西安石油大学电子工程学院：《自动控制理论 Modern Control System》精品课程教学资源（重点难点与例题解析）第四章 线性系统的根轨迹法

第4章线性系统的根轨迹法 ◆重点与难点 一、基本概念 根轨迹 指当开环系统某一参数从零到无穷变化时,闭环特征根相应在s平面上变化的轨迹。 2.轨迹增益K与开环增益K之间的关系 (1)开环传递函数的两种标准形式: 尾1型 K(r1S+1)…(rmS+1) K:开环增益 G(SH(s) s°(T1s+1)…(Tns+1)v:系统类型 首1型 S(S-pI 式中=1= i=1,2,…,m,为开环零点 P =1,2…,n-U,为开环极点 (2)K与K的关系 (-P1) 3.根轨迹方程 1+G(S)H(S=0 ∏ (s-;) G(SH(S)=K.-=

·83· 第 4 章 线性系统的根轨迹法 重点与难点 一、基本概念 1. 根轨迹 指当开环系统某一参数从零到无穷变化时，闭环特征根相应在 s 平面上变化的轨迹。 2. 轨迹增益 K*与开环增益 K 之间的关系 （1）开环传递函数的两种标准形式： 尾 1 型：          系统类型 开环增益 : : ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( ) ( ) 1 1      K s T s T s K s s G s H s nm   首 1 型： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 *         nm s s p s p K s z s z G s H s   式中 , 1,2, , , 1 z i m i i      为开环零点； , 1,2, , , 1  j  n  T p j j  为开环极点； （2）K *与 K 的关系 * 1 1 ( ) ( ) K p z K n j j m i i          3. 根轨迹方程 1 G(s)H(s)  0 即 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 * 1              n j j m i i s s p s z G s H s K

(1)模值条件 sP∏s-p (2)相角条件 ∠s-=1-90°+∑∠(-p1)=(2k+1)zk=0+1 4.闭环零点 由前向通道传递函数的零点和反馈通道传递函数极点所组成,不随K变化而变化。 5.绘制根轨迹的基本法则 6.关于0°根轨迹 (1)0°根轨迹是系统实质上处于正反馈状态下的根轨迹 (2)并不是非最小相角系统就要画0°根轨迹,也不是只要主反馈口符号形式上是 ”就画0°根轨迹,区别画0°或180°根轨迹在于根轨迹方程(标准形式),即 ∏ (s-;) G(SH(S)=K =±1 ∏(s-p,) 右端的符号:当为“一”时对应180°根轨迹:当为“+”时,对应0°根轨迹 (3)0°根轨迹绘制法则(见教材) 7.关于等效开环传递函数 (1)等效开环传递函数常用于绘制除K以外其他参数变化时的根轨迹 (2)等效开环传递函数对应的闭环特征式与原系统相同,所以有相同的闭环根,但 其对应的零点与原系统不同。当确定系统闭环零点时,必须由原系统开环传递函数确定。 8开环零点的二阶系统 若能在复平面画出根轨迹,则复平面根轨迹一定是圆或圆弧。 9.分离点位置 它常常对正确判断根轨迹的形态起重要作用。 10.关于根轨迹对称的一条定理 若开环零极点个数均为偶数,且左右对称分布于一条平行于虚轴的直线,则根轨迹 定关于该直线左右对称

·84· （1） 模值条件 * 1 1 | | | | | | K s z s s p m i i n j j          （2）相角条件                     m i n j i j s z s p k k 1 1 90  ( ) (2 1) 0, 1,  4. 闭环零点 由前向通道传递函数的零点和反馈通道传递函数极点所组成，不随 K *变化而变化。 5. 绘制根轨迹的基本法则 6. 关于 0°根轨迹 （1）0°根轨迹是系统实质上处于正反馈状态下的根轨迹。 （2）并不是非最小相角系统就要画 0°根轨迹，也不是只要主反馈口符号形式上是 “+”就画 0°根轨迹，区别画 0°或 180°根轨迹在于根轨迹方程（标准形式），即 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 * 1              n j j m i i s s p s z G s H s K 右端的符号：当为“－”时,对应 180°根轨迹；当为“+”时，对应 0°根轨迹。 （3） 0°根轨迹绘制法则（见教材） 7. 关于等效开环传递函数 （1）等效开环传递函数常用于绘制除 * K 以外其他参数变化时的根轨迹； （2）等效开环传递函数对应的闭环特征式与原系统相同，所以有相同的闭环根，但 其对应的零点与原系统不同。当确定系统闭环零点时，必须由原系统开环传递函数确定。 8. 开环零点的二阶系统 若能在复平面画出根轨迹，则复平面根轨迹一定是圆或圆弧。 9. 分离点位置 它常常对正确判断根轨迹的形态起重要作用。 10. 关于根轨迹对称的一条定理 若开环零极点个数均为偶数，且左右对称分布于一条平行于虚轴的直线，则根轨迹 一定关于该直线左右对称

、基本要求 (1)正确理解根轨迹的概念 (2)掌握根轨迹的绘制法则,并能熟练绘制系统的根轨j (3)熟练应用等效开环传递函数概念,绘制非K参数根轨迹 (4)正确区分并绘制0°根轨迹 5)能根据根轨迹定性分析系统指标随参数变化的趋势 (6)掌握确定闭环零极点及计算系统动态指标的方法 、重点与难点 1.重点 (1)常规根轨迹的绘制 (2)增加开环零点、极点对根轨迹和系统性能的影响 (3)利用根轨迹分析系统性能的方法 2.难点 利用根轨迹分析系统性能。 φ例题解析 例4-1已知开环零极点分布如图4-1所示,试略绘出相应的闭环根轨迹图 图4-1 解:所求的闭环根轨迹如图4-2所示,其中粗实线表示闭环根轨迹

·85· 二、基本要求 （1）正确理解根轨迹的概念； （2）掌握根轨迹的绘制法则，并能熟练绘制系统的根轨迹； （3）熟练应用等效开环传递函数概念，绘制非 K *参数根轨迹； （4）正确区分并绘制 0°根轨迹； （5）能根据根轨迹定性分析系统指标随参数变化的趋势； （6）掌握确定闭环零极点及计算系统动态指标的方法。 三、重点与难点 1. 重点 （1）常规根轨迹的绘制； （2）增加开环零点、极点对根轨迹和系统性能的影响； （3）利用根轨迹分析系统性能的方法。 2. 难点 利用根轨迹分析系统性能。 例题解析 例 4-1 已知开环零极点分布如图 4-1 所示，试略绘出相应的闭环根轨迹图。 图 4-1 解：所求的闭环根轨迹如图 4-2 所示，其中粗实线表示闭环根轨迹

例4-2设单位反馈控制系统的开环传递函数为 K s(0.2s+1)0.5s+1) 试概略绘出相应的闭环根轨迹图。 解: (0.2s+1)(0.5s+1)s(s+5)(s+2) 令 K1=10K 下面绘制当K1从零变到无穷大时的闭环根轨迹图。 (1)根轨迹的起点就是开环传递函数的极点:p1=0,P2=-5,P3=-2。 (2)依据幅角条件可确定实轴上的根轨迹为0→-2和-5→-∞段。 (3)计算分离点: s(s+5)(s+2)+K1=0 K 5s+2)=-(s3+

·86· 图 4-2 例 4-2 设单位反馈控制系统的开环传递函数为： (0.2 1)(0.5 1) ( )    s s s K G s 试概略绘出相应的闭环根轨迹图。 解： ( 5)( 2) 10 (0.2 1)(0.5 1) ( )       s s s K s s s K G s 令 K1  10K 下面绘制当 K1 从零变到无穷大时的闭环根轨迹图。 （1）根轨迹的起点就是开环传递函数的极点： 0, 5, 2 p1  p2   p3   。 （2）依据幅角条件可确定实轴上的根轨迹为 0  2 和  5   段。 （3）计算分离点： ( 5)( 2) 0 0 ( 5)( 2) 1 1 1         s s s K s s s K ( 5)( 2) ( 7 10) 3 2 K1  s s  s    s  s 

ds 3s,+14s+10=0 (舍去 所以,分离点为s=-0.88 (4)计算渐近线与实轴的交点 7 渐近线与实轴的夹角: 180°×(2k+1) (k=0,±1±2,…) 所以,渐近线与实轴的夹角为±60°,±180°。 (5)确定根轨迹与虚轴的交点 闭环特征方程: s(s+2(s+5)+K1 s3+7s2+10s+K1=0 令S=j代入上式有: m)3+7(jo)2+10(j0)+K1=0 整理得 (K1-7o2)+(10o-3)j=0 令实部、虚部分别等于零,得方程组: 「k1-702=0 解该方程组得: K=K,/10=7 依上面的分析,可绘出相应的根轨迹图,如 4-3所示

·87· 令 0 1  ds dK 得： 3 14 10 0 s2  s   0.88, 3.78 s1   s2   （舍去） 所以，分离点为 s  0.88。 （4）计算渐近线与实轴的交点： 2.3 3 7 3 3 1       i i p  渐近线与实轴的夹角： 3 180  (2 1)  k   (k  0,1,2,) 所以，渐近线与实轴的夹角为    60 ,180 。 （5）确定根轨迹与虚轴的交点： 闭环特征方程： 7 10 0 ( 2)( 5) 0 1 3 2 1         s s s K s s s K 令 s  j 代入上式有： ( ) 7( ) 10( ) 0 1 3 2 j  j  j  K  整理得： ( 7 ) (10 ) 0 2 3 K1      j  令实部、虚部分别等于零，得方程组：         10 0 7 0 3 2 1   K  解该方程组得: 故 /10 7 K  K1  依上面的分析，可绘出相应的根轨迹图，如 4-3 所示。 图 4-3

例4-3已知开环传递函数为 K s(S+4)(s2+4s+20) 试概略画出闭环系统的根轨迹图 解:(1)求根轨迹的起点与终点 4s+20=0 4±√16 2±j4 根轨迹起于0、-4、-2+14、-2-j4,沿不同方向终止于无穷远处 (2)根轨迹有四条分支 (3)实轴上的根轨迹在[-4,0段 (4)渐近线与负实轴的夹角为: 180°(2k+1) k=0时,φ=±45° k=1时,φ=±135 渐近线与负实轴的交点为 (5)求分离点。 闭环特征方程: s(S+4)(s2+4s+20) K=-s(s+4)s2+4s+20) 令 dK 0,得 (s+2(s2+4s+10)=0 故分离点为:s1=-2,s2=-2+j245,S3=-2-j245。 (6)求根轨迹与虚轴的交点 闭环特征方程

·88· 例 4-3 已知开环传递函数为： ( 4)( 4 20) ( ) ( ) 2     s s s s K G s H s 试概略画出闭环系统的根轨迹图。 解：（1）求根轨迹的起点与终点。 4 20 0 4 s  s   2 4 2 4 16 80 1,2 s    j     根轨迹起于 0、-4、-2＋j4、-2-j4，沿不同方向终止于无穷远处。 （2）根轨迹有四条分支。 （3）实轴上的根轨迹在[-4,0]段。 （4）渐近线与负实轴的夹角为： n m k     180 (2 1)     1 135 0 45     时， ＝ 时， ＝   k k 渐近线与负实轴的交点为： 2 4 (0 4 2 4 2 4)          j j  （5）求分离点。 闭环特征方程： ( 4)( 4 20) 0 2 s s  s  s   K  ( 4)( 4 20) 2 K  s s  s  s  令  0 ds dK ，得： ( 2)( 4 10) 0 2 s  s  s   故分离点为： 2, 2 2.45, 2 2.45 1 2 3 s   s    j s    j 。 （6）求根轨迹与虚轴的交点。 闭环特征方程：

s(s+4)(s-+4s+20)+k=0 s+8s+36s2+80s+K=0 令S=J,并代入上式,且实部等于零,得: o4-36o2+K=0 1) 虚部等于零,得 83+80a=0 2) 由2)式得:=0 ±√10≈±3 Q=0为根轨迹的起点 C=±3为根轨迹与虚轴的交点。 与虚轴交点O=±√10处对应的K值的计算: -2-j 由1)式得: K=36 依据上述分析,可概略绘制根轨迹,如图4-4所示。 4-4 例4-4设系统的特征方程为:s3+as2+Ks+K=0。K由0→∞变化时,分别 确定使根轨迹有一个、两个和没有非零实数分离点的a值范围,并概略绘制根轨迹 解:因为特征方程为: +as+ KstK=o 所以 K s(s+a) +1 dK ds 2s3+(a+3)s2+2as=0 非零实数分离点应满足 2s2+(a+3)s+2a=0 S,2= a2-10a+9 显然,要使根轨迹只有一个非零分离点 必须有:a2-10a+9=0 l;a=9 当a=9时,得 图4-5 渐近线与实轴交于0=-4

·89· ( 4)( 4 20) 0 2 s s  s  s   K  8 36 80 0 4 3 2 s  s  s  s  K  令 s  j ，并代入上式，且实部等于零，得： 36 0 4 2     K  1） 虚部等于零，得： 8 80 0 3      2） 由 2）式得：  0    10  3   0 为根轨迹的起点;   3为根轨迹与虚轴的交点。 与虚轴交点   10 处对应的 K 值的计算： 由 1）式得： 36 260 2 4 K     依据上述分析，可概略绘制根轨迹，如图 4-4 所示。 例 4-4 设系统的特征方程为： 0 3 2 s  as  Ks  K  。K 由0   变化时，分别 确定使根轨迹有一个、两个和没有非零实数分离点的 a 值范围，并概略绘制根轨迹。 解：因为特征方程为： 0 3 2 s  as  Ks  K  所以 1 ( ) 1 3 2 2        s s s a s s as K 令  0 ds dK 得： 2 ( 3) 2 0 3 2 s  a  s  as  非零实数分离点应满足： 2 ( 3) 2 0 2 s  a  s  a  10 9 4 1 4 3 2 1,2       a a a s 显然，要使根轨迹只有一个非零分离点， 必须有： 10 9 0 2 a  a   解 得 ： a  1;a  9 当 a  9时，得： 渐近线与实轴交于σ＝-4； 图 4-4 图 4-5

渐近线与实轴的夹角为:+90°、-90° 分离点为-3。根轨迹如图45所示。 当a>9时,例如a=10,求得 根轨迹起于0,0,10 根轨迹终止于-1和无穷远点 根轨迹的渐近线与实轴的夹角为:90°、-90 实轴上的根轨迹区间为:[-10,-1 根轨迹的分离点为:-2.5,-4。系统的根轨迹如图4-6所示。 当a9时,根轨迹有两个非零实数分离点 0<a<9时,根轨迹没有非零实数分离点。 例4-5闭环反馈系统的特征方程是1+ks(s+4)=0 (1)画根轨迹 (2)计算当两个根相等时k的值 解:(1)画根轨迹 a)有两条根轨迹分别起始于开环极点-1±j处,终止于开环零点-4和原点处 b)求出射角

·90· 渐近线与实轴的夹角为：＋90 o、-90 o； 分离点为-3。根轨迹如图 4-5 所示。 当 a  9时，例如 a  10 ，求得： 根轨迹起于 0，0，10； 根轨迹终止于-1 和无穷远点； 根轨迹的渐近线与实轴的夹角为：90 o、-90 o； 实轴上的根轨迹区间为：[-10，-1]； 根轨迹的分离点为：-2.5，-4。系统的根轨迹如图 4-6 所示。 当 a  9时，例如 a  5，求得： 渐近线与实轴的交点为：-2； 渐近线与实轴的夹角为：＋90 o，-90 o。此时，根轨迹没有非零分离点。 根轨迹如图 4-7 所示。 图 4-6 图 4-7 由上述可知： a  9时，根轨迹有一个非零实数分离点； a  9时，根轨迹有两个非零实数分离点； 0  a  9 时，根轨迹没有非零实数分离点。 例 4-5 闭环反馈系统的特征方程是 0 2 2 ( 4) 1 2      s s ks s （1）画根轨迹； （2）计算当两个根相等时 k 的值。 解:（1）画根轨迹 a) 有两条根轨迹,分别起始于开环极点－1±j 处，终止于开环零点－4 和原点处。 b) 求出射角

64=180+145+ arctan=-90° =235°+1843°=25343 c)求分离与汇合点 P(s)=S+4s Q(s)=s-+2s+2 代入方程PQ-PQ=0 有 2s-4=0 2±√4+16 l±√5 于是,汇合点为-1.24。 根轨迹如图4-8所示 s2+2s+ (2)由幅值条件知k= 将s=1.24代入得k=0288 例4-6单位负反馈系统的开环传递函数为 图4-8 K(2s+1) (025s+1)2 画出K从0→∞变化时闭环系统的根轨迹并确定闭环系统稳定时K的取值范围 解 32K(S+05) s2(s+4)2 渐进线 2 2×(-4)+0. -2.5 (2k+1)x =±60°180° 与虚轴交点 D(s)=s2(s+4)2+32K(s+0.5) 图4-9 =s4+83+16s2+32Ks+16K

·91·       235 18.43 253.43 90 3 1 180 145 arctan     d     c）求分离与汇合点 ( ) 2 2 ( ) 4 2 2      Q s s s P s s s 代入方程 PQ  PQ  0 有 1 5 2 2 4 16 2 4 0 1,2 2         s s s 于是，汇合点为 -1.24。 根轨迹如图 4-8 所示。 (2)由幅值条件知 4 2 2 2     s s s s k 将 s=-1.24 代入得 k=0.288 例 4-6 单位负反馈系统的开环传递函数为 2 2 (0.25 1) (2 1) ( )    s s K s G s 画出 K 从0   变化时闭环系统的根轨迹,并确定闭环系统稳定时 K 的取值范围. 解： 2 2 ( 4) 32 ( 0.5) ( )    s s K s G s 渐进线                  0 0 60 ,180 4 1 (2 1) 2.5 4 1 2 ( 4) 0.5    k a a 与虚轴交点 s s s Ks K D s s s K s 8 16 32 16 ( ) ( 4) 32 ( 0.5) 4 3 2 2 2          图 4-8 图 4-9

Re[D(o)=o4-16o2+16K=0 解出K=3 O=±2√3 画出根轨迹如图4-9所示。由根轨迹及计算结果可以确定K的稳定范围是 例4-7单位负反馈系统的开环传递函数为 K f(s)= l)(s2+6s+1 画出当κ*由0→∞变化时,闭环系统的根轨迹,并确定闭环系统稳定时K*的取值范围 解: G(s) (s-1)(s+3+j)(s+3-j) 渐进线 5 (1-3-3)/3 (2k+1)x 分离点 0 d-1d+3+jd+3-j 整理得 3d2+10d+4=0 解出 d2=-0.4648 相应的K*值是 65 =1-l|d2+3+jl+3- K ld2+3+川|d2+3-=1088 与虚轴的交点

·92· 令            Re[ ( )] 16 16 0 Im[ ( )] 8 32 0 4 2 3 D j K D j K       解出 K=3  =  2 3 画出根轨迹如图 4-9 所示。由根轨迹及计算结果可以确定 K 的稳定范围是 0<K<3 例 4-7 单位负反馈系统的开环传递函数为 ( 1)( 6 10) * ( ) 2     s s s K G s 画出当 K*由0   变化时,闭环系统的根轨迹,并确定闭环系统稳定时 K*的取值范围. 解： ( 1)( 3 )( 3 ) * ( ) s s j s j K G s       渐进线               0 0 60 ,180 3 (2 1) 3 5 (1 3 3)/ 3    k a a 分离点 0 3 1 3 1 1 1        d  d j d j 整理得 3 10 4 0 2 d  d   解出        2.8685 0.4648 1 2 d d 相应的 K*值是                  1 3 3 10.88 1 3 3 4.023 2 2 2 2 1 1 1 1 K d d j d j K d d j d j d d 与虚轴的交点 图 4－10