安全技术与环境工程系 穷析化袋 主讲人：刘丽红
主讲人：刘丽红 安全技术与环境工程系
理论任务三定量分析结果的数据处理 一、绝对偏差、平均偏差和相对平均偏差 绝对偏差=个别测定值一测定平均值 d=x,-x(i=12…) (1-3) 如果对同一种试样进行了次测定，若其测得的结 果分别为：x1,x2,飞3？，Xn,则它们的算术平 均值()算术平均偏差()和相对平均偏差分别可 由以下各式计算： 二X+X+3+tX X= (1-4) d=dltld,+ld+*ldl=d (1-5)
一 、绝对偏差、平均偏差和相对平均偏差 绝对偏差＝个别测定值一测定平均值 （1-3） 如果对同一种试样进行了n次测定，若其测得的结 果分别为：x1，x2，x3，…，xn，则它们的算术平 均值（ ）算术平均偏差( )和相对平均偏差分别可 由以下各式计算： （1-4） （1-5） d = x − x(i =1,2) i i x d n x n x x x x x n i = + + + + = .... 1 2 3 d = = + + + + n d d d dn | | | | | | .... | | 1 2 3 n d i 理论任务三 定量分析结果的数据处理
相对平均偏差%=d.=号×100% (1-7) 值得注意的是：平均偏差不计正负号，而个别 测定值的偏差要记正负号。 使用平均偏差表示精密度比较简单，但这个表 示方法有不足之处，因为在一系列的测定中，小偏 差的测定总是占多数，而大偏差的测定总是占少数， 按总的测定次数去求平均偏差所得的结果偏小，大 偏差得不到充分的反映。所以，用平均偏差表示精 密度方法在数理统计上一般是不采用的
相对平均偏差% = （1-7） 值得注意的是：平均偏差不计正负号，而个别 测定值的偏差要记正负号。 使用平均偏差表示精密度比较简单，但这个表 示方法有不足之处，因为在一系列的测定中，小偏 差的测定总是占多数，而大偏差的测定总是占少数， 按总的测定次数去求平均偏差所得的结果偏小，大 偏差得不到充分的反映。所以，用平均偏差表示精 密度方法在数理统计上一般是不采用的。 = 100% x d dr
二、标准偏差和相对标准偏差 近年来，在分析化学的教学中，愈来愈广泛地 采用数理统计方法来处理各种测定数据。在数理统 计中，我们常把所研究对象的全体称为总体（或母 体)；自总体中随机抽出的一部分样品称为样本 (或子样)；样本中所含测量值的数目称为样本大 小（或容量）。例如，我们对某一批煤中硫的含量 进行分析，首先是按照有关部门的规定进行取样、 粉碎、缩分，最后制备成一定数量的分析试样，这 就是供分析用的总体。如果我们从中称取10份煤样 进行平行测定，得到10个测定值，则这一组测定结 果就是该试样总体的一个随机样本，样本容量为10
二、标准偏差和相对标准偏差 近年来，在分析化学的教学中，愈来愈广泛地 采用数理统计方法来处理各种测定数据。在数理统 计中，我们常把所研究对象的全体称为总体（或母 体）；自总体中随机抽出的一部分样品称为样本 （或子样）；样本中所含测量值的数目称为样本大 小（或容量）。例如，我们对某一批煤中硫的含量 进行分析，首先是按照有关部门的规定进行取样、 粉碎、缩分，最后制备成一定数量的分析试样，这 就是供分析用的总体。如果我们从中称取10份煤样 进行平行测定，得到10个测定值，则这一组测定结 果就是该试样总体的一个随机样本，样本容量为10
若样本容量为，平行测定次数分别为1，x x3,xn,则其样本平均值为： (1-8) 当测定次数无限增多，既n→时，样本平均 即为总体平均值： lim- =L 若没有系统误差，且测定次数无限多（或实用 上n>30次)时，则总体平均值就是真实值T。此 时，用。代表总体标准偏差，其数学表示式为： x-) (1-9)
若样本容量为n，平行测定次数分别为x1，x2， x3，…，xn，则其样本平均值为： （1-8） 当测定次数无限增多，既n→∞时，样本平均值 即为总体平均值μ： 若没有系统误差，且测定次数无限多（或实用 上n＞30次）时，则总体平均值μ就是真实值T。此 时，用σ 代表总体标准偏差，其数学表示式为： （1-9） = xi n x 1 n→ x = lim n x i − = 2 ( )
可见，在定量分析的实验中，测定次数一般较 少(n<20次)，故其平均偏差d,须由式(1-9)求 得。 但是，在分析化学中测定次数一般不多(<20) 而总体平均值又不知道，故只好用样本的标准偏 差S来衡量该组数据的分散程度。样本标准偏差的 数学表达式为： (x,-x (1-9) n-1
可见，在定量分析的实验中，测定次数一般较 少（n<20次），故其平均偏差 ，须由式（1-9）求 得。 但是，在分析化学中测定次数一般不多(n<20) ，而总体平均值又不知道，故只好用样本的标准偏 差S来衡量该组数据的分散程度。样本标准偏差的 数学表达式为： （1-9） 1 ( ) 2 − − = n x x S i d d
式中：(n-1)称为自由度，以表示。它是指在n 次测量中，只有-1个可变的偏差。自由度也可以理 解为：数据中可供对比的数目。例如，两次测定a值 和b值，只有a与b之间的一种比较，三次测定可有两 种比较（即其中任何两个数据之间及其平均值与第三 个数据之间比较)，次测定n-1个可供对比的数目。 这里引入(-1)的目的，主要是为了校正x以代替u 所引起的误差。很明显，当测定次数非常多时，测定 次数n与自由度(n-1)的区别就变得很小，u。即 m ∑x-x∑x-0 (1-9) n→on-1 此时，So
式中：（n-1）称为自由度，以f表示。它是指在n 次测量中，只有n-1个可变的偏差。自由度也可以理 解为：数据中可供对比的数目。例如，两次测定a值 和b值，只有a与b之间的一种比较，三次测定可有两 种比较（即其中任何两个数据之间及其平均值与第三 个数据之间比较），n次测定n-1个可供对比的数目。 这里引入（n-1）的目的，主要是为了校正 以代替μ 所引起的误差。很明显，当测定次数非常多时，测定 次数n与自由度（n-1）的区别就变得很小， →μ。即 （1-9） 此时，S→σ。 x x n x u n x x n i i − − − → 2 2 ( ) 1 lim ( )
另外，在许多情况下也使用相对标准偏差 (亦 称变异系数)来说明数据的精密度，他代表单次测 定标准偏差(S)对测定平均值(x)的相对值，用 百分率表示： 变异系数(%)=S,==×100% (1-10) 三、平均值的标准偏差 如果从同一总体中随机抽出容量相同的数个样 本，由此可以得到一系列样本的平均值。实践证明， 这些样本平均值也并非完全一致，它们的精密度可 以用平均值的标准偏差来衡量。显然，与上述任一 样本的各单次测定值相比，这些平均值之间的波动 性更小，即平均值的精密度较单次测定值的更高
另外，在许多情况下也使用相对标准偏差（亦 称变异系数）来说明数据的精密度，他代表单次测 定标准偏差（S）对测定平均值（ ）的相对值，用 百分率表示： 变异系数（%）= (1-10) 三、 平均值的标准偏差 如果从同一总体中随机抽出容量相同的数个样 本，由此可以得到一系列样本的平均值。实践证明， 这些样本平均值也并非完全一致，它们的精密度可 以用平均值的标准偏差来衡量。显然，与上述任一 样本的各单次测定值相比，这些平均值之间的波动 性更小，即平均值的精密度较单次测定值的更高。 x = 100% x s sr
因此，在实际工作中，常用样本的平均值x对总 体平均值进行估计。统计学证明，平均值的标准 偏差¤与单次测定值的标准偏差σ之间有下述关系。 (n→00 3-11) Vn 对于有限次的测定则有： (3-12)
因此 ，在实际工作中 ，常用样本的平均值 对总 体平均值μ进行估计。统计学证明，平均值的标准 偏差 与单次测定值的标准偏差σ之间有下述关系。 （n→∞） (3-11) 对于有限次的测定则有： （3-12） n s s x = n x = x x
另外，在许多情况下也使用相对标准偏差（亦 称变异系数)来说明数据的精密度，他代表单次测 定标准偏差(S)对测定平均值（x)的相对值，用 百分率表示： 变异系数(%)=S,==×100% (1-13)
另外，在许多情况下也使用相对标准偏差（亦 称变异系数）来说明数据的精密度，他代表单次测 定标准偏差（S）对测定平均值（ ）的相对值，用 百分率表示： 变异系数（%）= (1-13) x = 100% x s sr