回转窑内二元颗粒物料的径向混合

工程科学学报，第38卷，第2期：194-199,2016年2月 Chinese Journal of Engineering,Vol.38,No.2:194-199,February 2016 DOI:10.13374/j.issn2095-9389.2016.02.006:http://journals.ustb.edu.cn 回转窑内二元颗粒物料的径向混合 陈 辉，肖友刚，赵先琼，刘颖，刘义伦四 中南大学高性能复杂制造国家重点实验室，长沙410000 ☒通信作者，E-mail:csuchenh@csu.edu.cn 摘要研究了颗粒尺寸差异和密度差异对二元物料在回转窑内混合的影响.采用离散单元法建立颗粒物料的运动模型， 模拟滚落运动模式下二元物料在回转窑内的径向混合过程；通过颗粒接触数定义混合程度评价指数，结合Hog的渗流与凝 聚竞争理论分析颗粒体积比σ和密度比η对二元物料混合程度的影响.结果表明：增大体积比σ会增强渗流作用，增大密度 比)会增强凝聚作用，无论渗流或凝聚占据主导作用，均会导致物料在混合过程中产生径向分离，使混合程度降低：对σ与刀 进行配置后，可以使渗流与凝聚两种机理彼此平衡，达到物料混合均匀的目的：物料的渗流一凝聚平衡曲线中，σ与7呈幂函 数关系. 关键词回转窑：固体物料：混合；渗流：凝聚 分类号T355 Transverse mixing of binary solid materials in a rotating kiln CHEN Hui,XIAO You-gang,ZHAO Xian-qiong,LIU Ying,LIU Yi-lun State Key Laboratory of High Performance Complex Manufacturing,Central South University,Changsha 410000,China Corresponding author,E-mail:csuchenh@csu.edu.cn ABSTRACT In order to investigate the effect of particle size difference and density difference on the mixing mechanism of binary granular materials within a rotating kiln,a kinematic model of particles was established using the discrete element method,and the transverse mixing process of granular materials in the rolling regime within the rotating kiln was simulated.The mixing index was defined by contact-number between particles,and the effects of particle volume ratio and density ratio on the mixing index were analyzed using Hong's theory:competition between percolation and condensation.The results show that the percolation mechanism improves with increasing volume ratio o between particles,but the condensation mechanism improves with increasing density ratio n. Segregation will occur in the radial direction of the rotating kiln no matter percolation or condensation plays the leading role resulting in the decrease of mixing degree.Percolation and condensation can balance each other for some reasonable particle volume and density combinations,where the binary granular materials could get uniformly mixed.There is a power function relationship between particle volume ratio and density ratio when percolation and condensation balance each other. KEY WORDS rotary kilns;solid materials;mixing:percolation:condensation 利用回转窑将两种物性不同的物料进行混合是金 及热工效率2，物料良好的混合往往能提高产品的 属治炼、矿物加工、水泥制造等工业中常用的生产工 质量.因此，研究和掌握物料在回转窑内的混合规律 艺”.物料多为固体颗粒状，加入到水平放置的回转 具有重要的工程应用价值. 窑内后，随着回转窑的转动而运动并产生混合.物料 二元物料混合过程中，由于两种物料的颗粒物性 在回转窑内的混合效果直接关系到物料的干燥、研磨 存在差异，容易在回转窑径向方向产生分离现象5。， 收稿日期：2014-1108 基金项目：国家自然科学基金资助项目(51374241,51275531)：湖南省研究生科研创新资助项目(CX2014B059)

工程科学学报，第 38 卷，第 2 期: 194--199，2016 年 2 月 Chinese Journal of Engineering，Vol． 38，No． 2: 194--199，February 2016 DOI: 10． 13374 /j． issn2095--9389． 2016． 02． 006; http: / /journals． ustb． edu． cn 回转窑内二元颗粒物料的径向混合 陈 辉，肖友刚，赵先琼，刘 颖，刘义伦 中南大学高性能复杂制造国家重点实验室，长沙 410000  通信作者，E-mail: csuchenh@ csu． edu． cn 摘 要 研究了颗粒尺寸差异和密度差异对二元物料在回转窑内混合的影响． 采用离散单元法建立颗粒物料的运动模型， 模拟滚落运动模式下二元物料在回转窑内的径向混合过程; 通过颗粒接触数定义混合程度评价指数，结合 Hong 的渗流与凝 聚竞争理论分析颗粒体积比 σ 和密度比 η 对二元物料混合程度的影响． 结果表明: 增大体积比 σ 会增强渗流作用，增大密度 比 η 会增强凝聚作用，无论渗流或凝聚占据主导作用，均会导致物料在混合过程中产生径向分离，使混合程度降低; 对 σ 与 η 进行配置后，可以使渗流与凝聚两种机理彼此平衡，达到物料混合均匀的目的; 物料的渗流--凝聚平衡曲线中，σ 与 η 呈幂函 数关系． 关键词 回转窑; 固体物料; 混合; 渗流; 凝聚 分类号 TF355 Transverse mixing of binary solid materials in a rotating kiln CHEN Hui，XIAO You-gang，ZHAO Xian-qiong，LIU Ying，LIU Yi-lun State Key Laboratory of High Performance Complex Manufacturing，Central South University，Changsha 410000，China  Corresponding author，E-mail: csuchenh@ csu． edu． cn ABSTＲACT In order to investigate the effect of particle size difference and density difference on the mixing mechanism of binary granular materials within a rotating kiln，a kinematic model of particles was established using the discrete element method，and the transverse mixing process of granular materials in the rolling regime within the rotating kiln was simulated． The mixing index was defined by contact-number between particles，and the effects of particle volume ratio and density ratio on the mixing index were analyzed using Hong's theory: competition between percolation and condensation． The results show that the percolation mechanism improves with increasing volume ratio σ between particles，but the condensation mechanism improves with increasing density ratio η． Segregation will occur in the radial direction of the rotating kiln no matter percolation or condensation plays the leading role resulting in the decrease of mixing degree． Percolation and condensation can balance each other for some reasonable particle volume and density combinations，where the binary granular materials could get uniformly mixed． There is a power function relationship between particle volume ratio and density ratio when percolation and condensation balance each other． KEY WOＲDS rotary kilns; solid materials; mixing; percolation; condensation 收稿日期: 2014--11--08 基金项目: 国家自然科学基金资助项目( 51374241，51275531) ; 湖南省研究生科研创新资助项目( CX2014B059) 利用回转窑将两种物性不同的物料进行混合是金 属冶炼、矿物加工、水泥制造等工业中常用的生产工 艺［1］． 物料多为固体颗粒状，加入到水平放置的回转 窑内后，随着回转窑的转动而运动并产生混合． 物料 在回转窑内的混合效果直接关系到物料的干燥、研磨 及热工效率［2--4］，物料良好的混合往往能提高产品的 质量． 因此，研究和掌握物料在回转窑内的混合规律 具有重要的工程应用价值． 二元物料混合过程中，由于两种物料的颗粒物性 存在差异，容易在回转窑径向方向产生分离现象［5--6］

陈辉等：回转窑内二元颗粒物料的径向混合 ·195 严重影响物料的混合质量.其中，颗粒间的尺寸差异 触力F和接触力力矩T,则颗粒的运动方程为 和密度差异是导致分离现象的两种主要因素：由不同 m,i(0=mg+∑(Fg+F), (1) 颗粒尺寸组成可二元物料称为S形(size)体系，不同 颗粒密度组成的二元物料称为D形(density)体 18(0=∑Tg (2) 系.S形体系或D形体系物料的径向分离类似于 式中，r和0：分别为颗粒的位置矢量和角位移 巴西果效应：物料处于最常见的滚落运动模式时，由于 S形体系与D形体系分别受到渗流机理与凝聚机理的 颗粒i 颗粒 影响，混合过程中尺寸较小或者密度较大的颗粒会集 中至物料的核心区域，而尺寸较大或者密度较小的颗 粒则扩散到靠近回转窑内壁的区域，形成典型的“太 阳分离模式”或者“月亮分离模式”-0，使物料混合 程度降低.根据Hog等提出的渗流与凝聚竞争机 边界：回转窑内壁 理推测，如果对两种颗粒的密度与尺寸进行合理配比， 可使颗粒的渗流与凝聚机理达到平衡，从而削弱二元 图1离散单元法物料颗粒模型 物料的分离现象，达到均匀混合的目的.然而，目前关 Fig.1 Schematic of particles in DEM 于二元物料混合的研究主要是分别针对S形体系或者 式(1)和式(2)中，接触力主要有3种计算模 D形体系2-国，二元物料同时存在颗粒尺寸差异和密 型线性接触力模型”、“Hertz-一Mindlin模型”和 度差异时的混合研究还有待加强. “无滑移Hertz一Mindlin模型”.根据Renzo和Maio阿 由于固体颗粒的离散性和非透明性，实验研究 的研究结果，密集颗粒运动中的接触力采用“无滑移 中，如何无干扰地提取物料的运动信息并确定二元物 Hertz--Mindlin模型”不但能保证计算精度，而且可以 料的混合程度具有一定难度5-刀.近年来，离散单元 避免过多的计算量.因此，采用“无滑移Hertz一Mindlin 法(discrete element method,DEM)逐渐成为研究固体 颗粒系统的数值试验工具，可以针对颗粒系统的非连 模型”计算FF和T,式中计算的为矢量幅值： 续性质，有效地获取其内部的力学和运动信息s-9, ER。*-√m 10 (3) 并且离散单元法在研究回转窑内物料的混合方面已有 应用网.本文以增强二元物料混合效果为目的，采用 F=-min{8G√Ra6+ 三维离散单元法建立固体颗粒的运动模型，同时考虑 颗粒的尺寸差异和密度差异，对二元物料在回转窑内 (4) 的混合过程进行数值试验研究，结合Hog的渗流与凝 Tg=R×F-u,FR,8 (5) 聚竞争理论，分析颗粒尺寸和密度对二元物料混合程 式中：R,和R分别为颗粒i和颗粒j的半径值；m:和m 度的影响，得出利于二元物料混合的颗粒尺寸与密度 分别为颗粒i和颗粒j的质量；E:和E,分别为颗粒i和 配比关系 颗粒j的弹性模量：和专分别为颗粒i和颗粒j的泊 1 模型建立 松比；G,和G,分别为颗粒i和颗粒j的切变模量；e为 颗粒之间的碰撞恢复系数；S.和S,分别为颗粒间接触 1.1离散单元法运动方程 点的法向刚度和切向刚度：B为修正系数：a和8分别 离散单元法基本算法由Cundal和Strack阁提出， 为颗粒间的法向重叠量和切向重叠量；：和分别为 主要用于颗粒系统的研究.离散单元法可以获得颗粒 颗粒间相对法向速度和相对切向速度4，和4，分别为 速度、运动轨迹、接触力等实验中难以提取的信息.物 颗粒之间的滑动摩擦系数和滚动摩擦系数. 料属于密集颗粒系统，如图1所示，设物料由k颗颗粒 组成.其中：假设物料由k个颗粒组成，则下标ij分 计算过程中，等效半径R= 一RB,等效弹性模 R:+R; 别为颗粒的序号数(i=1,2,,k;j=1,2,…,i-1, EE 量E”= i+1,…,k);m、1和R分别表示颗粒的质量、转动惯量 (1-)E+1-)E等效质量m= 和半径：F、F和M分别表示颗粒之间的法向接触力、 G.C 切向接触力和接触力矩；0和r分别表示颗粒的角位 等效切向模最6=0-》G十1-)G法向 m,+m, 移和位置矢量：g为重力加速度.图1中，半径为R:质 刚度S。=2E(Ra)a5,切向刚度S,=8G(Ra)a5,修正 量为m:、转动惯量为I,的颗粒i在运动中所受作用力 系数B= 为颗粒自身重力mg、颗粒j的法向接触力F、切向接 m。+干，颗粒间法向重叠量a和切向重

陈 辉等: 回转窑内二元颗粒物料的径向混合 严重影响物料的混合质量． 其中，颗粒间的尺寸差异 和密度差异是导致分离现象的两种主要因素: 由不同 颗粒尺寸组成可二元物料称为 S 形( size) 体系，不同 颗粒 密 度 组 成 的 二 元 物 料 称 为 D 形 ( density ) 体 系［7--8］． S 形体系或 D 形体系物料的径向分离类似于 巴西果效应: 物料处于最常见的滚落运动模式时，由于 S 形体系与 D 形体系分别受到渗流机理与凝聚机理的 影响，混合过程中尺寸较小或者密度较大的颗粒会集 中至物料的核心区域，而尺寸较大或者密度较小的颗 粒则扩散到靠近回转窑内壁的区域，形成典型的“太 阳分离模式”或者“月亮分离模式”［9--10］，使物料混合 程度降低． 根据 Hong 等［11］提出的渗流与凝聚竞争机 理推测，如果对两种颗粒的密度与尺寸进行合理配比， 可使颗粒的渗流与凝聚机理达到平衡，从而削弱二元 物料的分离现象，达到均匀混合的目的． 然而，目前关 于二元物料混合的研究主要是分别针对 S 形体系或者 D 形体系［12--13］，二元物料同时存在颗粒尺寸差异和密 度差异时的混合研究还有待加强． 由于固体颗粒的离散性和非透明性［14］，实验研究 中，如何无干扰地提取物料的运动信息并确定二元物 料的混合程度具有一定难度［15--17］． 近年来，离散单元 法( discrete element method，DEM) 逐渐成为研究固体 颗粒系统的数值试验工具，可以针对颗粒系统的非连 续性质，有效地获取其内部的力学和运动信息［18--19］， 并且离散单元法在研究回转窑内物料的混合方面已有 应用［20］． 本文以增强二元物料混合效果为目的，采用 三维离散单元法建立固体颗粒的运动模型，同时考虑 颗粒的尺寸差异和密度差异，对二元物料在回转窑内 的混合过程进行数值试验研究，结合 Hong 的渗流与凝 聚竞争理论，分析颗粒尺寸和密度对二元物料混合程 度的影响，得出利于二元物料混合的颗粒尺寸与密度 配比关系． 1 模型建立 1. 1 离散单元法运动方程 离散单元法基本算法由 Cundall 和 Strack［18］提出， 主要用于颗粒系统的研究． 离散单元法可以获得颗粒 速度、运动轨迹、接触力等实验中难以提取的信息． 物 料属于密集颗粒系统，如图 1 所示，设物料由 k 颗颗粒 组成． 其中: 假设物料由 k 个颗粒组成，则下标 i、j 分 别为颗粒的序号数( i = 1，2，…，k; j = 1，2，…，i － 1， i + 1，…，k) ; m、I 和 Ｒ 分别表示颗粒的质量、转动惯量 和半径; Fn 、Ft 和 M 分别表示颗粒之间的法向接触力、 切向接触力和接触力矩; θ 和 r 分别表示颗粒的角位 移和位置矢量; g 为重力加速度． 图 1 中，半径为 Ｒi质 量为 mi、转动惯量为 Ii的颗粒 i 在运动中所受作用力 为颗粒自身重力 mig、颗粒 j 的法向接触力 Fn ij、切向接 触力 Ft ij和接触力力矩 Tij，则颗粒的运动方程为 mir ·· i ( t) = mig + ∑ j ( Fn ij + Ft ij) ， ( 1) Iiθ ·· i ( t) = ∑ j Tij． ( 2) 式中，ri和 θi分别为颗粒的位置矢量和角位移． 图 1 离散单元法物料颗粒模型 Fig． 1 Schematic of particles in DEM 式( 1 ) 和式 ( 2 ) 中，接 触 力 主 要 有 3 种 计 算 模 型［18］ : “线性接触力模型”、“Hertz--Mindlin 模型”和 “无滑移 Hertz--Mindlin 模型”． 根据 Ｒenzo 和 Maio［19］ 的研究结果，密集颗粒运动中的接触力采用“无滑移 Hertz--Mindlin 模型”不但能保证计算精度，而且可以 避免过多的计算量． 因此，采用“无滑移 Hertz--Mindlin 模型”计算 Fn ij、Ft ij和 Tij，式中计算的为矢量幅值: Fn ij = 4 3 E* Ｒ* 1 2 α 3 2 － 10 槡3 β 槡Snm* v n ij， ( 3) Ft ij = － min 8 { G* Ｒ* 3 2 槡 α 1 2 δ + 10 槡3 β 槡Stm* v t ij ，μt | Fn ij | } ， ( 4) Tij = Ｒi × Ft ij － μrFn ijＲi θ · i ． ( 5) 式中: Ｒi和 Ｒj分别为颗粒 i 和颗粒 j 的半径值; mi和 mj 分别为颗粒 i 和颗粒 j 的质量; Ei和 Ej分别为颗粒 i 和 颗粒 j 的弹性模量; ξi和 ξj分别为颗粒 i 和颗粒 j 的泊 松比; Gi和 Gj分别为颗粒 i 和颗粒 j 的切变模量; e 为 颗粒之间的碰撞恢复系数; Sn和 St分别为颗粒间接触 点的法向刚度和切向刚度; β 为修正系数; α 和 δ 分别 为颗粒间的法向重叠量和切向重叠量; v n ij和 v t ij分别为 颗粒间相对法向速度和相对切向速度; μt和 μr分别为 颗粒之间的滑动摩擦系数和滚动摩擦系数． 计算过程中，等效半径 Ｒ* = ＲiＲj Ｒi + Ｒj ，等效弹性模 量 E* = EiEj ( 1 － ξ 2 i ) Ei + ( 1 － ξ 2 j ) Ej ，等 效 质 量 m* = mimj mi + mj ，等效切向模量 G* = GiGj ( 1 － ξ 2 i ) Gi + ( 1 － ξ 2 j ) Gj ，法向 刚度 Sn = 2E* ( Ｒ* α) 0. 5，切向刚度 St = 8G* ( Ｒ* α) 0. 5，修正 系数 β = ln e ( ln2 e + π2 ) 1 2 ，颗粒间法向重叠量 α 和切向重 · 591 ·

·196 工程科学学报，第38卷，第2期 叠量8由位置矢量确定，颗粒间相对法向速度和切 图2为二元物料的初始状态，颗粒A标记为黑色， 向速度由速度矢量确定.模型参数为颗粒半径、质 颗粒B标记为白色，2种颗粒的总体积相等，最初为完 量、弹性模量、泊松比以及颗粒之间的碰撞恢复系数、 全分离状态，分别装在回转窑的左右两边.回转窑转 滑动摩擦系数、滚动摩擦系数. 速为0，填充率为50%，两种颗粒随着回转窑的转动而 回转窑是物料颗粒运动的几何边界，为水平放置 运动并相互混合 的转筒.由于端面挡板的摩擦力会改变物料原有的径 向运动状态四，为消除其影响，模型中回转窑不设端 面挡板，轴向方向设置为循环边界 颗粒 颗粒B 1.2模型计算 模型算法过程为：（1)循环检索颗粒i的空间位 置：(2)计算颗粒间接触力：(3)差分求解式(1)和式 (2)并记录颗粒新的位置和速度信息：(4)进入下一时 1 步并返回步骤(1).算法过程采用基于C·语言的自 编程序实现，基本程序设置过程不作赘述 图2二元物料初始状态 回转窑材料为钢铁；二元物料由2种颗粒组成，分 Fig.2 Initial state of the binary granular materials 别记为颗粒A与颗粒B:颗粒B材料设置为粗糙玻璃， 1.3混合程度评价指标 颗粒A的密度和体积为变量，其余属性与颗粒B一 物料混合程度与颗粒的位置相关，评价指标主要 致.离散单元法参数取值如表1所示.其中：玻璃和钢 有Lacy指数、混合熵和颗粒接触数叨.其中， 铁材料的弹性模量、泊松比、滚动摩擦系数、滑动摩擦 Lacy指数和混合熵的精度受网格单元尺寸的影响，不 系数及恢复系数采用离散单元法仿真的经验取值四： 如颗粒接触数准确.以混合熵和颗粒接触数为例，如 且根据Arntz的研究结果，可暂不考虑2种颗粒间滚 图3所示，颗粒A与颗粒B在三个单元中处于不同的 动摩擦系数及滑动摩擦系数差异对颗粒混合效果的影 混合状态：从单元1至单元3,2种颗粒的混合程度是 响，固4n和u设置为常量. 依次增强的.表2为各单元中颗粒混合程度的标定 表1离散单元法参数 值：根据混合熵的计算方式，3个单元的混合熵相 Table 1 Parameters used in the DEM model 等，不能区分各单元的混合程度；而颗粒A与颗粒B 参数 数值 之间的接触数会随着混合程度的加深而增大.可见， 颗粒B半径，Rg/mm 3 颗粒接触数对物料混合程度的描述更准确. 颗粒B密度，pg/(kgm3) 2456 单元I 单元2 单元3 颗粒一颗粒滑动摩擦系数，~仰 0.63 颗粒一颗粒滚动摩擦系数，/mm 0.05 颗粒-回转窑滚动摩擦系数，“/mm 0.3 颗粒一回转窑滑动摩擦系数，“ 0.85 颗粒弹性模量，E,Pa 5.5×100 图3颗粒的3种不同混合状态 回转窑弹性模量，E,Pa 2×101 Fig.3 Particles with three different mixing states 颗粒-颗粒恢复系数，e仰 0.45 表2混合熵和颗粒接触数的数值 颗粒-回转窑恢复系数，w 0.5 Table 2 Value of the mixing entropy and contact-number 颗粒泊松比，p 0.25 混合程度 单元1 单元2 单元3 回转窑泊松比，5。 0.3 混合熵 0.693 0.693 0.693 回转窑直径，d/mm 200 颗粒接触数 4 12 24 回转窑轴长，l/mm 30 实际混合程度 少数混合 部分混合 完全混合 重力加速度，g/(ms2) 迭代时间步长，△1/s 9.81 实验中提取颗粒接触数的可行性不强.Van Puyvelde叨仅通过测量不同颜色颗粒间的接触长度代 4.34×10-5 替颗粒接触数，况且相同颜色颗粒间的接触长度无法 计算中，记σ为单颗粒的体积比，即o=V:V。: 测量，因此无法描述物料的混合程度. n为单颗粒的密度比，即刀=ppgg与n为变量. 滑动摩擦系数程序计算中可以方便地记录颗粒之

工程科学学报，第 38 卷，第 2 期 叠量 δ 由位置矢量确定，颗粒间相对法向速度 v n ij和切 向速度 v t ij由速度矢量确定． 模型参数为颗粒半径、质 量、弹性模量、泊松比以及颗粒之间的碰撞恢复系数、 滑动摩擦系数、滚动摩擦系数． 回转窑是物料颗粒运动的几何边界，为水平放置 的转筒． 由于端面挡板的摩擦力会改变物料原有的径 向运动状态［21］，为消除其影响，模型中回转窑不设端 面挡板，轴向方向设置为循环边界． 1. 2 模型计算 模型算法过程为: ( 1) 循环检索颗粒 i 的空间位 置; ( 2) 计算颗粒间接触力; ( 3) 差分求解式( 1) 和式 ( 2) 并记录颗粒新的位置和速度信息; ( 4) 进入下一时 步并返回步骤( 1) ． 算法过程采用基于 C + + 语言的自 编程序实现，基本程序设置过程不作赘述． 回转窑材料为钢铁; 二元物料由 2 种颗粒组成，分 别记为颗粒 A 与颗粒 B; 颗粒 B 材料设置为粗糙玻璃， 颗粒 A 的密度和体积为变量，其余属性与颗粒 B 一 致． 离散单元法参数取值如表 1 所示． 其中: 玻璃和钢 铁材料的弹性模量、泊松比、滚动摩擦系数、滑动摩擦 系数及恢复系数采用离散单元法仿真的经验取值［20］; 且根据 Arntz［13］的研究结果，可暂不考虑 2 种颗粒间滚 动摩擦系数及滑动摩擦系数差异对颗粒混合效果的影 响，固 μr-pp和 μr-pw设置为常量． 表 1 离散单元法参数 Table 1 Parameters used in the DEM model 参数 数值 颗粒 B 半径，ＲB /mm 3 颗粒 B 密度，ρB /( kg·m － 3 ) 2456 颗粒--颗粒滑动摩擦系数，μt-pp 0. 63 颗粒--颗粒滚动摩擦系数，μr-pp /mm 0. 05 颗粒--回转窑滚动摩擦系数，μr-pw /mm 0. 3 颗粒--回转窑滑动摩擦系数，μt-pw 0. 85 颗粒弹性模量，Ep /Pa 5. 5 × 1010 回转窑弹性模量，Ew /Pa 2 × 1011 颗粒–颗粒恢复系数，epp 0. 45 颗粒–回转窑恢复系数，epw 0. 5 颗粒泊松比，ξp 0. 25 回转窑泊松比，ξw 0. 3 回转窑直径，d /mm 200 回转窑轴长，l /mm 30 重力加速度，g /( m·s － 2 ) 迭代时间步长，Δt /s 9. 81 4. 34 × 10 － 5 计算中，记 σ 为单颗粒的体积比，即 σ = VA ∶ VB ; η 为单颗粒的密度比，即 η = ρA ∶ ρB ． σ 与 η 为变量． 图2 为二元物料的初始状态，颗粒 A 标记为黑色， 颗粒 B 标记为白色，2 种颗粒的总体积相等，最初为完 全分离状态，分别装在回转窑的左右两边． 回转窑转 速为 w，填充率为 50% ，两种颗粒随着回转窑的转动而 运动并相互混合． 图 2 二元物料初始状态 Fig． 2 Initial state of the binary granular materials 1. 3 混合程度评价指标 物料混合程度与颗粒的位置相关，评价指标主要 有 Lacy 指数［15］、混合熵［16］ 和颗粒接触数［17］． 其中， Lacy 指数和混合熵的精度受网格单元尺寸的影响，不 如颗粒接触数准确． 以混合熵和颗粒接触数为例，如 图 3 所示，颗粒 A 与颗粒 B 在三个单元中处于不同的 混合状态: 从单元 1 至单元 3，2 种颗粒的混合程度是 依次增强的． 表 2 为各单元中颗粒混合程度的标定 值: 根据混合熵的计算方式［16］，3 个单元的混合熵相 等，不能区分各单元的混合程度; 而颗粒 A 与颗粒 B 之间的接触数会随着混合程度的加深而增大． 可见， 颗粒接触数对物料混合程度的描述更准确． 图 3 颗粒的 3 种不同混合状态 Fig． 3 Particles with three different mixing states 表 2 混合熵和颗粒接触数的数值 Table 2 Value of the mixing entropy and contact-number 混合程度 单元 1 单元 2 单元 3 混合熵 0. 693 0. 693 0. 693 颗粒接触数 4 12 24 实际混合程度 少数混合 部分混合 完全混合 实 验中提取颗粒接触数的可行性不强． Van Puyvelde［17］仅通过测量不同颜色颗粒间的接触长度代 替颗粒接触数，况且相同颜色颗粒间的接触长度无法 测量，因此无法描述物料的混合程度． 滑动摩擦系数程序计算中可以方便地记录颗粒之 · 691 ·

陈辉等：回转窑内二元颗粒物料的径向混合 197· 间的接触数.见图1，在某一时间点，颗粒之间的距离 有性质，工程实际中一般不会出现完全混合状态 为：(）-T()颗粒半径分别为R和R,当r(）- 0.5 r()川1、)=1的物料混合形态.如图所 480 360 示，此时颗粒受渗流机理作用，体积偏小的颗粒B在 240 物料活动层中运动时会渗流至物料的中心区域，其运 120 0 动轨迹逐渐远离回转窑窑壁，最后形成S型体系)分 离形态 图6(b)为σ=1、)>1的物料混合形态.如图所 示，此时颗粒受凝聚机理作用，颗粒运动至活动层时， 图4物料的滚落运动模式 密度偏大的颗粒A逐渐下沉，运动轨迹逐渐移至物料 Fig.4 Schematic of particle flow in the rolling regime 中心区域，最后形成D型体系圆分离状态 颗粒体积比σ和密度比)均为1时，物料为一元 图6(c)为σ=2.3、)=3的物料混合形态.此时 物料.图5为σ=n=1时，物料混合指数M()的响应 颗粒属性与Jain等5-的实验材料相同：颗粒A为半 以及物料混合稳定后的形态.如图所示，由于颗粒之 径4mm的铁球，颗粒B为半径3mm的玻璃球.与Jain 间物性相同，混合过程中没有分离现象，物料最终达到 等5的实验观测结果相符，物料形成铁球在内、玻璃 均匀的混合状态.另外，M()的稳态值约为0.5，表明 球在外的分离状态.与反巴西果现象相似，这是因为 物料混合稳定后并不是图3单元3中的完全混合状 渗流与凝聚竞争过程中，密度比)引起的凝聚作用超 态，而是处于部分混合状态.这是颗粒具有自扩散性 过体积比σ引起的渗流作用，最终导致体积偏大的铁 质的原因，颗粒的自扩散会追随着混合程度的加深而 球逐渐聚集到物料的中心区域，而体积偏小的玻璃球 增大，最后与混合达到动态平衡。自扩散是颗粒的固 却分散至靠近回转窑窑壁的区域

陈 辉等: 回转窑内二元颗粒物料的径向混合 间的接触数． 见图 1，在某一时间点 t，颗粒之间的距离 为!ri ( t) － rj ( t) !，颗粒半径分别为 Ｒi 和 Ｒj ，当!ri ( t) － rj ( t) ! ＜ Ｒi + Ｒj时，判定颗粒 i、j 之间发生接触; 如果颗 粒 i 与颗粒 j 的物性均为颗粒 A，则记录一个颗粒 A-- A 接触数; 循环记录后，可 得 颗 粒 A--A 接 触 总 数 为 nAA ( t) ． 同理，可得颗粒 B--B 接触总数 nBB ( t) 和颗粒 A--B 接 触 总 数 nAB ( t) ． 定 义 物 料 的 混 合 指 数 为 M( t) ，且 M( t) = nAB ( t) nAA ( t) + nBB ( t) + nAB ( t) ． ( 6) 差分求解式( 1) 后，可得出混合指数 M( t) 的变化 规律． M 值域范围为［0，1］，M 越大，表示物料混合程 度越高，当 M = 1 时，表示物料达到图 3 中单元 3 的完 全混合状态． 2 结果分析 2. 1 物料运动模式 物料在回转窑中的运动模式分为 6 种［21］，即滑 移、塌落、滚落、泻落、抛落和离心运动，其中工程中最 常见的为滚落． 根据 Mellmann［21］的运动相位图，文中 回转窑转速处于 6 ～ 10 r·min － 1时，均能使物料保持滚 落运动状态． 如图 4 所示，物料分为活动层和平流层 两部分: 平流层的颗粒随回转窑内壁绕轴线运动，速度 方向平行，颗粒之间相对静止; 活动层的颗粒向下快速 崩落并形成稳定的倾斜角，颗粒速度会随机性改变，颗 粒相互撞击并发生混合． 图 4 物料的滚落运动模式 Fig． 4 Schematic of particle flow in the rolling regime 颗粒体积比 σ 和密度比 η 均为 1 时，物料为一元 物料． 图 5 为 σ = η = 1 时，物料混合指数 M( t) 的响应 以及物料混合稳定后的形态． 如图所示，由于颗粒之 间物性相同，混合过程中没有分离现象，物料最终达到 均匀的混合状态． 另外，M( t) 的稳态值约为 0. 5，表明 物料混合稳定后并不是图 3 单元 3 中的完全混合状 态，而是处于部分混合状态． 这是颗粒具有自扩散性 质的原因，颗粒的自扩散会追随着混合程度的加深而 增大，最后与混合达到动态平衡． 自扩散是颗粒的固 有性质，工程实际中一般不会出现完全混合状态． 图 5 一元物料混合过程 Fig． 5 Mixing of mono-dispersed granular material 2. 2 渗流与凝聚竞争机理 颗粒间存在的体积或密度差异时，运动过程中会 产生分离现象． 根据 Hong 等［11］ 对巴西果现象的解 释，颗粒体系中含有渗流与凝聚两种机理: 颗粒体积差 异导致渗流作用，体积大的颗粒会悬浮至体系上部，而 体积小的颗粒则渗流至体系下部; 颗粒密度差异导致 凝聚作用，密度大的颗粒向凝聚态发展而下沉至体系 的下部，密度小的颗粒则因流态化而向上悬浮; 渗流与 凝聚两种作用相互竞争，增大体积比 σ 会加强渗流作 用，增大密度比 η 则加强凝聚作用． Hong 的渗流与凝 聚竞争机理合理地解释了颗粒振动床的巴西果及反巴 西果现象． 回转窑中，二元物料在渗流与凝聚的作用下同样 会发生分离现象，导致混合程度下降． 图 6 得出了二 元物料混合稳定后的混合形态． 图 6( a) 为 σ ＞ 1、η = 1 的物料混合形态． 如图所 示，此时颗粒受渗流机理作用，体积偏小的颗粒 B 在 物料活动层中运动时会渗流至物料的中心区域，其运 动轨迹逐渐远离回转窑窑壁，最后形成 S 型体系［7］分 离形态． 图 6( b) 为 σ = 1、η ＞ 1 的物料混合形态． 如图所 示，此时颗粒受凝聚机理作用，颗粒运动至活动层时， 密度偏大的颗粒 A 逐渐下沉，运动轨迹逐渐移至物料 中心区域，最后形成 D 型体系［8］分离状态． 图 6( c) 为 σ = 2. 3、η = 3 的物料混合形态． 此时 颗粒属性与 Jain 等［5--6］的实验材料相同: 颗粒 A 为半 径 4 mm 的铁球，颗粒 B 为半径 3 mm 的玻璃球． 与 Jain 等［5--6］的实验观测结果相符，物料形成铁球在内、玻璃 球在外的分离状态． 与反巴西果现象相似，这是因为 渗流与凝聚竞争过程中，密度比 η 引起的凝聚作用超 过体积比 σ 引起的渗流作用，最终导致体积偏大的铁 球逐渐聚集到物料的中心区域，而体积偏小的玻璃球 却分散至靠近回转窑窑壁的区域． · 791 ·

·198· 工程科学学报，第38卷，第2期 (a 图6二元物料混合形态.(a)c>1,n=1:(b)o=1,1>1:(co=2.3,n=3 Fig.6 Mixing form of mono-dispersed granular material:(a)o>1,n=1:(b)o=1,n>1:(c)o=2.3,n=3 2.3物料的体积与密度配比 后，凝聚作用超过渗流作用，物料因颗粒的凝聚再次出 根据渗流与凝聚竞争的原理，如果将颗粒体积比 现分离现象.因此，0=3与)=4.4为较合理的配置. σ与密度比)进行合理配比，能使凝聚与渗流作用达 0.5 到平衡，从而避免颗粒的分离现象，达到二元物料均匀 w 混合的目的.以σ=7=1时的混合指数M(t)作为均 0.4 心W 240金 匀混合的标准（见图5，其稳态值M约为0.5），当其他 03 绿发凡齐花 条件下M(t)的稳态值超过M,的90%时（约为0.45）， 文中认为二元物料接近均匀混合. 0.2 民5 天不 图7为7=2与不同σ搭配时混合指数M()的响 0=1.=1.0·-0=3.0=4.4 01 应.如图7所示：σ=1.4时，由于颗粒凝聚机理占主 ⊙-0=3.n=1.5A-0=3.0=5.0 日0=31=32 7-0=3.0=6.0 导作用，物料存在较严重的分离现象，M(t)的稳态值 0 20 40 60 仅为0.25：随着σ的增大，颗粒的渗流作用逐渐增强 s 并与凝聚作用产生竞争，颗粒的分离现象被减弱， 图8当σ=3、不同n值时混合指数响应 M(）的稳态值逐渐变大：当约为2.2时，渗流与凝 Fig.8 Repose of mixing index at o =3 and different n valus 聚作用达到平衡，M(t)稳态值超过0.45，物料接近均 经统计，得出颗粒渗流与凝聚机理的平衡曲线，如 匀混合状态：σ继续增大，导致渗流作用超过凝聚作 图9所示.当点()，σ)位于平衡曲线上时，颗粒的渗 用，物料再次产生分离，M(t)稳态值下降.由此可知， 流与凝聚相互平衡，二元物料能达到均匀混合状态. 7=2与0=2.2为较合理的配置. 由图9可知，文中二元物料的7与σ近似幂函数关 0.5 系，平衡曲线对颗粒体积比σ比较敏感.工程中，调整 0.4 颗粒间的体积比也具有较强的可操作性，因此采用回 转窑对已知颗粒密度的二元物料进行混合时，可以通 0.3 今 金盒凡 过改变颗粒的体积比，使渗流与凝聚相互机理平衡，达 0.2 w 到物料均匀混合的目的 -0=1.0.1=1·-0=2.2月=2 日0=1.4月=2△-0=2.5月=2 3结论 90=1.7.1=27-0=3.30=2 (1)滚落运动模式下，活动层颗粒的随机碰撞使 20 40 60 物料发生混合.受颗粒渗流与凝聚机理的影响，二元 图7当刀=2、不同σ值时混合指数响应 物料混合时会产生径向分离.增加颗粒A与颗粒B之 Fig.7 Repose of mixing index at =2 and different o values 间的体积比σ会增强渗流作用，而增加密度比？会增 图8为σ=3与不同7搭配时混合指数M(t)的响 强凝聚作用.混合过程中，无论渗流或凝聚占据主导 应.同理，如图8所示：当η较小时，渗流作用占主导 作用，均会导致颗粒在活动层中运动时发生分离，使二 作用，物料存在分离现象：随着)增大，颗粒的渗流作 元物料的混合程度下降 用逐渐被凝聚作用削弱，当7约为4.4时，凝聚与渗流 (2)根据颗粒渗流与凝聚相互竞争的原理，对颗 作用相互平衡，物料达到均匀混合状态；刀继续增加 粒的体积比σ与密度比η进行合理配置后，可以使渗

工程科学学报，第 38 卷，第 2 期 图 6 二元物料混合形态． ( a) σ ＞ 1，η = 1; ( b) σ = 1，η ＞ 1; ( c) σ = 2. 3，η = 3 Fig． 6 Mixing form of mono-dispersed granular material: ( a) σ ＞ 1，η = 1; ( b) σ = 1，η ＞ 1; ( c) σ = 2. 3，η = 3 2. 3 物料的体积与密度配比 根据渗流与凝聚竞争的原理，如果将颗粒体积比 σ 与密度比 η 进行合理配比，能使凝聚与渗流作用达 到平衡，从而避免颗粒的分离现象，达到二元物料均匀 混合的目的． 以 σ = η = 1 时的混合指数 M( t) 作为均 匀混合的标准( 见图 5，其稳态值 Ms约为 0. 5) ，当其他 条件下 M( t) 的稳态值超过 Ms的 90% 时( 约为 0. 45) ， 文中认为二元物料接近均匀混合． 图 7 为 η = 2 与不同 σ 搭配时混合指数 M( t) 的响 应． 如图 7 所示: σ = 1. 4 时，由于颗粒凝聚机理占主 导作用，物料存在较严重的分离现象，M( t) 的稳态值 仅为 0. 25; 随着 σ 的增大，颗粒的渗流作用逐渐增强 并与凝 聚 作 用 产 生 竞 争，颗粒的分离现象被减弱， M( t) 的稳态值逐渐变大; 当 σ 约为 2. 2 时，渗流与凝 聚作用达到平衡，M( t) 稳态值超过 0. 45，物料接近均 匀混合状态; σ 继续增大，导致渗流作用超过凝聚作 用，物料再次产生分离，M( t) 稳态值下降． 由此可知， η = 2 与 σ = 2. 2 为较合理的配置． 图 7 当 η = 2、不同 σ 值时混合指数响应 Fig． 7 Ｒepose of mixing index at η = 2 and different σ values 图 8 为 σ = 3 与不同 η 搭配时混合指数 M( t) 的响 应． 同理，如图 8 所示: 当 η 较小时，渗流作用占主导 作用，物料存在分离现象; 随着 η 增大，颗粒的渗流作 用逐渐被凝聚作用削弱，当 η 约为 4. 4 时，凝聚与渗流 作用相互平衡，物料达到均匀混合状态; η 继续增加 后，凝聚作用超过渗流作用，物料因颗粒的凝聚再次出 现分离现象． 因此，σ = 3 与 η = 4. 4 为较合理的配置． 图 8 当 σ = 3、不同 η 值时混合指数响应 Fig． 8 Ｒepose of mixing index at σ = 3 and different η valus 经统计，得出颗粒渗流与凝聚机理的平衡曲线，如 图 9 所示． 当点( η，σ) 位于平衡曲线上时，颗粒的渗 流与凝聚相互平衡，二元物料能达到均匀混合状态． 由图 9 可知，文中二元物料的 η 与 σ 近似幂函数关 系，平衡曲线对颗粒体积比 σ 比较敏感． 工程中，调整 颗粒间的体积比也具有较强的可操作性，因此采用回 转窑对已知颗粒密度的二元物料进行混合时，可以通 过改变颗粒的体积比，使渗流与凝聚相互机理平衡，达 到物料均匀混合的目的． 3 结论 ( 1) 滚落运动模式下，活动层颗粒的随机碰撞使 物料发生混合． 受颗粒渗流与凝聚机理的影响，二元 物料混合时会产生径向分离． 增加颗粒 A 与颗粒 B 之 间的体积比 σ 会增强渗流作用，而增加密度比 η 会增 强凝聚作用． 混合过程中，无论渗流或凝聚占据主导 作用，均会导致颗粒在活动层中运动时发生分离，使二 元物料的混合程度下降． ( 2) 根据颗粒渗流与凝聚相互竞争的原理，对颗 粒的体积比 σ 与密度比 η 进行合理配置后，可以使渗 · 891 ·

陈辉等：回转窑内二元颗粒物料的径向混合 ·199· mental study.Granular Matter,2005,7(2-3):69 3.0 [6]Jain N,Ottino J M,Lueptow R M.Combined size and density segregation and mixing in noncircular tumblers.Phys Ree E, 2.5 渗流 2005,71:051301 Khakhar D V,Mccarthy JJ,Ottino J M.Radial segregation of 52.0 凝聚 granular mixtures in rotating cylinders.Phys Fluids,1997,9 (12):3600 5 [8]Khakhar D V,Orpe A V,Hajra S K.Segregation of granular ma- terials in rotating cylinders.Phys A.2003,318(1-2):129 9]Hill K M,Gioia G,Amaravadi D,et al.Moon patterns,sun pat- terns,and wave breaking in rotating granular mixtures.Complexi- 图9渗流-凝聚平衡曲线 y,2005,10(4):79 Fig.9 Equilibrium curve between percolation and coagulation [10]Consway S L,Shinbrot T,Glassser B J.A taylor vortex analogy in granular flows.Nature,2004,431 (7007):433 流与凝聚2种作用相互平衡，从而削弱颗粒的分离现 01] Hong D C,Quinn P V,Luding S.Reverse Brazil nut problem: 象，使二元物料达到均匀混合的目的.根据混合指数 competition between percolation and condensation.Phys Rer M得出的渗流-凝聚平衡曲线中，体积比σ与密度比) Le,2001,86(15):3423 12] 呈幂函数关系，平衡曲线对颗粒体积比σ比较敏感 Pereira GG,Tran N,Gleary P W.Segregation of combined size and density varying binary granular mixtures in a slowly rotating 由于固体颗粒的形状和表面粗糙度均会对物料的 tumbler.Granular Matter,2014,16(5):711 混合过程造成影响，今后研究中需要对固体颗粒的离 [13]Amtz MM H D,Beeftink HH,Otter W K D.et al.Segregation 散单元接触模型进一步改进，使研究结果更接近工程 of granular particles by mass,radius,and density in a horizontal 实际 rotating drum.A/ChE J,2014,60(1)50 14] Parker D J,Dijkstra A E,Martin T W,et al.Positron emission 参考文献 particle tracking studies of spherical particle motion in rotating 1]Gao H L.Chen Y C,Zhao YZ.et al.Simulation of mixing drums.Chem Eng Sci,1997,52(13):2011 process for size-type binary wet particulate system in a rotating hor- [15]Liu P Y,Yang R Y,Yu A B.DEM study of the transverse mix- izontal drum by discrete element method.Acta Phys Sin,2011, ing of wet particles in rotating drums.Chem Eng Sci,2013,86: 60(12):124501 99 (高红利，陈友川，赵永志，等.薄滚简内二元湿颗粒体系混 16] Finnie GJ,Kruyt N P,Ye M,et al.Longitudinal and transverse 合行为的离散单元模拟研究.物理学报，2011,60(12)： mixing in rotary kilns:a discrete element method approach. 124501) Chem Eng Sci,2005,60(15):4083 2]Huang A N,Kuo H P.A study of the three-dimensional particle [17]Van Puyvelde D R.Comparison of discrete elemental modelling size segregation structure in a rotating drum.A/ChE J,2012,58 to experimental data regarding mixing of solids in the transverse (4):1076 direction of a rotating kiln.Chem Eng Sci,2006,61 (13):4462 B3]Chen WZ,Wang C H.Calculation of mean residence time of sol- [18]Cundall P A,Strack O L.A discrete numerical model for granu- ids in Carbon rotary kilns.J Northeast Unir Nat Sci,2010,31 lar assemblies.Geotechnique,1979,29(1):47 (9):1313 [19]Di Renzo A,Di Maio F P.Alberto D R,Francesco P D M. (陈文仲，王春华.炭素回转窑内物料停留时间的确定.东北 Comparison of contact-force models for the simulation of collisions 大学学报（自然科学版），2010,31(9)：1313) in DEM-based granular flow codes.Chem Eng Sci,2004,59 4]Gao C F,Yue K.Jiang Z Y,et al.Numerical model of heat and (3):525 mass transfer of sintering in an alumina clinker rotary kiln.JUnir [20] Alizadeh E,Bertrand F,Chaouki J.Comparison of DEM results Sci Technol Beijing,2011,33(9):1154 and Lagrangian experimental data for the flow and mixing of gran- (高传峰，乐恺，姜泽毅，等.熟料烧结回转窑传热传质数值 ules in a rotating drum.A/ChE J,2014,60(1):60 模型.北京科技大学学报，2011,33(9)：1154) 221]Mellmann J.The transverse motion of solids in rotating cylinders- 5]Jain N,Ottino J M,Lueptow R M.Regimes of segregation and forms of motion and transition behavior.Powder Technol,2001, mixing in combined size and density granular systems:an experi- 118(3):251

陈 辉等: 回转窑内二元颗粒物料的径向混合 图 9 渗流--凝聚平衡曲线 Fig． 9 Equilibrium curve between percolation and coagulation 流与凝聚 2 种作用相互平衡，从而削弱颗粒的分离现 象，使二元物料达到均匀混合的目的． 根据混合指数 M 得出的渗流--凝聚平衡曲线中，体积比 σ 与密度比 η 呈幂函数关系，平衡曲线对颗粒体积比 σ 比较敏感． 由于固体颗粒的形状和表面粗糙度均会对物料的 混合过程造成影响，今后研究中需要对固体颗粒的离 散单元接触模型进一步改进，使研究结果更接近工程 实际． 参 考 文 献 ［1］ Gao H L，Chen Y C，Zhao Y Z，et al． Simulation of mixing process for size-type binary wet particulate system in a rotating hor￾izontal drum by discrete element method． Acta Phys Sin，2011， 60( 12) : 124501 ( 高红利，陈友川，赵永志，等． 薄滚筒内二元湿颗粒体系混 合行为的 离 散 单 元 模 拟 研 究． 物 理 学 报，2011，60 ( 12 ) : 124501) ［2］ Huang A N，Kuo H P． A study of the three-dimensional particle size segregation structure in a rotating drum． AIChE J，2012，58 ( 4) : 1076 ［3］ Chen W Z，Wang C H． Calculation of mean residence time of sol￾ids in Carbon rotary kilns． J Northeast Univ Nat Sci，2010，31 ( 9) : 1313 ( 陈文仲，王春华． 炭素回转窑内物料停留时间的确定． 东北 大学学报( 自然科学版) ，2010，31( 9) : 1313) ［4］ Gao C F，Yue K，Jiang Z Y，et al． Numerical model of heat and mass transfer of sintering in an alumina clinker rotary kiln． J Univ Sci Technol Beijing，2011，33( 9) : 1154 ( 高传峰，乐恺，姜泽毅，等． 熟料烧结回转窑传热传质数值 模型． 北京科技大学学报，2011，33( 9) : 1154) ［5］ Jain N，Ottino J M，Lueptow Ｒ M． Ｒegimes of segregation and mixing in combined size and density granular systems: an experi￾mental study． Granular Matter，2005，7( 2 － 3) : 69 ［6］ Jain N，Ottino J M，Lueptow Ｒ M． Combined size and density segregation and mixing in noncircular tumblers． Phys Ｒev E， 2005，71: 051301 ［7］ Khakhar D V，Mccarthy J J，Ottino J M． Ｒadial segregation of granular mixtures in rotating cylinders． Phys Fluids，1997，9 ( 12) : 3600 ［8］ Khakhar D V，Orpe A V，Hajra S K． Segregation of granular ma￾terials in rotating cylinders． Phys A，2003，318( 1--2) : 129 ［9］ Hill K M，Gioia G，Amaravadi D，et al． Moon patterns，sun pat￾terns，and wave breaking in rotating granular mixtures． Complexi￾ty，2005，10( 4) : 79 ［10］ Consway S L，Shinbrot T，Glassser B J． A taylor vortex analogy in granular flows． Nature，2004，431( 7007) : 433 ［11］ Hong D C，Quinn P V，Luding S． Ｒeverse Brazil nut problem: competition between percolation and condensation． Phys Ｒev Lett，2001，86( 15) : 3423 ［12］ Pereira G G，Tran N，Gleary P W． Segregation of combined size and density varying binary granular mixtures in a slowly rotating tumbler． Granular Matter，2014，16( 5) : 711 ［13］ Arntz M M H D，Beeftink H H，Otter W K D，et al． Segregation of granular particles by mass，radius，and density in a horizontal rotating drum． AIChE J，2014，60( 1) : 50 ［14］ Parker D J，Dijkstra A E，Martin T W，et al． Positron emission particle tracking studies of spherical particle motion in rotating drums． Chem Eng Sci，1997，52( 13) : 2011 ［15］ Liu P Y，Yang Ｒ Y，Yu A B． DEM study of the transverse mix￾ing of wet particles in rotating drums． Chem Eng Sci，2013，86: 99 ［16］ Finnie G J，Kruyt N P，Ye M，et al． Longitudinal and transverse mixing in rotary kilns: a discrete element method approach． Chem Eng Sci，2005，60( 15) : 4083 ［17］ Van Puyvelde D Ｒ． Comparison of discrete elemental modelling to experimental data regarding mixing of solids in the transverse direction of a rotating kiln． Chem Eng Sci，2006，61( 13) : 4462 ［18］ Cundall P A，Strack O L． A discrete numerical model for granu￾lar assemblies． Geotechnique，1979，29( 1) : 47 ［19］ Di Ｒenzo A，Di Maio F P． Alberto D Ｒ，Francesco P D M． Comparison of contact-force models for the simulation of collisions in DEM-based granular flow codes． Chem Eng Sci，2004，59 ( 3) : 525 ［20］ Alizadeh E，Bertrand F，Chaouki J． Comparison of DEM results and Lagrangian experimental data for the flow and mixing of gran￾ules in a rotating drum． AIChE J，2014，60( 1) : 60 ［21］ Mellmann J． The transverse motion of solids in rotating cylinders￾forms of motion and transition behavior． Powder Technol，2001， 118( 3) : 251 · 991 ·