第四讲函数的徽分 【目的与要求】 1、理解函数可微与微分定义； 2、会求函数微分 【知识要点】 1、微分定义设函数y=f(x)在某区间内有定义，x。及x。+△x在此区间内，如果 函数的增量可表示为△y=f(x。+△x)-f(x。)=A△x+o(△x), 其中A是不依赖于△x的常数，则称函数y=f(x)在点x。是可微的，而A△x称为函 数y=f(x)在点x。相应于自变量增量△x的微分，记作少，即d少=A△x 2、函数y=f(x)在点x。可微的充分必要条件是函数y=f(x)在点x,可导，且当函 数y=f(x)在点xo可微时，其微分一定是d少=f(x)△x. 3、函数y=f(x)在任意点x的微分称为函数的微分，记作少或df(x),即 d=f(x)△x. 4、几何意义：对于可微函数y=f(x)而言，当△y是曲线y=f(x)上的点的纵坐标的 增量时，y就是曲线的切线上点的纵坐标的相应增量， 5、基本初等函数的微分公式 (1 d(x")=ux"-dx, (2)d(sinx)=cosxdx, (3)d(cosx)=-sin xdx (4)d(tanx)=sec2 xdx, (5)d(cotx)=-csc2 xdx, (6)d(secx)=secxtanxdx, (7)d(cscx)=-cscxcotxdx, (8)d(a)=a'Inadx, (9)d(e")=e"dx, (10)d(logx)=- Ina (11)d(nx)=-ds. 1 (12)d(arcsinx)= -x2 1 (13)d(arccosx)=- (14)d(arctanx)= v-x' 1 dx. 1+x2 1 (15)d(arccotx)=- +r
第四讲 函数的微分 【目的与要求】 1、理解函数可微与微分定义; 2、会求函数微分. 【知识要点】 1、 微分定义 设函数 y = f (x) 在某区间内有定义， 0 x 及 x + x 0 在此区间内 ，如果 函数的增量可表示为 ( ) ( ) ( ), 0 0 y = f x + x − f x = Ax + o x 其中 A 是不依赖于 x 的常数，则称函数 y = f (x) 在点 0 x 是可微的，而 A x 称为函 数 y = f (x) 在点 0 x 相应于自变量增量 x 的微分，记作 dy, 即 dy = Ax. 2、 函数 y = f (x) 在点 0 x 可微的充分必要条件是函数 y = f (x) 在点 0 x 可导，且当函 数 y = f (x) 在点 0 x 可微时，其微分一定是 '( ) . 0 dy = f x x 3、 函数 y = f (x) 在任意点 x 的微分称为函数的微分，记作 dy 或 df (x) ，即 dy = f '(x)x. 4、几何意义:对于可微函数 y = f (x) 而言，当 y 是曲线 y = f (x) 上的点的纵坐标的 增量时， dy 就是曲线的切线上点的纵坐标的相应增量. 5、基本初等函数的微分公式. 1 2 2 1 ( ) , (2) (sin ) cos , (3) (cos ) sin (4) (tan ) sec , (5) (cot ) csc , (6) (sec ) sec tan , (7) (csc ) csc cot , (8) ( ) ln , (9) ( ) , (1 x x x x d x x dx d x xdx d x xdx d x xdx d x xdx d x x xdx d x x xdx d a a adx d e e dx − = = = − = = − = = − = = （） 1 0) (log ) , ln a d x dx x a = 2 2 2 1 1 (11) (ln ) , (12) (arcsin ) , 1 1 1 (13) (arccos ) , (14) (arctan ) , 1 1 d x dx d x x x d x d x dx x x = = − = − = − + 2 1 (15) ( cot ) . 1 d arc x dx x = − +
6、函数和、差、积、商的微分法则 du±v)=du±dv d(Cu)=Cdu. d(uv)=vdu udy, vdu-udy 7、复合函数的微分法则 【重点难点】 重点：会求函数的微分 难点：函数微分的定义。 【典型例题】 例1设y=flnx)e,其中f可微，求d. 解：由于y=fnx)e+f0 nx)ew.f(xy,从而 (nd 例2设y=y(x)是由方程2y-x=(x-y)n(x-y)确定的隐函数，求y. 解：将方程2y-x=(x-y)ln(x-y)的两边同时微分，得 2-在=nx-X达-+-列-少，解得内=2+nx-》太 x-y 3+In(x-y) 例3利用微分求近似值：√0.97 解：√0.97是函数fx)=√F在0.97处的值，因此令x=1,x=x+△x=0.97,即 △x=0.03.于是由f(x+△x)≈f(x)+f'(x)△x,得到 097i+((-03)=1+(-03)=0985. 【课后训练与提高】 (A) 1、比较函数y=2x3+5x2的增量和微分， 2、求下列函数的微分
6、函数和、差、积、商的微分法则 ( ) , ( 0). ( ) , ( ) , 2 − = = + = = v v vdu udv v u d uv vdu udv d d u v du dv d Cu Cdu 7、复合函数的微分法则 【重点难点】 重点:会求函数的微分. 难点:函数微分的定义. 【典型例题】 例 1 设 ( ) (ln ) f x y f x e = ，其中 f 可微，求 dy . 解: 由于 1 ( ) ( ) (ln ) (ln ) ( ) f x f x y f x e f x e f x x = + ，从而 ( ) 1 (ln ) ( ) ln( ) f x dy e f x f x f x dx x = + 例 2 设 y y x = ( ) 是由方程 2 ( )ln( ) y x x y x y − = − − 确定的隐函数，求 dy . 解: 将方程 2 ( )ln( ) y x x y x y − = − − 的两边同时微分，得 2 ln( )( ) ( ) dx dy dy dx x y dx dy x y x y − − = − − + − − ，解得 2 ln( ) 3 ln( ) x y dy dx x y + − = + − . 例 3 利用微分求近似值: 0.97 解: 0.97 是函数 f x x ( ) = 在 0.97 处的值，因此令 0 x =1， 0 x x x = + = 0.97 ，即 = − x 0.03.于是由 0 0 0 f x x f x f x x ( ) ( ) ( ) + + ，得到 ( ) 1 1 0.97 1 ( 0.03) 1 ( 0.03) 0.985 2 x= − = + − = ＋ x . 【课后训练与提高】 （A） 1、比较函数 3 2 y x x = + 2 5 的增量和微分. 2、求下列函数的微分
①y=1+2√F @y=+1 X (3)y=x2e2x (④y=arcsin1-x2 (⑤)y=arctan 1-x2 1+x2 (B) 1、已知y=x3-x,计算在x=2处当△x分别为0.1,0.01时的△y与y. 2、求函数y=(tanx)F+xr的微分. 3、已知f(x)g(x)可微，求y=arctan(f(x)g(x)的微分. 4、当x较小时，证明ln(1+x)≈x. x=a(t-sint) 5、设 求dy y=a(1-cost) 6、求由方程x2+xy+y2=3确定的隐函数y=y(x)的微分 【复习题】 1、求下列函数的导函数 0= (2）y=(tanx)'+xanx y-+a+邮r+r+a 2 a-b (4)y= arctan(. √a2-b a+b 2、证明：y=h(xy)满足关系式 (xy-x)y +xy+yy-2y=0. 1 3、讨论函数f(x)= x“sin-,x≠0 (为常数)在x=0点处的连续性与可导性. 0, x=0 4、求下列函数的微分 (1)y=(x-a)"(x2+C)
⑴ 1 y x 2 x = + ⑵ 2 1 x y x = + ⑶ 2 2x y x e = ⑷ 2 y x = − arcsin 1 ⑸ 2 2 1 arctan 1 x y x − = + （B） 1、已知 y = x − x 3 ，计算在 x = 2 处当 x 分别为 0.1, 0.01 时的 y 与 dy . 2、求函数 1 sin (tan )x x y x x = + 的微分. 3、已知 f x g x ( ) ( ) 可微，求 y f x g x = arctan( ( ) ( )) 的微分. 4、当 x 较小时，证明 ln(1 ) + x x . 5、设 ( sin ) (1 cos ) x a t t y a t = − = − ，求 dy . 6、求由方程 3 2 2 x + xy + y = 确定的隐函数 y = y(x) 的微分. 【复习题】 1、求下列函数的导函数 (1) x x x y ) 1 ( + = (2) x x y x x tan = (tan ) + (3) 2 2 2 2 2 ln 2 2 x x a a x a x y = + + + + (4) ) 2 arctan( tan 2 2 2 x a b a b a b y + − − = 2、证明: y = ln( xy) 满足关系式 ( ) 2 0 '' ' ' ' 2 xy − x y + xy + yy − y = . 3、 讨论函数 1 sin , 0 ( ) 0, 0 x x f x x x = = （ 为常数）在 x = 0 点处的连续性与可导性. 4、求下列函数的微分 (1) n m y (x a) (x C) 2 = − +
(2)y=x(x>0) (3)y= arcsin x V1-x2 5、求函数y=nx+e的反函数x=x(y)的导数. 6、设f(x)对任何x都满足f(x+1)=2f(x),且f(0)=1, f'(0)=c,c为常数，求f'(I) 不束熊线+)-在直怎。。处的线方程区法战方起 222
(2) y = x (x 0) x (3) 2 1 arcsin x x y − = 5、求函数 ln x y x e = + 的反函数 x x y = ( ) 的导数. 6、设 f x( ) 对任何 x 都满足 f x f x ( 1) 2 ( ) + = ，且 f (0) 1 = ， f c (0) = ， c 为常数，求 f (1) . 7、求曲线 2 2 2 3 3 3 x y a + = 在点 2 2 ( , ) 4 4 A a a 处的切线方程及法线方程