第四章动态元件 4.1电容元件 4.2电感元件 4.3电容与电感的串、并联等效 西安电子科技大学电路与系统多媒体室制作 4.4耦合电感电路 一、耦合线圈 二、耦合电感的伏安关系 三、耦合电感的T形去耦等效电路 4.5变压器 一、理想变压器 二、全耦合变压器的模型 三、实际变压器的模型 出 点击日录，进入相关章节
西 安 电 子 科 技 大 学 电 路 与 系 统 多 媒 体 室 制 作 点击目录 ，进入相关章节 第 4-1 页 前一页 下一页 4.1 电容元件 4.2 电感元件 4.3 电容与电感的串、并联等效 4.4 耦合电感电路 一、耦合线圈 二、耦合电感的伏安关系 三、耦合电感的T形去耦等效电路 4.5 变压器 一、理想变压器 二、全耦合变压器的模型 三、实际变压器的模型 退出本章
、电元件 许多实际电路，除了电源和电阻外，还常包含电容和电感 元件。这类元件的VCR是微分或积分关系，故称其为动态元件。 含有动态元件的电路称为动态电路，描述动态电路的方程是微分 电 子 方程。 电容元件(capacitor)是一种储存电能的元件，它是实际电容器 大学 的理想化模型。其电路符号如图()所示。 路与 电容上电荷与电压的关系最能反映这种元件的储能。 系统 多媒体室制 1、电容的一般定义 一个二端元件，若在任一时刻t,其电荷()与电压 (t)之间的关系能用u平面上的曲线表征，即具有代 数关系f(u,q)=0 则称该元件为电容元件，简称电容
西 安 电 子 科 技 大 学 电 路 与 系 统 多 媒 体 室 制 作 许多实际电路，除了电源和电阻外，还常包含电容和电感 元件。这类元件的VCR是微分或积分关系，故称其为动态元件。 含有动态元件的电路称为动态电路，描述动态电路的方程是微分 方程。 电容元件(capacitor)是一种储存电能的元件, 它是实际电容器 的理想化模型。其电路符号如图(a)所示。 u i +q C -q 电容上电荷与电压的关系最能反映这种元件的储能。 1、电容的一般定义 一个二端元件，若在任一时刻t，其电荷q(t)与电压 u(t)之间的关系能用q~u平面上的曲线表征，即具有代 数关系 f (u，q ) = 0 则称该元件为电容元件，简称电容。 第 4-2 页 前一页 下一页 回本章目录
4.1电容元件 电容也分：时变和时不变的，线性的和非线性的。 线性时不变电容的外特性（库伏特性）是qu平面上一条过原点的直线，且 其斜率C不随时间变化，如图()所示。其表达式可写为： 西 安电子科技大学电 q(t)Cu(t) 其中C就是电容元件的值，单位为：法[拉](F,常用μF,pF)。 对于线性时不变电容，C为正实常数。 2、电容的VAR(或VCR) 路与系统多媒体室制作 当电容两端的电压变化时，聚集在电容上的电荷也相应发生变化，这表 明连接电容的导线上就有电荷移动，即有电流流过；若电容上电压不变化， 电荷也不变化，即电流为零。这与电阻不同。 若电容上电压与电流参考方向关联，如图(b)， 考虑到i=dq/dt,q=Cu(t),有 d u i(t)=C dt 称电容VAR的微分形式
西 安 电 子 科 技 大 学 电 路 与 系 统 多 媒 体 室 制 作 第 4-3 页 前一页 下一页 回本章目录 电容也分：时变和时不变的，线性的和非线性的。 线性时不变电容的外特性(库伏特性)是q~u平面上一条过原点的直线，且 其斜率C不随时间变化，如图(a)所示。其表达式可写为： q(t) = Cu(t) 其中C就是电容元件的值，单位为：法[拉](F，常用μF,pF)。 对于线性时不变电容，C为正实常数。 (a) q 0 u C 2、电容的VAR(或VCR) 当电容两端的电压变化时，聚集在电容上的电荷也相应发生变化，这表 明连接电容的导线上就有电荷移动，即有电流流过；若电容上电压不变化， 电荷也不变化，即电流为零。这与电阻不同。 若电容上电压与电流参考方向关联，如图(b)， 考虑到 i =dq/dt， q = C u(t)，有 u i +q C -q (b) t u i t C d d ( ) = 称电容VAR的微分形式
4.1电容元件 对电容伏安关系的微分形式从-∞到t进行积分，并设（仁∞）=0，可得 称电容VAR的积分形 式 w0=己J了(5)d5 一安电子科技大学电路与系 设t=to为初始观察时刻，上式可改写为 0= 」5d5+灯6d5=w,)+25)d5 ,t≥to 式中 uo)=」J(⑤)d5 u与i 非关 称为电容电压在to时刻的初始值(initial value),或初始状态 联 多 (initial state),它包会了在to以前电流的“全部历史”信息。 媒体 一般取t0=0。 制 若电容电压、电流的参考方向非关联，如右图所示。 电容VAR表达式可改为 (t) d u 0=- 」5d5=6,)2J0d5 ,t≥to =4
西 安 电 子 科 技 大 学 电 路 与 系 统 多 媒 体 室 制 作 对电容伏安关系的微分形式从-∞到t进行积分，并设u(-∞)=0，可得 − = t i C u t ( ) d 1 称电容VAR的积分形 ( ) 式 设t=t0为初始观察时刻，上式可改写为 = + = + − t t t t t i t t C i u t C i C u t 0 0 0 0 0 ( ) d , 1 ( ) d ( ) 1 ( ) d 1 ( ) − = 0 ( ) d 1 ( ) 0 t i C u t 称为电容电压在t0时刻的初始值(initial value),或初始状态 (initial state)，它包含了在t0以前电流的“全部历史”信息。 一般取t0 =0 。 式中 第 4-4 页 前一页 下一页 若电容电压、电流的参考方向非关联，如右图所示。 电容VAR表达式可改为 u i C t u i t C d d ( ) = − = − = − − t t t i t t C i u t C u t 0 0 0 ( ) d , 1 ( ) d ( ) 1 ( ) u与i 非关 联 返回本章目录
4.1一电容元件 电容电压不仅具有记忆性质，其还具有连续性质： 西 对任意给定的时刻t=to, 安电子科技大学电 前一睬间：to-=lim(to-&)后一瞬问：to+=lim(to+8) 8→0 8-→0 8>0 8>0 电容电压不能突变，即： uc(to+)=uc(to-) 条件：电 与系统多媒体室制作 流为有限 则可以得到在t=to+时的电容电压： 值 )=G)+乙 i5)d5 ,t≥t0 如果电流在无穷小区间 [伪有限值，则第二项积分为零，从 而得到上述结论
西 安 电 子 科 技 大 学 电 路 与 系 统 多 媒 体 室 制 作 0 0 0 0 1 ( ) ( ) ( )d , t c c t u t u t i t t C − + + − = + i t( ) 电容电压不仅具有记忆性质，其还具有连续性质： 对任意给定的时刻t = t0， 前一瞬间： ( ) 0 0 0 0 lim = − → − t t 后一瞬间： ( ) 0 0 0 0 lim = + → + t t 则可以得到在t=t0+时的电容电压： uC (t0+) = uC (t0- ) 电容电压不能突变，即： 条件：电 流为有限 值 如果电流 在无穷小区间 为有限值，则第二项积分为零，从 而得到上述结论。 it() 0 0 [ , ] t t − +
4.1电容元件 3、电容的功率与储能 当电容电压和电流为关联方向时，电容吸收的瞬时功率为： p(t)=u(t)i(t)=Cu(t) du(t) dt 电容是储能元件，它不消耗能量。当(t)>0时，说明电容是 在吸收能量，处于充电状态；当()<0时，说明电容是在释放 安电子科技大学电路与系统多媒体室制作 能量，处于放电状态。释放的能量总也不会超过吸收的能量。 电容不能产生能量，因此为无源元件。 对上式从-∞到t进行积分，即得t时刻电容上的储能为： wc(D=∫p(5)d5=C(5)d(5) =3cx20）-2c2(-∞） 式中u(∞)表示电容未充电时刻的电压值，应有（∞）=0。于 是，电容在时刻1的储能可简化为： w0=0㎡o 可见：电容在某一时刻的储能仅取决于此时刻的电压，而与电流无 关，且储能≥0。 =6
西 安 电 子 科 技 大 学 电 路 与 系 统 多 媒 体 室 制 作 当电容电压和电流为关联方向时，电容吸收的瞬时功率为： 3、电容的功率与储能 dt du t p t u t i t Cu t ( ) ( ) = ( ) ( ) = ( ) 电容是储能元件，它不消耗能量。当p(t)>0时，说明电容是 在吸收能量，处于充电状态；当p(t) <0时，说明电容是在释放 能量，处于放电状态。释放的能量总也不会超过吸收的能量。 电容不能产生能量，因此为无源元件。 对上式从-∞到t 进行积分，即得t 时刻电容上的储能为： ( ) 2 1 ( ) 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 ( ) ( ) = − − = = − − Cu t Cu w t p d Cu du t u t u C 式中 u(-∞) 表示电容未充电时刻的电压值，应有u(-∞) =0。于 是，电容在时刻t 的储能可简化为： ( ) 2 1 ( ) 2 wC t = Cu t 可见：电容在某一时刻t 的储能仅取决于此时刻的电压，而与电流无 关，且储能 ≥0。 第 4-6 页 前一页 下一页 返回本章目录
4.1电容元件 4、举例1如图()电路，电源电压us()如图(b);试求电容上电 流(t)、瞬时功率p(t)及在t时刻的储能wc(t)。 Aus/V 解：写出s()的表达式为 0,t<0 2F t,0≤t<1 安电子科技大学电路与系统多爆体室制 4s()= -(t-2),1≤t<2 (t)/A 0,1≥2 根据电容VAR得 2 吸收能量 0, t<0 dus= 2,0≤t<1 0 2 t/s it)= -2, 1≤1<2 2 -2 释放能量 0,t≥2 (d) wc(t)/J 0,t<0 0,t<0 2t,0≤t<1 p(t)=us(t)i(t)= 2 w.0=cd0= ,0≤t<1 2t-2),1≤1< 人 (t-2)2,1≤t<2 0,1≥2 012t仍 0,t≥2 47员
西 安 电 子 科 技 大 学 电 路 与 系 统 多 媒 体 室 制 作 4、举例 第 4-7 页 前一页 下一页 返回本章目录 例1 如图(a)电路，电源电压uS (t)如图(b)；试求电容上电 流i(t)、瞬时功率p(t)及在t时刻的储能wC (t)。 uS C 2F i (a) uS/V 0 t/s 1 1 2 (b) 解： 写出uS (t)的表达式为 − − = 0, 2 ( 2), 1 2 , 0 1 0, 0 ( ) t t t t t t u t S 根据电容VAR得 − = = 0, 2 2, 1 2 2, 0 1 0, 0 ( ) 2 t t t t dt du i t S i(t)/A 0 t/s 2 1 2 (c) -2 − = = 0, 2 2( 2), 1 2 2 , 0 1 0, 0 ( ) ( ) ( ) t t t t t t p t u t i t S p(t)/W 0 t/s 2 1 2 (d) -2 − = = 0, 2 ( 2) , 1 2 , 0 1 0, 0 ( ) 2 1 ( ) 2 2 2 t t t t t t w t Cu t C C wC(t)/J 0 t/s 1 1 2 (e) 吸收能量 释放能量
4.1电容元件 例2某电容C=2F,其电流波形如图所示。 ↑A ①若(0)=0，求电容电压(t),t≥0 8 ②计算t=2s时电容的储能1w(2)。 解：电容电流的表达式为： 12 3 4t/ 安电子科技大学电路与系统 0,t<0 8, 0≤t<1 i(t)= 0， 1≤t<3 4, 3≤t<4 02 t≥4 01234/ 0 ,t<0 多媒体室制 根据电容VAR得 2108dr=4 0≤t<1 0=40)+2J6(e)dr={ J68dr+10dr=0+0=4 ,1≤t<3 4(③)+∫54dr=4+2t-3)=2t-) ,3≤t<4 w(2)=}C22)=16J 4④+与打0dπ=M④)=6 t≥4 2 回目
西 安 电 子 科 技 大 学 电 路 与 系 统 多 媒 体 室 制 作 例2 某电容C=2F，其电流i波形如图所示。 ①若u(0)=0，求电容电压u(t),t≥0 ②计算t=2s时电容的储能w(2)。 第 4-8 页 前一页 下一页 返回本章目录 解： 电容电流的表达式为： = 0, 4 4, 3 4 0, 1 3 8, 0 1 0, 0 ( ) t t t t t i t 根据电容VAR得 + = = + = + − = − + = + = = = + = 0d (4) 6 4 2 1 (4) 4d 4 2( 3) 2( 1) ,3 4 2 1 (3) 0d (1) 0 4 ,1 3 2 1 8d 2 1 8d 4 ,0 1 2 1 0 , 0 ( )d 1 ( ) (0) 4 3 1 0 1 0 0 u u t u t t t u t t t t i C u t u t t t t t 0 t/s 4 6 u/V 1 2 3 4 u i C 0 t/s 4 8 i/A 1 2 3 4 w Cu (2) 16J 2 1 (2) 2 = =
4.1电容元件 5、电容的连接 +1-+2 +Un 1)、,电容串联： 电容串联电流相同，根 C 据电容VAR积分形式 西安电子科技大学电路与系统多媒体室制作 =● (a) 由KVL,有w=w1+2+..+4m +上aar++七ie)dr 1 ++ad (b) 分压公式 eq )dr C uk q Ck CC2 C2 C 特例：两个电容串联， Cea u,u2 C1+C2 C1+C2 C1+C2
西 安 电 子 科 技 大 学 电 路 与 系 统 多 媒 体 室 制 作 5、电容的连接 1）、电容串联： 第 4-9 页 前一页 下一页 返回本章目录 u1 u2 un u i (a) C1 C2 Cn Ceq u i (b) 电容串联电流相同，根 据电容VAR积分形式 − = t k k i C u ( ) d 1 由KVL，有 u = u1 + u2 +…+un − − − = + + + t n t t i C i C i C ( ) d 1 ( ) d 1 ( ) d 1 1 2 − = + + + t n i C C C ) ( ) d 1 1 1 ( 1 2 Ceq C C Cn 1 1 1 1 1 2 = + ++ 分压公式 u C C u k eq k = 特例：两个电容串联， 1 2 1 2 C C C C Ceq + = u C C C u u C C C u 1 2 1 2 1 2 2 1 , + = + = − = t eq i C u ( ) d 1
4.1电容元件 2)、电容并联： 电容并联电压u相同，根 据电容VAR微分形式 du ik=Ck 一安电子科技大学电路与系统多媒体室制作 di 由KCL,有 i=i1+2+.+in (a) d u =(C+C2++C) du ec (b) ..Ceg=CI+C2+...+Cn 分流公式 eq i-Cc d u di 第40项 回目
西 安 电 子 科 技 大 学 电 路 与 系 统 多 媒 体 室 制 作 第 4-10 页 前一页 下一页 返回本章目录 2）、电容并联： u i (a) C1 C2 Cn i1 i2 in Ceq u i (b) 电容并联电压u相同，根 据电容VAR微分形式 t u i k Ck d d = 由KCL，有 i = i1 + i2 +…+in t u C t u C t u C n d d d d d d = 1 + 2 ++ t u C C Cn d d ( ) = 1 + 2 ++ t u i Ceq d d = ∴ Ceq = C1 + C2 +…+Cn 分流公式 i C C i eq k k =