《电工基础》 第十三章瞬态过程 1.瞬态过程和换路定律 2.三要素法确定RC和RL电路的瞬态过程表达式 学重点 确定三要素。 教学准点 匚序号内。容学时 1第一节换路定律 第二节RC电路的瞬态过程 第三节RL电路的瞬态过程 4第四节一阶电路的三要素法 5本章小结及习题 6本章总学时 第一节瞬态过程的基本概念 、瞬态过程 1.瞬态过程 瞬态过程又叫做过渡过程。如图13-1所示的RC直流电路,当开关S闭合时,电源E 通过电阻R对电容器C进行充电,电容器两端的电压由零逐渐上升到E,只要保持电路状 态不变,电容器两端的电压E就保持不变。电容器的这种充电过程就是一个瞬态过程 2.电路产生瞬态过程的原因 由上可知,电路产生瞬态过程的原因是 (1)电路中必须含有储能元件(电感或电容) (2)电路状态的改变或电路参数的变化。电路的这些变化称图131电路的过渡过程 为换路 二、换路定律
《电工基础》 124 第十三章 瞬态过程 序号 内 容 学时 1 第一节 换路定律 2 2 第二节 RC 电路的瞬态过程 1 3 第三节 RL 电路的瞬态过程 1 4 第四节 一阶电路的三要素法 2 5 本章小结及习题 2 6 本章总学时 8 第一节 瞬态过程的基本概念 一、瞬态过程 1．瞬态过程 瞬态过程又叫做过渡过程。如图 13-1 所示的 RC 直流电路，当开关 S 闭合时，电源 E 通过电阻 R 对电容器 C 进行充电，电容器两端的电压由零逐渐上升到 E，只要保持电路状 态不变，电容器两端的电压 E 就保持不变。电容器的这种充电过程就是一个瞬态过程。 2．电路产生瞬态过程的原因 由上可知，电路产生瞬态过程的原因是： (1) 电路中必须含有储能元件(电感或电容)。 (2) 电路状态的改变或电路参数的变化。电路的这些变化称 为换路。 二、换路定律 1．瞬态过程和换路定律。 2．三要素法确定 RC 和 RL 电路的瞬态过程表达式。 确定三要素。 图 13-1 电路的过渡过程
《电工基础》 换路使电路的能量发生变化,但不跳变。电容所储存的电场能量为Cue,电场能量 不能跳变反映在电容器上的电压κc不能跳变。电感元件所储存的磁场能量为,磁场 2 能量不能跳变反映在通过电感线圈中的电流ⅱ不能跳变。 设【=0为换路瞬间,则以=0表示换路前一瞬间,t=0-表示换路后一瞬间,换路 的时间间隔为零。从t=0到t=04瞬间,电容元件上的电压和电感元件中的电流不能跃 变,这称为换路定律 用公式表示为 C(0-)=c(04) i(0+)=i(0) 三、电压、电流初始值的计算 电路瞬态过程初始值的计算按下面步骤进行: 1.根据换路前的电路求出换路前瞬间,即t=0-时的u(0-)和i(0-)值 2.根据换路定律求出换路后瞬间,即【=0+时的u(0-)和i(0-)值; 3.根据基尔霍夫定律求电路其他电压和电流在t=0+时的值(把u(0-)等效为电压源 i(0-)等效为电流源) 【例131】如图13-2所示的电路中,已知E=12V R1=3k2,R2=6kQ,开关S闭合前,电容两端电压为零 求开关S闭合后各元件电压和各支路电流的初始值。 解:选定有关电流和电压的参考方向,如图13-2所示,S闭合前 开关闭合后根据换路定律 R: 在t=0+时刻,应用基尔霍夫定律,有 lR(0+)=E=12V lg2(0+)+lC(0+)=E 2(0+)=12v 图13-2例13-1图 所以 R13×1034≈4mA c(0,)=2(04) R2 A=2 6×10 (04)=lc(0+)+1(0)=6mA 【例132】如图13-3所示电路中,已知电源电动势E =100V,R1=10Ω,R=15g,开关S闭合前电路处于稳 态,求开关闭合后各电流及电感上电压的初始值 解:选定有关电流和电压的参考方向,如图13-3所示 闭合前,电路处于稳态,电感相当于短路,则
《电工基础》 125 换路使电路的能量发生变化，但不跳变。电容所储存的电场能量为 2 2 1 CuC ，电场能量 不能跳变反映在电容器上的电压 uC 不能跳变。电感元件所储存的磁场能量为 2 2 1 LiL ，磁场 能量不能跳变反映在通过电感线圈中的电流 iL不能跳变。 设 t = 0 为换路瞬间，则以 t = 0– 表示换路前一瞬间，t = 0+ 表示换路后一瞬间，换路 的时间间隔为零。从 t = 0– 到 t = 0+ 瞬间，电容元件上的电压和电感元件中的电流不能跃 变，这称为换路定律。 用公式表示为 uC(0–) = uC(0+) iL(0+) = iL(0–) 三、电压、电流初始值的计算 电路瞬态过程初始值的计算按下面步骤进行： 1． 根据换路前的电路求出换路前瞬间，即 t = 0– 时的 uC(0–)和 iL(0–)值； 2． 根据换路定律求出换路后瞬间，即 t = 0+ 时的 uC(0+)和 iL(0+)值； 3． 根据基尔霍夫定律求电路其他电压和电流在t = 0+ 时的值(把uC(0+)等效为电压源， iL(0+)等效为电流源)。 解：选定有关电流和电压的参考方向，如图 13-2 所示，S 闭合前 uC(0–) = 0 开关闭合后根据换路定律 uC(0+) = uC(0−) = 0 在 t = 0+ 时刻，应用基尔霍夫定律，有 uR1(0+) = E = 12V uR2(0+) + uC(0+) = E uR2(0+) = 12V 所以 A 4 mA 3 10 (0 ) 12 (0 ) 3 1 1 1 = = = + + R u i R A 2 mA 6 10 (0 ) 12 (0 ) 3 2 2 = = = + + R u i R C 则 i(0+ ) = iC (0+ ) + i1 (0+ ) = 6 mA 解：选定有关电流和电压的参考方向，如图 13-3 所示。 闭合前，电路处于稳态，电感相当于短路，则 【例 13-1】如图 13-2 所示的电路中，已知 E = 12 V， R1 = 3 k，R2 = 6 k，开关 S 闭合前，电容两端电压为零， 求开关 S 闭合后各元件电压和各支路电流的初始值。 【例 13-2】如图 13-3 所示电路中，已知电源电动势 E = 100 V，R1 = 10 ，R2 = 15 ，开关 S 闭合前电路处于稳 态，求开关闭合后各电流及电感上电压的初始值。 图 13-2 例 13-1 图
《电工基础》 R1+R210+15 S闭合后,R2被短接,根据换路定律,有 i(0+)=i(0)=4A 在0时刻,应用基尔霍夫定律有 图13-3例13-2图 i(0+)=12(0+)+3(0+) R1i(0+)+a(0+)=E 所以 i3(0+)=i(0+)=4A l(0)=E-R1i(0+)=(100-10×4)V=60V 第二节RC电路的瞬态过程 、RC电路的充电 如图13-4中,开关S刚合上时,由于lC(0)=0,所以uc(0+)=0,u(0-+)=E,该瞬间 电路中的电流为 E 电路中电流开始对电容器充电,lC逐渐上升充电电流i逐渐减小,R也逐渐减小。当 趋近于E,充电电流i趋近于0,充电过程基本结束。理论和实践证明,RC电路的充电 电流按指数规律变化 其数学表达式为 R u =iR= Ee Rc u=E-uR =E(1-e RC)=E(I-e r) 式中r=RC称为时间常数,单位是秒(s),它反映电容器的充电速率。r越大,充电过程 越慢。当t=(3~5)x时,uc为(0.95~0.99)E,认为充电过程结束。 uc和i的函数曲线如图13-5所示 图134RC电路 图13-5tC、i随时间变化曲线 126
《电工基础》 126 4 A 10 15 100 (0 ) 1 2 1 = + = + − = R R E i S 闭合后，R2 被短接，根据换路定律，有 i2(0+) = 0 iL(0+) = iL(0–) = 4A 在 0+ 时刻，应用基尔霍夫定律有 iL(0+) = i2(0+) + i3(0+) R1iL(0+) + uL(0+) = E 所以 i3(0+) = iL(0+) = 4A uL(0+) = E – R1iL(0+) = (100 – 10 4) V = 60 V 第二节 RC 电路的瞬态过程 一、RC 电路的充电 如图 13-4 中，开关 S 刚合上时，由于 uC(0−) = 0，所以 uC(0+) = 0，uR(0+) = E，该瞬间 电路中的电流为 R E i(0+ ) = 电路中电流开始对电容器充电，uC逐渐上升充电电流 i 逐渐减小，uR 也逐渐减小。当 uC趋近于 E，充电电流 i 趋近于 0，充电过程基本结束。理论和实践证明，RC 电路的充电 电流按指数规律变化。 其数学表达式为 RC t R E i − = e 则 RC t uR iR E − = = e (1 e ) (1 e ) t RC t uc E uR E E − − = − = − = − 式中 = RC 称为时间常数，单位是秒(s)，它反映电容器的充电速率。 越大，充电过程 越慢。当 t = (3 ~ 5) 时，uC为(0.95 ~ 0.99)E，认为充电过程结束。 uC和 i 的函数曲线如图 13-5 所示。 图 13-3 例 13-2 图 图 13-4 RC 电路 图 13-5 uC、、i 随时间变化曲线
《电工基础》 【例133】在图13-4所示的电路中,已知E=100V R=1MQ,C=50山F。问:当闭合后经过多少时间电流减 小到其初始值的一半。 解:r=RC=50 则 e RC 100e SOHA 0)的一半为E×05=1005=50A R 0=100×e e50=0.5 图13-6电容通过电阻放电电路 查指数函数表,=0693 t=50×0.693≈34.7s 二、RC电路的放电 如图13-6所示,电容器充电至C=E后,将S扳到2,电 容器通过电阻R放电。电路中的电流及都按指数规律变化,其 数学表达式为 图13-7电容放电时C,I 变化曲线 r=RC是放电的时间常数 Lc和i的函数曲线如图13-7所示。 【例134】图13-8所示电路中,已知C=0.5μF,R1=100 Q,R2=50kg,E=200V当电容器充电至200V,将开关S 图由接点1转向接点2,求初始电流、时间常数以及接通后经多 长时间电容器电压降至74V? 解:(0,)=4(0)200 =4×10A r=R2C=50×103×0.5×10-6s=25ms 0.37 C )200 求得t/r=1 图13-8例13-4图 25 ms
《电工基础》 127 解： =RC = 50 s 则 = e =100e 50A − − t RC t R E i i(0+)的一半为 0.5 =1000.5 = 50 A R E 50 50 100 e t − = 即 e 0.5 50 = − t 查指数函数表， 0.693 50 = t t = 50 0.693 34.7 s 二、RC 电路的放电 如图 13-6 所示，电容器充电至 uC =E 后，将 S 扳到 2，电 容器通过电阻 R 放电。电路中的电流及都按指数规律变化，其 数学表达式为 t C t R t u Ee u Ee e R E i − − − = = − = − =RC 是放电的时间常数。 uC和 i 的函数曲线如图 13-7 所示。 解： 4 10 A 50 10 (0 ) 200 (0 ) 3 3 2 + − + = = = R u i C = R2C = 50 103 0.5 10−6 s = 25 ms 0.37 200 74 (0 ) = = = + − C C t u u e 求得 t/ = 1 t = = 25 ms 【例 13-3】在图 13-4 所示的电路中，已知 E = 100 V， R = 1 M，C = 50 F。问：当闭合后经过多少时间电流减 小到其初始值的一半。 图 13-6 电容通过电阻放电电路 图 13-7 电容放电时 uC ，I 变化曲线 【例 13-4】图 13-8 所示电路中，已知 C = 0.5 F，R1 = 100 ，R2 = 50 k，E = 200 V 当电容器充电至 200 V，将开关 S 由接点 1 转向接点 2，求初始电流、时间常数以及接通后经多 长时间电容器电压降至 74 V？ 图 13-8 例 13-4 图
《电工基础》 第三节RL电路的瞬态过程 、RL电路接通电源 在图13-9所示的RL串联电路中,S刚闭合时电路的方程为 E Ri+L i、lR、u变化的数学表达式为 E E i=(1-e)=2(1-er) E 所以 ur=E(-e R)=e(l-e r 图13-9RL电路接通电源 式中,r=2称为RL电路的时间常数,单位为秒(s),意义和RC电路的时间常数r相同 i、lR和u随时间变化的曲线如图13-10所示。 13-10RL电路接通电源时,电流、电压曲线 二、RL电路切断电源 在图13-11所示的电路中,S闭合稳定后,断开S的等效电路如图13-12所示。 Rw L 图13-11RL电路 图13-12RL电路切断电源的等效电路 i,uR,u的数学表达式为 i=i2(0,)e Ri2(0+)=Ee
《电工基础》 128 第三节 RL 电路的瞬态过程 一、RL 电路接通电源 在图 13-9 所示的 RL 串联电路中，S 刚闭合时电路的方程为 E t i Ri L uR uL E = + + = i 、uR、uL变化的数学表达式为 (1 e ) (1 e ) t t R L R E R E i − − = − = − 所以 (1 e ) (1 e ) t t R L uR E E − − = − = − t t R L uL E E − − = e = e 式中， R L = 称为 RL 电路的时间常数，单位为秒(s)，意义和 RC 电路的时间常数 相同。 i、uR 和 uL随时间变化的曲线如图 13-10 所示。 二、RL 电路切断电源 在图 13-11 所示的电路中，S 闭合稳定后，断开 S 的等效电路如图 13-12 所示。 i ，uR ，uL的数学表达式为 t R L L t L u u Ri E i i − + − + = = = = (0 ) e (0 )e 图 13-10 RL 电路接通电源时，电流、电压曲线 图 13-11 RL 电路 图 13-12 RL 电路切断电源的等效电路 图 13-9 RL 电路接通电源
《电工基础》 式中 E i2(0+) R 是开关断开瞬时电感线圈中的初始电流 【例135】图13-13中,K是电阻为R=2509,电感L= 参)25H的继电器,R=209,电源电动势E=24V。设这种继 题 电器的释放电流为0.004A 问:当S闭合后多少时间继电器开始释放? 解:S未闭合前,继电器中电流为 4(0)=E 0.05A R1+R230+250 S闭合后,继电器所在回路的时间常数为 L R250 图13-13例13-5图 继电器所在回路的电流为 i=i2(0+)er=005A 当i等于释放电流时,继电器开始释放,即 0.004=005e-0 解得 t≈0.25s 即S闭合后025s,继电器开始释放 第四节一阶电路的三要素法 阶电路是指含有一个储能元件的电路。一阶电路的瞬态过程是电路变量有初始值按 指数规律趋向新的稳态值,趋向新稳态值的速度与时间常数有关。其瞬态过程的通式为 f(1)=f(∞)+[f(0)-f(∞)ler 式中 f(0-)——瞬态变量的初始值 瞬态变量的稳态值: 电路的时间常数。 可见,只要求出∫(0-)、f(∞)和r就可写出瞬态过程的表达式。 把f(0-)、f(∞)和r称为三要素,这种方法称三要素法 如RC串联电路的电容充电过程,c(0+)=0,()=E,r=RC,则 l(t)=lc(∞)+[u(0+)-uc(∞)er 结果与理论推导的完全相同,关键是三要素的计算。 ∫(0-)由换路定律求得,f(∞)是电容相当于开路,电感相当于短路时求得的新稳态值
《电工基础》 129 式中 1 (0 ) R E iL + = 是开关断开瞬时电感线圈中的初始电流。 解：S 未闭合前，继电器中电流为 0.05 A 230 250 24 (0 ) 1 = + = + − = R R E iL S 闭合后，继电器所在回路的时间常数为 0.1 s 250 25 = = = R L 继电器所在回路的电流为： (0 ) 0.05e A 1 0t t L L i i e − − = + = 当 iL等于释放电流时，继电器开始释放，即 10t 0.004 0.05e − = 解得 t 0.25 s 即 S 闭合后 0.25 s，继电器开始释放。 第四节 一阶电路的三要素法 一阶电路是指含有一个储能元件的电路。一阶电路的瞬态过程是电路变量有初始值按 指数规律趋向新的稳态值，趋向新稳态值的速度与时间常数有关。其瞬态过程的通式为 f (t) = f (∞) + [ f (0+) – f (∞)] t − e 式中： f (0+) —— 瞬态变量的初始值； f (∞) —— 瞬态变量的稳态值； —— 电路的时间常数。 可见，只要求出 f (0+)、f (∞)和 就可写出瞬态过程的表达式。 把 f (0+)、f (∞)和 称为三要素，这种方法称三要素法。 如 RC 串联电路的电容充电过程，uC(0+) = 0， uC(∞) = E， = RC，则 uC(t)= uC(∞)+[ uC(0+) − uC (∞)] t − e 结果与理论推导的完全相同，关键是三要素的计算。 f (0+)由换路定律求得，f (∞)是电容相当于开路，电感相当于短路时求得的新稳态值。 【例 13-5】图 13-13 中，K 是电阻为 R = 250 ，电感 L = 25 H 的继电器，R1 = 230 ，电源电动势 E = 24 V。设这种继 电器的释放电流为 0.004 A。 问：当 S 闭合后多少时间继电器开始释放？ 图 13-13 例 13-5 图
《电工基础》 r=RC或r=R,R为换路后从储能元件两端看进去的电阻 【例13-6】如图13-14所示的电路中,已知E=6V,R1=10 kΩ,R2=20kQ,C=30,开关S闭合前,电容两端电压为 题零。求:S闭合后电容元件上的电压比? 解: n(x=.(x)=RE=10×6=2v R1+R210+20 等效电阻R=RB2=10×20=20 R1+R210+203 30 则通解为uc=[2+(0-2)e02]=2-2eV 图13-14例13-7图 【例13-7】图13-15所示电路中,已知E=20V,R1=2kg, 多)R2=3k92,L=4mH。S闭合前,电路处于稳态,求开关闭合 图后,电路中的电流。 解:(1)确定初始值: i2(0) E20 4 mA R,+R2+3 0+)=i(0-)=4mA (2)确定稳态值 图13-15例13-7图 E20 i2(∞) A=10 mA R12×103 3)确定时间常数 R=RI=2 kQ2 L4×10 =2×10 则通解为 12=(10(4-10e230°1=(10-6e5)mA
《电工基础》 130 = RC 或 R L = ，R 为换路后从储能元件两端看进去的电阻。 解：uC(0+) = uC (0−) = 0 uC(∞)= 2 V 10 20 10 6 ( ) 1 2 1 = + = + = R R R E uC 等效电阻 = + = + = k 3 20 10 20 10 20 1 2 1 2 R R R R R 10 30 10 0.2 s 3 20 3 6 = = = − RC 则通解为 [2 (0 2)e ] 2 2e V 0.2 5t t uC − − = + − = − 解：(1) 确定初始值： 4 mA 2 3 20 (0 ) 1 2 = + = + − = R R E iL iC(0+) = iL(0–) = 4 mA (2) 确定稳态值 A 10 mA 2 10 20 ( ) 3 1 = = = R E iL (3) 确定时间常数 R = R1 = 2 k 2 10 s 2 s 2 10 4 10 6 3 3 = = = = − − R L 则通解为 [10 (4 10) ] (10 6 ) mA 6 6 2 1 0 5 1 0 t t L i e e − − = + − = − − 【例 13-6】如图13-14 所示的电路中，已知 E = 6 V，R1 = 10 k，R2 = 20 k，C = 30 F，开关 S 闭合前，电容两端电压为 零。求：S 闭合后电容元件上的电压比? 图 13-14 例 13-7 图 图 13-15 例 13-7 图 【例 13-7】图 13-15 所示电路中，已知 E = 20 V，R1 = 2 k， R2 = 3 k，L = 4 mH。S 闭合前，电路处于稳态，求开关闭合 后，电路中的电流
《电工基础》 本章小结 在具有储能元件的电路中,换路后电路由一种稳态到另一种稳态的过程为过渡过 、换路时电容两端的电压和电感中的电流不能突变即 (0)=lc(0+) 称为换路定律 阶电路的三要素是初试值∫(0-),稳态值∫(∞)和时间常数z,由三要素法可以很 方便地写出一阶电路的瞬态过程的表达式 f(D)=f(∞)+[f(0+)-f(∞)er
《电工基础》 131 本 章 小 结 一、在具有储能元件的电路中，换路后电路由一种稳态到另一种稳态的过程为过渡过 程。 二、换路时电容两端的电压和电感中的电流不能突变即 uC(0–) = uC(0+) iL(0+) = iL(0–) 称为换路定律。 三、一阶电路的三要素是初试值 f (0+)，稳态值 f (∞)和时间常数 ，由三要素法可以很 方便地写出一阶电路的瞬态过程的表达式。 f (t)= f (∞) + [ f (0+) – f (∞)] t − e
