西安石油大学电子工程学院：《自动控制理论 Modern Control System》精品课程教学资源（重点难点与例题解析）第五章 线性系统的频域分析法

第5章线性系统的频域分析法 重点与难点 、基本概念 1.频率特性的定义 设某稳定的线性定常系统,在正弦信号作用下,系统输出的稳态分量为同频率 的正弦函数,其振幅与输入正弦信号的振幅之比A()称为幅频特性,其相位与输 入正弦信号的相位之差φ()称为相频特性。系统频率特性与传递函数之间有着以 下重要关系 G(o)=G(s) 2.频率特性的几何表示 用曲线来表示系统的频率特性,常使用以下几种方法: (1)幅相频率特性曲线:又称奈奎斯特( Nyquist)曲线或极坐标图。它是以O为 参变量,以复平面上的矢量表示G(o)的一种方法 (2)对数频率特性曲线:又称伯德(Bode)图。这种方法用两条曲线分别表示幅 频特性和相频特性。横坐标为ω,按常用对数lgω分度。对数相频特性的纵坐标表 示(),单位为“°”(度)。而对数幅频特性的纵坐标为L(O)=20lgA() 单位为dB (3)对数幅相频率特性曲线:又称尼柯尔斯曲线。该方法以为参变量,Q(O)为 横坐标,L()为纵坐标 3.典型环节的频率特性及最小相位系统 (1)惯性环节:惯性环节的传递函数为 其频率特性 G(jo)=G(ss=jo- To+

·145· 第 5 章 线性系统的频域分析法 重点与难点 一、基本概念 1. 频率特性的定义 设某稳定的线性定常系统，在正弦信号作用下，系统输出的稳态分量为同频率 的正弦函数，其振幅与输入正弦信号的振幅之比 A() 称为幅频特性，其相位与输 入正弦信号的相位之差() 称为相频特性。系统频率特性与传递函数之间有着以 下重要关系：  s j G j G s   ( ) ( ) | 2. 频率特性的几何表示 用曲线来表示系统的频率特性，常使用以下几种方法： （1）幅相频率特性曲线：又称奈奎斯特（Nyquist）曲线或极坐标图。它是以 为 参变量，以复平面上的矢量表示G( j) 的一种方法。 （2）对数频率特性曲线：又称伯德（Bode）图。这种方法用两条曲线分别表示幅 频特性和相频特性。横坐标为ω，按常用对数 lgω分度。对数相频特性的纵坐标表 示() ，单位为“°”（度）。而对数幅频特性的纵坐标为 L()  20lg A() ， 单位为 dB。 （3）对数幅相频率特性曲线：又称尼柯尔斯曲线。该方法以ω为参变量，() 为 横坐标， L() 为纵坐标。 3. 典型环节的频率特性及最小相位系统 （1）惯性环节：惯性环节的传递函数为 1 1 ( )   Ts G s 其频率特性 1 1 ( ) ( )     T j G j G s s j   

数幅频特 L(o)=201g √1+72 其渐近线为 0 L(o)=1-20lg(To)To≥1 在TO=1处,渐近线与实际幅频特性曲线相差最大,为3dB 对数相频特性 P() (5.3) 其渐近线为 T<0.1 g(To)0.1 Ta≥10 当To=0.1时,有 0=a+blg01=a-b (5.5 当T=10时,有 0°=a+blg10=a+b 由式(55)、式(56)得 4) Ta<0.1 (O)={-4°1g(107m)0.1≤To<10 (2)振荡环节:振荡环节的传递函数为 G(s) << T2S2+2ETs +1 146

·146· 对 数 幅 频 特 性 2 2 1 1 ( ) 20lg   T L   (5.1) 其渐近线为       20lg( ) 1 0 1 ( )     T T T La (5.2) 在T =1 处，渐近线与实际幅频特性曲线相差最大，为 3dB。 对数相频特性 ()  arctg(T) (5.3) 其渐近线为             90 10 lg( ) 0.1 10 0 0.1 ( )       T a b T T T a (5.4) 当T =0.1 时，有 0  a  b lg 0.1  a  b (5.5) 当T =10 时，有  90  a  b lg10  a  b (5.6) 由式（5.5）、式（5.6）得 a  45 b  45 因此：              90 10 45 lg(10 ) 0.1 10 0 0.1 ( )       T T T T a (5.7) （2）振荡环节：振荡环节的传递函数为 0 1 2 1 1 ( ) 2 2       T S Ts G s

其频率特性 25soj+(1-T2o2) 对数幅频特性 L(0)=-20g√-To2)2+4272o2 其渐近线为 0 To<I L() 401g(7o) 当5<0.707时,在O7=√1-252处渐近线与实际幅频特性曲线相差最大,为 201g 对数相频特性 p(@)=-arctg 25or 1-To (3)不稳定环节:不稳定环节的传递函数为 G(s) 其频率特性 GUo)=G(s)\sjo Tay-1 对数幅频特性(0)=201g+To2 其渐近线为 To<1 La(o -20lg(1o)T≥1 对数相频特性为(O)=-180°+ arct(To) 其渐近线为

·147· 其频率特性 2 (1 ) 1 ( ) ( ) | 2 2      Ts j T G j G s s j      对数幅频特性 2 2 2 2 2 2 L()  20 lg (1  T  )  4 T  (5.8) 其渐近线为       40lg( ) 1 0 1 ( )     T T T La (5.9) 当  0.707 时，在 2 T  1 2 处渐近线与实际幅频特性曲线相差最大，为 2 2 1 1 20lg   。 对数相频特性 2 2 1 2 ( ) arctg     T T    （3）不稳定环节：不稳定环节的传递函数为 1 1 ( )   Ts G s 其频率特性 1 1 ( ) ( ) |     T j G j G s s j    对数幅频特性 2 2 1 1 ( ) 20lg   T L   其渐近线为       20lg( ) 1 0 1 ( )     T T T La 对数相频特性为 ()  180  arctg(T) 其渐近线为

180° T0,则系统不稳定。 148

·148·                  90 10 180 45 lg(10 ) 0.1 10 180 0.1 ( )       T T T T a （4）不稳定环节：不稳定环节的传递函数为 2 1 1 ( ) 2 2    T s Ts G s  其频率特性 T T j G j G s s j      (1 ) 2 1 ( ) ( ) | 2 2      对数幅频特性 2 2 2 2 2 2 (1 ) 4 1 ( ) 20lg     T T L    其渐近线为       40lg( ) 1 0 1 ( )     T T T La 对数相频特性 2 2 1- T 2 T ( ) 360 arctg          各典型环节的奈奎斯特图，零极点分布图及伯德图分别如图 5-1、图 5-2 及图 5-3 所示。表 5-1 给出了典型环节频率特性的汇总。 （5）最小相位系统：开环稳定的系统称为最小相位系统。 4. 奈奎斯特稳定性判据 反馈控制系统闭环极点在 s 的右半平面的个数 Z  P  2N 式中 P 为系统开环极点在 s 右半平面的个数；N 为开环幅相曲线（ ∈（0，+∞）） 逆时针包围点（-1，j0）的圈数。 N  N  N 式中 N 为正穿越次数和正半次穿越的和； N 为负穿越次数和负半次穿越的和。 判断：若 Z  0 ，则系统稳定；若 Z  0 ，则系统不稳定

正穿越:随着O的增大,开环幅相曲线逆时针穿越点(-1,j0)左侧的负实轴,记 为一次正穿越。 负穿越:随着ω的增大,开环幅相曲线顺时针穿越点(-1,j)左侧的负实轴,记 为一次负穿越。 半次穿越:开环幅相曲线起始于(或终止于)点(-1,j0)左侧的负实轴。若沿逆 时针方向离开(或终止于)负实轴,记为半次正穿越;若沿顺时针方向离开(或终 止于)负实轴,记为半次负穿越。半次穿越次数应为1/2 5.稳定裕量 当开环系统稳定时,系统相对稳定性由下述两个指标来度量: (1)幅值裕量h:当系统开环相频特性为-180°时,系统开环频率特性幅值的 倒数定义为幅值裕量,所对应的频率称为相角交界频率。即 h IGUOHGO,I (2)相位裕量γ:当系统开环频率特性的幅值为1时,系统开环频率特性相角与 180°的和定义为相位裕量,所对应的频率ω_称为系统截止频率。即 y=1809+∠G(o)H(0) O满足|G(o)H(o2)=1 6.对数频率稳定性判据 按以下三种情况分别讨论系统的稳定性问题。 G(j∞)=0∠-90 (a)G(s)=-1 Ts+1

·149· 正穿越：随着 的增大，开环幅相曲线逆时针穿越点（-1，j0）左侧的负实轴，记 为一次正穿越。 负穿越：随着 的增大，开环幅相曲线顺时针穿越点（-1，j0）左侧的负实轴，记 为一次负穿越。 半次穿越：开环幅相曲线起始于（或终止于）点（-1，j0）左侧的负实轴。若沿逆 时针方向离开（或终止于）负实轴，记为半次正穿越；若沿顺时针方向离开（或终 止于）负实轴，记为半次负穿越。半次穿越次数应为 1/2。 5. 稳定裕量 当开环系统稳定时，系统相对稳定性由下述两个指标来度量： （1）幅值裕量 h ：当系统开环相频特性为-180°时，系统开环频率特性幅值的 倒数定义为幅值裕量，所对应的频率 g 称为相角交界频率。即 | ( ) ( ) | 1 g g G j H j h    （2）相位裕量 : 当系统开环频率特性的幅值为 1 时，系统开环频率特性相角与 180°的和定义为相位裕量，所对应的频率 c 称为系统截止频率。即 180 ( ) ( ) c c     G j H j c 满足| ( ) ( ) |1 c c G j H j 。 6. 对数频率稳定性判据 按以下三种情况分别讨论系统的稳定性问题。 1 1 ( ) ( )   Ts a G s   (a ) G ( j0)  1 0 G ( j )  0  90

(b)G(s)=r32+25I+1 (b)G(0)=1∠0°G(j∞)=0∠-180 →∞0 (c)G(s)=_1 (c)G(j0)=1∠-180°G(j∞)=0∠-90 (d)G(s)=r32-25s+ (d)G(j0)=1∠-360°G(1∞)=0∠-180

·150· 2 1 1 ( ) ( ) 2 2    T s Ts b G s    (b ) G ( j0)  1 0 G ( j )  0  180   (c ) G ( j0)  1  180 G ( j )  0  90   (d ) G ( j0)  1  360 G ( j )  0  180 1 1 ( ) ( )   Ts c G s 2 1 1 ( ) ( ) 2 2    T s Ts d G s 

图5-1奈奎斯特曲线图 图5-2零极点配置图 L(①) T3s2+2Ts+1 L(o) L(o)

·151· 图 5-1 奈奎斯特曲线图 图 5-2 零极点配置图 1 1 ( ) ( )   Ts a G s 2 1 1 ( ) ( ) 2 2    T s Ts b G s  2 1 1 ( ) ( ) 2 2    T s Ts c G s  1 1 ( ) ( )   Ts d G s

图5-3伯德图 (1)开环对数幅频特性与OdB线只有一个交点,且开环传递函数的零点在s 左半平面。假定单位反馈系统的开环传递函数为 Ke A(s) s)∏(n-1) 其中,A(S)=0,B(S)=0的根均在s的左半平面,U≥0,x≥0,K≥0;当U 比的分2要题.所的的反相人, 其相位裕量为y=180°+∠G(0)>0°。 表5-1典型环节 幅相频率特性 幅频特性 相位频率特性 典型环节 Go) 0) 放大环节K K K 0° 积分环节 微分环节s JO=oe 90° 惯性环节 √7a2+1 arctan(To) r2o2+1 一阶微分环节 jar +I (r)2+1 arctan(or) Ts+1

·152· 图 5-3 伯德图 （1）开环对数幅频特性与 0dB 线只有一个交点，且开环传递函数的零点在 s 左半平面。假定单位反馈系统的开环传递函数为     11 ( ) ( 1) ( ) ( ) n p p s s B s T s Ke A s G s   其中， A(s)  0, B(s)  0 的根均在 s 的左半平面， ≥0， ≥0， K ≥0；当 =0 时，K ≥1， A(s), B(s) 常数项为 1。这时系统的稳定性判据可描述为：闭环系统稳 定的充分必要条件是穿越 0dB 线的频率c 所对应的开环对数相频特性大于-180°。 其相位裕量为  180   ( )  0 c  G j 。 表 5-1 典型环节 典型环节 幅相频率特性 G( j) 幅频特性 A() 相位频率特性 () 放大环节 K j0 K  e K 0 o 积分环节 s 1 ) 2 1 1 (      j e j  1 -90 o 微分环节 s 2   j j  e  +90 o 惯性环节 1 1 Ts  [ arctan( )] 2 2 1 1 1 1    j T e T Tj     1 1 2 2 T    arctan(T) 一阶微分环节 Ts 1 j 1 ( ) 1 2   arctan( )

振荡环节 不稳定环节 yo-I 180°+ arctan(7o) T2c2+1 表5-1典型环节 对数幅频特性曲线 幅相频率 特性曲线 对数幅频特性20gA(O)相位频率特性() 201gA(@) 相频Q()特性曲线 lg k 201go 201go 90°

·153· 振荡环节 2 2 2 2 n n n s  s     2 2 2 ( ) 2 ( ) n n n j  j     2 2 2 1 2 1                     n  n     2 1 2 arctan         n n      不稳定环节 1 1 Ts  [ 180 arctan( )] 2 2 1 1 1 1    j T e T Tj       1 1 2 2 T   180  arctan(T)  表 5-1 典型环节 幅相频率 特性曲线 对数幅频特性 20lg A() 相位频率特性() 对数幅频特性曲线 20lg A() 相频() 特性曲线 20lgK 0 O － 20lg -90 O 20lg +90 o 1 1 20lg 2 2   T   arctan(T)

20lg√r)2+ arctan(@r) 201g O -20lg√T2a2+ 180°+ arctan(T) (2)开环对数幅频特性与0dB线只有一个交点(一般情形),单位反馈系统的 开环传递函数可描绘为 Ke-A(S)I( s-1) G(s)= s"B(SI(s-1) 式中D≥0,τ≥0:当U=0时,K>1。 这时系统的稳定性判据可描绘为:当m1为奇数时闭环系统不稳定;当m1为0 或偶数时闭环系环稳定的充分必要条件是穿越0dB线的频率ω所对应的开环对数 相频特性大于180°(m1-1):其相位裕量为y=180°(-m1+1)+q(o),幅值裕量 为h2=-201g|G(10g)H(2)其中,o()为开环相频特性:a,为相频特性 与180°(m-1)线的交点。 (3)系统的开环传递函数中有在s右半平面的复数零极点的情形。 当系统的开环传递函数中有在s右半平面的复数零极点时,开环传递函数可写成

·154· 20lg ( ) 1 2   arctan( ) 2 2 2 1 2 1 20lg                     n n     2 1 2 arctan         n n      20lg 1 2 2  T   180  arctan(T)  （2）开环对数幅频特性与 0dB 线只有一个交点（一般情形），单位反馈系统的 开环传递函数可描绘为         1 1 1 1 ( ) ( 1) ( ) ( 1) ( ) n p p m i i s s B s T s Ke A s T s G s   式中  ≥0， ≥0；当 =0 时， K  1。 这时系统的稳定性判据可描绘为：当 m1为奇数时闭环系统不稳定；当 m1为 0 或偶数时闭环系环稳定的充分必要条件是穿越 0dB 线的频率 c 所对应的开环对数 相频特性大于180 ( 1)  m1  ；其相位裕量为 180 ( 1) ( ) m1   c       ，幅值裕量 为 20lg | ( ) ( ) | g g g h   G j H j 。其中，() 为开环相频特性； g 为相频特性 与180(m 1)线的交点。 （3）系统的开环传递函数中有在 s 右半平面的复数零极点的情形。 当系统的开环传递函数中有在 s 右半平面的复数零极点时，开环传递函数可写成