1.1逻辑代数的基本运算 一、基本概念 1.数字信号的特点 数字信号在时间上和数值上均是离散的。 数字信号在电路中常表现为突变的电压或电流。 +() 1020 -t(ms) 图1.1典型的数字信号 2、正逻辑与负逻辑 数字信号是一种二值信号,用两个电平(高电平和低电平)分别来表示两个逻辑 值(逻辑1和逻辑0) 有两种逻辑体制: 正逻辑体制规定:高电平为逻辑1,低电平为逻辑0 负逻辑体制规定:低电平为逻辑1,高电平为逻辑0 如果采用正逻辑,图1.1所示的数字电压信号就成为下图所示逻辑信号。 逻辑1逻辑1 逻辑0 逻辑0逻辑0 3、在数字电路中,输入信号是“条件”,输出信号是“结果”,因此输入、输 出之间存在一定的因果关系,称其为逻辑关系。它可以用逻辑表达式、图形和真 值表来描述。 二、基本逻辑运算 1.与运算一一只有当决定一件事情的条件全部具备之后,这件事情才会发生。 我们把这种因果关系称为与逻辑。 与逻辑举例:图1.2(a)所示,A、B是两个串联开关,L是灯,用开关控制灯 1
1 1．1 逻辑代数的基本运算 一、 基本概念 1.数字信号的特点 数字信号在时间上和数值上均是离散的。 数字信号在电路中常表现为突变的电压或电流。 图 1.1 典型的数字信号 2、正逻辑与负逻辑 数字信号是一种二值信号，用两个电平（高电平和低电平）分别来表示两个逻辑 值（逻辑 1 和逻辑 0） 有两种逻辑体制： 正逻辑体制规定：高电平为逻辑 1，低电平为逻辑 0。 负逻辑体制规定：低电平为逻辑 1，高电平为逻辑 0。 如果采用正逻辑，图 1.1 所示的数字电压信号就成为下图所示逻辑信号。 3、在数字电路中，输入信号是“条件”，输出信号是“结果”，因此输入、输 出之间存在一定的因果关系，称其为逻辑关系。它可以用逻辑表达式、图形和真 值表来描述。 二、基本逻辑运算 1．与运算——只有当决定一件事情的条件全部具备之后，这件事情才会发生。 我们把这种因果关系称为与逻辑。 与逻辑举例：图 1.2（a）所示, A、Ｂ是两个串联开关，L 是灯，用开关控制灯 逻辑0 逻辑1 逻辑0 逻辑1 逻辑0 V t (V) (ms) 5 0 10 20 30 40 50
亮和灭的关系如图2(b)所示 设1表示开关闭合或灯亮;0表示开关不闭合或灯不亮,则得真值表图2(c)所 灯L 不闭合不闭合不亮 不闭合闭合 不亮 闭合不闭合不亮 闭合闭合 (b) 0 L=小·B (d) 图1.2与逻辑运算 a)电路图(b)真值表(c)逻辑真值表(d)逻辑符 若用逻辑表达式来描述,则可写为L=A·B 与运算的规则为:“输入有0,输出为0;输入全1,输出为1 数字电路中能实现与运算的电路称为与门电路,其逻辑符号如图(d)所示。 与运算可以推广到多变量:L=AB·C 2.或运算一一当决定一件事情的几个条件中,只要有一个或一个以上条件具备, 这件事情就发生。我们把这种因果关系称为或逻辑 或逻辑举例:如图1.3(a)所示,或运算的真值表如图1.3(b)所示,逻 辑真值表如图1.3(c)所示。若用逻辑表达式来描述,则可写为 L=A+B 或运算的规则为:“输入有1,输出为1:输入全0,输出为0
2 亮和灭的关系如图 2（b）所示。 设 1 表示开关闭合或灯亮；0 表示开关不闭合或灯不亮，则得真值表图 2（c）所 示 V A L B (a) A B L 不闭合 不闭合 不亮 灯 不闭合 闭合 不亮 闭合 闭合 闭合 亮 不闭合 不亮 A B L 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 A & B L=A· B (b) (c) (d) 图 1.2 与逻辑运算 （a）电路图（b）真值表（c）逻辑真值表（d）逻辑符 若用逻辑表达式来描述，则可写为 与运算的规则为： “输入有 0，输出为 0；输入全 1，输出为 1”。 数字电路中能实现与运算的电路称为与门电路，其逻辑符号如图（d）所示。 与运算可以推广到多变量： L = A ⋅ B ⋅C ⋅…… 2．或运算——当决定一件事情的几个条件中，只要有一个或一个以上条件具备， 这件事情就发生。我们把这种因果关系称为或逻辑。 或逻辑举例：如图 1.3（a）所示，或运算的真值表如图 1.3（b）所示，逻 辑真值表如图 1.3（c）所示。若用逻辑表达式来描述，则可写为 L＝A+B 或运算的规则为：“输入有 1，输出为 1；输入全 0，输出为 0”。 L = A ⋅ B
开关A开关B灯L 不闭合不闭合 不闭合闭合 闭合不闭合亮 闭合闭合 亮 0 0 图13或逻辑运算 (a)电路图(b)真值表(c)逻辑真值表(d)逻辑符号 在数字电路中能实现或运算的电路称为或门电路,其逻辑符号如图(d)所 示。或运算也可以推广到多变量:L=A+B+C+…… 3.非运算—一某事情发生与否,仅取决于一个条件,而且是对该条件的否定 即条件具备时事情不发生;条件不具备时事情才发生。 非逻辑举例:例如图14(a)所示的电路,当开关A闭合时,灯不亮;而当 A不闭合时,灯亮。其真值表如图14(b)所示,逻辑真值表如图14(c)所示 若用逻辑表达式来描述,则可写为:L=A 开关A 灯L 不闭合 闭合 不亮 0 图1.4非逻辑运算 (a)电路图(b)真值表(c)逻辑真值表(d)逻辑符号
3 V A 开关 (d) L=A (c) 0 (b) 1 L=A 1 不闭合 A 0 闭合 不亮 A 灯 L 亮 (a) R L A A L=A 1 1 图 1.3 或逻辑运算 （a） 电路图（b）真值表（c）逻辑真值表（d）逻辑符号 在数字电路中能实现或运算的电路称为或门电路，其逻辑符号如图（d）所 示。或运算也可以推广到多变量： L = A + B + C + …… 3．非运算——某事情发生与否，仅取决于一个条件，而且是对该条件的否定。 即条件具备时事情不发生；条件不具备时事情才发生。 非逻辑举例：例如图 1.4（a）所示的电路，当开关 A 闭合时，灯不亮；而当 A 不闭合时，灯亮。其真值表如图 1.4（b）所示，逻辑真值表如图 1.4（c）所示。 若用逻辑表达式来描述，则可写为: L = A 图 1.4 非逻辑运算 （a）电路图（b）真值表（c）逻辑真值表（d）逻辑符号 V A B L (a) L 不闭合 不闭合 不亮 灯 不闭合 闭合 亮 闭合 闭合 闭合 亮 不闭合 亮 A B 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 A B L=A+B (b) (c) (d) ≥1 L=A+B 开关 开关 A B
其他常用逻辑运算 1.与非一一由与运算和非运算组合而成。 00 01 L=A.B 图1.5与非逻辑运算 (a)逻辑真值表(b)逻辑符号 2.或非一一由或运算和非运算组合而成。 若用逻辑表达式来描述,则可写为 L=A+B 图1.6或非逻辑运算 (a)逻辑真值表(b)逻辑符号 3.异或运算: 异或是一种二变量逻辑运算,当两个变量取值相同时,逻辑函数值为0;当 两个变量取值不同时,逻辑函数值为1。 B 0 图1.7异或逻辑运算(a)逻辑真值表(b)逻辑符号
4 三、其他常用逻辑运算 1．与非 ——由与运算和非运算组合而成。 图 1.5 与非逻辑运算 （a） 逻辑真值表 （b）逻辑符号 2．或非 ——由或运算和非运算组合而成。 若用逻辑表达式来描述，则可写为 图 1.6 或非逻辑运算 （a）逻辑真值表 （b）逻辑符号 3．异或运算： 异或是一种二变量逻辑运算，当两个变量取值相同时，逻辑函数值为 0；当 两个变量取值不同时，逻辑函数值为 1。 图 1.7 异或逻辑运算 （a）逻辑真值表 （b）逻辑符号 1 0 A B 1 1 0 1 L=A+B A 0 0 B 1 (a) (b) 0 0 0 L=A+B ≥1 A B 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 A & B L=A·B (a) (b) L=A·B 0 1 1 0 (b) B A 0 A B 1 0 1 0 1 (a) 0 1 L=A =1 A + B + B
异或的逻辑表达式为L=A④B=AB+AB 四、逻辑函数及其表示方法 (一).逻辑函数的建立 【例1.1】三个人表决一件事情,结果按“少数服从多数”的原则决定,试 建立该逻辑函数。 解:第一步:设置自变量和因变量。将三人的意见设置为自变量A、B、C, 并规定只能有同意或不同意两种意见。将表决结果设置为因变量L,显然也只有 两个情况。 第二步:状态赋值。对于自变量A、B、C设:同意为逻辑“1”,不同意为 逻辑“0”。对于因变量L设:事情通过为逻辑“1”,没通过为逻辑“0”。 第三步:根据题义及上述规定列出函数的真值表如表1.1所示 由真值表可以看出,当自变量A、B、C取确定值后,因变量L的值就完全 确定了。所以,L就是A、B、C的函数。A、B、C常称为输入逻辑变量,L称 为输出逻辑变量 般地说,若输入逻辑变量A、B、C…的取值确定以后,输岀逻辑变量L 的值也唯一地确定了,就称L是A、B、C…的逻辑函数,写作 L=f(A,B,C…) 表1.1例1.1真值表 A B C 0000 0011 L000 0 11
5 异或的逻辑表达式为： 四、逻辑函数及其表示方法 （一）．逻辑函数的建立 【例 1.1】三个人表决一件事情，结果按“少数服从多数”的原则决定，试 建立该逻辑函数。 解：第一步：设置自变量和因变量。将三人的意见设置为自变量 A、B、C， 并规定只能有同意或不同意两种意见。将表决结果设置为因变量 L，显然也只有 两个情况。 第二步：状态赋值。对于自变量 A、B、C 设：同意为逻辑“1”，不同意为 逻辑“0”。对于因变量 L 设：事情通过为逻辑“1”，没通过为逻辑“0”。 第三步：根据题义及上述规定列出函数的真值表如表 1.1 所示。 由真值表可以看出，当自变量 A、B、C 取确定值后，因变量 L 的值就完全 确定了。所以，L 就是 A、B、C 的函数。A、B、C 常称为输入逻辑变量，L 称 为输出逻辑变量。 一般地说，若输入逻辑变量 A、B、C…的取值确定以后，输出逻辑变量 L 的值也唯一地确定了，就称 L 是 A、B、C…的逻辑函数，写作： L=f（A，B，C…） 表 1.1 例 1.1 真值表 A B C L 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 L = A⊕ B = AB + AB
逻辑函数与普通代数中的函数相比较,有两个突出的特点 (1)逻辑变量和逻辑函数只能取两个值0和1。 (2)函数和变量之间的关系是由“与”、“或”、“非”三种基本运算决定的。 (二).逻辑函数的表示方法 个逻辑函数有四种表示方法,即真值表、函数表达式、逻辑图和卡诺图 这里先介绍前三种 1.真值表一一将输入逻辑变量的各种可能取值和相应的函数值排列在一起 而组成的表格。 为避免遗漏,各变量的取值组合应按照二进制递增的次序排列 真值表的特点 (1)直观明了。输入变量取值一旦确定后,即可在真值表中查出相应的函 数值。 (2)把一个实际的逻辑问题抽象成一个逻辑函数时,使用真值表是最方便 的。所以,在设计逻辑电路时,总是先根据设计要求列出真值表。 (3)真值表的缺点是,当变量比较多时,表比较大,显得过于繁琐。 2.函数表达式一一由逻辑变量和“与”、“或”、“非”三种运算符所构成的 表达式。 由真值表可以转换为函数表达式。例如,由“三人表决”函数的真值表可写出逻 辑表达式 L= ABC+aBC+abc+abc 反之,由函数表达式也可以转换成真值表。 L=A·B+A·B的真值表 【例1.2】列出下列函数的真值表:L=AB+AB A B L 解:该函数有两个变量,有4种取值的可能组合 将他们按顺序排列起来由函数表达式算出L即得真01 值表,如右表所示
6 逻辑函数与普通代数中的函数相比较，有两个突出的特点： （1）逻辑变量和逻辑函数只能取两个值 0 和 1。 （2）函数和变量之间的关系是由“与”、“或”、“非”三种基本运算决定的。 （二）． 逻辑函数的表示方法 一个逻辑函数有四种表示方法，即真值表、函数表达式、逻辑图和卡诺图。 这里先介绍前三种。 1．真值表——将输入逻辑变量的各种可能取值和相应的函数值排列在一起 而组成的表格。 为避免遗漏，各变量的取值组合应按照二进制递增的次序排列。 真值表的特点： （1）直观明了。输入变量取值一旦确定后，即可在真值表中查出相应的函 数值。 （2）把一个实际的逻辑问题抽象成一个逻辑函数时，使用真值表是最方便 的。所以，在设计逻辑电路时，总是先根据设计要求列出真值表。 （3）真值表的缺点是，当变量比较多时，表比较大，显得过于繁琐。 2．函数表达式——由逻辑变量和“与”、“或”、“非”三种运算符所构成的 表达式。 由真值表可以转换为函数表达式。例如，由“三人表决”函数的真值表可写出逻 辑表达式： 反之，由函数表达式也可以转换成真值表。 【例 1.2】列出下列函数的真值表： L = A⋅B + A⋅ B 解：该函数有两个变量，有 4 种取值的可能组合， 将他们按顺序排列起来,由函数表达式算出 L 即得真 值表,如右表所示。 L = ABC+ ABC + ABC + ABC
3.逻辑图一逻辑图是由逻辑符号及它们之间的连线而构成的图形 由函数表达式可以画出其相应的逻辑图。由逻辑图也可以写出其相应的函数 表达式。 【例1.3】画出下列函数的逻辑图:L=A·B+A·B 解:可用两个非门、两个与门和一个或门组成 【例1.4】写出如图所示逻辑图的函数表达式 C 解:可由输入至输出逐步写出逻辑表达式: L= AB+bc+ac
7 3．逻辑图—逻辑图是由逻辑符号及它们之间的连线而构成的图形。 由函数表达式可以画出其相应的逻辑图。由逻辑图也可以写出其相应的函数 表达式。 【例 1.3】 画出下列函数的逻辑图： L = A⋅ B + A⋅ B 解：可用两个非门、两个与门和一个或门组成。 【例 1.4】写出如图所示逻辑图的函数表达式。 解：可由输入至输出逐步写出逻辑表达式： L = AB + BC + AC
1.3逻辑函数的代数化简法 逻辑函数式的常见形式 个逻辑函数的表达式不是唯一的,可以有多种形式,并且能互相转换。例如: L=AC+ AB 与一或表达式 =(A+B(A+ 或一与表达式 = AC. AB 与非一与非表达式 A+B+A+c 或非一或非表达式 AC+AB 与一或非表达式 其中,与一或表达式是逻辑函数的最基本表达形式。 、逻辑函数的最简“与一或表达式”的标准 (1)与项最少,即表达式中“+”号最少。 (2)每个与项中的变量数最少,即表达式中“·”号最少。 、用代数法化简逻辑函数 1、并项法。运用公式A+A=1,将两项合并为一项,消去一个变量。 tH L=A( BC+ BC)+A(BC+BC)=ABC+ ABC+ ABC+ ABC AB(C+C)+AB(C+C) =AB+ AB=A(B+B) 2、吸收法。运用吸收律A+AB=A,消去多余的与项。如 L=AB+ AB(C+DE)=AB 3、消去法。运用吸收律A+AB=A+B消去多余的因子。如 L=A+ab+be=tb+be=abte
1.3 逻辑函数的代数化简法 一、逻辑函数式的常见形式 一个逻辑函数的表达式不是唯一的，可以有多种形式，并且能互相转换。例如： 其中，与—或表达式是逻辑函数的最基本表达形式。 二、逻辑函数的最简“与—或表达式” 的标准 （1）与项最少，即表达式中“+”号最少。 （2）每个与项中的变量数最少，即表达式中“· ”号最少。 三、用代数法化简逻辑函数 1、并项法。运用公式 ，将两项合并为一项，消去一个变量。 如 2、吸收法。运用吸收律 A+AB=A，消去多余的与项。如: 3、消去法。 A+ A =1 ( ) ( ) ( ) ( ) AB C C AB C C L A BC BC A BC BC ABC ABC ABC ABC = + + + = + + + = + + + A AB AB A B B = = + = ( + ) L = AB + AB(C + DE) = AB L = A+ AB + BE = A+ B + BE = A+ B + E
(4)配项法。先通过乘以A+A或加上AA,增加必要的乘积项, 再用以上方法化简。如 L=AB+AC+ BCD= AB+AC+ BCD(A + A) Ab+AC+ABCD+ABCD AB+AC 在化简逻辑函数时,要灵活运用上述方法,才能将逻辑函数化为最简。 再举几个例子 【例3.1】化简逻辑函数:L=AD+AD+AB+∥C+BD+ABEF+BEF if: L=A+AB+AC+BD+ ABEF+ BEF (利用A+A=1) A+Ac+bd+ beF (利用A+AB=A) =A+C+BD+ BeF (利用A+扔B=AB) 【例3.2】化简逻辑函数: L= AB+ AC+BC+CB+BD+DB+ ADE(F+G) 解:L=ABC+BC+CB+BD+DB+ADBF+G)(利用反演律) A+BC+CB+BD+DB+ADBF+G)(利用A+AB=A+B A+BC +CB+Bd+DB (利用A+AB=A) A+BC(D+D)+CB+BD+DB(C+C)(配项法) A+bcd+bcd+CB+bd+ dBC+ dBC A+bcd+CB+bd+DBc (利用A+AB=A) A+CD(B+B)CB+ BD A+Cd+cb+BD (利用A+A=1)
（4）配项法。 在化简逻辑函数时，要灵活运用上述方法，才能将逻辑函数化为最简。 再举几个例子： 【例 3.1】 化简逻辑函数： 解： （ 利用 ） （利用 A+AB=A） （利用 ） 【例 3.2】化简逻辑函数： 解： （利用反演律） （利用 ） （利用 A+AB=A） （配项法） （利用 A+AB=A） （利用 ） AB AC AB AC ABCD ABCD L AB AC BCD AB AC BCD A A = + = + + + = + + = + + ( + ) L = AD+ AD + AB+ AC + BD+ ABEF + BEF L = A+ AB+ AC + BD+ ABEF + BEF A + A = 1 A C BD BEF A+AB=A+B = + + + L = AB+ AC + BC +CB + BD + DB + ADE(F +G) L = ABC + BC +CB+ BD+ DB+ ADE(F +G) A+ AB = A+ B = A+ BC +CB + BD + DB = A + CD(B + B) + CB + BD = A+CD +CB + BD = A+ BC(D + D) + CB + BD + DB(C + C) = A+ AC + BD + BEF = A+ BCD +CB + BD + DBC A+A=1 = A+ BC +CB+ BD+ DB+ ADE(F +G) = A+ BCD+ BCD +CB + BD + DBC + DBC
【例3.3】化简逻辑函数L=AB+BC+BC+AB 解法1:L=AB+BC+BC+AB+AC(增加冗余项AC) =AB+Bc+ Ab+ ac (消去1个冗余项BC) BC+AB+AC (再消去1个冗余项AB) 解法2:L=AB+BC+BC+AB+AC(增加冗余项AC) AB+ bC + Ab+Ac (消去1个冗余项BC) =AB+BC +Ac (再消去1个冗余项AB) 由上例可知,逻辑函数的化简结果不是唯一的
【例 3.3】化简逻辑函数 解法 1： L = AB + BC + BC + AB + AC （增加冗余项 AC ） = AB + BC + AB + AC （消去 1 个冗余项 BC ） = BC + AB + AC （再消去 1 个冗余项 AB ） 解法 2： L = AB + BC + BC + AB + AC （增加冗余项 AC ） = AB + BC + AB + AC （消去 1 个冗余项 BC ） = AB + BC + AC （再消去 1 个冗余项 AB ） 由上例可知，逻辑函数的化简结果不是唯一的。 L = AB + BC + BC + AB