《电工基础》 第九章相量法 1.了解复数的各种表达式和相互转换关系,掌握复数 的四则运算 2.掌握正弦量的复数表示法,以及复数(相量)形式的 欧姆定律 学重点 3.掌握运用相量法分析计算阻抗串、并联的正弦交流 电路。 1.掌握复数的四则运算以及各种表达式之间的相互转 换 教学進点 2.掌握运用相量法分析计算正弦交流电路。 序号 内 容 1第一节复数的概念 2第二节复数的四则运算 3第三节正弦量的复数表示法 4第四节复数形式的欧姆定律2 学时月配 5|第五节复阻抗的连接 6本章小结与习题 7本章总学时 第一节复数的概念 虚数单位 参见图9-1给出的直角坐标系复数平面。在这个 3 复数平面上定义虚数单位为 虚数单位j又叫做90°旋转因子 图9-1在复平面上表示复数
《电工基础》 91 第九章 相量法 第一节 复数的概念 一、虚数单位 参见图 9-1 给出的直角坐标系复数平面。在这个 复数平面上定义虚数单位为 j = −1 即 j 2 = −1，j 3 = − j，j 4 = 1 虚数单位 j 又叫做 90旋转因子。 序号 内 容 学 时 1 第一节 复数的概念 1 2 第二节 复数的四则运算 1 3 第三节 正弦量的复数表示法 1 4 第四节 复数形式的欧姆定律 2 5 第五节 复阻抗的连接 2 6 本章小结与习题 1 7 本章总学时 8 图 9-1 在复平面上表示复数 1．了解复数的各种表达式和相互转换关系，掌握复数 的四则运算。 2．掌握正弦量的复数表示法，以及复数(相量)形式的 欧姆定律。 3．掌握运用相量法分析计算阻抗串、并联的正弦交流 电路。 1．掌握复数的四则运算以及各种表达式之间的相互转 换。 2．掌握运用相量法分析计算正弦交流电路
《电工基础》 二、复数的表达式 个复数Z有以下四种表达式 1.直角坐标式代数式) Z=a+jb 式中,a叫做复数Z的实部,b叫做复数z的虚部 在直角坐标系中,以横坐标为实数轴,纵坐标为虚数轴,这样构成的平面叫做复平面 任意一个复数都可以在复平面上表示出来。例如复数A=3+j2在复平面上的表示如图9-1 所 2.三角函数式 在图9-1中,复数Z与x轴的夹角为B,因此可以写成 Z=a+jb=|Zl(cos0+jsing 式中Z叫做复数Z的模,又称为Z的绝对值,也可用r表示,即 r=Z 叫作复数z的辐角,从图91中可以看出 6={兀- arctan (a0) π+arct (a<0,b<0) 复数Z的实部a、虚部b与模|Z|构成一个直角三角形 3.指数式 利用欧拉公式,可以把三角函数式的复数改写成指数式,即 Z=IZl(cos0+ ising=lzleje 4.极坐标式相量式) 复数的指数式还可以改写成极坐标式,即 Z=Iz/e 以上这四种表达式是可以相互转换的,即可以从任一个式子导出其它三种式子 【例9-1】将下列复数改写成极坐标式 (1)Z=2;(2)=j5;(3)Z3=-19;(4)24=-10;(5)Z5= 题 3+y4;(6)Z6=8-j6;(7)z7=-6+j8;(8)z8=-8-j6
《电工基础》 92 二、复数的表达式 一个复数 Z 有以下四种表达式。 1．直角坐标式(代数式) Z = a + jb 式中，a 叫做复数 Z 的实部，b 叫做复数 Z 的虚部。 在直角坐标系中，以横坐标为实数轴，纵坐标为虚数轴，这样构成的平面叫做复平面。 任意一个复数都可以在复平面上表示出来。例如复数 A = 3 + j2 在复平面上的表示如图 9-1 所示。 2．三角函数式 在图 9-1 中，复数 Z 与 x 轴的夹角为 ，因此可以写成 Z = a + jb = |Z|(cos + jsin) 式中|Z|叫做复数 Z 的模，又称为 Z 的绝对值，也可用 r 表示，即 2 2 r =| Z|= a +b 叫作复数 Z 的辐角，从图 9-1 中可以看出 − + − = arctan ( 0 0) arctan ( 0 0) arctan ( 0) a b a b a b a b a a b ， ， 复数 Z 的实部 a、虚部 b 与模|Z|构成一个直角三角形。 3．指数式 利用欧拉公式，可以把三角函数式的复数改写成指数式，即 Z =|Z|(cos + jsin) =|Z|e j 4．极坐标式(相量式) 复数的指数式还可以改写成极坐标式，即 Z =|Z|/ 以上这四种表达式是可以相互转换的，即可以从任一个式子导出其它三种式子。 【例 9-1】将下列复数改写成极坐标式： (1) Z1 = 2；(2) Z2 = j5；(3) Z 3 = −j9；(4) Z4 = −10；(5) Z 5 = 3 + j4；(6) Z6 = 8 − j6；(7) Z7 = − 6 + j8；(8) Z8 = − 8 − j6
《电工基础》 解:利用关系式Z=a+的=z2,|z1=a2+b2,= arctan,计算如下: (1)Z1=2=2A0 (2)22=j5=5290(代表909旋转因子,即将“5”作反时针旋转90°) (3)23=-j9=9∠90°(一j代表-90°旋转因子,即将“9”作顺时针旋转90°) (4)Z=-10=10809或10∠180°(“-”号代表±180°) (5)25=3+14=5△531° (6)Z6=8-j6=10∠369° (7)z=-6+j8=-(6-j8)=-(10∠5319)=10280°-531°=1041269° (8)Z8=-8-j6=-(8+j6)=-(10269°)=10∠180°+369°=10∠1431° 【例92】将下列复数改写成代数式(直角坐标式 (1)Z1=20△31°;(2)Z=10∠369°;(3)Z3=50120 (4)Z4=8/120° l题 解:利用关系式Z=|z1=|2(cose+jsnb=a+jb计算: n53.19)=20(06+j0.8) (2)z2=10∠369=10cos369°-jsin36.9°)=100.8-06)=8-j6 (3)3=502120°=50(c0s120°+jsin209)=50(-0.5+0.866)=-25+j433 (4)Z4=8∠120。=8(cos120°- jail20°)=8(-0.5-j0.866)=-4-j6928 第二节复数的四则运算 设2=a+j=|a,Z2=c+jd=|z2|B,复数的运算规则为 1.加减法 z1±z2=(a±c)+j(b±d) 2.乘法 z1z2=|z1|:|z2|∠a+B 3.除法 Z2 Z2 B 4.乘方 【例93】已知z1=8-j6,z2=3+j4。试求:(1)Z1+ z2;(2)z1-z2;(3)z1·Z2:(4)Z1/22 解:(1)Z1+22=(8-j6)+(3+j4)=11-j2=11.18∠103° (2)Z1-22=(8-6)-(3+14)=5-j10=118634° (3)21·Z2=(10∠369°)×(5△5319)=50162°
《电工基础》 93 解：利用关系式 Z = a + jb =|Z|/ ，|Z|= 2 2 a + b ， = arctan a b ，计算如下： (1) Z1= 2 = 2/0 (2) Z2 = j5 = 5/90 (j 代表 90旋转因子，即将“5”作反时针旋转 90) (3) Z3 = − j9 = 9/−90 (－j 代表－90旋转因子，即将“9”作顺时针旋转 90) (4) Z4= −10 = 10/180或 10/−180 (“−”号代表 180) (5) Z5 = 3 + j4 = 5/53.1 (6) Z6 = 8 − j6 = 10/−36.9 (7) Z7 = − 6 + j8 = − (6 − j8) = −(10/− 53.1) = 10/180− 53.1 = 10/126.9 (8) Z8 = − 8 − j6 = − (8 + j6) = − (10/36.9) = 10/−180 + 36.9 = 10/−143.1。 解：利用关系式 Z = |Z|/ =|Z|(cos + jsin) = a + jb 计算： (1) Z1= 20/53.1 = 20(cos53.1 + jsin53.1) = 20(0.6 + j0.8) = 12 + j16 (2) Z2 = 10/−36.9 = 10(cos36.9 − jsin36.9) = 10(0.8 −j0.6) = 8 − j6 (3) Z3 = 50/120 = 50(cos120 + jsin120) = 50(− 0.5 + j0.866) = − 25 + j43.3 (4) Z4 = 8/− 120 = 8(cos120 − jsin120) = 8(− 0.5 − j0.866) = − 4 − j6.928 第二节 复数的四则运算 设 Z1= a + jb =|Z1|/ ，Z2 = c + jd = |Z2|/ ，复数的运算规则为 1．加减法 Z1 Z2 = (a c) + j(b d) 2．乘法 Z1 ·Z2 = |Z1| ·|Z2|/ + 3．除法 2 1 2 1 Z Z Z Z = / − 4．乘方 n n Z1 = Z1 /n 解：(1) Z1 + Z2 = (8 − j6) + (3 + j4) = 11 − j2 = 11.18/−10.3 (2) Z1 − Z2 = (8 − j6) − (3 + j4) = 5 − j10 = 11.18/− 63.4 (3) Z1 ·Z2 = (10/− 36.9) (5/53.1) = 50/16.2 【例 9-2】将下列复数改写成代数式(直角坐标式)： (1) Z1= 20/53.1；(2) Z2 = 10/− 36.9；(3) Z3 = 50/120； (4) Z4 = 8/− 120。 【例 9-3】已知 Z1= 8 − j6， Z2 = 3 + j4。试求：(1) Z1 + Z2；(2) Z1 − Z2；(3) Z1 ·Z2；(4) Z1 / Z2
《电工基础》 (4)Z1/Z2=(1023699)÷(52531°)=2∠90° 第三节正弦量的复数表示法 正弦量可以用复数表示,即可用振幅相量或有效值相量表示,但通常用有效值相量表 示。其表示方法是用正弦量的有效值作为复数相量的模、用初相角作为复数相量的辐角。 正弦电流i=/sin(ot+a)的相量表达式为 正弦电压u=Usin(t+an)的相量表达式为 U 【例94】把正弦量u=31lsin(314t+309)V 424sin(3141-45°)A用相量表示。 刚题 解:(1)正弦电压u的有效值为U=07071×311=220V,初相a=30°,所以它的相 量为 (2)正弦电流i的有效值为I=0.7071×4.24=3A,初相q=-45°,所以它的相量为 3-45°A 【例9-5】把下列正弦相量用三角函数的瞬时值表 达式表示,设角频率均为O: (1)U=120∠37°V:(2)I=5∠260°A。 解:u=120√2snon-37)V,i=5√2sin(o1+60°)A 【例9.6】己知i=3√2sin(o+30°)A 解:首先用复数相量表示正弦量i、i,即 1=3230°A=3(c0s30°+in30)=2.598+j1.5A 12=4∠60°A=4(c060°-jsin609)=2-j3464A 然后作复数加法:1+l2=4598-1.964=5∠2319A
《电工基础》 94 (4) Z1 / Z2 = (10/− 36.9) (5/53.1) = 2/− 90 第三节 正弦量的复数表示法 正弦量可以用复数表示，即可用振幅相量或有效值相量表示，但通常用有效值相量表 示。其表示方法是用正弦量的有效值作为复数相量的模、用初相角作为复数相量的辐角。 正弦电流 i = Imsin(t + i)的相量表达式为 = = i I I m j e 2 I/i 正弦电压 u = Umsin( t + u)的相量表达式为 U U i m j e 2 = = U/u 解：(1) 正弦电压 u 的有效值为 U = 0.7071 311 = 220 V，初相 u = 30，所以它的相 量为 U = U/u = 220/30 V (2) 正弦电流 i 的有效值为 I = 0.7071 4.24 = 3 A，初相i = −45，所以它的相量为 I=I/i = 3/−45 A 解: u =120 2 sin(t − 37) V，i = 5 2 sin(t + 60) A 。 解: 首先用复数相量表示正弦量 i1、i2，即 I 1 = 3/30 A = 3(cos30 + jsin30) = 2.598 + j1.5 A I 2 = 4/−60 A = 4(cos60 − jsin60) = 2 − j3.464 A 然后作复数加法： I 1 + I 2 = 4.598 − j1.964 = 5/−23.1 A 【例 9-4】把正弦量 u = 311sin(314t + 30) V， i = 4.24sin(314t − 45) A 用相量表示。 【例 9-5】 把下列正弦相量用三角函数的瞬时值表 达式表示，设角频率均为： (1) U = 120/−37 V ； (2) I = 5/60 A 。 【例 9-6】已知 i1 = 3 2 sin(t + 30) A， i2 = 4 2 sin(t − 60) A。 试求：i1 + i2
《电工基础》 最后将结果还原成正弦量:i+2=52snot-23.1)A 第四节复数形式的欧姆定律 复数形式的欧姆定律 定义复阻抗为 z==|z 其中=为阻抗大小,=-9为阻抗角,即电压n与电流的相位差。则复数形式 的欧姆定律为 U 或 U=ZI 图92所示为复数形式的欧姆定律的示意图。 二、电阻、电感和电容的复阻抗 电阻R的复阻抗 图92复数形式的欧姆定律 ZR=R=R/0° U。=R 2.电感L的复阻抗 Z=X∠90°=X=joL UL=ZLIL=XLLL=JOLIL 3.电容C的复阻抗 Zc=Xc∠90°=-jx Uc=tdlc=-krdle 第五节复阻抗的连接 、阻抗的串联 如图9-3所示阻抗串联电路 n个复阻抗串联可以等效成一个复阻抗 。2 Z=Z1+Z2+……+Zn 例如R-L-C串联电路可以等效一只阻抗Z,根据ZR=R i, 图9-3阻抗串联电路
《电工基础》 95 最后将结果还原成正弦量：i1 + i2 = 5 2 sin(t − 23.1) A 第四节 复数形式的欧姆定律 一、复数形式的欧姆定律 定义复阻抗为 = = I U Z |Z|/ 其中 I U Z = 为阻抗大小， = u − i 为阻抗角，即电压 u 与电流 i 的相位差。则复数形式 的欧姆定律为 U ZI Z U I = 或 = 图 9-2 所示为复数形式的欧姆定律的示意图。 二、电阻、电感和电容的复阻抗 1．电阻 R 的复阻抗 ZR = R = R/ 0 R R U RI = 2．电感 L 的复阻抗 ZL = XL/ 90 = jXL = jL L L L L L L U Z I X I LI = = j = j 3．电容 C 的复阻抗 ZC = XC/−90 = −j XC = C 1 − j C C C C C C I C U Z I X I 1 = = −j = −j 第五节 复阻抗的连接 一、阻抗的串联 如图 9-3 所示阻抗串联电路。 n 个复阻抗串联可以等效成一个复阻抗 Z = Z1 + Z2 + … + Zn 例如 R-L-C 串联电路可以等效一只阻抗 Z，根据 ZR = R， ZL = jXL，ZC = −jXC，则 图 9-3 阻抗串联电路 图 9-2 复数形式的欧姆定律
《电工基础》 Z=ZR+ZL+Zc=R+j(X,-Xo=R+jOL R+jX=ze 其中电抗X=X-Xc,阻抗大小为 φ为阻抗角,代表路端电压u与电流i的相位差,即 X 【例97】在R-L串联电路中,已知:R=3g L=127mH,设外加工频电压u=220√2sin(314+30)V。 而题 试求:电阻和电感上的电压瞬时值u、。 解:等效复阻抗Z=ZR+Z=R+ⅸL=R+joL=3+4=5△31°Ω,其中X=49, 正弦交流电压u的相量为U=220/30°V 电路中电流相量为 /309-53.1°=4423.1°A 电阻上的电压相量和瞬时值分别为 UR=R=132∠231°V 132√2sn(314-23.1°)V 电感上的电压相量和瞬时值分别为 UL=ZI=jX1I=176290-231°=176/669°V, u2=1762sn(314+669)V 阻抗的并联 阻抗并联电路如图9-4所 Z 图9-4阻抗并联电 n只阻抗Z1、Z2、…、Zn并联电路,对电源来说可以等效为一只阻抗,即 l11 ZZ
《电工基础》 96 j j e ) 1 j( ) j( R X Z C Z Z R ZL ZC R XL X C R L = + = = + + = + − = + − 即 Z =|Z|/ 其中电抗 X = XL − XC，阻抗大小为 2 2 2 2 ( ) Z = R + X = R + XL − X C 为阻抗角，代表路端电压 u 与电流 i 的相位差，即 R X u i = − = arctan 解:等效复阻抗 Z = ZR + ZL = R + jXL = R + jL = 3 + j4 = 5/53.1 ，其中 XL = 4 ， 正弦交流电压 u 的相量为 U = 220/30 V， 电路中电流相量为 5 220 = = Z U I /30－53.1= 44/−23.1 A 电阻上的电压相量和瞬时值分别为 UR = RI = 132/−23.1 V， uR =132 2 sin(314t − 23.1) V 电感上的电压相量和瞬时值分别为 UL = ZL I = XL I = j 176/90 − 23.1 = 176/66.9 V， uL =176 2 sin(314t + 66.9) V 二、阻抗的并联 阻抗并联电路如图 9-4 所示。 n 只阻抗 Z1、Z2、…、Zn 并联电路，对电源来说可以等效为一只阻抗，即 Z Z Z Zn 1 1 1 1 1 2 = + ++ 图 9-4 阻抗并联电路 【例 9-7】 在 R-L 串联电路中，已知：R = 3 ， L = 12.7 mH，设外加工频电压 u = 220 2 sin(314t + 30) V。 试求：电阻和电感上的电压瞬时值 uR、uL
《电工基础》 即等效复阻抗Z的倒数,等于各个复阻抗的倒数之和 为便于表达阻抗并联电路,定义复阻抗Z的倒数叫做复导纳,用符号Y表示,即 导纳Y的单位为西门子(S)。于是有 Y=Y1+Y Y 即几只并联导纳的等效导纳Y等于所有导纳之和 欧姆定律的相量形式为 【例98】两个复阻抗分别是Z=(10+120) (10-j10)92,并联后接在u=220√2sn(a)V的交流电源 题 上,试求:电路中的总电流I和它的瞬时值表达式i 解:由Z=(10+j20)9可得 z|=√02+202=23692,q1= arctan-=634 由z2=(10-j10)9可得 z2|=102+102=14141.,9acn10=-45 z1=10+120=236634°9 Z2=10-j10=14.14∠45°9 由=-+可得并联后的等效复阻抗为 Z=212=22362634)×(4144-45)=316172184=1414∠-829 Z+z (10+120)+(0-j10) 22.36∠266 于是总电流的相量 U220∠0° =156∠82°A 14.14∠-8.2° 即l=15.6A。总电流瞬时值表达式为 i=156√2sin(o1+82°)A 本章小结 本章学习了应用复数相量法表示正弦交流电压、电流、阻抗,并运用相量法分析计算 阻抗串联与并联电路。 、复数及其运算法则 1.复数的表达式
《电工基础》 97 即等效复阻抗 Z 的倒数，等于各个复阻抗的倒数之和。 为便于表达阻抗并联电路，定义复阻抗 Z 的倒数叫做复导纳，用符号 Y 表示，即 Z Y 1 = 导纳 Y 的单位为西门子(S)。于是有 Y = Y1 + Y2 + … + Yn 即几只并联导纳的等效导纳 Y 等于所有导纳之和。 欧姆定律的相量形式为 U ZI I YU = 或 = 解:由 Z1= (10 + j20) 可得 63.4 10 20 10 20 22.36 1 arctan 2 2 Z1 = + = ， = = 由 Z2 = (10 − j10) 可得 45 10 10 10 10 14.14 2 arctan 2 2 Z2 = + = ， = − = − 即 Z1 = 10 + j20 = 22.36/63.4 ， Z2 = 10 − j10 = 14.14/−45 由 1 2 1 1 1 Z Z Z = + 可得并联后的等效复阻抗为 = − = + + − − = + = 14.14 8.2 22.36 26.6 316.17 18.4 (10 j20) (10 j10) (22.36 63.4 ) (14.14 45 ) 1 2 1 2 Z Z Z Z Z 于是总电流的相量 15.6 8.2 A 14.14 8.2 220 0 = − = = Z U I 即 I = 15.6 A。总电流瞬时值表达式为 15.6 2 sin( 8.2 ) A i = t + 本 章 小 结 本章学习了应用复数相量法表示正弦交流电压、电流、阻抗，并运用相量法分析计算 阻抗串联与并联电路。 一、复数及其运算法则 1．复数的表达式 【例 9-8】两个复阻抗分别是 Z1 = (10 + j20) ，Z2= (10 − j10) ，并联后接在 u = 220 2 sin(t) V 的交流电源 上，试求：电路中的总电流 I 和它的瞬时值表达式 i
《电工基础》 (1)直角坐标式(代数式) ()三角函数式:z=|2os9+smp,|2=、a2+b5,=aem.b(a>0 (3)指数式: z=Aleje (4)极坐标式相量式): Z=|Z|0 2.复数的运算法则 Z1=a+=|1|a,z2=c+jd=|1 (1)加减法: z1±Z2=(a±c)+j(b±d) (2)乘法:21·z2=1ax:|z2|B=|21|z2a+B (3)除法: /a-B Z22 (4)乘方: Z=[Z,. 二、正弦量的复数表示法 正弦交流电流i= Isin(ot+)的相量表达式为 =∠0 正弦交流电压u= Umin(ot+%)的相量表达式为 、欧姆定律与复阻抗 1.复数形式的欧姆定律 U 2.电阻R的复阻抗 ZR=R=RA° 3.电感L的复阻抗 Z=X10°=jXL=J 4.电容C的复阻抗 Zc=Xc∠90°=-Xc=-j11 5.阻抗的串联 n个复阻抗串联可以等效为一只复阻抗 Z=Z1+z3 6.阻抗的并联 n只阻抗Z1、Z2、…、Zn并联可以等效为一只复阻抗Z z ZI Z2 Z 定义复阻抗z的倒数叫做复导纳,用符号y表示,即Y=1,于是 y=Y1+Y2+…+Yn
《电工基础》 98 (1) 直角坐标式(代数式)： Z = a + jb (2) 三角函数式： (cos jsin ) arctan ( 0) 2 2 = + = + = a a b Z Z ， Z a b ， (3) 指数式： Z =|Z|e j (4) 极坐标式(相量式)： Z =|Z|/ 2．复数的运算法则 设 Z1 = a + jb = |Z1|/ ，Z2 = c + jd =|Z1|/ (1) 加减法： Z1 Z2 = (a c) + j(b d) (2) 乘法： Z1 ·Z2 =|Z1|/ ·|Z2|/ = |Z1|·|Z2|/ + (3) 除法： 2 1 2 1 Z Z Z Z = / − (4) 乘方： n n Z1 = Z1 /n 二、正弦量的复数表示法 正弦交流电流 i = Imsin( t + i)的相量表达式为 I = I/i 正弦交流电压 u = Umsin( t + u)的相量表达式为 U = U/u 三、欧姆定律与复阻抗 1．复数形式的欧姆定律 U ZI Z U I = 或 = 2. 电阻 R 的复阻抗 ZR = R = R/0 3. 电感 L 的复阻抗 ZL = XL/90 = j XL = jL 4. 电容 C 的复阻抗 ZC = XC/−90 = −j XC = C jC 1 1 − j = 5. 阻抗的串联 n 个复阻抗串联可以等效为一只复阻抗 Z = Z1 + Z2 + … + Zn 6. 阻抗的并联 n 只阻抗 Z1、Z2、…、Zn 并联可以等效为一只复阻抗 Z Z Z Z Zn 1 1 1 1 1 2 = + ++ 定义复阻抗 Z 的倒数叫做复导纳，用符号 Y 表示，即 Z Y 1 = ，于是 Y = Y1 + Y2 + … + Yn
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