教学单元教案参考模板授课题目一元线性回归第十八次课教学时数2学时授课时间教学目的与要求：能利用一元线性回归模型进行估计。教学基本内容：1.一元线性回归模型2.参数的最小二乘估计3．模型的拟合优度教学重点、难点：重点：一元线性回归模型，模型的拟合优度难点：一元线性回归模型教学方法：讲授法，演示法，案例分析，讨论互动，实操教学过程：补充内容9.2一元线性回归的估计和检验9.2.1一元线性回归模型什么是回归分析？回归分析（regression analysis）是重点考察一个特定的变量（因变量），而把其他变量（自变量）看作是影响这一变量的因素，并通过适当的数学模型将变量间的关系表达出来，进而通过一个或几个自变量的取值来预测因变量的取值。回归建模的大体思路如下：第一步：确定变量间的关系。第二步：确定因变量和自变量，并建立变量间的关系模型第三步：对模型进行评估和检验。第四步：利用回归方程进行预测。第五步：利用预测的残差分析模型的假定。一元线性回归1.涉及一个自变量的回归2.因变量y与自变量x之间为线性关系■被预测或被解释的变量称为因变量（dependentvariable），用y表示■用来预测或用来解释因变量的一个或多个变量称为自变量(independentvariable)，用x表示-1-
- 1 - 教学单元教案参考模板 授课题目 一元线性回归 教学时数 2 学时 授课时间 第十八次课 教学目的与要求： 能利用一元线性回归模型进行估计。 教学基本内容： 1. 一元线性回归模型 2. 参数的最小二乘估计 3. 模型的拟合优度 教学重点、难点： 重点：一元线性回归模型，模型的拟合优度 难点：一元线性回归模型 教学方法： 讲授法，演示法，案例分析，讨论互动，实操 教学过程： 9.2 一元线性回归的估计和检验 9.2.1 一元线性回归模型 什么是回归分析？ 一元线性回归 1.涉及一个自变量的回归 2.因变量y与自变量x之间为线性关系 被预测或被解释的变量称为因变量(dependent variable)， 用y表示 用来预测或用来解释因变量的一个或多个变量称为自变量 (independent variable)，用x表示 补充内容
3.因变量与自变量之间的关系用一个线性方程来表示一元线性回归模型1.描述因变量y如何依赖于自变量X和误差项的方程称为回归模型2.一元线性回归模型可表示为y=b+bx+ey是X的线性函数（部分）加上误差项线性部分反映了由于x的变化而引起的y的变化误差项是随机变量反映了除X和y之间的线性关系之外的随机因素对y的影响是不能由X和y之间的线性关系所解释的变异性β。和β称为模型的参数一元线性回归模型(基本假定)1.因变量x与自变量y之间具有线性关系2.在重复抽样中，自变量x的取值是固定的，即假定x是非随机的3.误差项8满足正态性。是一个服从正态分布的随机变量，且期望值为0，即8~N(0）。对于一个给定的x值，y的期望值为E(y)=β+β,x方差齐性。对于所有的×值，的方差一个特定的值，的方差也都等于2都相同。同样，一个特定的x值，y的方差也都等于2独立性。独立性意味着对于一个特定的X值，它所对应的e与其他x值所对应的e不相关；对于一个特定的x值，它所对应的y值与其他x所对应的y值也不相关估计的回归方程1.总体回归参数β和β是未知的，必须利用样本数据去估计2.用样本统计量β和β,代替回归方程中的未知参数β和β，就得到了估计的回归方程3.一元线性回归中估计的回归方程为y=β+β,x-2
- 2 - 3.因变量与自变量之间的关系用一个线性方程来表示 一元线性回归模型 1.描述因变量 y 如何依赖于自变量 x 和误差项 的方程称为回归模型 2.一元线性回归模型可表示为 y = b0 + b1 x + e y 是 x 的线性函数(部分)加上误差项 线性部分反映了由于 x 的变化而引起的 y 的变化 误差项 是随机变量 反映了除 x 和 y 之间的线性关系之外的随机因素对 y 的影响 是不能由 x 和 y 之间的线性关系所解释的变异性 0 和 1 称为模型的参数 一元线性回归模型 (基本假定) 1.因变量x与自变量y之间具有线性关系 2.在重复抽样中，自变量x的取值是固定的，即假定x是非随机的 3.误差项 满足 正态性。 是一个服从正态分布的随机变量，且期望值为0，即 ~N(0 , 2 ) 。对于一个给定的 x 值，y 的期望值为E(y)= 0+ 1x 方差齐性。对于所有的 x 值， 的方差一个特定的值，的方差也都等 于 2 都相同。同样，一个特定的x 值， y 的方差也都等于2 独立性。独立性意味着对于一个特定的 x 值，它所对应的ε与其他 x 值所对应的ε不相关；对于一个特定的 x 值，它所对应的 y 值与其他 x 所对应的 y 值也不相关 估计的回归方程 1.总体回归参数0 和1是未知的，必须利用样本数据去估计 2.用样本统计量 0 ˆ 和 1 ˆ 代替回归方程中的未知参数 0 和1，就得到了估 计的回归方程 3.一元线性回归中估计的回归方程为yˆ ˆ 0 ˆ 1x
其中：β是估计的回归直线在y轴上的截距，β是直线的斜率，它表示对于一个给定的x的值，>是y的估计值，也表示x每变动一个单位时，J的平均变动值9.2.2参数的最小二乘估计参数的最小二乘估计1.德国科学家KarlGauss(1777一1855)提出用最小化图中垂直方向的误差平方和来估计参数2.使因变量的观察值与估计值之间的误差平方和达到最小来求得β。和序的方法。即(y;-P)=(y,-β-Bx,)=最小i=li=l3.用最小二乘法拟合的直线来代表x与y之间的关系与实际数据的误差比其他任何直线都小KarlGauss的最小化图2(xn,yn)j=β+Bx(x2, y2)yi-y(ai.y)(xi.y)?统计学一基于SPSS参数的最小二乘估计(β。和β的计算公式）根据最小二乘法，可得求解β。和阝的公式如下QQ器 l元 - -2(1 - ) - x) = 0QQ[[a-± =-22x(v, -β -x,) = 0-3
- 3 - 其中： 0 ˆ 是估计的回归直线在y轴上的截距， 1 ˆ 是直线的斜率，它表 示对于一个给定的x的值，yˆ是y的估计值，也表示x每变动一个单位时， y 的平均变动值 9.2.2 参数的最小二乘估计 参数的最小二乘估计 1.德国科学家Karl Gauss(1777—1855)提出用最小化图中垂直方向的误差 平方和来估计参数 2.使因变量的观察值与估计值之间的误差平方和达到最小来求得 0 ˆ 和 1 ˆ 的方法。即 ( ˆ) ( ˆ ˆ ) 最小 1 2 0 1 1 2 n i i i n i y i y y x 3.用最小二乘法拟合的直线来代表x与y之间的关系与实际数据的误差比 其他任何直线都小 Karl Gauss的最小化图 参数的最小二乘估计 ( 0 ˆ 和 1 ˆ 的计算公式) 根据最小二乘法，可得求解 0 ˆ 和 1 ˆ 的公式如下 2 ( ˆ ˆ ) 0 2 ( ˆ ˆ ) 0 1 ˆ 0 1 1 1 ˆ 0 1 0 1 1 0 0 n i i i i n i i i x y x Q y x Q
β=y-βxB. Zx-(2x用SPSS进行回归（例题分析）一元线性回归分析第1步：选择【分析】→【回归-线性】，进入主对话框。第2步：将因变量选入【因变量】，将自变量选入【自变量】。点击【确定】。注：（1）需要回归参数的置信区间时，点击【统计量】，在【回归系数】下选中【置信区间】，在【置信水平】中选择所要求的置信水平（隐含值为95%，一般不用改变）（2）需要预测时，点击【保存】。在【预测值】下选中【未标准化】（输出点预测值）；在【预测区间】下选中【均值】和【单个】（输出置信区间和预测区间）；在【置信水平】中选择所要求的置信水平（隐含值为95%，一般不用改变）。注意：如果需要预测样本值以外的新的自变量取值时的因变量数值，需要在回归之前将新的自变量取值输入到自变量样本值的最下面单元格，然后再进行回归。（3）需要分析残差时，在【残差】下选中【未标准化】和【标准化】（输出残差和标准化残差。（4）需要输出标准化残差的直方图和正态概率图时，点击【绘制】，在【标准化残差图】下选中【直方图】和【正态概率图】。9.2.3模型的拟合优度变差1.因变量y的取值是不同的，y取值的这种波动称为变差。变差来源于两个方面由于自变量的取值不同造成的除以外的其他因素（如x对y的非线性影响、测量误差等）的影响2.对一个具体的观测值来说，变差的大小可以通过该实际观测值与其均值之差y-y来表示误差分解图4-
- 4 - y x n x x n x y x y n i n i i i n i i n i i n i i i 0 1 1 2 1 2 1 1 1 1 ˆ ˆ ˆ 用SPSS进行回归 (例题分析) 9.2.3 模型的拟合优度 变差 1.因变量 y 的取值是不同的，y 取值的这种波动称为变差。变差来源于 两个方面 由于自变量 x 的取值不同造成的 除 x 以外的其他因素(如x对y的非线性影响、测量误差等)的影响 2.对一个具体的观测值来说，变差的大小可以通过该实际观测值与其均值 之差y y 来表示 误差分解图
V(x,y,)=β+βy-J3i-J中统计学一基于SPSS误差平方和的分解（误差平方和的关系）(; -) -(, -) +(y, -)2=总平方和回归平方和残差平方和(SST)(SSR)(SSE)SST=SSR+SSE?统计学一基于SPSS误差平方和的分解（三个平方和的意义）1.总平方和（sST—totalsumofsquares）反映因变量的n个观察值与其均值的总误差2.回归平方和（ssR一sumofsquaresofregression）反映自变量X的变化对因变量y取值变化的影响，或者说，是由于与y之间的线性关系引起的y的取值变化，也称为可解释的平方和3.残差平方和（ssE一sumofsquaresoferror）反映除X以外的其他因素对y取值的影响，也称为不可解释的平方和或剩余平方和-5-
- 5 - 误差平方和的分解 (误差平方和的关系) 误差平方和的分解(三个平方和的意义) 1.总平方和(SST—total sum of squares) 反映因变量的 n 个观察值与其均值的总误差 2.回归平方和(SSR—sum of squares of regression) 反映自变量 x 的变化对因变量 y 取值变化的影响，或者说，是由于 x 与 y 之间的线性关系引起的 y 的取值变化，也称为可解释的平方和 3.残差平方和(SSE—sum of squares of error) 反映除 x 以外的其他因素对 y 取值的影响，也称为不可解释的平方和或 剩余平方和
判定系数R1.回归平方和占总误差平方和的比例之(-)SSRR2=S1SST2(yi-y)台2.反映回归直线的拟合程度3.取值范围在［0，1］之间4.R→1，说明回归方程拟合的越好；R→0，说明回归方程拟合的越差5.决定系数平方根等于相关系数估计标准误差1.实际观察值与回归估计值误差平方和的均方根2.反映实际观察值在回归直线周围的分散状况3.对误差项的标准差的估计，是在排除了x对y的线性影响后，y随机波动大小的一个估计量4.反映用估计的回归方程预测y时预测误差的大小2v-9)5.计算公式为SSE=VMSESeNn-k-ln-k-1思考题、讨论、作业、技能操作：参考资料（含参考书籍、文献、网络资料）：[1]《统计学一基于SPSS》（第3版），贾俊平编著，中国人民大学出版社，2019年4月。[2]《应用统计学》（第五版），卢冶飞编著，清华大学出版社，2022年6月。[3]《统计学原理与SPSS应用》，季丽，黄爱玲主编，立信会计出版社，2021年5月。教学后记：-6-
- 6 - 判定系数R 2 1.回归平方和占总误差平方和的比例 n i i n i i y y y y SST SSR R 1 2 1 2 2 ˆ 2.反映回归直线的拟合程度 3.取值范围在 [ 0 , 1 ] 之间 4.R 2 1，说明回归方程拟合的越好；R 20，说明回归方程拟合的越差 5.决定系数平方根等于相关系数 估计标准误差 1.实际观察值与回归估计值误差平方和的均方根 2． 反映实际观察值在回归直线周围的分散状况 3.对误差项的标准差的估计，是在排除了x对y的线性影响后，y随机波 动大小的一个估计量 4.反映用估计的回归方程预测y时预测误差的大小 5.计算公式为 MSE n k SSE n k y y s n i i i e 1 1 ˆ 1 2 思考题、讨论、作业、技能操作： 参考资料（含参考书籍、文献、网络资料）： [1]《统计学—基于 SPSS》（第 3 版），贾俊平编著，中国人民大学出版社，2019 年 4 月。 [2]《应用统计学》（第五版），卢冶飞编著，清华大学出版社，2022 年 6 月。 [3]《统计学原理与 SPSS 应用》，季丽, 黄爱玲主编，立信会计出版社，2021 年 5 月。 教学后记：
教学单元教案参考模板授课题目一元线性回归第十九次课教学时数2学时授课时间教学目的与要求：能进行模型的显著性检验。教学基本内容：1.线性关系的检验2.回归系数的检验和推断教学重点、难点：重点：线性关系的检验难点：回归系数的检验和推断教学方法：讲授法，演示法，案例分析，讨论互动，实操教学过程：补充内容9.2.4模型的显著性检验线性关系的检验1.检验自变量与因变量之间的线性关系是否显著2.将回归均方（MSR)同残差均方（MSE)加以比较，应用F检验来分析二者之间的差别是否显著回归均方：回归平方和SSR除以相应的自由度（自变量的个数k)残差均方：残差平方和SSE除以相应的自由度（n-k-1)(检验的步骤)1.提出假设 H: β=0线性关系不显著2.计算检验统计量FSSR/1MSR ~F(1, n --1)F=MSESSE/(n -k - 1)3.确定显著性水平α，并根据分子自由度1和分母自由度n-2求统计量的P值4.作出决策：若P<α，拒绝H.表明两个变量之间的线性关系显著回归系数的检验和推断1.检验X与y之间是否具有线性关系，或者说，检验自变量X对因变量的影响是否显著-7-
- 7 - 教学单元教案参考模板 授课题目 一元线性回归 教学时数 2 学时 授课时间 第十九次课 教学目的与要求： 能进行模型的显著性检验。 教学基本内容： 1. 线性关系的检验 2. 回归系数的检验和推断 教学重点、难点： 重点：线性关系的检验 难点：回归系数的检验和推断 教学方法： 讲授法，演示法，案例分析，讨论互动，实操 教学过程： 9.2.4 模型的显著性检验 线性关系的检验 1.检验自变量与因变量之间的线性关系是否显著 2.将回归均方(MSR)同残差均方(MSE)加以比较，应用F检验来分析二者之 间的差别是否显著 回归均方：回归平方和SSR除以相应的自由度(自变量的个数k) 残差均方：残差平方和SSE除以相应的自由度(n-k-1) (检验的步骤) 1.提出假设 H0： 1=0 线性关系不显著 2.计算检验统计量F ~ (1 , 1) ( 1) 1 F n k MSE MSR SSE n k SSR F 3.确定显著性水平，并根据分子自由度1和分母自由度n-2求统计量的P值 4.作出决策：若P<，拒绝H0。表明两个变量之间的线性关系显著 回归系数的检验和推断 1.检验 x 与 y 之间是否具有线性关系，或者说，检验自变量 x 对因变 量 y 的影响是否显著 补充内容
2.理论基础是回归系数β的抽样分布3.在一元线性回归中，等价于线性关系的显著性检验4.采用t检验(检验步骤）1.提出假设■H：b,=0（没有线性关系）■H：b0（有线性关系）2.计算检验的统计量_B ~ t(n - 2)tS3.确定显著性水平α，计算出统计量的P值，并做出决策■P<α，拒绝H，表明自变量是影响因变量的一个显著因素(b,和b的置信区间）1.b,在1-α置信水平下的置信区间为S.β ± ta/2(n - 2)(x, - x)2.b在1-α置信水平下的置信区间为1(x)β。±ta/2(n - 2)se1(x, - x)21=思考题、讨论、作业、技能操作：参考资料（含参考书籍、文献、网络资料）：[1]《统计学一基于SPSS》（第3版），贾俊平编著，中国人民大学出版社，2019年4月。[2】《应用统计学》（第五版），卢冶飞编著，清华大学出版社，2022年6月。[3]《统计学原理与SPSS应用》，季丽，黄爱玲主编，立信会计出版社，2021年5-8-
- 8 - 2.理论基础是回归系数 1 ˆ 的抽样分布 3.在一元线性回归中，等价于线性关系的显著性检验 4.采用t检验 (检验步骤) 1.提出假设 H0: b1 = 0 (没有线性关系) H1: b1 0 (有线性关系) 2.计算检验的统计量 ~ ( 2) ˆ 1ˆ 1 t n s t 3.确定显著性水平，计算出统计量的P值，并做出决策 P<，拒绝H0，表明自变量是影响因变量的一个显著因素 (b1和b0的置信区间) 1.b1在1- 置信水平下的置信区间为 n i i ex x s t n 1 2 1 2 ( ) ˆ ( 2) 2.b0在1- 置信水平下的置信区间为 n i i e x x x n t n s 1 2 0 2 ( ) 1 ( ) ˆ ( 2) 思考题、讨论、作业、技能操作： 参考资料（含参考书籍、文献、网络资料）： [1]《统计学—基于 SPSS》（第 3 版），贾俊平编著，中国人民大学出版社，2019 年 4 月。 [2]《应用统计学》（第五版），卢冶飞编著，清华大学出版社，2022 年 6 月。 [3]《统计学原理与 SPSS 应用》，季丽, 黄爱玲主编，立信会计出版社，2021 年 5
月。教学后记：-9-
- 9 - 月。 教学后记：
教学单元教案参考模板授课题目一元线性回归第二十次课教学时数2学时授课时间教学目的与要求：利用回归方程进行预测。教学基本内容：1．平均值的置信区间2.个别值的预测区间教学重点、难点：重点：平均值的置信区间难点：个别值的预测区间教学方法：讲授法，演示法，案例分析，讨论互动，实操教学过程：补充内容9.3利用回归方程进行预测区间估计1.对于自变量X的一个给定值Xo，根据回归方程得到因变量y的一个估计区间2.区间估计有两种类型■置信区间估计（confidenceintervalestimate）■预测区间估计（predictionintervalestimate）9.3.1平均值的置信区间平均值的置信区间1.利用估计的回归方程，对于自变量X的一个给定值品，求出因变量y的平均值的估计区间，这一估计区间称为置信区间（confidenceinterval)2.E(y）在1-α置信水平下的置信区间为+(。-xy。±tal2(n-2)s2(x, - x)is式中：S。为估计标准误差个别值的预测区间1.利用估计的回归方程，对于自变量x的一个给定值，求出因变量y- 10 -
- 10 - 教学单元教案参考模板 授课题目 一元线性回归 教学时数 2 学时 授课时间 第二十次课 教学目的与要求： 利用回归方程进行预测。 教学基本内容： 1． 平均值的置信区间 2． 个别值的预测区间 教学重点、难点： 重点：平均值的置信区间 难点：个别值的预测区间 教学方法： 讲授法，演示法，案例分析，讨论互动，实操 教学过程： 9.3 利用回归方程进行预测 区间估计 1.对于自变量 x 的一个给定值 x0，根据回归方程得到因变量 y 的一个估 计区间 2.区间估计有两种类型 置信区间估计(confidence interval estimate) 预测区间估计(prediction interval estimate) 9.3.1 平均值的置信区间 平均值的置信区间 1.利用估计的回归方程，对于自变量 x 的一个给定值 x0 ，求出因变量 y 的 平 均 值 的 估 计 区 间 ， 这 一 估 计 区 间 称 为 置 信 区 间 (confidence interval) 2.E(y0) 在1-置信水平下的置信区间为 n i i e x x x x n y t n s 1 2 2 0 0 2 1 ˆ ( 2) 式中：se为估计标准误差 个别值的预测区间 1.利用估计的回归方程，对于自变量 x 的一个给定值 x0 ，求出因变量 y 补充内容