第十一章压杆稳定 第一节压杆稳定的概念 第二节细长压杆的临界力 第三节压杆的临界应力 第四节压杆的稳定计算 第五节提高压杆稳定的措施 小结 返回
• 第十一章 压杆稳定 返回 压杆稳定的概念 细长压杆的临界力 压杆的临界应力 压杆的稳定计算 提高压杆稳定的措施 小结 第一节 第二节 第三节 第四节 第五节
第一节压杆稳定的概念 压杄稳定—压杄保持其原有直线平衡状态的能力,称其稳定性 (指受压杆件其平衡状态的稳定性) 细长压杆在压力逐渐增大至某一数值时,突然变弯直至 弯断的现象称为丧失稳定或失稳。 PP 稳定平街临界状态 不稳定晋街 临界力一压杆在临界平衡状态时所受的轴向压力, 称作临界压力或临界荷载。 返回
• 第一节 压杆稳定的概念 压杆稳定—压杆保持其原有直线平衡状态的能力，称其稳定性。 （指受压杆件其平衡状态的稳定性） 临界力—压杆在临界平衡状态时所受的轴向压力， 称作临界压力或临界荷载。 细长压杆在压力逐渐增大至某一数值时，突然变弯直至 弯断的现象称为丧失稳定或失稳。 返回 下一张 上一张 小结
第二节细长压杆的临界力 P> 、两端铰支细长压杆的临界力 取X截面研究弹性范围内的挠曲线方程: M(x) P 令=k2,则有 女2h2, MEly El E El 其通解为y= c sin kx+c2 cos kr 由边界条件x=0,y=0;x=l,y=0 得C2=0;c1 sin kl=0; 1号 因为c1≠0,所以snkl=0:得kl=m(m=0、12、…n); n2兀2El P (n=012 丌2E m取不为零的最小值,即取n=1,所以 两端铰支细长压杆的临界力计算公式(欧拉公式) 返回压上[小结
一、两端铰支细长压杆的临界力 第二节 细长压杆的临界力 取X截面研究弹性范围内的挠曲线方程： ; ( ) 2 2 y EI P EI M x dx d y lj = − = − , 0; 2 2 2 2 = + k y = dx d y k EI 令 Pl j 则有 sin cos ; 1 2 其通解为y = c kx+c kx 0; sin 0; 0, 0; , 0; 2 = 1 = = = = = c c k l x y x l y 得 由边界条件 ( 0 1 2 ); 0, sin 0; ( 0 1 2 ) 2 2 2 1 n n l n EI P c k l k l n n n l j 则 、、、 因为 所以 得 、、、 ； = = = = = 2 2 l EI Plj n取不为零的最小值，即取n =1,所以 = —两端铰支细长压杆的临界力计算公式（欧拉公式） 返回 下一张 上一张 小结
二、其他支承情况下细长压杆的临界力 不同支承情况的压杆其边界条件不同,临界力值也不同 也可由挠曲线比较得出欧拉公式的通式: TEl min 式中:E—材料的弹性模量; min 压杄横截面对中性轴的最小惯性矩;单位:m4; 14计算长度; 长度系数,与杆端支承有关 端固定,一端自由压杆:4=2 两端铰支细长压杆: =1; 一端固定,一端铰支压杆:μ=0.7; 两端固定细长压杆: =0.5; 不同支承情况的临界力公式可查表确定。 返回
2 min 2 ( l) EI Plj = 式中： E⎯材料的弹性模量； Imin⎯压杆横截面对中性轴的最小惯性矩；单位：m4； μl⎯计算长度； ⎯长度系数，与杆端支承有关。 一端固定，一端自由压杆：μ＝2； 两端铰支细长压杆： μ＝1； 一端固定，一端铰支压杆：μ＝0.7； 两端固定细长压杆： μ＝0.5； 二、其他支承情况下细长压杆的临界力 不同支承情况的压杆其边界条件不同，临界力值也不同。 也可由挠曲线比较得出欧拉公式的通式： 不同支承情况的临界力公式可查表确定。 返回 下一张 上一张 小结
遗自由 端铰“支 杆躍支承方式订两端馋支 两端定 端定 弹姓哉形状 看界压力公式 x2E/° F(2) FEI/(0. 5l]' 买EI3,71) 长发系数M iU s。0 0.5 1. 7 返回 上强小结
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·例10-1一根两端铰支的20a号工字钢压杆, 长L=3m,钢的弹性模量E=200GPa,试确定 其临界压力 解:查表得20a号工字钢 :=2370cm4J,=l58cm, ZE/ 临界压力按公式P= 计算 丌2Elx2×200×106×158×10-8 346kN 3 °由此可知,若轴向压力达到346KN时,此压杆便 会丧失稳定。 返回
• 例10-1 一根两端铰支的20a号工字钢压杆， 长L=3m，钢的弹性模量E=200GPa，试确定 其临界压力。 2 2 l EI plj = k N l EI Pl j 346 3 200 10 158 10 2 2 6 8 2 2 = = = − 返回 下一张 上一张 小结 •解：查表得20a号工字钢: Iz=2370cm4 ,Iy=158cm4 , •临界压力按公式 计算 •由此可知，若轴向压力达到346KN时，此压杆便 会丧失稳定
例10-2:截面为200×120mm2的轴向受压木柱,l=8m,柱的支承 情况是,在最大刚度平面内压弯时为两端铰支(图a);在最小 刚度平面内压弯时为两端固定(图b),木材的弹性模量 E=0GPa,试求木柱的临界压力 解:由于柱在最大与最小 刚度平面内压弯时的支承 情况不同,所以需要分 别计算在两个平面内失稳 的临界压力,以便确定在 客量 哪个平面内失稳 200→ I20 (1)计算最大刚度平面 内的临界压力(即绕y轴失稳) 中性轴为y轴:1,=120×20012=80x10m1=80×10m 木柱两端铰支,μ=1,则得: 丌2E3.142×10×103×80×105 =123kN 1×80002 返回
• 例10-2：截面为200×120mm2的轴向受压木柱，l=8m，柱的支承 情况是，在最大刚度平面内压弯时为两端铰支（图a）；在最小 刚度平面内压弯时为两端固定（图b），木材的弹性模量 E=10GPa，试求木柱的临界压力。 解：由于柱在最大与最小 刚度平面内压弯时的支承 情况不同， 所以需要分 别计算在两个平面内失稳 的临界压力，以便确定在 哪个平面内失稳。 （1）计算最大刚度平面 内的临界压力（即绕y轴失稳）。 中性轴为y轴： Iy=120×2003 /12 =80×106mm4 =80×10-6m4 木柱两端铰支，=，则得： ( ) ( ) k N l EI P y l j 123 1 8000 3.14 10 10 80 10 2 2 3 6 2 2 = = = 返回 下一张 上一张 小结
(2)计算最小刚度平面内的临界压力(即绕z轴失稳) 中性轴为z轴: 200×120 28.8×10°mm4=288×10-6m 木柱两端固定,4=0.5,则得: 丌2E3.142×10×103×28.8×10° 178KN (0.5×8000) 比较计算结果可知:第一种情况临界压 力小,所以木柱将在最大刚度平面内失稳( I20 即绕y轴,在xOz平面内失稳)。此例说明, 当最小刚度平面和最大刚度平面内支承情况 (b) 不同时,压杆不一定在最小刚度平面内失稳 ,必须经过计算才能最后确定 返回
• （2）计算最小刚度平面内的临界压力（即绕 z 轴失稳）。 • 中性轴为z轴： 6 4 6 4 3 28.8 10 28.8 10 12 200 120 I z mm m − = = = 木柱两端固定，=，则得： 比较计算结果可知：第一种情况临界压 力小，所以木柱将在最大刚度平面内失稳（ 即绕y轴，在xoz平面内失稳）。此例说明， 当最小刚度平面和最大刚度平面内支承情况 不同时，压杆不一定在最小刚度平面内失稳 ，必须经过计算才能最后确定。 ( ) ( ) KN l EI P z l j 178 0.5 8000 3.14 10 10 28.8 10 2 2 3 6 2 2 = = = 返回 下一张 上一张 小结
第三节压杆的临界应力 临界应力与柔度 临界应力一临界压力作用下压杆处于临界直线平衡状态时 的应力。 a A lazE Pi EI IE I E 其中:i 截面的惯性半径;为截面的几何性质 A=.称为压杆的柔度(长细比);反映压杆的柔软程度。 欧拉公式的适用范围G=E≤0。或≥ ZE 入p一分界柔度,取决与 22 P P 材料的力学性质。A3钢: 丌2×200000 E=200GPa, o,=200EPa, n ≈100 200 返回
第三节 压杆的临界应力 一、临界应力与柔度 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 E i l E A I l E l A EI A Pl j l j = = = = = 临界应力—临界压力作用下压杆处于临界直线平衡状态时 的应力。 其中： —截面的惯性半径；为截面的几何性质； A I i = ＝ 称为压杆的柔度（长细比）；反映压杆的柔软程度。 i l 二、欧拉公式的适用范围 p p l j p E E = = 2 2 2 或 λp—分界柔度，取决与 材料的力学性质。A3钢： 100 200 200000 200 , 200 , 2 = = = E GPa p EPa p 返回 下一张 上一张 小结
三、超出比例极限时压杆的临界力临界应力总图 当临界应力超出比例极限时,材料处于弹塑性阶段,此类压 杄的稳定称弹塑性稳定。临界应力由经验公式计算。 y-a-b2 p A=(a-b12)A1 式中:入—压杆的长细比;a、b与材料有关的常数可查表确定 A3钢:a=235,b=0.00668 抛物我公式 16锰钢:a=343,b=0.0142。 临界应力总图一临界应力 B o与柔度入的函数关系曲线。 +c欧拉公式 丌2E 元≥A=:大柔度杆;O=x2 <2:中小柔度杆;an=a-b4 λc—修正的分界柔度 A3钢:Ac=123;16锰钢:Ac=102 返回 上强小结
三、超出比例极限时压杆的临界力 临界应力总图 ; ( ) ; 2 2 l j = a −b Pl j = l jA = a −b A 当临界应力超出比例极限时，材料处于弹塑性阶段，此类压 杆的稳定称弹塑性稳定。临界应力由经验公式计算。 式中：λ—压杆的长细比；a、b—与材料有关的常数,可查表确定。 A3钢：a＝235,b＝0.00668； 16锰钢：a＝343,b＝0.0142。 临界应力总图—临界应力 lj与柔度的函数关系曲线。 : ; : ; 2 2 2 a b E c l j c l j = − = 中小柔度杆； 大柔度杆； λc—修正的分界柔度。 A3钢：λc=123；16锰钢：λc＝102。 返回 下一张 上一张 小结