第2章控制系统的数学基础与数学模型 重点与难点 、基本概念 1.拉氏变换与拉氏反变换 (1)定义:Lx(t)=X(s)=x(t)ett<0时t)=0 x(s)e ds (2)拉氏变换基本定理 见教材附录 (3)求拉氏变换与拉氏反变换的方法 ①查表法,利用附录直接求取。 ②部分分式法()-HS-P C可用待定系数法求得,亦可用留数法求得 ③留数法 无重根C1=1i6-P)X()]i=0,12…n 有重根Cr1=八4S X(s)(s+P1) j=0,1,2…r-1 求拉氏变换一般可用定义求解;或借助拉氏变换定理求解。 2.微分方程的建立 系统微分方程是描述控制系统动态性能的一种数学模型。建立系统或元件微分方程 的一般步骤如下: (1)根据实际工作情况,确定系统和各元件的输入量和输出量 (2)根据物理或化学定律,注意考虑负载效应,列出系统各组成元件的原始方程; (3)在可能条件下,对各元件的原始方程进行适当简化,略去一些次要因素或进行 线性处理
·8· 第 2 章 控制系统的数学基础与数学模型 重点与难点 一、基本概念 1. 拉氏变换与拉氏反变换 （1）定义： 0 L[x(t)] X (s) x(t)e dt t 0时 t(t) 0 st c J c j st x s e ds j L x s x t ( ) 2 1 [ ( )] ( ) 1 （2）拉氏变换基本定理 见教材附录 （3）求拉氏变换与拉氏反变换的方法 ① 查表法，利用附录直接求取。 ② 部分分式法 n i i i s S P C X 1 ( ) Ci可用待定系数法求得，亦可用留数法求得 ③ 留数法 无重根 i 0,1,2n C lim[(S P )X (s)] i s P i i 有重根 ( )( ) j 0,1,2 1 d ! 1 1 S -P 1 j X s s P r j dS C r j r j 求拉氏变换一般可用定义求解；或借助拉氏变换定理求解。 2. 微分方程的建立 系统微分方程是描述控制系统动态性能的一种数学模型。建立系统或元件微分方程 的一般步骤如下： （1）根据实际工作情况，确定系统和各元件的输入量和输出量； （2）根据物理或化学定律，注意考虑负载效应，列出系统各组成元件的原始方程； （3）在可能条件下，对各元件的原始方程进行适当简化，略去一些次要因素或进行 线性处理；
(4)从系统输入端开始,依照信号的传递顺序,在所有元件的方程中消去中间变量, 最后得到描述系统输入和输出关系的微分方程: (5)对求出的系统微分方程进行标准化处理。即将与输出有关的各项放在等号左侧, 而将与输入有关的各项置于等号右侧;等号左、右侧各项均按幂形式排列,并将各项系 数归化为具有一定物理意义的形式 3.传递函数 (1)传递函数定义:传递函数是在零初始条件下,系统输出的拉氏变换与输入的拉 氏变换之比。零初始条件是指当1<0时,系统输入r()、输出c(1)以及它们的各阶导数 均为零。 (2)传递函数性质:①传递函数是复变量s的有理分式函数;②传递函数只与系统 自身的结构参数有关,与系统输入、输出的形式无关;③传递函数与系统微分方程相联 系,两者可以相互转换;④传递函数是系统单位脉冲响应的拉氏变换;⑤传递函数与s平 面上一定的零极点图相对应。 (3)传递函数的局限性:传递函数只适用于描述线性定常单输入、单输出系统,只 直接反映系统的零状态下的动态特性。 4.结构图(图2.1 (1)环节:环节是具有相同形式传 递函数的元部件的集合 H(s)E(S) 典型环节:比例环节,微分环节, 积分环节,惯性环节,振荡环节,一阶 复合微分环节,二阶复合微分环节。 (2)组成:信号线,环节方框,引 出点,比较点 (3)特点:①结构图具有概括性的抽象性,不表示某具体系统的物理结构;②用结 构图可以较直观地研究系统特性,分析各环节对系统性能的影响;③同一系统的结构图 形式不唯一,但其在输入、输出信号确定后,对应的系统传递函数是唯一的。 4)结构图等效变换规则:环节串联,环节并联,反馈,引出点、(分支点)比较 点(相加点)的移动 5.信号流图 (1)有关术语:源节点,阱节点,混合节点,前向通路,回路,不接触回路。 (2)信号流图与结构图本质上一样,只是形式上不同。 6.梅逊公式
·9· （4）从系统输入端开始，依照信号的传递顺序，在所有元件的方程中消去中间变量， 最后得到描述系统输入和输出关系的微分方程； （5）对求出的系统微分方程进行标准化处理。即将与输出有关的各项放在等号左侧， 而将与输入有关的各项置于等号右侧；等号左、右侧各项均按幂形式排列，并将各项系 数归化为具有一定物理意义的形式。 3. 传递函数 （1）传递函数定义：传递函数是在零初始条件下，系统输出的拉氏变换与输入的拉 氏变换之比。零初始条件是指当t 0 时，系统输入 r(t) 、输出c(t)以及它们的各阶导数 均为零。 （2）传递函数性质：①传递函数是复变量 s 的有理分式函数；②传递函数只与系统 自身的结构参数有关，与系统输入、输出的形式无关；③传递函数与系统微分方程相联 系，两者可以相互转换；④传递函数是系统单位脉冲响应的拉氏变换；⑤传递函数与 s 平 面上一定的零极点图相对应。 （3）传递函数的局限性：传递函数只适用于描述线性定常单输入、单输出系统，只 直接反映系统的零状态下的动态特性。 4. 结构图（图 2.1） （1）环节：环节是具有相同形式传 递函数的元部件的集合。 典型环节：比例环节，微分环节， 积分环节，惯性环节，振荡环节，一阶 复合微分环节，二阶复合微分环节。 （2）组成：信号线，环节方框，引 出点，比较点； （3）特点：①结构图具有概括性的抽象性，不表示某具体系统的物理结构；②用结 构图可以较直观地研究系统特性，分析各环节对系统性能的影响；③同一系统的结构图 形式不唯一，但其在输入、输出信号确定后，对应的系统传递函数是唯一的。 （4）结构图等效变换规则：环节串联，环节并联，反馈，引出点、（分支点）比较 点（相加点）的移动。 5. 信号流图 （1）有关术语：源节点，阱节点，混合节点，前向通路，回路，不接触回路。 （2）信号流图与结构图本质上一样，只是形式上不同。 6. 梅逊公式 G1(s) G2(s) H(s) H C(s) (s) E(s) N(s) 图 2.1
P P△k 式中P一从源节点到阱节点的传递函数(或总增益) n一从源节点到阱节点的前向通路总数 P4一从源节点到阱节点的第k条前向通路总增益 △=1-∑L2+∑LL+∑L2LL+…一流图特征式。其中,∑L为所有单 独回路增益总和,∑LL为在所有互不接触的单独回路中,每次取其中两个回路的回 路增益的乘积之和,∑LL2L为在所有互不接触的单独回路中,每次取其中三个回路 回路增益的乘积之和 Δ一流图余因子式,它等于流图特征式中除去与第k条前向通路相接触的回路增益 项(包括回路增益的乘积项)以后的余项式。 、基本要求 (1)掌握拉氏变换与拉氏反变换的定义与求取; (2)了解建立系统微分方程的一般方法 (3)掌握运用拉氏变换解微分方程的方法; (4)牢固掌握传递函数的概念、定义和性质 明确传递函数与微分方程之间的关系; 能熟练地进行结构图等效变换 (7)明确结构图与信号流图之间的关系; (8)能熟练运用梅逊公式求系统传递函数 (9)掌握从不同途径求传递函数的方法: 工作原理图 方框图 信号流图 系统微分方程组 传递函数Φ(s) 系统微分方程 系统响应解析表达式 、重点与难点 重点 建立微分方程的方法:运用拉氏变换解微分方程的方法;传递函数的概念和性质 传递函数和微分方程之间的关系;结构图的绘制和等效变换;结构图和信号流图的关系;
·10· n k P Pk k 1 1 式中 P —从源节点到阱节点的传递函数（或总增益）； n —从源节点到阱节点的前向通路总数； k p —从源节点到阱节点的第 k 条前向通路总增益； 1La LbLc LbLcLf —流图特征式。其中， La 为所有单 独回路增益总和， LbLc 为在所有互不接触的单独回路中，每次取其中两个回路的回 路增益的乘积之和， Ld LeLf 为在所有互不接触的单独回路中，每次取其中三个回路 的回路增益的乘积之和； k —流图余因子式，它等于流图特征式中除去与第 k 条前向通路相接触的回路增益 项（包括回路增益的乘积项）以后的余项式。 二、基本要求 （1）掌握拉氏变换与拉氏反变换的定义与求取； （2）了解建立系统微分方程的一般方法； （3）掌握运用拉氏变换解微分方程的方法； （4）牢固掌握传递函数的概念、定义和性质； （5）明确传递函数与微分方程之间的关系； （6）能熟练地进行结构图等效变换； （7）明确结构图与信号流图之间的关系； （8）能熟练运用梅逊公式求系统传递函数； （9）掌握从不同途径求传递函数的方法： 三、重点与难点 1. 重点 建立微分方程的方法；运用拉氏变换解微分方程的方法；传递函数的概念和性质； 传递函数和微分方程之间的关系；结构图的绘制和等效变换；结构图和信号流图的关系； 工作原理图 方框图 信号流图 系统微分方程组 系统微分方程 传递函数Ф(s) 系统响应解析表达式
梅逊公式 2.难点 (1)运用综合的基础知识(如电子、机械、物理等知识)建立正确的微分方程; (2)建立系统的结构图或信号流图 (3)结构图和信号流图等效变换的灵活运用:梅逊公式的应用。 φ例题解析 例2-1机械系统如图2-1所示,()为外力,M,M为质量,b1和b2为阻尼系数 k为弹性系数。求以质量M的速度v1和位移x1为输出,n(1)为输入时的系统的传递函数 解:先画出以M1和M的受力图如图2-2。 根据图2-2,列出如下方程 b1(v1-v2)+b2V1 +kx2=b(v1-v2) 零初始条件下进行拉氏变换,并整理得 已 (M1s+b1+b2)1(s)-bV2(s)=R(s) M bV1(s)+(M2S+b1+-)V2(S)=0 71H 图2-1机械系统 图2-2 消去中间变量2(s)得 Ms+b,+ V1(s)= (Ms+b1+b2)M2s+b+)-b2 所以,以V(s)为输出,R(s)为输入的传递函数是 G(S) V1(s) Ms+b,s+k R(S)(M,s+b+b,(M,s-+b,s+k)-bis
·11· 梅逊公式。 2. 难点 （1）运用综合的基础知识(如电子、机械、物理等知识)建立正确的微分方程； （2）建立系统的结构图或信号流图； （3）结构图和信号流图等效变换的灵活运用；梅逊公式的应用。 例题解析 例 2-1 机械系统如图 2-1 所示，r(t)为外力，M1，M2为质量，b1和 b2为阻尼系数， k 为弹性系数。求以质量 M1的速度 v1和位移 x1为输出，r(t)为输入时的系统的传递函数。 解: 先画出以 M1和 M2的受力图如图 2-2。 根据图 2-2，列出如下方程: 2 2 2 2 2 1 1 2 1 1 1 1 2 2 1 ( ) ( ) v x M v kx b v v M v b v v b v r 零初始条件下进行拉氏变换，并整理得: ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 1 2 1 1 2 1 1 2 V s s k b V s M s b M s b b V s b V s R s 图 2-1 机械系统 图 2-2 消去中间变量 V2(s)得 ( ) ( )( ) ( ) 2 1 1 2 2 1 1 2 1 1 R s b s k M s b b M s b s k M s b V s 所以，以 V1(s)为输出，R(s)为输入的传递函数是 M s b b M s b s k b s M s b s k R s V s G s 2 1 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 ( ) ( )( ) ( ) ( ) M1 M2 M2 M1
若输出为M的位移x,则由于s(s)=Hi(s),故其传递函数为 (s)-1V(s) 12S2+b1S+k G(s)= ( S R(s) S(M,S+b,+b2(M25+b,s+k)-bis 例2-2如图2-3所示的RC电路,试画出其结构图,并求出其传递函数 图 解:输入为口输出为囗字其他参数如图所示根据电路定律得→直接 写成频谱形式→ U()-U(s)1=1) R 1(s)-l2()=I(s) (s)-=U(s) U()-U ()H=I,(s) (s) 上述五个式子结构如图2-4 IS R 口→ Q)1m口1口m 口→ R 图2-4
·12· 若输出为 M1的位移 x1，则由于 sX1(s)= V1(s)，故其传递函数为 2 2 1 1 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 ( ) ( )( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) s M s b b M s b s k b s M s b s k R s V s R s s X s G s 例 2-2 如图 2-3 所示的 RC 电路，试画出其结构图，并求出其传递函数。 图 2-3 解:输入为输出为其他参数如图所示根据电路定律得直接 写成频谱形式 ( ) ( ) [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( )] ( ) U s C s I s I s R U s U s U s C s I s I s I s I s I s R U s U s o O i 2 2 2 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 上述五个式子结构如图 2-4 － － － 图 2-4 1 1 R 21 R G s11 G s21
将输入量口3→置于最左边,输出量口动→置于最右边,将各子结构图按逻辑 连接起来,构成系统完整的结构图,如图2-5所示。 2(s) 图2-5 为了求出传递函数,需将此结构图等效变换如图2-6和2-7 所以传递函数为 G(s) U(S)(R,CIS+I)(R,C2S+1)+R,C2S Uis 1 Uos) 图2-6 Uos) RCS+I RCS+ R2C 图2-7 例2-3系统结构图如图2-8所示,求传递函数 HI H3 图2-8
·13· Ui(s) U (s) Uo(s) I1(s) I (s) I2(s) － － － Uo(s) － － U Uo(s) i(s) － 将输入量置于最左边，输出量置于最右边，将各子结构图按逻辑 连接起来，构成系统完整的结构图，如图 2-5 所示。 图 2-5 为了求出传递函数，需将此结构图等效变换如图 2-6 和 2-7 所以传递函数为： U s R C s R C s R C s U s G s i O 1 1 2 2 1 2 ( 1)( 1) 1 ( ) ( ) ( ) 图 2-6 图 2-7 例 2-3 系统结构图如图 2-8 所示,求传递函数。 R(s) C(s) － + 1 1 R 2 1 R G s21 G s11 Ui(s) 11 R Cs11 2 1 R Cs21 R1 C2s 1 1 R1C1s 1 1 R2C2s R2C2s G1 G2 G3 G4 H3 H1 图 2-8
解:用结构图2-9等效变换法求解 H2/G HI 图2-9 得传递函数为 C(s) G,G,G,G2 G(s) R(s1-G3G4H,+G2G3H2+G,,G3G4H 例2-4用结构图等效变换法,求图2-10所示系统的传递函数C(S。 R( C(s) HI H2 图2-10结构图 a HuG R(S) G C(s) G1+G3 1+G2(H2G1+H1) 图2-
·14· 解: 用结构图 2-9 等效变换法求解。 － － ＋ 图 2-9 得传递函数为 3 4 1 2 3 2 1 2 3 4 3 1 2 3 4 ( ) 1 ( ) ( ) G G H G G H G G G G H G G G G R s C s G s 例 2-4 用结构图等效变换法，求图 2-10 所示系统的传递函数 ( ) ( ) R s C s 。 R(s) + C(s) － － 图 2-10 结构图 解: + R(s) － － G1 G2 H1 H2 G3 G1 G2 G3 H2/G4 G4 H3 H1 R(s) C(s) H2G G1 G2 G3 H1 G1+G3 1 ( ) 2 2 1 1 2 G H G H G R(s) C(s) 图 2-11
得传递函数为C(s)(G1+G2 R(s)1+G2(H2G1+H1) 例2-5结构图如图2-12所示,求C() R(S) C(s) H3 H2 图2-12 等效方法一: R(s)—4 卡C(s) H3 H2/G4-HI GG.G 1+ G2G3H H4/ga H2/G4-HI 图2-13
·15· － － － － ＋ － － － 得传递函数为 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 1 3 2 G H G H G G G R s C s 例 2-5 结构图如图 2-12 所示，求 ( ) ( ) R s C s 。 R(s) C(s) _ _ 图 2-12 等效方法一: R(s) C(s) R(s) C(s) 图 2-13 G1 G2 G3 H2 G4 H3 H1 H4 G1 2 3 3 2 3 4 1 G G H G G G H4/G2 H2/G4－H1 G1 G2 G3 G4 H2/G4－H1 H4 1/G2 H3
C(s) GGG.G 解得G(s)R(s)1+G2G1H3+GGH4+GG2GH2-GG2GGH1 等效方法二 R(s) C(s) H3 1/G4 H2 1/G4 HI 结果同上。 例2-6某系统的结构如图2-15所示,试求系统的传递函数C(s) R(s) s R∞“k rs+1 图2-15 1 C(s) 5
·16· 解得 2 3 3 3 4 4 1 2 3 2 1 2 3 4 1 1 2 3 4 ( ) 1 ( ) ( ) G G H G G H G G G H G G G G H G G G G R s C s G s 等效方法二: － R(s) C(s) － － － 图 2-14 结果同上。 例 2-6 某系统的结构如图 2-15 所示，试求系统的传递函数 ( ) ( ) R s C s 。 图 2-15 解: 图 2-16 G1 H4 G2 G3 G4 H3 H2 H1 1/G4 1/G4
+ 1 R(s) +1 C(s) 图2- ts+l (r+1)s+1 s(s+1) l)s+1 图 17
·17· 图 2-17 ＋ ＋ R(s) R(s) C(s) － 图 2-18 R(s) － C(s) － 图 2-19 图 2－20 1 s1 ) ( 1) [( 1) 1] s s k s ( 1) ( 1) 1 s s s s s k 2 s 1 s k 1 1 s k s s 1 1 s 2 s1 s 1 －
