第一讲向量及其运算 【目的与要求】 1、理解向量的概念、向量的几何表示和坐标表示； 2、理解方向角与方向余弦及其单位向量的概念，会求单位向量、方向余弦、投影： 3、掌握向量的线性运算，会用向量的分量表示进行线性运算： 4、掌握向量的数量积、向量积的定义及其运算： 5、了解混合积的运算： 6、掌握两个向量垂直、平行的条件，了解三个向量共面的条件： 7、理解向量积、混合积的几何意义 【知识要点】 1、向量的模、方向余弦、投影 2、数量积公式：ā.i=abcos(a^b) 运算的分量表示：设a-(a,a,a),b=b,b,b.) a.b=ab +ab+ab. 且a,万为两个非零向量，a⊥b台ab.+a,b,+a.b=0 模：axb=lsin(a^b) 3、向量积公式： 方向a×的指向按右手规则从a转向b来确定， 运算的分量表示：设a=(a,a,a),6=6,b,b) j axb=a, a Ib; - b,b. 且ā，b为两个非零向量，ā川万一a- ay =a: bb。b 【重点与难点】 重点：1、向量投影： 2、向量的数量积： 3、向量的向量积
第一讲 向量及其运算 【目的与要求】 1、理解向量的概念、向量的几何表示和坐标表示; 2、理解方向角与方向余弦及其单位向量的概念,会求单位向量、方向余弦、投影; 3、掌握向量的线性运算,会用向量的分量表示进行线性运算; 4、掌握向量的数量积、向量积的定义及其运算; 5、了解混合积的运算; 6、掌握两个向量垂直、平行的条件,了解三个向量共面的条件; 7、理解向量积、混合积的几何意义. 【知识要点】 1、向量的模、方向余弦、投影 2、数量积公式: a b a b cos(a^b) = 运算的分量表示:设 ( ) a ax ay az = , , , ( ) b bx by bz = , , a b = axbx + ayby + azbz 且 a b , 为两个非零向量, a ⊥ b axbx + ayby + azbz = 0 3、向量积公式: a b a b a b sin( ^ ) b b = 模： 方向：a 的指向按右手规则从a转向 来确定. 运算的分量表示:设 ( ) a ax ay az = , , , ( ) b bx by bz = , , y z x y x z x y z y z x y x z x y z i j k a a a a a a a b a a a i j k b b b b b b b b b = = − + 且 a b , 为两个非零向量, z z y y x x b a b a b a a b = = || 【重点与难点】 重点: 1、向量投影; 2、向量的数量积; 3、向量的向量积
难点：向量积的计算及几何意义. 【典型例题】 例1已知4AL,0,0),B(3,11),C(2,0,1),且BC=a,CA=b,AB=c, 求(1)a,b的夹角，(2)a在c上的投影. 解：(1)a=BC={-l,-l,0},l同=√2 6=CA={-1,0,-},=V2 c=AB-{2,1,1,1=6 a.b=(-1)(-1)+(-1)0+0.(-1)=1 由数量积的定义有cos(a^)= 丽.52 所以(a^6)=胥 (2)a在c上的投影为i:c--3=-6 62 例2已知ā，b不平行，当k取何值时，向量ka+9b与4ā+kb平行？ 解：由向量ka+9b与4ā+kb平行，得(kā+9b)×(4ā+kb)=0 即4ka×a+k2a×b+36b×a+9kb×b=(k2-36)a×b=0 .a,b不平行，故ā×b≠0，即k=6 例3已知三点A(L,2,3),B(2,-1,5),C(3,2,-5),试求：△4BC的AB边上的高CH. 解：Sc=2 ABx AC. AB=1,-3,2),AC=(2,0,-8). 方 .AB×AC=1-3 2 =24i+12j+6R 20-8 AB×AC=V242+122+6=6√2i, ·SABc=3V2i
难点: 向量积的计算及几何意义. 【典型例题】 例 1 已知 A(1, 0, 0) , B(3, 1, 1) ,C(2, 0, 1) ,且 BC a = ,CA b = , AB c = , 求（1） a b, 的夹角,（2） a 在 c 上的投影. 解:（1） a BC = = − − 1, 1,0 , a = 2 b CA = = − − 1,0, 1, b = 2 c AB = = 2, 1, 1 , c = 6 a b = − − + − + − = ( 1) ( 1) ( 1) 0 0 ( 1) 1 由数量积的定义有 1 1 cos( ^ ) 2 2 2 a b a b a b = = = ,所以 ( ^ ) 3 a b = . （2） a 在 c 上的投影为 3 6 6 2 a c c − = = − . 例 2 已知 a b, 不平行,当 k 取何值时,向量 ka b + 9 与 4a kb + 平行？ 解: 由向量 ka b + 9 与 4a kb + 平行,得 ( 9 ) (4 ) 0 ka b a kb + + = 即 2 2 4 36 9 ( 36) 0 ka a k a b b a kb b k a b + + + = − = a b, 不平行,故 a b 0,即 k =6. 例 3 已知三点 A B C (1, 2, 3), (2, 1, 5), (3, 2, 5), − − 试求: ABC 的 AB 边上的高 CH. 解: SABC ＝ 1 2 AB AC , AB = − (1, 3, 2) , AC = − (2, 0, 8) . 1 3 2 24 12 6 2 0 8 i j k = − = + + AB AC i j k − 2 2 2 AB AC = + + = 24 12 6 6 21, SABC ＝3 21
CH、 SMubc 321 6v21 621 =36】 网 VP+(-3)}2+224 【课后训练与提高】 (A) 一、填空题 1、点(1，-2,3)在第 卦限。 2、设向量=4，它与u轴的夹角是60°，则F在u轴上的投影为 3、向量ā=41-4j+7k的终点B的坐标为(2，-1,7)，则它的起点A的坐标为 与ā平行的单位向量为 4、已知两向量a=6i-4j+10k,b=31+4j-9k,则 a+2b= 3a-2b= ,3ā-2b在oz轴上的投影为 5、已知a=2,|l=V2,且a-6=2,则a×- 6、设ā=3i-j-2k,6=i+2j-R,则ab=,a×b=」 (-2)(3b)= a×(2b)= 二、选择题 1、设a,b,c,d为向量，则下列各量为向量的是(). A、Prj5d B、b(cxdC、(a×b)(c×dD、ax(b×) 2、下列结论正确的是（). A、(a.b=威. B、a×b-asin(a,^b) C、若a.b=ac或a×b=a×c,且a≠0，则b=cD、(a+b)x(a-b=-2axb. 三、计算题 1、己知：a1b,且同=3，=4，求(a+b)×(a-b 2、求同时垂直于ā=2i-方+K,b=7+2j-k的单位向量
CH 2 2 2 S 3 21 6 21 6 21 3 6 1 1 1 ( 3) 2 14 2 2 ABC AB AB = = = = = + − + . 【课后训练与提高】 （A） 一、填空题 1、点 (1, 2,3) − 在第 卦限. 2、设向量 r = 4 ,它与 u 轴的夹角是 0 60 ,则 r 在 u 轴上的投影为 . 3、向量 a l j k = − + 4 4 7 的终点 B 的坐标为 (2, 1,7) − ,则它的起点 A 的坐标为 , 与 a 平行的单位向量为 . 4、已知两向量 a l j k = − + 6 4 10 , b l j k = + − 3 4 9 ,则 a b + 2 = , 3 a b − = 2 ,3 a b − 2 在 oz 轴上的投影为 . 5、已知 a = 2, b = 2 ,且 a b = 2 ,则 a b = . 6、设 a l j k = − − 3 2 , b l j k = + − 2 ,则 a b = , a b = ， ( 2 ) (3 ) − = a b , a b = (2 ) . 二、选择题 1、设 a b c d , , , 为向量,则下列各量为向量的是（ ）. A、Prj b a B、b c d ( ) C、( ) ( ) a b c d D、a b c ( ) 2、下列结论正确的是（ ）. A、 2 2 2 ( ) a b a b = B、a b a b a b = sin( ,^ ) C、若 a b = a c 或 a b a c = ,且 a 0,则 b c = D、( ) ( ) a b a b + − =-2 a b . 三、计算题 1、已知: a b ⊥ ,且 a = 3, b = 4 ,求 ( ) ( ) a b a b + − . 2、求同时垂直于 a l j k = − + 2 , b l j k = + − 2 的单位向量
3、从点p,(2,-1,7)沿向量ā=87+9j-12K的方向截取线段PP2,使|PP2=34, 求点p,的坐标 4、已知a,b,c是单位向量，且满足a+b+c=0,计算ab+b.c+c·a. (B) 一、计算题 1、设=4，=3，ā，6的夹角为，求以ā+26和a-36为边的平行四边形 6 的面积， 2、设d=√5，=l,a,6的夹角为2，求向量a+6和a-万的夹角
3、从点 1 p (2, 1,7) − 沿向量 a l j k = + − 8 9 12 的方向截取线段 1 2 p p ,使 1 2 p p = 34 , 求点 2 p 的坐标. 4、已知 a b c , , 是单位向量,且满足 a b c + + = 0,计算 a b b c c a + + . （B） 一、计算题 1、设 a b a b = = 4, 3, , 的夹角为 6 ,求以 a b a b + − 2 3 和 为边的平行四边形 的面积. 2、设 a b a b = = 3, 1, , 的夹角为 6 ,求向量 a b a b + − 和 的夹角