三端口四态变量CNN的局部活动性理论

D0I:10.13374/i.issm1001-053x.2002.01.052 第14卷第1期 北京科技大学学报 VoL24 No.1 2002年2月 Journal of University of Science and Technology Beijing Feb.2002 三端口四态变量CNN的局部活动性理论 闵乐泉王静涛 北京科技大学应用科学学院，北京100083 摘要细胞神经网络(CNN)的局部活动性理论为研究由同质介体构成的复杂系统动力学行 为的突现和转化提供了有力工具，本文介绍了CN的局部活动性原理；建立了确定具有3个端 口和4个态变量CNN的局部活动性的一组定理；为绘制相应CNN的分歧图和研究在免疫监视 下的细胞组织生长等生命现象提供了解析工具 关需调细胞神经网络；局部活动性；肿瘤生长方程：数值模拟 分类号N941.4:TP183:R730.1 细胞神经网络(CNN)具有相对简单的细胞 1 CNN的局部活动性原理 与耦合定律，并且只要求局部连通性.作为替代 全连通Hopfield网络的电路模型，自1988年由 CNN的局部活动性(Local Activity)是线性 Chua等人提出以来，得到了广泛研究，并在图像 电路中的有源性(Activity)概念转化而来的.对于 和电视信号处理、机器人和生物视觉、超混沌同 一个n端口线性网络，[V,)∈N表示电压V和电流 步甚至高级脑功能等领域都得到应用.Chua于 I的矢量形式，其中V=V()=l()都是n维矢量. I997年提出的CNN的局部活动性概念是预测 定义I对于任意['，∈N和任意有限时刻 具有端口的CNN的复杂动力学行为的一般原 ,若其能量ε满足下列条件，则称N具有无源性 理CNN的局部活动性实际上是复杂性的起因， (Passivity). 研究表明当选取的细胞参数位于或接近混沌棱 (t)=fMrynt)dr20 区域时CN可产生复杂的动力学行为四.迄今 其中八x)'是心)的转置.否则，就称其为有源性 为止已先后建立了具有1或2个端口和2,3或 (Activity). 4个态变量CNN的解析判别法，并在FitzHugh- 从上式可知，一个无源性网络的输入能量ε Nagumo方程、Brusselator方程、Gierer-Meinhardt 永远不会是负值，即它不会向外输出能量，而-一 方程、Oregonator方程、Hodgkin--Huxley方程，糖 个有源性网络必在某些时刻向外输出能量。 酵解振荡方程，光滑Chua电路方程、Duffing悬 定义2令V和分别是V=V(0)和I=()的 杆振动方程、Chay可兴奋细胞方程等研究中得 拉普拉斯变换.假定 到应用. i(s)=s)) (1) 在免疫监视下的肿瘤生长方程恰可化为 其中《s)是一nxn矩阵，称之为导纳矩阵(admit- 其有3个端口4个态变量的CNN方程.本文将 tance matrix). 通过建立一组定理来提供确定具有3端口4个 具有n个变态量m个端口的3维CNN方程 态变量的一般CNN方程的局部活动性的解析 的一般表达式为： 判别法.讨论端口增加对有关CNN方程分歧图 ,k,D=f(Y,,,Y+l() 的影响，可以用本文建立的解析判别法研究与 20,k,0=f(V,V,,V+l(V) 模拟肿瘤生长方程的复杂动力学性质 V(ikD=f(ViVv)+I(V) (2) 收犒日期2001-12-23闭乐泉判，50岁，教授 vi0,k,0=f(,V2,,) ★国家自然科学基金资助课题(No.6007034)和高等学校件下 教师资助计划项目

第 卷 第 期 年 月 北 京 科 技 大 学 学 报 众 血 盯 加 匕 三端 口 四态变且 的局部活动性理论 阂 乐泉 王静涛 北京科技大学应用科学学院 ， 北京 摘 共 细胞神经 网络 的局部活动性理论 为研究由同质介体构成 的复杂系统动力学行 为的突现和转化提供 了有力工具 本文介绍 了 刊 的局部活 动性原理 建 仅了确定 具有 个端 口 和 个态变 量 的局 部活动性 的一 组定理 为绘制相应 的分歧图 和研究在免疫监视 下 的细胞组织 生 长 等生命现象提供了解析 工 具 关 词 细胞 神经 网络 局部活动性 肿瘤 生 长 方程 数值模拟 分类号 细胞神经 网络 具有相对简单的细胞 与藕合定律 ，并且 只要 求局部连通性 作为替代 全连通 网络的电路模型 ， 自 年 由 等人提 出以来 ，得到 了广泛研究 ， 并在 图像 和 电视信号处理 、 机器人 和生物视觉 、 超混沌 同 步甚至高级脑功能等领域都得到应用 ‘” 于 年提 出的 的局部 活动性概念是预 测 具有端 口 的 的复杂动力学行 为的一 般原 理 ， 的局部活动性 实际 上 是复杂性的起 因 ， 研究表明当选取的细胞参数位于或接近混沌棱 区域时 可产生 复杂 的动力学行 为 ‘ 迄 今 为止 已先后建立 了具有 或 个端 口 和 ， 或 个 态变 的解 析判 别法 ， 并在 方程 、 方程 、 方 程 、 斤 方程 、 沙 “ 心 方程 、 糖 酵解振荡方程 、 光滑 电路方程 、 悬 杆振 动 方程 、 可 兴奋 细 胞方程 等研究 中得 到应用 “ ，一 川 在 免疫监 视下 的 肿 瘤 生 长方程，， 恰 可 化 为 具有 个端 口 个态变 量 的 方程 本文将 通 过建立 一组定 理 来提供确定具有 端 口 个 态变量 的一般 方 程 的 局部 活动性 的解析 判别法 ， 讨论端 口 增加对 有关 方程分歧 图 的影 响 ， 可 以 用本 文 建 立 的解析判别法 研究 与 模拟肿瘤生 长方程 的复杂动 力学 性质 的局部活动性原理 的局部活 动性 是线性 电路 中的有 源性 概念转化而来的 对 于 一个 端 口 线性 网络 ， 〔叱月任 表示 电压 和 电流 的矢量形 式 ， 其 中 夕‘ 都是 维 矢 量 定义 对于 任意【心】 和 任意有限时 刻 ，若其能量 满足 下 列条件 ， 则称 具有 无源 性 试 一 工只 二 ” 其 中 喊 是 域 的转置 否 则 ， 就 称其为有 源性 从上 式可 知 ， 一 个 无 源性 网络的输人能量 永远不 会是负值 ， 即它 不 会 向外输 出能量 ， 而 一 个有 源性 网络必在某些 时刻 向外输 出能量 定 义 令 户和 分别是 二 和卜了 的 拉普拉斯变换 假定 认习 其 中 是一 矩 阵 ，称之 为导纳矩 阵 具有 个变态 量 个端 口 的 维 方 程 的一 般表达式 为 叱认，乃幼 鱿 ， 岭 ，… ， ， 歼 么仃 ，介 ， 书 叭 ，矶 ，… ， 只 乙 矶 收 稿 日期 卜、 一 阂乐泉 男 ， 岁 ， 教授 国家 自然科学荃金 资助 课题 和 高等学校骨 「 教师资助计划项 目 么认， 栋 叭 ， 匕 ，… ， 代 玖 株 、 ’，， ， 、 叭 ， 矶 ， … ，代 DOI ：10．13374／j ．issn1001－053x．2002．01．052

80· 北京科技大学学报 2002年第1期 0,k,0=f(,,…,V) [lim(s-i@)Yds),if w0. du an-au an-au as B= -a24a41 -a24a42-a2a4 (2)存在一点w=∈Rst. Yia)=Yo(ia)+Yo(io) -ay au an an-as a] 不是半正定矩阵 Yo(i@)= (3)有一个单重极点s=iw在虚轴上 使得其相应的留数矩阵

北 京 科 技 · 大 学 学 报 阅 年 第 期 此认，乃书 巧 ， ，… ， 产 ， ，… 人 ， 护 ， ，… 入 它的矢量表示 为 。 的 卜 ， ，… 人 · 一 。 拟 ‘ 一 田 山 的 丸 不 ， 代 式 一 又 式 。 一 这 里 ， ，… ， 气」，从 嵘 ， 嵘 ， … ， 代 几 不 以 · 满 · ，… ， · 〕， 不 以 十 · 办 · ，… 沂 · 」几 二 二 ，… 人〕 丁 定义 如下方程 的解被称 为方程 的细 胞平衡点 ， 不 叱 ， 从 几 不 叱 ， 从 判断反 应 扩散 的局部活 动性是 与细 胞平衡点 ， 的导纳矩 阵紧密相关 的 ， 为此我们 先介绍 雅可 比 矩 阵 。 〔’ 。 ‘闭八 ‘ 月 、 月、 ， 这里以 ’ 被称作细胞参数 ， 州剖釜弓 ︸ 念 舞 ︸ 渊刹瓣川一 舞爵一德 ︸舞 月。 不是一个 刀饭 矩 阵或一 个半正 定 刀 矩阵 巧 ‘ 有一个 多重极 点 。 在虚轴上 以上 引理是预测 一个 由细胞藕合而成 的非 线性 系统是否 展示 复杂性现象的框架式判别工 具 ， 对于不 同类型 的 方程 ， 还需建立具体的 局部活动性准则 的解析判别式才能应用于 实际 对于 ， 个态变且 或 个端 口 的 判 别法 已经建立 ， 本文 的任务是建立起 态变 端 口 的解析判别法并给出其应用 一 个 方程关于某个细胞平衡点的细胞 参数活动的分歧图一般由 部分组成 局部活动 且不 稳定 区 域 ， 局 部被动性 区域 ， 局 部活动 且稳 定 区域 混沌棱 混 沌棱 的概念 由下 面 的定义 给 出 定义 一 个具有 个端 口 的 方程称为在细胞平 衡点 处具有混沌棱 ， 当且仅 当它在 ‘ 是局部 活动而且是稳定 的 ，才武 斋 ︸器箫 月， 卜 ， 试 二 解析判别法 对于一个具有 个态变量 个端 口 的 细胞 ，相应 的局 部态变 方程 为 之 月 刊 比 从 乙 ， 从 才， 喇 。 叭 其中 〔巧 ，巧 ，矶」 ， 叭 【’ ， 〔 ， 几禹几 一 “ “ 】 」 月护 角， 如 “ ” 卜 月‘ 口】 一 “ ， 月的二 它的相应的 细胞导纳矩阵儿 为 儿 其中 气， 一月心一月的叹翻 一月肠 ‘ 月卜 “ 一月 一丁一 尸 一“ 翻 ’如 确而’， 将方程 在细胞平衡点处进行线性化 ， 然 后 两边作拉普拉斯变换 ，则名户有如式 的关系 ， 即可推 出细胞平衡点 ‘ 的导纳矩 阵 孔 会 一 动 一 月 一 月。 一 月‘ 将线性 网络中的蕴含判别活动性的正 实判别法移植到反 应扩散 ，提出 了 局 部活 动性 的判别准则 ， 即如下 引理 引理 扩散反 应 局部活动性判别祛 ‘， 一个扩散反 应 在细胞平衡点是局部活动 的 ， 当且仅 当它 的细胞导纳矩 阵满足下 列条件 之一 儿 有一 个极点在 存在一 点。 ，。 珠 。 “ 巧 ， 巧 。 不 是半正定矩 阵 有一个单重极点， 汤在虚轴上 使得其相应 的 留数矩 阵 一 “ ’‘ “ ‘ ， 口 一 一 “ “ ‘ ， 一 口洲 口一 联如卜 一 久 一 一 口 月 一 一 伪 久 一

Vol.24 闵乐泉等：三端口四态变量CNN的局部活动性理论 81· ao=-2C3CnCz+Cu(CaC32-CmC3)+CsCBCz+CaCuC3 91m大90 qnqtiogu q+qtiogu a1=-C1C13十C11C3十C2zC3射-C21C12十CiC2-C23C32 @'+au @+ai o+4 则Ys)满足引理1中条件(3)，若下列条件之一 qn19n0-ioqu w'+au qa'ofrds 9:19tiog w2+a4 成立： 9i+9u-iogm ()aw>0;(i)a10; @+ais 9a+90-i09u 02+4 93+930 ω2+d4 (iV)a1≥0，a2≤0，a1a2>a. (12) det[l-Yo(io)]='+a'+a+ao q1=-2a1,92=-(a1ta2i),91g=-(a1stai), 其中 910-2a14a41a4,9120=a4a(a14a42ta24a41), a:=-(qu+qatq)gnotgnotgue @+ai (16) 9121=a14a42-a24a41,9130-a(a1a4e十a34a4i）, 9131-a1aa4g-a34a41,92=-2a2,9220-2a24a4a4, a=awtamganc4a+am d 923=-(a2ta32),9230=a4(a24a43+a34a4), 色p(o.dP+ondto） (17) 92a1=a2404g-a34042,933=-2a33,930-2aa43a4 1 (13) do=(doodod+dod+con) 为了建立LPA的解析判别法，先需要下面的定 e=dozaiaoodiao (18) 义 这里d=(c+w),an,a11,aio,aoe3,a@m,ao01, 定义5定义a=[a,a,,a-] ao均为9ts和au的函数（见(13）). p(s,a)=s+a,-1s"-+..+astao (14) 定理2(b)设a0,ao1,a2,aoa和au如公式(9) Hn={a∈R"p(s,a=0→Re[s]>0} (15) 和(18)所定，则Yiw)满足引理1条件2，若下列 引理2H的边界∂9Hn由所有这样的a∈R组成， 条件之一成立： s.kp(s,a)的所有根在C中，且至少有一个根在迟 (i)aoo>0; 上. (ii)aooa+aovdi+aoai+aoo; 引理3a9g{[0,a]U[a,0]:a≥0，a2≤0U (il)）aoo-0e≤0，aor>0; {[ao,a1,a2]ao0,a20; 引理4gU09H={[a,a1,a2]:a,a2≤0，a1≥0，a1a2≤a} (v）aog-0,e≤0，ao20,(d)a,a2≤0，a1≥0，a1a2>0 3a603 定理2(c)设a12,a,ao由方程(6)和f=a2cd+ aa+ao定义，则Yio)满足引理1中条件(2)，若 下列条件之一成立：()a20,f0,2a2ai+ al0. 定理2(d)设q#'s和a4如由公式(13)所述，则 Yiw)满足引理1中条件(2)，若下列条件之一成 立：（①）91+92+q30,当且仅当 k2=a4111a221+a11za220-aoo2i au>0,且存在a∈{aa|i,j=l,2,3},st.a+0. k=41124221-a603; 证明：由极点的定义和公式可得 g =kzau+kiai+ko. 定理2(a)令cF-(a+a),aw0,B=B,且 则Yiω)满足引理1条件2，若下列条件之

·82· 北京科技大学学报 2002年第1期 一成立：()k>0:(i)ka+g>0;(ii)k=0,g≤ 参考文献 0,>0;(iv)k=0,g≤0，k2=0,k>0:()4= 1 Chua L O.CNN:Visions of Complexity[J].Int J Bifurca- 0,gs0,k0. Chao8,1998,8(6:1107; 5 Dogaru R,Chua LO.Edge of Chaos and Local Activity Do- 证明：Ys)在虚轴上一极点s=iw中aw=0, main of Gierer-Meinhart CNN[J].Int J Bifurcation and 且a∈{awa=1,2,3,s.k.a+0此时 Chao3,1998,8(12):2321 k=limsYo(s)=B 6 Min L,Crounse K R,Chua LO.Analytical Criteria for Lo- 因此，若{a14d+a41a24,a1a4g丰a41a4,a4a,丰a cal Activity and Applications to the Oregonator CNN[J], a}中至少有一个成立，则Ys)不是Hermit矩 Int J Bifurcation and Chaos,2000,10(1):25 7 Min L,Crounse K R,Chua LO.Analytical Criteria for Lo- 阵 cal Activety of CNN with Four State Variables and Applic- 定理(4)Y(s)在虚轴上没有多重极点， ations to the Hodgkin-Huxley equation[J].Int J Bifurca- 证明：方程显然没有在虚轴上的多重极点， tion and Chaos,2000,10(6):1295 8 MinL,Na Y.Analytical Criteria for Local Activity of CNN 3结论 with Two-port and Application to Biochemical Model[J]. J of Univ of Sci and Technol Beijing,2000,7(4):305 定理1一3可编成计算机程序绘制具有3个 9 Min L,Na Y.Theorems for Testing Local Activity ofCNN 端口4个态变量CNN的分歧图.计算机模拟显 with Two-port and Applications to Smoothed Chua's Cir- 示：具有1,2，，和3个端口4个态变量的光滑 cuit[J].Advances in Systems Science and Applications, Chua电路CNN的分歧图是完全相同的，而且 2000,(2):52 它们的动力学性质也定性的相似， 10闵乐泉，王静海.北京科技大学学报，2001,23（增刊）：9 11 Na Y,Min L.Analytical Criteria for Local Activity ofCNN 与具有3个细胞平衡点的光滑Chua电路 with Two Ports and Application to Smoothed Chua's Cir- 不同，肿瘤生长方程CNN具有无穷多的细胞 cuits,J of Uniy of Sci and Technol Beijing,2002,9(1):60 平衡点，其动力学性质也变化莫测在下文中将 12 Lefever R,Garay R.In Nonlinear Electrodynamics in Bio- 利用新建立的定理对其进行研究、结果示明 logical Systems.Ross W,Lowrence A,Eds.Plennum: CNN的局部活动性理论为研究生命科学中有 Plennum Publishing Coroperation,1984,287 关的复杂现象提供了新的工具 Theory for Local Activity of Three-Port CNN With Four State Variables MIN Lequan,WANG Jingtao Applied Science School,UST Beijing.Beijing 100083,China ABSTRACT The Local activity theory of the Cellular Nonlinear Network(CNN)has provided a powerful tool for studying the emergence and change of the dynamic behaviors of complex systems consisting of homo- geneous media.The local activity principle is explainedand a set of theorems are set up for testing the local activity of three-port CNN and studying the life phenomena related to the growth of cellular tissues under cell- mediated cytolysis KEY WORDS cellular neural network;local activity tumor growth;numericla simulation

北 京 科 技 大 学 学 报 年 第 期 一成立 七 丸喃 么 ， ‘ ， 棍 仇 棍 ， ‘ ， 棍 ， 么 丸 。 ， ‘ 。 ， 、 。 ， 且 ·醉蠕巫 ‘ ·， 、 ‘ 。 ‘ 。 ， 二鲤澳草巫 、 ‘ 叼 二 ， ，邢 一 内 ‘ ’ “ ‘ 允 ’ 一’ 科 定理 以 满足 引理 中的条件 当且仅 当 下列 条件之一成立 若 伽 ， 且 ’ 。 袭 如 ，， 声’ 两 。 ’ 声山 中 至 少 有 一 个 成 立 若 伽 ， 存在 内 ， ，， ， 手 且 、 ，， ， ， ， ，且 一 伪。山 一 或 一 ‘ 一 久 一 角 证 明 取 在虚轴上 一极点 如 ” 山 ， 且 〔 ’ 殉 ‘ ， ， ， 羊 此时 七 一 妙儿 因此 ，若 ，’ 手久， 一，， ， 声 。 ， ，角 ，，举 。 伪丹中至 少有一 个成立 ， 则 以 不 是 矩 阵 定理 孔 在虚 轴上 没 有多重极点 证 明 方程显然 没有在虚轴上 的多重极点 结论 定理 一 可编成计算机程序绘制具有 个 端 口 个态变量 的分歧 图 计算机模拟显 示 具有 ， ’ ， 和 个端 口 个态 变量 的光滑 电路 的分歧 图是完全相 同的 ， 而且 它们 的动力 学性质也定性 的相似 与具有 个细胞平衡点的光滑 电路 不 同 ， 肿瘤生 长方程 习具有无穷多 的细胞 平衡点 ， 其动力学性质也变化英测 在下 文 中将 利用 新 建立 的 定理对 其进行研究 结果示 明 的局部活动性理论为研究生命科学 中有 关的复杂现象提供 了新 的工具 ， 考 文 献 矶 加 · ， ， 明 劝 月 别” ， ， ” ， 电 · 一 刀 灯 · ， ， ” ， 罗 · 川 时 ， ， ” ， ’ 脸 ， ， ， 阁 ’ 【几 加 ， ， ， 目 咐 匕 · · 加代 · ， ， ， 目 介 ， ， ， 址 · 月 ， ， 阂乐泉 ，王静涛 北京科技大学学报 ， ， 增刊 ， 加牡 比 加 。 ， ， ， ， 口 目 ， 叭 ， 址 ， ， 一 人叮 ， 洲刀 勿口 ， ， ， 恤 而 勿 确 目 叩 一 哪 咖 切