大学文科数学 第一章微积分 1.3导数与微分
第一章 微积分 1.3 导数与微分
大学文科数学 2.3导数与微分 主要教学内容： > 导数与微分的概念，计算 > 高阶导数 隐函数的导数与微分 > 分段函数的导数 经济学函数的弹性 > 用微分作近似计算 >二元函数的导数与微分
2.3 导数与微分 主要教学内容： ➢ 导数与微分的概念，计算 ➢ 高阶导数 ➢ 隐函数的导数与微分 ➢ 分段函数的导数 ➢ 经济学函数的弹性 ➢ 用微分作近似计算 ➢ 二元函数的导数与微分
RS 大学文科数学 2.3导数与微分 导数的概念 *1.曲线的切线斜率 圆的切线：与圆相交于唯一点的直线 但对于一般曲线，切线是不能这样定义的.例如下图中右 边的曲线在P点处的切线，除P点外还交曲线于Q点。 T 圆的切线PT C 曲线C的切线PT
2.3 导数与微分 导数的概念 1.曲线的切线斜率 圆的切线：与圆相交于唯一点的直线． 但对于一般曲线, 切线是不能这样定义的．例如下图中右 边的曲线在P点处的切线,除P点外还交曲线于Q点
大学文科数学 2.3导数与微分 为确切表达切线的含义，需应用极限的思想.请看下 图 =x) P(xe.fxo)) 0 X4 X5 X6 X0 X3 X2
2.3 导数与微分 为确切表达切线的含义, 需应用极限的思想．请看下 图
大学文科数学 2.3导数与微分 点P(X0,f(xo)=P(o)是曲线y=fx)上的给定点， 点Q(x,y)=Q(X,f(x)是曲线上的动点，可在P的两 侧：在右侧时>；在左侧时 X<%·动直线PQ是曲线的割线 如果动点Q无限地逼近定点P时，动直线PQ有 一个极限位置PT,即 PT lim PQ. 09P 则称PT为曲线在P点的切线
2.3 导数与微分 点P(x0,f(x0 ))= P(x0 ,y0 )是曲线y=f(x)上的给定点, 点Q(x,y)=Q(x,f(x))是曲线上的动点, 可在P的两 侧：在右侧时x>x0；在左侧时 x <x0 ．动直线PQ 是曲线的割线． 如果动点Q 无限地逼近定点P 时, 动直线PQ 有 一个极限位置PT, 即 则称PT 为曲线在P 点的切线．
大学文科数学 2.3导数与微分 建立PT的方程，只需确定其斜率.由于PT是PQ的极限， 从而PT的斜率是PQ斜率的极限，极限过程是由Q→P产 生.而Q→P即X一%.现设PT对于x轴的倾角（即x轴正 向逆时针旋转至PT经过的角)为o,PT的斜率为k=tana 现在割线PQ的斜率为 BQ f(x)-f(x) PB x-Xo Qxx》A 则切线PT的斜率为： k=mPQ的斜南=lim)-f】 x-Xo :P/x) 由此得切线PT的方程是： y-fxo)=k(x-Xo)
建立PT 的方程, 只需确定其斜率．由于PT 是PQ 的极限, 从而PT 的斜率是PQ 斜率的极限, 极限过程是由Q→P 产 生．而Q→P 即x→x0 ．现设PT对于x 轴的倾角(即x 轴正 向逆时针旋转至PT经过的角)为α,PT的斜率为k=tanα ． 2.3 导数与微分 现在割线PQ 的斜率为 则切线PT 的斜率为： 由此得切线PT 的方程是： y −f(x0 ) = k(x −x0 )．
大学文科数学 2.3导数与微分 2.导数的定义 定义.设函数y=fx)在点x的一个邻域X内有定义，yo =f(xo).如果x∈X-{Xo},我们称△X=X-X(△读作 delta)为自变量的改变量，△y=f(x)-f(xo)为函数的（对 应)改变量，比值 坐.)-2的差商或平均变化率 . △x x-x。 如果极限 则称函数y=f(x)在点x可导 成可微，该如是- 一到 1:W在x)点关于自变量× X-X 的导数（或微商）.记作 . 因△X=X-X0,X= Xo+△x,故还有 y'(xo)=f'(xo)=lim Ay +0△x y(xo)=lim f(x。+△)-f(x) △x
2.3 导数与微分 2. 导数的定义 定义． 设函数y=f(x)在点x0的一个邻域X内有定义，y0 =f(x0 )．如果x∈X −{x0 }，我们称Δx = x−x0 ( Δ读作 delta )为自变量的改变量，Δy = f(x)−f(x0 )为函数的(对 应)改变量，比值 为函数的差商或平均变化率． 如果极限 存在，则称函数y =f(x)在点x0可导 (或可微)，该极限称为函数y=f(x)在x0 点关于自变量x 的导数(或微商)．记作 ．因Δx =x−x0， x= x0+Δx，故还有
大学文科数学 2.3导数与微分 此时，曲线y=)在点(，f(o)的切线方程是 y-fx。)=f(x)(x-xo y=fx) △y p(xofxo)) 0 米 注.△x可正可负，依x大于或小于X,而定
此时，曲线y =f(x) 在点(x0，f (x0 ) )的切线方程是 注. Δx 可正可负，依x 大于或小于x0 而定． 2.3 导数与微分 ( )( ) ' 0 0 0 y f f x − = − ( ) x x x
大学文科数学 2.3导数与微分 根据定义求已知函数y=f(x)在给定点xo的导数的 步骤是： 米 1.计算函数在自变量Xo+△x处的函数值f(xo+△x); 米 2.计算函数的对应改变量△y=f(xo+△x)-f(xo)； *3.写出函数的差商 米 4,计算极限，即导数是=+2 △ y'(x,)=1im Ay lim f(x+△)-f() 0 Ax r △
2.3 导数与微分 根据定义求已知函数y = f(x) 在给定点x0 的导数的 步骤是： 1.计算函数在自变量x0 +Δx 处的函数值 f(x0+Δx)； 2.计算函数的对应改变量Δy=f(x0+Δx)−f(x0 )； 3.写出函数的差商 4.计算极限，即导数值
大学文科数学 2.3导数与微分 例2.3.1求常数函数y=c的导数 解.因△y=yx+△X)-y()=C-c=0, 差商 =0,故y'()= Ay △ 4红50 了 此处x可为任意实数，即常数函数y=C在任 意点x处的导数为0
2.3 导数与微分 例2.3.1 求常数函数y = c 的导数． 解． 因Δy = y(x+Δx)−y(x)=c −c =0， 差商 此处x 可为任意实数，即常数函数y＝ｃ在任 意点x 处的导数为0