA y a dA A z = + + = = + 2 2 2 1 1 2 ( ) ; 2 y1 = y +b A ; 1 1 I z y = I zy + abA; 2 I z1 = z + a A 注意：y、z轴必须是形心轴。 二、转轴公式： cos 2 sin 2 ; 2 2 1 − − + + = z y z y z y z I I I I I I cos 2 sin 2 ; 2 2 1 + − − + = z y z y z y y I I I I I I sin 2 cos 2 ; 2 1 1 + − = z y z y z y I I I I ( cos sin ) ; 2 2 1 1 = = − A A I z y dA y z dA 返回 下一张 上一张 小结
第四节主惯性轴和主惯性矩: 主惯性轴(主轴)—使截面对z、y轴的惯性积。=0的这对 正交坐标轴; 主惯性矩(主惯矩)—截面对主惯性轴的惯性矩; 形心主惯性轴(形心主轴)一通过形心的主惯性轴 形心主惯性矩(形心主惯矩)一截面对形心主轴的惯性矩。 特点:①两个形心主惯性矩是截面对过形心所有各轴的惯性矩 中的极大值和极小值; ②有一根对称轴的截面,形心主轴是对称轴和与之垂直 的形心轴 ③有两根对称轴的截面,形心主轴是两根对称轴; ④无对称轴的截面,由转轴公式求对形心的惯性积为零 的∝角,即形心主惯性轴。 第五节组合截面惯性矩的计算 工程中常遇到组合截面。计算其形心主惯性矩时,应先确定形 心位置、形心主轴,再求形心主惯性矩。 返回 上强小结
第四节 主惯性轴和主惯性矩： 主惯性轴（主轴）—使截面对zo、yo轴的惯性积 的这对 正交坐标轴； 特点：①两个形心主惯性矩是截面对过形心所有各轴的惯性矩 中的极大值和极小值； ②有一根对称轴的截面，形心主轴是对称轴和与之垂直 的形心轴； ③有两根对称轴的截面，形心主轴是两根对称轴； ④无对称轴的截面，由转轴公式求对形心的惯性积为零 的 角，即 形心主惯性轴。 = 0 o o z y I 主惯性矩（主惯矩）—截面对主惯性轴的惯性矩； 形心主惯性轴（形心主轴）—通过形心的主惯性轴； 形心主惯性矩（形心主惯矩）—截面对形心主轴的惯性矩。 o 第五节 组合截面惯性矩的计算 工程中常遇到组合截面。计算其形心主惯性矩时，应先确定形 心位置、形心主轴，再求形心主惯性矩。 返回 下一张 上一张 小结
例5-4:试计算图示T形截面的形心主惯性矩。 解:(1)确定形心坐标y A,;+A y A, +a 500×5+500×(0+25) 20cm 500+500 (2)计算形心主惯性矩: (z、y轴即形心主轴) 单位:cm 50×10 +(20-5)2×500=17×10m1 12 10×50 l2=12+a2A2 +(35-20)×500=2.17×10cm2; I2=I1+12=(17+217)×105=334×105cm 返回
例5–4:试计算图示T形截面的形心主惯性矩。 解:(1)确定形心坐标yc. ( ) 20 ; 500 500 500 5 500 10 25 1 2 1 1 2 2 cm y y yc = + + + = + + = ( ) (35 20) 500 2.17 10 ; 12 10 50 20 5 500 1.17 10 ; 12 50 10 2 5 4 3 2 2 2 2 2 2 5 4 3 1 2 1 1 1 a cm a cm z z z z + − = = + = + − = = + = (1 17 2 17) 10 3.34 10 ; 5 5 4 1 2 z = z + z = + = cm (2)计算形心主惯性矩： (z、y轴即形心主轴） 返回 下一张 上一张 小结
小结 静矩:S:=Jy=4y;|S,=J==4= 性质:截面对某轴的静矩为零时,该轴必通过截面形 极惯性矩:y=d 实心圆截面: TD4 空心圆截面: D (1-a),(a=-) 32 32 D 惯性矩:1 dA Z dA 矩形截面: bh hb 圆形截面:ly=l D 12 12 64 几何关系: P=LpdA=L+E da=lz 四、惯性积: =∫ z·ydA; 五、平行移轴公式: 1=1+a2生[=1+b242=12+ab4 返回
小 结 一、静矩： ; c A z S = y dA = A y ; c A y S = zdA = Az 性质：截面对某轴的静矩为零时，该轴必通过截面形心； = A I P dA; 2 ; 32 4 D I P = (1 );( ) 32 4 4 D D d I P = − = 二、极惯性矩： 实心圆截面： 空心圆截面： 三、惯性矩： ; 2 = A I z y dA ; 2 = A I y z dA ; = A 四、惯性积： I zy z y dA 矩形截面： ; 圆形截面： 12 3 bh I z = ; 12 3 hb I y = ; 64 4 D I I y z = = ( ) . 2 2 2 Z y A A P I = dA = y + z dA = I + I 几何关系： 五、平行移轴公式： ; 2 y1 = y +b A ; 1 1 2 ; I z y = I zy + abA I z1 = z + a A 返回 下一张 上一张 小结
