碰摩转子系统分叉与混沌行为的识别.pdf_大学文库

D0I:10.13374/1.issnl00103.2007.s2.088 第29卷增刊2 北京科技大学学报 Vol.29 Suppl.2 2007年12月 Journal of University of Science and Technology Beijing Dee.2007 碰摩转子系统分叉与混沌行为的识别张武军徐金梧吕志民杨德斌北京科技大学机械工程学院，北京100083 摘要研究了Jeffcott转子发生动静件碰摩时的非线性振动特性.根据数值计算的结果，利用时间序列的相空间重构方法，通过相空间的吸引子的形态来刻画碰摩转子系统的分叉、拟周期和混沌行为，利用分形维数对分叉、拟周期和混沌信号进行定性的分析·这对定性和定量的判定系统的分叉、拟周期和混沌行为是一个非常有意义· 关键词碰摩转子；分叉；混沌：相空间；分形维数分类号0322 在旋转机械中，动静件碰摩是最常见的故障之的空间来观察和研究该信号，由于引起非线性系统在高速旋转机械中为了提高机器效率，往往把混沌的过程基本上是多变量的，但是如果用单一的密封间隙、轴承间隙做的较小，以减少气和润滑油泄时间序列，如位移时间序列、速度时间序列等来反映漏.但是，小间隙除了会引起流体动力激振之外，还高维系统的动力特性，必然丢失许多关于吸引子演会发生转子与定子的摩擦.例如，轴的挠曲，转子不化的信息，因此必须将其重构成更高维的相空间，这平衡，转子与定子热膨胀不一致、气体动力作用、密就是帕科德等人将惠特尼(Whitney)提出的利用时封力作用以及转子对中不良等原因引起的振动，轻间序列重构相空间提取动力系统物理特征量的思者发生密封件的摩擦损伤，重者发生转子与定子的想，通过动力学重构，在无须已知动力学系统数学摩擦碰撞，引起严重的机械碰摩，发生严重的机器损模型的情况下，可以获得系统的多变量状态表示，使伤事故山.碰摩发生时，系统的动态过程比较复杂，非线性动力学分析方法能用于数据的分析和处理，振动响应表现出丰富的非线性特征.近年来，国内动力学重构所依据的基本理论，即称为延迟嵌外学者针对这一问题从不同角度开展了广泛的研入定理的几何定理3]，依照嵌入定理，如果系统流究，普遍认为会发生分叉、拟周期和混沌，形是在位于维数为dA的几何体的空间里产生的，本文利用时间序列的相空间重构方法，通过相那么，这个几何体能够清楚地呈现在另一个整数维空间的吸引子的形态来刻画碰摩转子系统的分叉、数d>2dA的空间中，其空间坐标是原系统状态空拟周期和混沌行为，然后利用分形维数对分叉、拟周间坐标的非线性变换，采用系统的观测量s()和它期和混沌信号进行分析，的延迟分量，系统的坐标序列则可以通过下面新的 1 相空间重构矢量形成： x(i)=[s(i),s(i十t),s(i十2t),, 非线性时间序列分析，是将非线性动力学所发 s(i十(m-1))] (1) 展起来的分析方法用于时间序列数据分析，以便从式中，矢量x()中的每个分量在时间上以△t为中更详尽多的得到系统的性质和特征)] 间隔，τ是一个正整数，称作时间延迟，m是嵌入维吸引子是在研究非线性系统的动力学特性时提数出来的，是指系统运动轨道在相空间无穷次折叠、扭在动力学系统中，只要m和t选择恰当，就可曲或仲展的几何对象，非随机信号，包括周期信号、以用一维时间序列重现原来系统的动力特性，如分拟周期信号及混沌信号，不论是线性的或非线性的，形维数、李雅普诺夫指数的保持不变平稳的或非平稳的，利用相空间重构，都可得到较为但是，问题的关键在于如何选择m和τ，从理直观的吸引子图论上来说，如果有足够长和足够精确的时间序列，那通常对于所感兴趣的信号，需要建立一个合适么τ可以任意选择，但事实上，所获取的时间序列收稿日期：2007-10-05 长度是有限的，并且有一定的误差，因此必须合理选作者简介：张武军(1968一)男，副研究员，博士择m和τ，以便在相空间中对吸引子进行重构，以

碰摩转子系统分叉与混沌行为的识别张武军徐金梧吕志民杨德斌北京科技大学机械工程学院北京100083 摘要研究了 Jeffcott 转子发生动静件碰摩时的非线性振动特性．根据数值计算的结果利用时间序列的相空间重构方法通过相空间的吸引子的形态来刻画碰摩转子系统的分叉、拟周期和混沌行为利用分形维数对分叉、拟周期和混沌信号进行定性的分析．这对定性和定量的判定系统的分叉、拟周期和混沌行为是一个非常有意义．关键词碰摩转子；分叉；混沌；相空间；分形维数分类号 O322 收稿日期：2007-10-05 作者简介：张武军（1968—）男副研究员博士在旋转机械中动静件碰摩是最常见的故障之一．在高速旋转机械中为了提高机器效率往往把密封间隙、轴承间隙做的较小以减少气和润滑油泄漏．但是小间隙除了会引起流体动力激振之外还会发生转子与定子的摩擦．例如轴的挠曲转子不平衡转子与定子热膨胀不一致、气体动力作用、密封力作用以及转子对中不良等原因引起的振动轻者发生密封件的摩擦损伤重者发生转子与定子的摩擦碰撞引起严重的机械碰摩发生严重的机器损伤事故［1］．碰摩发生时系统的动态过程比较复杂振动响应表现出丰富的非线性特征．近年来国内外学者针对这一问题从不同角度开展了广泛的研究普遍认为会发生分叉、拟周期和混沌．本文利用时间序列的相空间重构方法通过相空间的吸引子的形态来刻画碰摩转子系统的分叉、拟周期和混沌行为然后利用分形维数对分叉、拟周期和混沌信号进行分析． 1 相空间重构非线性时间序列分析是将非线性动力学所发展起来的分析方法用于时间序列数据分析以便从中更详尽多的得到系统的性质和特征［2］．吸引子是在研究非线性系统的动力学特性时提出来的是指系统运动轨道在相空间无穷次折叠、扭曲或伸展的几何对象．非随机信号包括周期信号、拟周期信号及混沌信号不论是线性的或非线性的平稳的或非平稳的利用相空间重构都可得到较为直观的吸引子图．通常对于所感兴趣的信号需要建立一个合适的空间来观察和研究该信号．由于引起非线性系统混沌的过程基本上是多变量的但是如果用单一的时间序列如位移时间序列、速度时间序列等来反映高维系统的动力特性必然丢失许多关于吸引子演化的信息因此必须将其重构成更高维的相空间这就是帕科德等人将惠特尼（Whitney）提出的利用时间序列重构相空间提取动力系统物理特征量的思想．通过动力学重构在无须已知动力学系统数学模型的情况下可以获得系统的多变量状态表示使非线性动力学分析方法能用于数据的分析和处理．动力学重构所依据的基本理论即称为延迟嵌入定理的几何定理［3］．依照嵌入定理如果系统流形是在位于维数为 d A 的几何体的空间里产生的那么这个几何体能够清楚地呈现在另一个整数维数 d＞2d A 的空间中其空间坐标是原系统状态空间坐标的非线性变换．采用系统的观测量 s（ i）和它的延迟分量系统的坐标序列则可以通过下面新的矢量形成： x（ i）＝［ s（ i）s（ i＋τ）s（ i＋2τ）… s（ i＋（ m—1）τ）］（1）式中矢量 x （ i）中的每个分量在时间上以 τΔt 为间隔τ是一个正整数称作时间延迟m 是嵌入维数．在动力学系统中只要 m 和τ选择恰当就可以用一维时间序列重现原来系统的动力特性如分形维数、李雅普诺夫指数的保持不变．但是问题的关键在于如何选择 m 和τ．从理论上来说如果有足够长和足够精确的时间序列那么τ可以任意选择．但事实上所获取的时间序列长度是有限的并且有一定的误差因此必须合理选择 m 和τ以便在相空间中对吸引子进行重构以第29卷增刊2 2007年 12月北京科技大学学报 Journal of University of Science and Technology Beijing Vol．29Suppl．2 Dec．2007 DOI:10．13374／j．issn1001－053x．2007．s2．088

Vol.29 Suppl.2 张武军等：碰摩转子系统分叉与混沌行为的识别 .145. 在更高维的相空间中体现系统的动力学特性[5]. X(m,),≠j) (2) 2分形维数的计算式中，r是m维超球半径，H为Heaviside函数，则吸引子的关联维数为：数学家们以Hausdorff维数为基础，已经发展出 D=limd(InCr)/d(Inr) (3) 了许多种不同的维数，如自相似维，盒子维，容量维，信息维，关联维，Lyapunov维等，这些维数从不同 3碰摩转子仿真信号处理与分析的方面刻划分形集的分形特征，其中关联维数可以采用上面分析方法，对碰摩转子仿真模型所计由观测得到的一维时间序列直接计算得出，因而目算的不同状态下的碰摩转子响应信号确定嵌入延迟前在实际中应用较广. 和嵌入维数，进行状态空间重构，吸引子的重构相计算关联维数时现在采用比较多的是Grass~ 空间图反映了原吸引子的运动形态，这意味着在重 berger与Procaccia在Pakard与Takens重构相空间构的相空间中可以得到原系统的动力学不变量（例的基础上，提出的一种由观测得到的时间序列计算如相关维数、李雅普诺夫指数等)的估计值.对周期相应动力系统吸引子关联维数D的方法，即G一P 运动、二周期的分频振动、四周期的分频振动、拟周方法[].其过程是：设{x:k=1,2,…,N}是观测到期和混沌分别画出他们的相重构图、分叉图和庞加的时间序列，记Xn（m,t)=（xn,x+…, 莱图，并确定延迟时间和嵌入维数，用G一P方法计 xn+(m-1)),n=1,2,,N-m十1，式中，t= 算他们的关联维数， K△t是时间延迟，△t是采样间隔，K是整数，m是图1为周期运动的相重构图、轴心轨迹图和庞重构相空间维数，记加菜图，在相重构图中为一椭圆，确定延迟时间为 1 Cr- N(N-I)台 H(r一|X:(m,)- 15,嵌入维数为5，计算出它的关联维数为1.01. 1.0 (a) 日0.5 0 -0.5 -1.0 x/103m 2 (b) 2 日10二 0 -1 3 10123 0 3 x/10→m x/104m 图1周期运动时的相重构图(a)、轴心轨迹图(b)和庞加莱图(c) 图2为二周期的分频运动的相重构图、轴心轨嵌入维数为5，计算出它的关联维数为1.58. 迹图和庞加莱图，在相重构图中为二个在某一处相图5为混沌运动的相重构图、轴心轨迹图和庞交的椭圆，确定延迟时间为15，嵌入维数为5，计算加莱图，在相重构图中它有二个吸引子，从分叉图和出它的关联维数为1.2. 庞加莱图看不出来这一现象，确定延迟时间为15，图3为四周期的分频运动的相重构图、轴心轨嵌入维数为5，计算出它的关联维数为1.71. 迹图和庞加莱图，在相重构图中为四个在某一处相交的椭圆，从分叉图和庞加莱图很难分辨出来这一 4结论结果，确定延迟时间为15，嵌入维数为5，计算出它本文研究了Jeffcott转子发生动静件碰摩时的的关联维数为1.26. 非线性振动特性，根据数值计算的结果，利用时间图4为拟周期运动的相重构图、轴心轨迹图和序列的相空间重构方法，通过相空间的吸引子的形庞加莱图，在相重构图中可以看出它已不是椭圆形，态来刻画碰摩转子系统的分叉、拟周期和混沌行为，这与庞加莱图结果是一致的，确定延迟时间为15，然后，利用分形维数对分叉、拟周期和混沌信号进行

在更高维的相空间中体现系统的动力学特性［4—5］． 2 分形维数的计算数学家们以 Hausdorff 维数为基础已经发展出了许多种不同的维数如自相似维盒子维容量维信息维关联维Lyapunov 维等．这些维数从不同的方面刻划分形集的分形特征．其中关联维数可以由观测得到的一维时间序列直接计算得出因而目前在实际中应用较广．计算关联维数时现在采用比较多的是 Grassberger 与 Procaccia 在 Pakard 与 Takens 重构相空间的基础上提出的一种由观测得到的时间序列计算相应动力系统吸引子关联维数 D 的方法即 G—P 方法［6］．其过程是：设｛xk：k＝12…N｝是观测到的时间序列记 Xn （ mτ）＝（ x nx n＋τ… x n＋（ m—1）τ）n ＝12…N — m ＋1式中τ＝ KΔt 是时间延迟Δt 是采样间隔K 是整数m 是重构相空间维数记 Cr＝ 1 N（ N—1） ∑ N－m＋1 i＝1 ∑ N－m＋1 j＝1 H（ r—｜Xi（ mτ）— Xj（ mτ）｜i≠ j）（2）式中r 是 m 维超球半径H 为 Heaviside 函数则吸引子的关联维数为： D＝limr→0 d（lnCr）／d（ln r）（3） 3 碰摩转子仿真信号处理与分析采用上面分析方法对碰摩转子仿真模型所计算的不同状态下的碰摩转子响应信号确定嵌入延迟和嵌入维数进行状态空间重构．吸引子的重构相空间图反映了原吸引子的运动形态这意味着在重构的相空间中可以得到原系统的动力学不变量（例如相关维数、李雅普诺夫指数等）的估计值．对周期运动、二周期的分频振动、四周期的分频振动、拟周期和混沌分别画出他们的相重构图、分叉图和庞加莱图并确定延迟时间和嵌入维数用 G—P 方法计算他们的关联维数．图1为周期运动的相重构图、轴心轨迹图和庞加莱图在相重构图中为一椭圆确定延迟时间为 15嵌入维数为5计算出它的关联维数为1∙01．图1 周期运动时的相重构图（a）、轴心轨迹图（b）和庞加莱图（c）图2为二周期的分频运动的相重构图、轴心轨迹图和庞加莱图在相重构图中为二个在某一处相交的椭圆确定延迟时间为15嵌入维数为5计算出它的关联维数为1∙2．图3为四周期的分频运动的相重构图、轴心轨迹图和庞加莱图在相重构图中为四个在某一处相交的椭圆从分叉图和庞加莱图很难分辨出来这一结果．确定延迟时间为15嵌入维数为5计算出它的关联维数为1∙26．图4为拟周期运动的相重构图、轴心轨迹图和庞加莱图在相重构图中可以看出它已不是椭圆形这与庞加莱图结果是一致的．确定延迟时间为15 嵌入维数为5计算出它的关联维数为1∙58．图5为混沌运动的相重构图、轴心轨迹图和庞加莱图在相重构图中它有二个吸引子从分叉图和庞加莱图看不出来这一现象．确定延迟时间为15 嵌入维数为5计算出它的关联维数为1∙71． 4 结论本文研究了 Jeffcott 转子发生动静件碰摩时的非线性振动特性．根据数值计算的结果利用时间序列的相空间重构方法通过相空间的吸引子的形态来刻画碰摩转子系统的分叉、拟周期和混沌行为然后利用分形维数对分叉、拟周期和混沌信号进行 Vol．29Suppl．2 张武军等：碰摩转子系统分叉与混沌行为的识别 ·145·