第3章线性系统的时域分析法 重点与难点 、基本概念 1.稳定性 (1)定义:系统受扰动偏离了平衡状态,当扰动消除后系统能够恢复到原来的平衡 状态,则称系统稳定,反之称系统不稳定。 (2)系统稳定的充要条件:系统特征根全部具有负的实部 (3)代数稳定判据:①必要条件:特征多项式各项系数均大于零。②古尔维茨判据: 由系统特征方程各项系数所构成的各阶古尔维茨行列式全部为正。③劳斯判据:由系统 特征方程各项系统列出劳斯表,如果劳斯表中第一列各值严格为正,则系统稳定;如果 表中第一列中出现小于零的数,则系统不稳定;第一列各系数符号的改变次数,代表特 征方程的正实部根的数目。 (4)系统的稳定性只与系统自身结构参数有关,而与初始条件、外作用大小无关 系统稳定性只取决于系统特征根(极点),而与系统零点无关。 (5)结构不稳定概念:并非由于系统参数设置不当,而是由于系统结构原因导致的 不稳定 2.误差及稳态误差 (1)误差的两种定义及其相互关系:从系统输入端定义的误差E(s)如图3.1(a 所示,从系统输出端定义的误差E'(s)是系统输出量的希望值R'(S)与实际值C(S)之差 前者在实际系统中是可量测的,具有一定的物理意义:而后者一般只有数学意义。将图 3.1(a)等效变换为图3.1(b),可以看出E(s)与E'(s)之间有对应关系 E'(s)=E(s)/H(s)。对于单位反馈系统来说,这两种定义是等价的。 (2)稳态误差e。是系统的误差响应达到稳态时的值,是对系统稳态控制精度的度 量,是系统的稳态指标 (3)计算稳态误差的方法 1)一般方 i.判定系统稳定性(对于稳定系统求es才有意义); i按误差定义求出系统误差传递函数Φ(s)或Φ(3) il利用终值定理计算稳态误差:e=lims[Φ(s)R(s)+Φn(S)N(s)
·42· 第 3 章 线性系统的时域分析法 重点与难点 一、基本概念 1. 稳定性 （1）定义：系统受扰动偏离了平衡状态，当扰动消除后系统能够恢复到原来的平衡 状态，则称系统稳定，反之称系统不稳定。 （2）系统稳定的充要条件：系统特征根全部具有负的实部。 （3）代数稳定判据：①必要条件：特征多项式各项系数均大于零。②古尔维茨判据： 由系统特征方程各项系数所构成的各阶古尔维茨行列式全部为正。③劳斯判据：由系统 特征方程各项系统列出劳斯表，如果劳斯表中第一列各值严格为正，则系统稳定；如果 表中第一列中出现小于零的数，则系统不稳定；第一列各系数符号的改变次数，代表特 征方程的正实部根的数目。 （4）系统的稳定性只与系统自身结构参数有关，而与初始条件、外作用大小无关； 系统稳定性只取决于系统特征根（极点），而与系统零点无关。 （5）结构不稳定概念：并非由于系统参数设置不当，而是由于系统结构原因导致的 不稳定。 2. 误差及稳态误差 （1）误差的两种定义及其相互关系：从系统输入端定义的误差 E(s) 如图 3.1（a） 所示，从系统输出端定义的误差 E(s) 是系统输出量的希望值 R(s)与实际值C(s) 之差。 前者在实际系统中是可量测的，具有一定的物理意义；而后者一般只有数学意义。将图 3.1（ a ） 等 效 变 换 为 图 3.1 （ b） ， 可 以 看 出 E(s) 与 E(s) 之 间 有 对 应 关 系 ： E(s) E(s)/ H (s)。对于单位反馈系统来说，这两种定义是等价的。 （2）稳态误差 ss e 是系统的误差响应达到稳态时的值，是对系统稳态控制精度的度 量，是系统的稳态指标。 （3）计算稳态误差的方法： 1）一般方法： i.判定系统稳定性（对于稳定系统求 ss e 才有意义）； ii.按误差定义求出系统误差传递函数 (s) e 或 (s) en ； iii.利用终值定理计算稳态误差： lim [ ( ) ( ) ( ) ( )] 0 e s s R s s N s e en s ss
E(s R(s R(S)E G(s) H(s I/H(s) G(s) H(s) 图3.1控制系统的两种误差定义 2)稳态误差系数法 i.判定系统稳定性 ii.确定系统型别ν,求静态误差系数 ii.利用在控制输入作用下,e,与系统型别、静态误差系数间的关系表格确定e 值 (4)稳态误差不仅与系统自身的结构参数有关,而且与外作用的大小、形式、作用 点有关。 (5)系统的位置误差、速度误差和加速度误差分别是在位置信号(阶跃)、速度信 号(斜坡)和加速度信号作用下系统响应达到稳态时输出与输入之间的误差,是位置意 义上的误差 (6)要反映稳态误差随时间变化的规律,可用动态误差系数法 (⑦)在主反馈口到干扰作用之间的前向通路上增大放大倍数、设置积分环节可以同 时减小r(),n(t)作用下的稳态误差。 1.系统动态性能计算 主要包括: (1)一阶系统特征参数(时间常数T)与动态指标之间的关系。 (2)复极点位置的表示方法及其关系。 (3)典型欠阻尼二阶系统特征参数(5,On)与动态指标间的关系(tn,σ%,t计算 (4)系统动态性能随极点位置变化的规律。 (5)附加开环零极点与附加闭环零极点的区别及对系统性能的影响。 (6)附加闭环零点、闭环极点对系统性能的影响。 (7)主导极点、非主导零极点和偶极子的概念及高阶系统动态指标估算方法 基本要求 1.稳定性判断 正确理解系统稳定性概念及稳定的充要条件:能熟练运用代数稳定判据判定系统的
·43· C(s) E(s) R(s) R C(s) (s) R’(s) E’(s) E(s) (a) (b) 图 3.1 控制系统的两种误差定义 2） 稳态误差系数法： i.判定系统稳定性； ii.确定系统型别 v ，求静态误差系数； iii.利用在控制输入作用下， ss e 与系统型别、静态误差系数间的关系表格确定 ss e 值。 （4）稳态误差不仅与系统自身的结构参数有关，而且与外作用的大小、形式、作用 点有关。 （5）系统的位置误差、速度误差和加速度误差分别是在位置信号（阶跃）、速度信 号（斜坡）和加速度信号作用下系统响应达到稳态时输出与输入之间的误差，是位置意 义上的误差。 （6）要反映稳态误差随时间变化的规律，可用动态误差系数法。 （7）在主反馈口到干扰作用之间的前向通路上增大放大倍数、设置积分环节可以同 时减小 r(t), n(t) 作用下的稳态误差。 1． 系统动态性能计算 主要包括： （1）一阶系统特征参数（时间常数 T）与动态指标之间的关系。 （2）复极点位置的表示方法及其关系。 （3）典型欠阻尼二阶系统特征参数 ( , ) n 与动态指标间的关系（ p s t , %,t 计算公 式）.（4）系统动态性能随极点位置变化的规律。 （5）附加开环零极点与附加闭环零极点的区别及对系统性能的影响。 （6）附加闭环零点、闭环极点对系统性能的影响。 （7）主导极点、非主导零极点和偶极子的概念及高阶系统动态指标估算方法。 二、基本要求 1. 稳定性判断 正确理解系统稳定性概念及稳定的充要条件；能熟练运用代数稳定判据判定系统的 G(s) H(s) H(s) -1/H(s) G(s)
稳定性,并进行有关的分析计算 2.稳态误差计算 正确理解有关稳态误差的概念:了解终值定理应用的限制条件;牢固掌握计算稳态 误差的一般方法:牢固掌握静态误差系数法及其应用的限制条件。 动态性能计算 牢固掌握一阶系统、二阶系统的数学模型和典型响应特点:能熟练确定一阶系统、 二阶系统特征参数,牢固掌握一阶系统、二阶欠阻尼系统动态性能计算方法及应用限制 条件:掌握典型欠阻尼二阶系统特征参数、极点位置与动态性能间的相互关系:了解附 加闭环零极点对动态性能的影响;正确理解主导极点的概念,会估算高阶系统动态性能 、重点与难点 重点 (1)时间响应的基本概念; (2)一阶系统的时间响应、性能指标和参数的求取 (3)二阶系统的时间响应、欠阻尼状态下性能指标的计算 (4)极点、零点位置变化的规律对系统动态性能影响 (5)代数稳定性判据: (6)输入信号和扰动作用下稳态误差 2.难点 (7)二阶系统的时间响应 (8)改善系统动态性能的指标方法 (3)输入信号和扰动信号同时作用时,稳态误差的计算。 φ例题解析 例3-1设一阶系统的微分方程为 a+1)=rd() dy(o) 其中τ,且T-τ<1,试证明系统动态性能指标为 延迟时间ta=[0.693+ln(-)T 上升时间t=22T 调整时间t,=[3+(lr r 证明:设单位阶跃输入为R(s)=-,当初始条件为零时,有
·44· 稳定性，并进行有关的分析计算。 2. 稳态误差计算 正确理解有关稳态误差的概念；了解终值定理应用的限制条件；牢固掌握计算稳态 误差的一般方法；牢固掌握静态误差系数法及其应用的限制条件。 3. 动态性能计算 牢固掌握一阶系统、二阶系统的数学模型和典型响应特点；能熟练确定一阶系统、 二阶系统特征参数，牢固掌握一阶系统、二阶欠阻尼系统动态性能计算方法及应用限制 条件；掌握典型欠阻尼二阶系统特征参数、极点位置与动态性能间的相互关系；了解附 加闭环零极点对动态性能的影响；正确理解主导极点的概念，会估算高阶系统动态性能。 三、重点与难点 1. 重点 (1) 时间响应的基本概念； (2) 一阶系统的时间响应、性能指标和参数的求取； (3) 二阶系统的时间响应、欠阻尼状态下性能指标的计算； (4) 极点、零点位置变化的规律对系统动态性能影响； (5) 代数稳定性判据； (6) 输入信号和扰动作用下稳态误差。 2. 难点 (7) 二阶系统的时间响应； (8) 改善系统动态性能的指标方法； （3）输入信号和扰动信号同时作用时，稳态误差的计算。 例题解析 例 3-1 设一阶系统的微分方程为 ( ) ( ) ( ) ( ) r t dt dr t y t dt dy t T 其中 T>τ,且 T-τ<1,试证明系统动态性能指标为: 延迟时间 T T T td [0.693 ln( )] 上升时间 t r 2.2T 调整时间 T T T t s [3 (ln )] 证明: 设单位阶跃输入为 R(s)= s 1 ,当初始条件为零时,有
Y(s)TS R(s) Ts+1 所以 Y(s) 7+1()=(0+1 m=(s=1-=e 根据定义,(1)当t时,y(1)=0.5=1 所以 t=0693+hn(=x1 ) (2)求(即y()从0.1到0.9所需的时间) 当y(1)=09=1 时有2=mm() 当y(t)=0.1=1 时,有1=7n(-)-m09 tn=12-=h√9 =2.2T (3)求调整时间t 假设误差带宽Δ=5,则有 HG2)=0.95=1-7-x 解得 t=[3+(n- 例32已知一阶环节的传递函数为G(=a2s+1,若采用负反馈的方法(图31) 将调整时间t减小为原来的0.1倍,并且保证总的放大系数不变,试选择k和k的值 R(s) G(s) y(s) 图3-1负反馈结构图 解:由一阶环节的传递函数知,其时间常数=0.2,放大系数k=10。引入负反馈后,系 统的闭环传递函数为:
·45· 1 1 ( ) ( ) Ts s R s Y s 所以 T t e T T y t L Y s Ts T Ts s s s R s Ts s Y s ( ) [ ( )] 1 1 1 1 ) 1 1 ( ) ( 1 1 ( ) 1 根据定义,(1) 当 t=td时, T td e T T y t ( ) 0.5 1 所以 T T T td [0.693 ln( )] (2) 求 tr(即 y(t)从 0.1 到 0.9 所需的时间) 当 T t e T T y t 2 ( ) 0.9 1 时,有 [ln( ) 0.1] 2 In T T t T 当 T t e T T y t 1 2 ( ) 0.1 1 时,有 [ln( ) 0.9] 1 In T T t T 则 t r t t T 2.2T 0.1 0.9 ln 2 1 (3) 求调整时间 ts 假设误差带宽Δ=5,则有: T t s s e T T y t ( ) 0.95 1 解得 T T T t s [3 (ln )] 例 3-2 已知一阶环节的传递函数为 0.2 1 10 ( ) s G s ,若采用负反馈的方法(图 3-1) 将调整时间 ts减小为原来的 0.1 倍,并且保证总的放大系数不变,试选择 kH和 ko的值. R(s) Y(s) - 图 3-1 负反馈结构图 解:由一阶环节的传递函数知,其时间常数 T=0.2,放大系数 k=10。引入负反馈后,系 统的闭环传递函数为： kH ko G(s)
Y(s) koG(s) R( 代入G(s)并整理得 Y(s) 0.2 s+1 1+10k 因为调整时间t=3T(或4),即仅与T成正比,根据题目要求可列出 10k0 =10(保持原放大系统) =002(时间常数缩小十倍 解得kr=0.9,k=10 例33设闭环系统为Φ(s) s-+20,S+o 试在s平面上绘制下列要求特征根 可能的区域 (1)1>≥0.707,On≥2 (2)0.5≥>0,4≥n≥2 (3)0.707≥≥0.5,ωn≤2. 解:在s平面上系统的极点特征根是:s1=-5n±jony1-52,on和阻尼角cosB 5的关系如图3-2(a)所示。 (1)当1>≥0.707,n≥2时,有:1>cosB≥0.707.即0B≤45(以负实轴为起点, 顺时针β为正,逆时针B为负),对称部分为特征根区域如图3-2(b)阴影部分所示 (2)当0.5≥>0,4≥n≥2时,有:0.5≥cosB>0,即60≤B<90°,对称部分为 90B<-609,特征根区域由3-2(c)阴影部分所示 (3)当0.707≥≥0.5,n≤2时,有:0.707≥C0sB≥0.5即450≤B≤60,对称部 分为-60≤β≤45,特征根区域如图3-2(d)阴影部分所示
·46· 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 k G s k G s R s Y s H 代入 G(s)并整理得: 1 1 10 0.2 1 10 10 ( ) ( ) 0 s k k k R s Y s H H 因为调整时间 ts=3T（或 4T),即仅与 T 成正比,根据题目要求可列出: 时间常数缩小十倍） 保持原放大系统 0.02( 1 10 0.2 10( ) 1 10 10 0 H H k k k 解得 kH=0.9, k0=10 例 33 设闭环系统为 2 2 2 2 ( ) n n n s s s ,试在 s 平面上绘制下列要求特征根 可能的区域: (1)1>ζ≥0.707,ωn≥2; (2)0.5≥ζ>0,4≥ωn≥2; (3)0.707≥ζ≥0.5,ωn≤2. 解: 在 s 平面上系统的极点特征根是:s1,2=-ζωn±jωn 2 1 ,ωn和阻尼角 cosβ =ζ的关系如图 3-2(a)所示。 （1）当 1>ζ≥0.707,ωn≥2 时,有:1>cosβ≥0.707.即 0 00,4≥ωn≥2 时,有:0.5≥cosβ>0,即 60 0≤β<90 0,对称部分为 –90 0<β<-60 0,特征根区域由 3-2(c)阴影部分所示. （3）当 0.707≥ζ≥0.5,ωn≤2 时,有:0.707≥cosβ≥0.5 即 45 0≤β≤60 0,对称部 分为-60 0≤β≤45 0,特征根区域如图 3-2(d)阴影部分所示. (a) (b)
例3-4有一位置随动系统,结构如图3-3所示.k=40,T=0.1。(1)求系统的开环和闭 环极点;(2)当输入量r(1)为单位阶跃函数时,求系统的自然振荡角频率ω,阻尼比ξ和系 统的动态性能指标l,,σ% R s) C(s) s(rs +D) 图3-3位置随动系统结构图 解:系统的开环和闭环传递函数分别为 G(s)= 和Φ(s) s(0.ls+1) +105+400 (1)开环极点为P=0, s2+10s+400=0 解得闭环极点为 P12=-5士j19.365 (2)将闭环传递函数写成标准形式 C(s) 有 2=400 解得 Gn=20, 系统的动态指标为
·47· (c) (d) 图 3－2 例 3-4 有一位置随动系统,结构如图 3-3 所示.k=40,τ=0.1。(1)求系统的开环和闭 环极点;(2)当输入量 r(t)为单位阶跃函数时,求系统的自然振荡角频率ωn,阻尼比ζ和系 统的动态性能指标 tr,ts,σ%. R(s) C(s) - 图 3-3 位置随动系统结构图 解: 系统的开环和闭环传递函数分别为 10 400 400 ( ) (0.1 1) 40 ( ) 2 s s s s s G s 和 (1) 开环极点为 P1＝0， P2＝-10 令 s 2+10s+400=0 解得闭环极点为 P1,2=-5±j19.365 (2) 将闭环传递函数写成标准形式 2 2 2 2 ( ) n n n s s s 有 ωn 2=400, 2ωnζ=10 解得 ωn=20, ζ=0.25 系统的动态指标为 s( s 1) k
TI-B -arccos< 3. 14-arccos 0.25 0.094 0.25 3 4 sso025x20=06(当△=5) 0.25×20 0.8(当△=2) 0%=e×100%=45% 例3-5图3-4(a)为系统结构图,图3-4(b)为某典型单位阶跃响应.试确定k,k2,a 的值 R(s)- (s) s(s +a) (a)系统结构图 (t) 2.18 (b)阶跃响应曲线 解:因为 Y(s) k,k2 R s +as+ k2 kk Y(s)= R(S) k2 所以 y(∞)=limy()=lims k,=2
·48· 0.8( 2) 0.25 20 4 4 0.6( 5) 0.25 20 3 3 0.094 20 1 0.25 3.14 arccos 0.25 1 arccos n 2 2 当 当 n n d rts t σ%= 2 1 e 100%=45% 例 3-5 图 3-4（a）为系统结构图，图 3-4（b）为某典型单位阶跃响应.试确定 k1,k2,a 的值. R(s) Y(s) - (a) 系统结构图 y(t) 2.18 2.0 t (b) 阶跃响应曲线 图 3-4 解: 因为 s as k s k k R s s as k k k Y s s as k k k R s Y s 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 所以 2 1 ( ) lim ( ) lim 1 2 2 1 2 0 k s as k s k k y y t s t s ( ) 2 s s a k 1 k
又因为 s(S+a s(S+2cU 所以 0.=a 根据题意知 2.18-2 100%=9 解得 =0.608 n=4.946(rad/s) 故 a=25n=2×0608×4946≈6014 例3-6已知系统的结构图如图3-5所示若r(1)=2×1(0)时试求(1片产1时,系统的超调 量σ%和调节时间(2)当k不等于零时若要使%=20%试求k应为多大?并求出此时的 调整时间自的值(3)比较上述两种情况说明内反馈ks的作用是什么 图3-5系统结构图 解:(1)当k=0时,由结构图知闭环传递函数为 Φ(s)=(s) R(s) S2 则有 25on=2 所以 7.07(rad/s),5=0.14 这是一个欠阻尼状态的响应,故
·49· 又因为 ( ) ( 2 ) ( ) 2 2 n n s s a s s k G s 所以 a k n n 2 2 2 根据题意知 2 1 100% 9% 2 2.18 2 % e 解得 ζ=0.608 tp=0.8= 2 1 n ωn=4.946(rad/s) 故 k2=ω2=24.463 a=2ζωn=2×0.608×4.946≈6.014 例3-6 已知系统的结构图如图3-5所示,若r(t)=2×1(t)时,试求:(1)kf=1时,系统的超调 量σ%和调节时间 ts;(2)当 kf不等于零时,若要使σ%=20%,试求 kf应为多大?并求出此时的 调整时间 t3的值,(3)比较上述两种情况,说明内反馈 kfs 的作用是什么. R(s) Y(s) － － 图 3-5 系统结构图 解:(1) 当 kf=0 时,由结构图知闭环传递函数为 2 50 50 ( ) ( ) ( ) 2 R s s s Y s s 则有 ωn 2=50, 2ζωn=2 所以 ωn=7.07(rad/s), ζ=0.14 这是一个欠阻尼状态的响应,故 100 kfs ( 2) 0.5 s s
×100%=64% 3(s(当△=5) 4(S)(当△=2) (2)当k≠0时,可得闭环传函为 Y(s) R(S)s (2+0.5k,)s+50 可见 n=7.07(rad/s) 由题中条件 0%=e 100%=20% 得 则 k=9 922(s)(当△=5) 调整时间为 2On7.07×0.46 4 1.230(s)(当△=2) On707×046 (3)比较上述两种情况可看出,内反馈k的作用为增加阻尼比,减小超调量,减小调整 时间 例3-7系统的结构如图3-6所示,试判别系统的稳定性.若系统不稳定,求在s右半 平面的极点数 R(s) 2 y(s) 图3-6系统结构图
·50· σ%= 2 1 e 100%=64% 4( )( 2) 4 3( )( 5) 3 当 当 s s t n n s (2) 当 kf≠0 时,可得闭环传函为 2 2 2 2 (2 0.5 ) 50 2 50 ( ) ( ) ( ) n n n f s s s k s R s Y s s 可见 ωn=7.07(rad/s) ζ= 2 50 2 0.5 f k 由题中条件 σ%= 2 1 e 100%=20% 得 ζ=0.46 则 kf=9 调整时间为 1.230(s)( 2) 7.07 0.46 4 4 0.922 s ( 5) 7.07 0.46 3 3 当 （ ）当 n n s t (3) 比较上述两种情况可看出,内反馈kf的作用为增加阻尼比,减小超调量,减小调整 时间.例 3-7 系统的结构如图 3-6 所示,试判别系统的稳定性.若系统不稳定,求在 s 右半 平面的极点数. R(s) Y(s) 图 3-6 系统结构图 s 1 s s 2 1 s s 2 1 s-1 s -2
解:系统的传递函数为 系统的特征方程为 s3+2s4-s-2=0 可看出特征方程的系数不全为正,所以系统是不稳定。为了求出s右半平面的极点数 列劳斯阵列如下 0 120 s0(-2) 16 0 E 第三行元素全为零,对辅助方程 2s-2=0 求导得 用8,0替换0,0;第四行第一列元素为零,用小正数ε替代0,继续排列劳斯阵列 劳斯阵列第一列元素变号一次,说明特征方程有一个正根。劳斯阵列有一行元素全为 零,说明可能有大小相等、符号相反的实根或一对共轭虚根,或对称于虚根的两对共轭复 根.解辅助方程得 2=2(s+1)(s-1)(s+〕sj)=0 这样特征方程可以写为 可见,系统在s右半平面有一个根s=1,在虚轴上有两个根s=j,=-j,在s左半平面有两个 根,s=-1,s=-2. 例3-8闭环控制系统的结构如图3-7。试求满足下面条件的三阶开环传递函数G(s) 应满足的条件 R(s (s) (1)G(s)=k (s),k为开环放大系数 (2)由单位阶跃函数输入引起的稳态误 差为零; 图3-7
·51· 解: 系统的传递函数为 2 2 2 ( ) 5 4 s s s s 系统的特征方程为 2 2 5 4 s s s =0 可看出特征方程的系数不全为正,所以系统是不稳定。为了求出 s 右半平面的极点数, 列劳斯阵列如下: 2 0 16 ( ) 0 ( 2) (8) (0) 0 0 2 0 2 1 0 1 0 1 2 3 4 5 s s s s s s 第三行元素全为零,对辅助方程 2s 4-2 = 0 求导得 8s 3=0 用 8,0 替换 0,0;第四行第一列元素为零,用小正数ε替代 0,继续排列劳斯阵列. 劳斯阵列第一列元素变号一次,说明特征方程有一个正根。劳斯阵列有一行元素全为 零,说明可能有大小相等、符号相反的实根或一对共轭虚根,或对称于虚根的两对共轭复 根.解辅助方程得 2s 4-2=2(s+1)(s-1)(s+j)(s-j)=0 这样特征方程可以写为 (s+2)(s+1)(s-1)(s+j)(s-j)=0 可见,系统在 s 右半平面有一个根 s=1,在虚轴上有两个根 s=j,s=-j,在 s 左半平面有两个 根,s=-1,s=-2. 例 3-8 闭环控制系统的结构如图 3-7。试求满足下面条件的三阶开环传递函数 G(s), 应满足的条件: R(s) E(s) Y(s) (1) ( ) ( ) A s k G s ， k 为开环放大系数; (2) 由单位阶跃函数输入引起的稳态误 差为零; 图 3-7 G(s)