关于非方系统的解耦问题

D0I:10.13374/j.issn1001-053x.1987.04.019 北京钢铁学院学报 第9卷第4期 Journal of Beijing University Vol.9 No.4 1987年10月 of Iron and Steel Technology 0ct.1987 关于非方系统的解耦问题 王淑珍 (数学第二教研室) 摘 要 本文讨论了非方系统在状态反馈和输入变换下的解耦与稳定解耦的问题。利用在 反馈和输入变换下矩阵的特点，给出了解期问题有解的充分必要条件，并进状态一步 利用Yo上oy“ma标准形的性质得到非方系统稳定解辋问题有解的充分必要条件， 关键词：解搁，稳定解棚，父性系统，变换距阵 The Decoupling Problem of Non-Square Systems Wang Shuzhen Abstract The paper deals with the decoupling and stable decoupling of non- square systems on the state feedback and input transformation. Using the specific property of the matrix on the state feedback and input transformation,we give necessary and sufficient condition for the existence of solutions to the decoupling problem.Moreover by utilizing the property of the Yokoyama standard patten,we obtained necessary and sufficient conditions for the existence of solutions to the stable deco- upling problem of non-square systems Key words:decupling,stable decoupling,linear systems, transformation matrix 1988一11一29收稿 133

卜 北 京 钢 铁 学 院 学 报 第 。 卷第 期 年 月 关于非方系统的解乖禺问题 王 淑珍 数学第二教研窄 摘 要 肠 本文 讨论了非方系统在状态反馈和输入变换下的解锅与稳定解辆的问题 利用在 反馈和输入变换下矩阵的特点 ， 给出了解辆问题有解的充分必要条件 ， 并进状态一 步 利用 。 标准形的性质得到非方系统稳定解藕问题有解的充分必要条件 关键词 解祸 ， 稳定解润 ， 线性系统 ， 变换距 阵 一 牙 ” “ 之 卜 ， 多 ， ， 一 ， ， ， 一 一 女稿 DOI ：10．13374／j ．issn1001－053x．1987．04．019

引 言 文献〔1)对多变量时不变系统的解耦问题给出了非常简炼的结果，文献〔2〕则用另外 的方法解决了稳定解耦的问题。 对线性时不变系统 =AX+Bu X∈Rnu∈Rm (1) y=CX y∈RP. 来说，当m>p时，称(1)为非方系统。对于非方系统，有不同含义的解耦问题存在， 文献[3)给出了系统(1)的解耦问题有解的定义：如果存在K∈RmXn及L∈Rm×P,使 系统(1)在反馈控制律 4=-KX+LV V∈RP· (2) 下所得闭环系统 X=(A-BK)X+BLV (3) y=CX 的传递函数阵W(s)是非异对角方阵，那么称（非方）系统(1)的解耦问题有解 (简称(1)能解耦)，(K,L,)为该问题的解。文献〔4)给出了系统能解耦的一个充 分条件：对于非方系统(1)，如果 C1A-B C2A-B D= (4) Cp-1B 行满秩，则(1)能解耦。这里C:为C的第行， 1:=min{j|C:Ai-1B≠0} 文献〔5)给出了非方系统能解耦的充分必要条件。 本文试图用(4)式D的有关性质来讨论这一问题，并仿照文献〔2)的方法，进一步 讨论非方系统的稳定解耦问题。 1解耦问题 对于非方系统(1)，若由式(4)确定的D行满秩，则由文献〔6)知，系统(1) 对分割P={1,1,,1}的块解耦问题有解，即存在m×n阶阵K及m×m阶非异阵 G,满足 W:(s) C(SI-A+BK)-1BG= W2(s) (W;(s)中0) i=1,2…yp W。(s) 134

之 雀 二 二 文献〔 〕对多变量 时不 变系统 的解祸 问题给 出 了非常简炼的结果 ， 文献 〔 〕则用另外 的方法解决 了稳定 解辆的向题 。 对线性时不变系统 二 刁 十 “ 〔 〔 。 〔 来说 ， 当。 时 ， 称 为非方系统 。 对于非方系统 ， 有不 同含义 的解祸问题存在 。 文 献〔 〕给 出了系统 的解祸问题 有解的定 义 如果存在 〔 “ 及 〔 ‘ ， 使 系统 在反馈控制律 一 厂 犷 〔 ’ ‘ 下 所 得闭环系统 ” 一 犷 ‘ 夕 二 的传递 函数阵附 是非异对 角方阵 ， 那么称 非方 系统 的解 祸 问 题 有 解 简称 能解祸 ， ， 为该 问题 的解 。 文献〔 〕给 出了系统能解料的一 个充 分条件 对于非方系统 ， 如果 △ 一 ” 一 ’ ，一 ‘ 咨， ，一 。 行满秩 ， 则 能解祸 。 这 里 为 的第 行 ， 月 一 笋 。 卜 文献〔 〕给 出 了非方系统 能解祸的充分必要 条件 。 本文试 图用 式刀的有关性质来讨论 这 一 问题 ，并 仿照 文 献 〔 〕 的方 法 ， 进一 步 讨论 非 方系统 的稳定 解祸问题 。 解辊 问题 对于非 方系统 对分割尸 ， ， “ 、 ， 满足 ， 若由式 确定 的 行满秩 ， 则 山文献〔 〕知 ， 系统 的块解锅问题有解 ， 即存在 阶 阵 及 阶非 异阵 牙 一 月 一 附 。 笋 ， … ， 班 、 附 护

这时，可选m×阶阵L L-G 〔H〕 使由(1)、(2)组成的闭环系统(3)的传递函数阵为 W(s)=diag{w1(s),w2(s),…,w,(s)} 其中H可以取任意阵(H∈R(m-P)XP) 从上述分析可知，若对原系统(1)存在K及非异阵G,使 0 C(SI-A+BK)-BG= 0 则仍可选 i=c〔0] 使(K,工)为系统(1)的解耦问题的解。 由引言中定义，我们得下述等价命题。 命题。非方系统（1)的解耦问题有解的充分必要条件是，存在m×p阶阵L及 m×n阶阵K,使 CAi1-BL D- CAT+-BL t C:A-1 BL 非异，其中 ·li=min{lC:Ai-1Bi中0} A兰A-BK 该命题为我们提供了一个有益的启示：在考虑控制矩阵B的作用的同时，在寻找工 上下功夫。这样，我们给出了一个新的算法过程。 过程NAP: 第0步对C的第行，确定 1:。=1:=min{j|CiAi1B中0} 构造 C1A1-B D0=D= CAP-B) 第1步如果D。行满秩，则过程结束。 135

这 时 ， 可选。 阶阵 。 〔加 卜 使 由 、 组 成的闭环系统 的传递 函数阵为 牙 切 ， 叨 ， … ， 切 ， 其中 可以 取任意 阵 〔 一 从上 述分析可知 ， 若对原系统 存在灭及非异阵瓦 使 一 一 ‘ 、 则仍可选 卜 ‘ 「， ‘ 使 元 万 为系统 的解祸问题的解 。 由引言中定 义 ， 我们 得下述等价命题 。 命题 。 非 方系统 的解祸问题 有解的充分必要 条件是 ， 存在 阶阵 及 沉 ” 阶阵 ， 使 摊 ， 几 忍 一 一 非异 ， 其中 ‘ 玉 万 一 ‘ 力工祷 。 △ 一 该命题 为我们提供 了一 个有益的启示 在考虑控制矩 阵 的作用 的 同时 ， 在 寻 找 上 下功 夫 。 这样 ， 我们给 出 了一个新的算法过程 。 过程 “ 空尸 第 步 对 的第‘行 ， 确定 ，。 。 △ 一 祷 构造 ， ’ ‘ 一 ‘ 。 三 一 ， ’ 一 ’ ， 第 步 如果 。 行满秩 ， 则过程结束

第2步当D,不行满秩时，寻找m×m阶非异阵Go,使D,G的非零元个数最少， 且D,G。中有两个或两个以上非零元的列(r1列)在D,G的最后部分： 第3步如果”>m-p,则过程结束 第4多引入m:合m-,令H,会〔'。〕H,〔〕 1 0→k, 第5步k增加1。记 A=Ak-1-Bk-1Gk-1Hk-1oKkA0=AKx∈Rr1×n Bk Bk-1Gk-1Hk-1 B。=B 选Kx,使 C1AK1K-1Bx Dx= CrAxK-1BK 的秩达到极大，其中 △ 1ix=mindjl CiAxi-1Bx+0} 第6步如果Dx行满秩，则过程结束 第7步当Dx不行满秩时，寻找mx×mx阶非异阵Gx,'使DxGx的非零元个数最 少，且DxGx中有两个或两个以上非零元的列(k+1列)在DxGx的最后部分， 第8步如果”k+1>mK-p,则过程结束。 第9步引入m+1=mK-rk+1 H〔，〕 转入第5步。 由于D1不行满秩，上述过程第2、7步所得到的r,必大于零，因而整个过程必经 有限步结束，由此，我们得 定理1。非方系统(1)的解耦问题有解的充分必要条件是，对于系统(1)的A、 B、C阵施行过程NAP后，过程结束于第1,6步（即存在某个非负整数N,使DN行满 秩)。 证明充分性：。设p×mN阶阵D、行满秩。 构造系统 {cX-8 (5) 由过程NAP的第5步知 136

第 步 第 步 当 。 不 行满秩 时 ， 寻找。 又 。 阶非异阵 。 ， 使 。 。 的非零元 个数最少 ， 且 。 。 中有两 个或两 个以上 非零元 的列 列 在 。 ‘ 。 的最后部 分 如果 ， 。 一 ， 则过程结束 △ △ 第 步 引入。 二 。 一 ，， 令 。 二 ‘言卜 。 之 ， 〕 ， 第 步 斗掩 畏增加 。 记 △ 卜 一 一 一 一 。 △ 刁。 月 〔 火 一 口 一 一 选 ‘ ， 使 。 二 ‘ ’ 一 ‘ ‘ ， ’ 一 ‘ 第 步 第 步 少 ， 第 步 第 步 的秩达到极大 ， 其中 △ 二 。 币 ， 一 ‘ 子 ， 如果 行满秩 ， 则过程结 束 当 不行满秩时 ， 寻找阴 阶非异 阵‘ ， ’ 使 ‘ 的非零 元 个 数 最 且刀‘ ‘ 中有两 个或两个以上非零元 的列 十 列 在 的最后部分， 如果 ， 一 ， 则过程结 束 。 △ 引入沉、 二 一 、 △ 令 ‘ 。 、 、 〕 转人第 步 。 由于 一 不行满秩 ， 上述 过程第 、 步所 得到 的， 必 大于零 ， 因而 整个过程必经 有限步结束 ， 由此 ， 我们 得 定理 非方系统 的解祸问题 有 解的充分必 要 条件是 ， 对于系统 的月 、 、 阵施 行过 程 尸后 ， 过程结 束于第 ， 步 即存在某个非负整数 ， 使 ， 行满 秩 。 证 明 充分性 。 设 又 、 阶 阵 行满秩 。 构造系统 由过程 尸的第 步知 二 厂

Ax=A-BK, BN=BLs 则系统(5)在控制律 VN=DRV 下所得闭环系统 「X=(A-BK)X+BDy y=CX 的 CA11-BL △ CAT-BL 非异，其中A=Aw,L=LNDN(显然1；=1：N)即系统(5)的解耦问题有解，从而非 方系统(1)的解耦问题有解。 必要性。用反证法。由于过程NAP总能经过有限步结束，假设所有D;均不行满秩， 这时必有一个N≥0，使r1+r2+…+rN>m-p≥r1+r2+…+rw-1,对每一个j,B,是， B,-1进行列的线性组合后保留其中的前m;列，而在A;中，考虑了所有舍去的r1列的状态 反馈作用，过程的第5步则是考虑了在这样的反馈作用下所能使闭环系统解耦的程度 (由D的秩确定)。因此，当r1+r2…+rN>m-p时，表示了对所有的K∈Rm×及L∈ Rm×P,系统 (文A-BK)X+B (7) y=CX 的解耨问题无解与题设矛盾，必要性得证。 事实上，当上述条件满足时，使闭环系统实现解耦的解(K,L)也是容易确定 的。 2稳定解耦问题 现在我们来讨论非方系统的稳定解耦问题，为此，先给出如下定义。 定义对非方系统(1)，如果存在K∈Rm×及L∈Rm×P,使(K,L)是系统(1) 的解耦问题的解，且0(A-BK)CC,则称系统(1)的稳定解耦问题有解（能稳定 解耦的)，称(K,L)是系统的稳定解耦问题的解。 事实上，设非方系统(1)的传递函数阵为 W(s)=R(s)P-1(s)B1 (8) 里〔（)门为列首一多项式阵，其中按P(s)的列次展开的系数矩阵A,C:】 B.均可由将原系统化成Yokoyama标准形而确定2,5)。同样地，系统（1)在(2)下 所得闭环系统的传递函数阵可表为 137

则系统 在控制律 下 所 得闭环系统 注， 一 ， 、 、 犷、 二 刀蕊犷 于 “ ‘ 一 ’ 犷 、 ‘ 一 ‘ 咒一 卜 一 一 △ 非异 ， 其 中城 三 ， 石二 蕊 显然 乙 ， 即系统 的解祸问题有解 ， 从而非 方系统 的解祸 问题 有解 。 必 要性 。 用 反证 法 。 由于 过 程 尸总能经 过有限步结束 ，假设所有 ， 均 不行满秩 ， 这时必有一 个 ， 使 … 、 一 》 … ， 一 ，对每一个 ， ，是 ， 一 进 行列的线性组合后 保留其 中的前 列 ， 而在月 中 ， 考虑 了所有舍去 的， 列的状 态 反馈作用 ， 过程 的第 步则是考虑 了在这 样的反馈作用下所能使闭环系统 解祸 的 程 度 由刀 的秩确定 。 因此 ， 当 ， … 十 、 。 一 时 ， 表示 了对所有的 〔 “ 及 〔 ‘ ，， 系统 刁 一 厂 的解祸 问题 无解与题设矛盾 ， 必要 性 得证 。 事实上 ， 当上 述 条件满足 时 ， 使 闭环系统 实现解耗 的解 ， 也 是 容 易 确 定 的 。 稳定解辐问题 现在我们来讨论 非方系统 的稳定 解祸 问题 ， 为此 ， 先给 出如下定 义 。 定 义 对非 方系统 ， 如果存在 〔 ” 及 〔 万 ， 使 ， 是 系统 的解祸问题 的解 ， 且 过 一 一 ， 则称系统 的稳定 解锅 问题 有解 能稳定 解祸 的 ， 称 ， 是 系统 的稳定解祸问题的 解 。 事实上 ， 设非方系统 的传递 函 数阵为 这 里 〔 尸 班 二 一 ‘ 〕 为歹首 一 多项式阵 ， 其 中按尸 ‘ ，的歹 次展 开 的系 数矩 阵 “ ， ‘ 及 均可 由将原系统 化成 标准形 而 确 定〔 ， 〕 。 同样地 ， 系统 在 下 所 得闭 环系统 的传递 函数阵可 表为

W(s)=R(s)P(s)BIL 亦即(8)式中的R(s)是不变的。 由定理1知，当系统能解耦时，则必由过程WNAP确定出一个N≥0，使D,行满秩， 这时，记 Rk(s)=R(S)LN (9) 其中Lw=GH。…GN-1HN-1。设RN（s)的第i行(mN个元)的最大公因子为r;(s) (首一多项式)，则 Rs(s)=diagir(s),,r(s)R(s) (10) 设R(s)有最大左因子RL(s) R(s)=RL(S)Rx(s) (11) 则R。(s)是单位模阵的一部分。于是，我们有： 定理2非方系统(1)的稳定解捆问题有解的充分必要条件是 原系统(1)的解耦问题有解， 由(9)、(10)两式确定的R(s)的最大左因子RL(s)或是稳定的 (指detRL(s)是稳定多项式)或是单位模阵。 定理的证明与文献〔2〕中类似定理的证明相仿，这里从咯 事实上，实现解辆时，只须且必须消去由(10)式确定的R(s),因此定理条件中 的〈iⅱ)是显然的。 3结 论 本文讨论了输入维数m大于输出维数p的非方系统的解耦及稳定解耦问题，给出了 一个新的算法过程NAP,由此易得上述问题有解的充分必要条件，并且当相应条件满 足时，有关问题的解也是容易确定的。 参考文献 1 Gilbert,E,G.SJAM J.Confrol,7:1(1969),60-63 〔2〕韩京清，许可康：自动化学报，10：3(1984)，270 8 Wolovich,W,A,Linear Multivariable Systems Springer,Berlin, 1974,296 [4 Sude,N.Miara,K.:Preprints of 3-rd SICE Symposium o Control Theory,1974,17-20 5 Suda,N&Umahashi,K.Preprints of IFAC 9th World Congress, 1984,88-93 〔6)许可康：第六届控制理论及其应用学术会议论文集，(1986) 138

三‘ 亦即 式中的 是 不变的 。 由定理 知 ， 当系统能解祸 时 ， 则必 由过程 尸确 定 出一个 》 ， 使 ， 行满秩 ， 这时 ， 记 ， △ 、 △ 其中 ， 。 。 二 心 一 ， 一 。 设 、 ‘ 的第 行 个元 的最大 公 因子 为 ， 首一多项式 ， 则 、 ‘ ， … ， ， 设 有最大左 因子 ‘ 、 则 ‘ 是 单位模阵的一部分 。 于 是 ， 我们有 定理 非方系统 的稳定解祸 问题 有解的充分必要 条件是 原系统 能稳， 原系统 的解祸问题 有解， 由 、 两式确 定的 的最大左 因子 或是 稳 定 的 指 。 是稳 定多项式 或是单位模阵 。 定理 的证 明与文献〔 〕 中类似定理 的证 明相仿 ， 这 里从略 事实上 ， 实现解锅时 ， 只须且必须消去 由 式确定的左 ， 因此定理 条件 中 的 是 显然的 。 结 论 本文讨论 了输人维数二大于输 出维 数 的非方系统 的解祸及稳定解藕问题 ， 给 出 了 一 个新 的算法过程 尸 ， 由此 易得上述 问题 有解的充分必要条件 ， 并且 当相应 条 件满 足 时 ， 有关 问题 的解也是 容易确定的 。 参 考 文 献 〔 〕 ， 。 ， ， 一 〔 〕 韩京清 ， 许可康 自动化学 报 ， ， 〔 〕 ， 。 巾 ， ， ， 〔 〕 ， 。 ， 。 一 少。 户 。 切 。 ， ， ， 一 〔 〕 ， ， 。 平 ， ， ， 一 〔 〕 许可 康 第六届控制理论 及其应用学 术会议论 文集