组合柔性结构非线性柔性模型

DO10.13374f.isn00M53x.2010.11.021 第32卷第11期 北京科技大学学报 Vol 32 No 11 2010年11月 Journal ofUniversity of Science and Techno pgy Beijing Noy 2010 组合柔性结构非线性柔性模型 刘庆玲12)邱丽芳山 翁海珊) 1)北京科技大学机械工程学院，北京1000832)廊坊师范学院数信学院，廊坊065000 摘要根据组合柔性结构的结构参数对其变形特性的影响，对组合柔性结构进行了分类.并给出了组合柔性结构中柔性杆 存在非线性变形的条件.考虑柔性结构的变截面特征和非线性变形的问题，对组合柔性结构的变形特性进行了分析，建立了 变形求解的非线性柔性模型.最后设计并加工了一种柔性铰链一柔性杆组合结构，分别采用伪刚体模型、拟柔性模型和非线 性柔性模型对其变形进行理论计算，同时采用静电驱动方式对组合柔性结构的变形进行测试.结果表明，非线性柔性模型的 计算结果与实验测试结果最接近，证明了此模型和分析方法的有效性. 关键词柔性结构：非线性分析；变形：建模：静电驱动 分类号TH122 Nonlinear compliant body model for camb ined compliant structures LU Qing-ling 2 QU Li ang WENG Hai-shan 1)SchoolofMechanical Eng neerng Universit of Science and Technopgy Beijng Beijing 100083 China 2)SchoolofMathema tics ad homation Science Langang NomalColk Lang fng066000 China ABSTRACT Con bined comp liant structureswere cassified and the conditions ofnon linear deflection of he flexble beam in a com bned complant structure were gien on the basis of the effect of stuctural parameters on he deflecton characteristic of cm bined com pliant structures In consderaton of he varable coss secton and he non lnear deflection of a camplant stucte he deflection characteristic of he comp liant strucurewas sudied and a non lnear complant bodym oel used pr deflection ana lysis was estab lished Finally a combined cmpliant stucure fomed w ith flexb le hinges and a fexible beam was designed and mach ned and its deflection was analyzed by pseudo body modellng i itte compliant body modelling and non linear com pliant body modelling Meantie he defecton caused by electrosutic drivewas ested The results show that he caku ated dau with the non-linear complant bodymodel ismost si ilar p he est resu lts proving the valiity of his model and he analticalmethod KEY WORDS flexble strucurs nonlnear analysis deflecton modelling electrostatic drive 柔性机构利用柔性铰链或柔性杆的变形输出运 变形特性一般采用伪刚体模型法进行分析求 动或动力，具有体积小、免装配、无间隙、无机械摩 解-.文献[9一10]提出，杆件的柔性是相对 擦，运动灵敏度高和精度高、导向精度高等诸多特 的，随着柔性铰链与杆件二者厚度比值的变化，杆 点，而且易于实现微型化，在精密机械和微机械等领 件或为柔性或为刚性.组合柔性结构的结构尺寸 域得到了广泛的应用.柔性铰链、柔性杆是柔性 对其变形特性有着直接的影响，而且随着杆的柔 机构的重要组成部分，其变形特性是柔性机构分析 性增加，其变形增大，柔性杆不可避免地存在非线 与设计的一个关键环节习，国内外学者对其变形 性变形的问题.基于此，有必要对组合柔性结构的 特性作了大量研究，并取得了相关进展一句 变形特性作深入研究，对现有的分析方法做出完 对于柔性铰链与杆组合而成的柔性结构，其 善与补充. 收稿日期：2010一01一16 基金项目：国家自然科学基金资助项目(N950805008) 作者简介：刘庆玲(1971一)，女，博士研究生：药海珊(1946-)，女，教授，博士生导师，Ema1wen吗h@us!cm

第 32卷 第 11期 2010年 11月 北 京 科 技 大 学 学 报 JournalofUniversityofScienceandTechnologyBeijing Vol.32 No.11 Nov.2010 组合柔性结构非线性柔性模型 刘庆玲 1, 2) 邱丽芳 1 ) 翁海珊 1) 1) 北京科技大学机械工程学院, 北京 100083 2) 廊坊师范学院数信学院, 廊坊 065000 摘 要 根据组合柔性结构的结构参数对其变形特性的影响, 对组合柔性结构进行了分类, 并给出了组合柔性结构中柔性杆 存在非线性变形的条件.考虑柔性结构的变截面特征和非线性变形的问题, 对组合柔性结构的变形特性进行了分析, 建立了 变形求解的非线性柔性模型.最后设计并加工了一种柔性铰链 -柔性杆组合结构, 分别采用伪刚体模型、拟柔性模型和非线 性柔性模型对其变形进行理论计算, 同时采用静电驱动方式对组合柔性结构的变形进行测试.结果表明, 非线性柔性模型的 计算结果与实验测试结果最接近, 证明了此模型和分析方法的有效性. 关键词 柔性结构;非线性分析;变形;建模;静电驱动 分类号 TH122 Non-linearcompliant-bodymodelforcombinedcompliantstructures LIUQing-ling1 2) , QIULi-fang1) , WENGHai-shan1) 1) SchoolofMechanicalEngineering, UniversityofScienceandTechnologyBeijing, Beijing100083, China 2) SchoolofMathematicsandInformationScience, LangfangNormalCollege, Langfang065000, China ABSTRACT Combinedcompliantstructureswereclassifiedandtheconditionsofnon-lineardeflectionoftheflexiblebeaminacom￾binedcompliantstructureweregivenonthebasisoftheeffectofstructuralparametersonthedeflectioncharacteristicofcombinedcom￾pliantstructures.Inconsiderationofthevariablecross-sectionandthenon-lineardeflectionofacompliantstructure, thedeflection characteristicofthecompliantstructurewasstudiedandanon-linearcompliant-bodymodelusedfordeflectionanalysiswasestablished. Finallyacombinedcompliantstructureformedwithflexiblehingesandaflexiblebeamwasdesignedandmachined, anditsdeflection wasanalyzedbypseudo-bodymodelling, imitate-compliantbodymodellingandnon-linearcompliant-bodymodelling.Meantime, the deflectioncausedbyelectrostaticdrivewastested.Theresultsshowthat, thecalculateddatawiththenon-linearcompliant-bodymodel ismostsimilartothetestresults, provingthevalidityofthismodelandtheanalyticalmethod. KEYWORDS flexiblestructures;nonlinearanalysis;deflection;modelling;electrostaticdrive 收稿日期:2010-01-16 基金项目:国家自然科学基金资助项目 ( No.50805008 ) 作者简介:刘庆玲 ( 1971— ), 女, 博士研究生;翁海珊 ( 1946— ), 女, 教授, 博士生导师, E-mail:wenghs@ustb.edu.cn 柔性机构利用柔性铰链或柔性杆的变形输出运 动或动力, 具有体积小 、免装配 、无间隙、无机械摩 擦 、运动灵敏度高和精度高、导向精度高等诸多特 点, 而且易于实现微型化, 在精密机械和微机械等领 域得到了广泛的应用 [ 1] .柔性铰链 、柔性杆是柔性 机构的重要组成部分, 其变形特性是柔性机构分析 与设计的一个关键环节 [ 2 -3] , 国内外学者对其变形 特性作了大量研究, 并取得了相关进展 [ 4 -6] . 对于柔性铰链与杆组合而成的柔性结构, 其 变形特性一般 采用伪 刚体模 型法进 行分析 求 解 [ 7 -8] .文献 [ 9 -10] 提出, 杆件的柔性是相对 的, 随着柔性铰链与杆件二者厚度比值的变化, 杆 件或为柔性或为刚性 .组合柔性结构的结构尺寸 对其变形特性有着直接的影响, 而且随着杆的柔 性增加, 其变形增大, 柔性杆不可避免地存在非线 性变形的问题.基于此, 有必要对组合柔性结构的 变形特性作深入研究, 对现有的分析方法做出完 善与补充 . DOI :10 .13374 /j .issn1001 -053x .2010 .11 .021

。1490 北京科技大学学报 第32卷 1组合柔性结构中柔性杆存在非线性变形 的条件分析 组合柔性结构的结构示意图如图1所示，本文 设定柔性铰链与杆的宽度相同，用表示.图中， H和1L分别为柔性铰链与杆的厚度（为变截面柔 性铰链的最小厚度，若为等截面柔性铰链，其厚度用 h表示)、长度.选取若干组组合柔性结构，保持结 图1组合柔性结构的结构示意图 构的宽度以及柔性铰链的厚度、长度不变，改变杆 Fg1 Schematic diagram of the conbined complint strucure H 的厚度H长度↓使其具有不同的厚度比日或 端施加集中载荷F如图1所示.分别采用伪刚体 月·长度北片分析组合柔性结构的结枸参数变化 模型法与有限元法分析其变形.对所得的变形结果 进行对比分析，并进行归纳整理，将所得结果列于 对其变形的影响 表1（具体过程和数据另文介绍）. 以材料为铍青铜的组合柔性结构为例，在其末 由表1可得出，组合柔性结构中，柔性铰链与杆 表1组合柔性结构的结构参数对其变形的影响 Tab le E ffect of struc turl parame ters on the deflection of he combined conpliant structure 厚度比 五 或H 长度比片 杆的变形特性 变形特性的分析方法 <10 刚性 杆的变形可忽路，采用伪刚体模型法分析变形 日或4≥10 1 或 ≤5 K ks 柔性 杆的变形不能忽略，但变形较小可按线性变形处理，采用 H 5 拟柔性模型法分析变形 <10 H 或月 ≤5 个5 柔性 杆的变形不能忽略，而且杆的柔性较大需要考虑变形的非 线性 二者厚度、长度的相对变化对组合结构的变形有着 用于组合结构末端的集中力与力矩，9(9为作用于 直接影响.根据杆的刚性或柔性，将组合柔性结构 柔性杆上的分布载荷.分析组合柔性结构在图示载 分为柔性铰链刚性杆组合结构与柔性铰链柔性杆组 荷作用下的变形 合结构.其中，柔性铰链柔性杆组合结构中，随着厚 度比骨或胃的减小和长度比的增加，杆的柔 7(s) 性增加，此时需要考虑柔性杆变形的非线性.由于 现有的分析方法均存在一定的局限性，因此本文对 此作进一步研究，建立相应的非线性柔性模型，对其 变形进行分析求解 图2变截面柔性较链变截面柔性杆组合柔性结构受力示意图 Fg 2 Force diagrm of the combined comnpliant strucure fomed 2柔性铰链柔性杆组合结构非线性柔性模 w ith a varable cross sec tin flexble hirge and beam 型的建立 在图示载荷作用下，设组合柔性结构的变形用 考虑组合柔性结构构成的一般情况柔性铰链 (表示.以多项式的形式表示其变形，得 与杆均为变截面，其构成示意图如图2所示.设组 合柔性结构材料的弹性模量为耳图中·分别为柔 0(3=会4 (1) 性铰链的最小厚度、长度[为柔性杆的长度.组合 式中，为组合柔性结构上某点距固定端的弧长；4 柔性结构的受力示意图如图2所示，FM分别为作 为对应项的系数

北 京 科 技 大 学 学 报 第 32卷 1 组合柔性结构中柔性杆存在非线性变形 的条件分析 组合柔性结构的结构示意图如图 1所示, 本文 设定柔性铰链与杆的宽度相同, 用 b表示.图中, t、 H和 l、L分别为柔性铰链与杆的厚度 ( t为变截面柔 性铰链的最小厚度, 若为等截面柔性铰链, 其厚度用 h表示 ) 、长度.选取若干组组合柔性结构, 保持结 构的宽度 b以及柔性铰链的厚度 、长度不变, 改变杆 的厚度 H、长度 L, 使其具有不同的厚度比 H h 或 H t 、长度比 L l , 分析组合柔性结构的结构参数变化 对其变形的影响 . 以材料为铍青铜的组合柔性结构为例, 在其末 图 1 组合柔性结构的结构示意图 Fig.1 Schematicdiagramofthecombinedcompliantstructure 端施加集中载荷 F, 如图 1 所示.分别采用伪刚体 模型法与有限元法分析其变形.对所得的变形结果 进行对比分析, 并进行归纳整理, 将所得结果列于 表 1(具体过程和数据另文介绍 ) . 由表 1可得出, 组合柔性结构中, 柔性铰链与杆 表 1 组合柔性结构的结构参数对其变形的影响 Table1 Effectofstructuralparametersonthedeflectionofthecombinedcompliantstructure 厚度比 H h 或 H t 长度比 L l 杆的变形特性 变形特性的分析方法 51 刚性 杆的变形可忽略, 采用伪刚体模型法分析变形 15 柔性 杆的变形不能忽略, 但变形较小, 可按线性变形处理, 采用 拟柔性模型法分析变形 15 柔性 杆的变形不能忽略, 而且杆的柔性较大, 需要考虑变形的非 线性 二者厚度、长度的相对变化对组合结构的变形有着 直接影响.根据杆的刚性或柔性, 将组合柔性结构 分为柔性铰链刚性杆组合结构与柔性铰链柔性杆组 合结构 .其中, 柔性铰链柔性杆组合结构中, 随着厚 度比 H h 或 H t 的减小和长度比 L l 的增加, 杆的柔 性增加, 此时需要考虑柔性杆变形的非线性.由于 现有的分析方法均存在一定的局限性, 因此本文对 此作进一步研究, 建立相应的非线性柔性模型, 对其 变形进行分析求解. 2 柔性铰链柔性杆组合结构非线性柔性模 型的建立 考虑组合柔性结构构成的一般情况, 柔性铰链 与杆均为变截面, 其构成示意图如图 2 所示.设组 合柔性结构材料的弹性模量为 E, 图中 t、l分别为柔 性铰链的最小厚度、长度, L为柔性杆的长度.组合 柔性结构的受力示意图如图 2所示, F、M分别为作 用于组合结构末端的集中力与力矩, qy( s)为作用于 柔性杆上的分布载荷.分析组合柔性结构在图示载 荷作用下的变形. 图 2 变截面柔性铰链变截面柔性杆组合柔性结构受力示意图 Fig.2 Forcediagramofthecombinedcompliantstructureformed withavariablecross-sectionflexiblehingeandbeam 在图示载荷作用下, 设组合柔性结构的变形用 θ( s)表示 .以多项式的形式表示其变形, 得 θ( s) =∑ n i=0 ais i ( 1) 式中, s i为组合柔性结构上某点距固定端的弧长;ai 为对应项的系数. · 1490·

第11期 刘庆玲等：组合柔性结构非线性柔性模型 ·1491° 柔性铰链非线性变形柔性杆组合柔性结构的变 模型(4)中，当(9=0，时，即为柔性铰链的变 形包括两部分：一是柔性铰链的变形：二是柔性杆的 形：当=0时，即为变截面柔性梁的变形.故可得 变形.而且柔性杆的变形呈非线性.由式(1)求解组 非线性柔性模型适用于各种类型组合柔性结构一 合柔性结构的变形，需采用分段的求解方法首先求 柔性铰链刚性杆组合结构、柔性铰链线性变形柔性 柔性铰链的变形，柔性铰链末端的变形记为。依 杆组合结构以及柔性铰链非线性变形柔性杆组合结 据变截面柔性铰链的变形分析，可得在上述载荷 构的变形求解，而且也适用于仅为变截面柔性铰链 作用下柔性铰链末端的变形为 或仅为变截面柔性梁的柔性结构的变形求解， M (d C09, 3柔性铰链柔性杆组合结构变形的实例 分析 (2) 3.1柔性铰链柔性杆组合结构的实例 式中，的组合柔性结构中变截面柔性铰链的等效 为了验证上述分析方法的正确性，设计了微型 刚度系数，采用变截面法求得山 柔性铰链柔性杆组合结构，并进行加工制造.材料 在求得柔性铰链变形的基础上，对组合柔性结 为单晶硅，其弹性模量E=l69GPa使用OLYMFUS 构中式（十）部分的变形进行分析，依据变截 BX1M研究级反射式半导体检测显微镜，放大1000 面柔性梁的变形分析结果（另有文章介绍，在图2 倍，采用暗场观察，观测到设计加工后的组合柔性结 所示的载荷作用下，组合柔性结构中太≤(L十) 构如图3所示.在显微镜下测量组合柔性结构的主 部分的变形满足微分方程： 要几何参数：柔性铰链厚度、长度分别为11.6u四 日1+8a++ d0 60μ？柔性杆厚度、长度分别为35.65μ四540μ四 初始间距为9.75μm 微结构（可动电极板） F件]g(9d昨cos(0+0)=0 (感+) (3) 式中，E为材料的弹性模量，GP?【9为变截面柔 性杆任意位置处的截面惯性矩t;6为变截面柔 性杆中性面上中心线的初始倾斜角，ad 电极 引出端 针对微分方程进行求解，即可求得组合柔性结 构上式鸢十都分任意点的变形，当=十时， 即为柔性铰链非线性变形柔性杆组合柔性结构末端 的总变形，记为 固定电极板 综上，联立上述各式可得到柔性铰链非线性变 图3组合柔性结构实物图 形柔性杆组合柔性结构变形求解的非线性柔性 Fig 3 Conbined compliant strucure 模型： 9=宫45 3.2柔性铰链柔性杆组合结构的变形分析 设计加工的组合结构为柔性铰链等截面柔性直 杆组合结构，其结构示意图如图4所示，其中柔性铰 M+ F L+- s9(9d c0用1 链与杆的长度比和厚度比分别约为9和3由上面 k 的分类结果可得，该组合结构为柔性铰链非线性变 (0,=0() 形柔性杆组合结构，杆的变形不能忽略，同时考虑其 耳191架+Ed中coy+0)+ d0 变形的非线性，采用非线性柔性模型对其变形进行 dx ds 分析. [9(9d+月os(a+)=0 设计的组合结构中，柔性杆为等截面直杆，故非 线性柔性模型(4)中0。=0而且柔性杆的截面惯性 (长≤L十) 矩【为定值，用表示，其各阶导数为零，组合柔 (4) 性结构承受集中载荷作用，则模型中的微分方程为

第 11期 刘庆玲等:组合柔性结构非线性柔性模型 柔性铰链非线性变形柔性杆组合柔性结构的变 形包括两部分:一是柔性铰链的变形 ;二是柔性杆的 变形, 而且柔性杆的变形呈非线性.由式 ( 1)求解组 合柔性结构的变形, 需采用分段的求解方法, 首先求 柔性铰链的变形, 柔性铰链末端的变形记为 θ1, 依 据变截面柔性铰链的变形分析 [ 11] , 可得在上述载荷 作用下柔性铰链末端的变形为 θ1 = M+ F L+ l 2 +∫ L+ l 2 l 2 sqy(s)dscosθ1 k ( 2) 式中, k为组合柔性结构中变截面柔性铰链的等效 刚度系数, 采用变截面法求得 [ 11] . 在求得柔性铰链变形的基础上, 对组合柔性结 构中 l≤s≤( L+l)部分的变形进行分析, 依据变截 面柔性梁的变形分析结果 (另有文章介绍 ), 在图 2 所示的载荷作用下, 组合柔性结构中 l≤s≤( L+l) 部分的变形满足微分方程 : E[ I(x)] d 2 θ ds 2 +E dI(x) dx dθ ds cos( θ0 +θ) + F+ ∫ L s qy( s) dscos( θ0 +θ) =0 (l≤s≤L+l) ( 3) 式中, E为材料的弹性模量, GPa;I( x) 为变截面柔 性杆任意位置处的截面惯性矩, m 4 ;θ0 为变截面柔 性杆中性面上中心线的初始倾斜角, rad. 针对微分方程进行求解, 即可求得组合柔性结 构上 l≤s≤L+l部分任意点的变形, 当 s=L+l时, 即为柔性铰链非线性变形柔性杆组合柔性结构末端 的总变形, 记为 θ2 . 综上, 联立上述各式, 可得到柔性铰链非线性变 形柔性杆组合柔性结构变形求解的非线性柔性 模型: θ( s) =∑ n i=0 ais i θ1 = M+ F L+ l 2 +∫ L+l 2 l 2 sqy( s) dscosθ1 k (θ1 =θ(l) ) E[ I(x) ] d 2 θ ds 2 +E dI( x) dx dθ ds cos(θ0 +θ) + ∫ L s qy(s) ds+F cos( θ0 +θ) =0 (l≤ s≤ L+l) ( 4) 模型 ( 4)中, 当 θ( s) =θ1 时, 即为柔性铰链的变 形;当 θ1 =0时, 即为变截面柔性梁的变形.故可得 非线性柔性模型适用于各种类型组合柔性结构——— 柔性铰链刚性杆组合结构、柔性铰链线性变形柔性 杆组合结构以及柔性铰链非线性变形柔性杆组合结 构的变形求解, 而且也适用于仅为变截面柔性铰链 或仅为变截面柔性梁的柔性结构的变形求解 . 3 柔性铰链 柔性 杆组 合结 构变 形的 实例 分析 3.1 柔性铰链柔性杆组合结构的实例 为了验证上述分析方法的正确性, 设计了微型 柔性铰链柔性杆组合结构, 并进行加工制造 .材料 为单晶硅, 其弹性模量 E=169 GPa.使用 OLYMPUS BX51M研究级反射式半导体检测显微镜, 放大 1 000 倍, 采用暗场观察, 观测到设计加工后的组合柔性结 构如图 3所示 .在显微镜下测量组合柔性结构的主 要几何参数:柔性铰链厚度 、长度分别为 11.6 μm、 60 μm, 柔性杆厚度 、长度分别为 35.65 μm、540 μm, 初始间距为 9.75 μm. 图 3 组合柔性结构实物图 Fig.3 Combinedcompliantstructure 3.2 柔性铰链柔性杆组合结构的变形分析 设计加工的组合结构为柔性铰链等截面柔性直 杆组合结构, 其结构示意图如图 4所示, 其中柔性铰 链与杆的长度比和厚度比分别约为 9和 3.由上面 的分类结果可得, 该组合结构为柔性铰链非线性变 形柔性杆组合结构, 杆的变形不能忽略, 同时考虑其 变形的非线性, 采用非线性柔性模型对其变形进行 分析 . 设计的组合结构中, 柔性杆为等截面直杆, 故非 线性柔性模型 ( 4)中 θ0 =0, 而且柔性杆的截面惯性 矩 I( x)为定值, 用 I表示, 其各阶导数为零, 组合柔 性结构承受集中载荷作用, 则模型中的微分方程为 · 1491·

。1492 北京科技大学学报 第32卷 式(10)可写为 2+ k0(&-0gs8,-8c=0 (11) 图4设计的组合柔性结构受力示意图 2 Fg 4 Force diagram of the desgned combined complant stmucure 式中， Eld+og0 -+24-(+214 (5) 由非线性柔性模型(4)中给出的组合柔性结构 B=][-3+2+)-(1+212ds 的角变形表达式及其边界条件，可求得组合柔性结 C= f[-+274y-(1+21ds 构的角变形表达式为 03=4+品1-5+21叶)-(+2山1 对式(11整理可得 k-0(2k0,-2k田，-4Ay+ (6) (kCf-2Ek旷-4E9,- 式中，集中载荷作用下，组合结构中柔性铰链的变形 2正kA+k正Ae)=0 (12) 0为 依据非线性柔性模型(8，在求得柔性铰链变 F(L+2)o, 形0的基础上，利用微分方程的求解结果式(12)， 0= k (7) 可求得柔性铰链等截面柔性直杆组合柔性结构的总 由此可得集中载荷作用下柔性铰链等截面柔性 变形02. 直杆组合结构的非线性柔性模型的具体形式为 3.3柔性铰链柔性杆组合结构的变形计算 903=&21-+2+)(1+21 对设计加工的组合柔性结构采用静电驱动加载 方式，组合柔性结构在静电力作用下产生变形.静 0 FL+V2)co 电驱动中，将所受静电力等效为集中力.首先确定 k 不同电压下作用在组合柔性结构上的等效静电力及 EF-0 其作用点的位置，结果如表2所示. 表2不同电压下等效静电力及其在柔性结构上位置 (8) Table2 Equiva lent electostatic force and its position on the conpliant 对模型(8)中的微分方程进行求解，利用余弦 stuc ure under different voltages 函数的泰勒展开式对其近似处理取前两项得 电压， 作用点距左固定 静电力， 01 U/V 端的距离形m F/mN 50 347.05 0003 设k则微分方程可写为 100 347.19 0011 + 150 347.44 0024 =0 (9) 175 347.60 0033 依据伽辽金法，采用边界值积分，将式(6)代入 200 347.79 0044 式(9，整理可得 225 348.02 0.056 [-2+网j1-+ 250 34827 0071 275 34857 0085 2-+14× 300 348.95 0.110 [-+27+y-(1+212d2 根据表2中数据，利用柔性铰链等截面柔性直 杆的非线性柔性模型(8)，首先求得不同电压下，组 9-2+- 合柔性结构中柔性铰链的角变形。在此基础上由 式(12)可求得组合柔性结构的总角变形6，进而可 (1+2]3d0 (10) 求得组合柔性结构上测试点的位移值.求解结果为

北 京 科 技 大 学 学 报 第 32卷 图 4 设计的组合柔性结构受力示意图 Fig.4 Forcediagramofthedesignedcombinedcompliantstructure EI d 2 θ ds 2 +Fcosθ=0 ( 5) 由非线性柔性模型 ( 4)中给出的组合柔性结构 的角变形表达式及其边界条件, 可求得组合柔性结 构的角变形表达式为 θ(s) =θ1 + θ2 -θ1 L 2 [ -s 2 +2( L+l)s-( l 2 +2Ll) ] ( 6) 式中, 集中载荷作用下, 组合结构中柔性铰链的变形 θ1 为 θ1 = F(L+l/2) cosθ1 k . ( 7) 由此可得集中载荷作用下柔性铰链等截面柔性 直杆组合结构的非线性柔性模型的具体形式为 θ( s) =θ1 + θ2 -θ1 L 2 [ -s 2 +2( L+l)s-( l 2 +2Ll) ] θ1 = F( L+l/2)cosθ1 k EI d 2θ ds 2 +Fcosθ=0 ( 8) 对模型 ( 8)中的微分方程进行求解, 利用余弦 函数的泰勒展开式对其近似处理取前两项得 cosθ≈1 - 1 2 θ 2 , 设 F EI =k2, 则微分方程可写为 d 2 θ ds 2 +k2 1 - 1 2 θ 2 =0 ( 9) 依据伽辽金法, 采用边界值积分, 将式 ( 6)代入 式 ( 9), 整理可得 -2(θ2 -θ1 ) L 2 +k2 - 1 2 k2θ 2 1 ∫ l+L l [ -s 2 + 2s( l+L) -( l 2 +2lL) ] ds-k2 θ1 (θ2 -θ1 ) L 2 × ∫ l+L l [ -s 2 +2s(l+L) -( l 2 +2lL)] 2ds￾k2 ( θ2 -θ1 ) 2 2L 4 ∫ l+L l [ -s 2 +2s( l+L) - ( l 2 +2lL)] 3ds=0. ( 10) 式 ( 10)可写为 -2( θ2 -θ1 ) L 2 +k2 -1 2 k2θ 2 1 A￾k2 θ1 ( θ2 -θ1 ) L 2 B￾k2 (θ2 -θ1 ) 2 2L 4 C=0 ( 11) 式中, A= ∫ l+L l [ -s 2 +2s( l+L) -( l 2 +2lL) ] ds, B= ∫ l+L l [ -s 2 +2s(l+L) -( l 2 +2lL)] 2ds, C= ∫ l+L l [ -s 2 +2s(l+L) -( l 2 +2lL)] 3ds. 对式 ( 11)整理可得 k2 Cθ 2 2 -θ2 ( 2k2 Cθ1 -2L 2k2 Bθ1 -4L 2A) + ( k2Cθ 2 1 -2L 2 k2 Bθ 2 1 -4L 2 Aθ1 - 2L 4k2A+k2L 4 Aθ 2 1 ) =0 ( 12) 依据非线性柔性模型 ( 8), 在求得柔性铰链变 形 θ1 的基础上, 利用微分方程的求解结果式 ( 12), 可求得柔性铰链等截面柔性直杆组合柔性结构的总 变形 θ2. 3.3 柔性铰链柔性杆组合结构的变形计算 对设计加工的组合柔性结构采用静电驱动加载 方式, 组合柔性结构在静电力作用下产生变形 .静 电驱动中, 将所受静电力等效为集中力 .首先确定 不同电压下作用在组合柔性结构上的等效静电力及 其作用点的位置, 结果如表 2所示 . 表 2 不同电压下等效静电力及其在柔性结构上位置 Table2 Equivalentelectrostaticforceanditspositiononthecompliant structureunderdifferentvoltages 电压, U/V 作用点距左固定 端的距离/μm 静电力, Fe /mN 50 347.05 0.003 100 347.19 0.011 150 347.44 0.024 175 347.60 0.033 200 347.79 0.044 225 348.02 0.056 250 348.27 0.071 275 348.57 0.085 300 348.95 0.110 根据表 2中数据, 利用柔性铰链等截面柔性直 杆的非线性柔性模型 ( 8), 首先求得不同电压下, 组 合柔性结构中柔性铰链的角变形 θ1, 在此基础上由 式 ( 12)可求得组合柔性结构的总角变形 θ2, 进而可 求得组合柔性结构上测试点的位移值.求解结果为 · 1492·

第11期 刘庆玲等：组合柔性结构非线性柔性模型 ·1493 表3中位移2对设计的组合柔性结构同时采用伪 点的位移值，求解结果分别为表3中的位移1、位 刚体模型法？和拟柔性模型法，分别计算测试 移3 表3不同电压下组合柔性结构上测试点位移的理论计算结果 Table 3 Con putational deflection of the test point on the comn bined oompliant strucure under different voltages 电压，UV 位移1严m 位移2肚m 位移3：m 电压，UV 位移1严m 位移2件m 位移3：m 50 00129 0.0142 0.0138 225 02813 03009 02932 100 00530 0.0613 0.0541 250 03517 03817 03658 150 01203 0.1332 0.1272 275 04316 04624 04476 175 0.1611 0.1831 0.1743 300 05323 05831 05515 200 02207 0.2425 0.2296 行变形测试.依据对柔性结构的测试要求，设计实 4柔性铰链柔性杆组合结构的变形测试 验测试原理图如图5所示.按照实验测试中电压加 4.1测试系统 载的要求设计了测试电路板，将其置于显微镜下，测 采用静电驱动方式。对设计的组合柔性结构进 试系统局部图如图6所示 电压纯合柔性结狗形里议洛 变形输出 直流稳乐电源 电压数据 图5实验测试原理框图 Fig 5 Frmewo pr the test princple 压变化间隔为50Y随着变形增加，间隔减小为 25V记录不同电压下，组合柔性结构上测试点与 固定极板的间距，利用其与初始间距的差值获得该 点的位移.连续进行I0次测试取其平均值，测试 结果如表4所示. 表4不同电压下柔性结构上测试点与固定极板的间距及其位移的 测试结果 Table4 Test results of the distance beween the test point and fixed electrode and he displacementof the testpointon the compliant strucure under diffeent ol ees 电压，UV 间距肚m 位移肚m 吃 973 002 图6静电驱动柔性结构的实验测试系统局部图 100 9.66 009 Fig 6 Panial diagram of the test systm of the conpliant suucture caused by elecuostatic drive 150 9.58 017 175 954 021 4.2测试结果 200 9.50 025 在测试中，对组合柔性结构施加电压，一方面要 225 942 033 避免柔性结构与固定极板黏附而导致静电吸合以， 250 9.33 042 同时还要避免柔性结构与固定极板组成的电容结构 275 925 050 的击穿破坏.综合上述考虑，确定电压加载范围为 300 9.12 063 0-300V 测试中选取组合柔性结构上与固定极板末端点 4.3结果分析 相对应的点为测试对象，测试不同电压下该点的位 由表3、表4中数据绘制的曲线如图7所示.由 移.电压从50开始增加至300V初始变形小，电 图可知：一方面，分别采用非线性柔性模型法、拟柔

第 11期 刘庆玲等:组合柔性结构非线性柔性模型 表 3中位移 2.对设计的组合柔性结构同时采用伪 刚体模型法 [ 7] 和拟柔性模型法 [ 9 -10] , 分别计算测试 点的位移值, 求解结果分别为表 3 中的位移 1、位 移 3. 表 3 不同电压下组合柔性结构上测试点位移的理论计算结果 Table3 Computationaldeflectionofthetestpointonthecombinedcompliantstructureunderdifferentvoltages 电压, U/V 位移 1 /μm 位移 2 /μm 位移 3/μm 50 0.012 9 0.014 2 0.013 8 100 0.053 0 0.061 3 0.054 1 150 0.120 3 0.133 2 0.127 2 175 0.161 1 0.183 1 0.174 3 200 0.220 7 0.242 5 0.229 6 电压, U/V 位移 1 /μm 位移 2 /μm 位移 3/μm 225 0.281 3 0.300 9 0.293 2 250 0.351 7 0.381 7 0.365 8 275 0.431 6 0.462 4 0.447 6 300 0.532 3 0.583 1 0.551 5 4 柔性铰链柔性杆组合结构的变形测试 4.1 测试系统 采用静电驱动方式, 对设计的组合柔性结构进 行变形测试.依据对柔性结构的测试要求, 设计实 验测试原理图如图 5所示.按照实验测试中电压加 载的要求设计了测试电路板, 将其置于显微镜下, 测 试系统局部图如图 6所示. 图 5 实验测试原理框图 Fig.5 Frameworkforthetestprinciple 图 6 静电驱动柔性结构的实验测试系统局部图 Fig.6 Partialdiagramofthetestsystemofthecompliantstructure causedbyelectrostaticdrive 4.2 测试结果 在测试中, 对组合柔性结构施加电压, 一方面要 避免柔性结构与固定极板黏附而导致静电吸合 [ 12] , 同时还要避免柔性结构与固定极板组成的电容结构 的击穿破坏 .综合上述考虑, 确定电压加载范围为 0 ～ 300 V. 测试中选取组合柔性结构上与固定极板末端点 相对应的点为测试对象, 测试不同电压下该点的位 移 .电压从 50 V开始增加至 300 V, 初始变形小, 电 压变化间隔为 50 V, 随着变形增加, 间隔减小为 25 V.记录不同电压下, 组合柔性结构上测试点与 固定极板的间距, 利用其与初始间距的差值获得该 点的位移.连续进行 10次测试, 取其平均值, 测试 结果如表 4所示. 表 4 不同电压下柔性结构上测试点与固定极板的间距及其位移的 测试结果 Table4 Testresultsofthedistancebetweenthetestpointandfixed electrodeandthedisplacementofthetestpointonthecompliantstructure underdifferentvoltages 电压, U/V 间距 /μm 位移 /μm 50 9.73 0.02 100 9.66 0.09 150 9.58 0.17 175 9.54 0.21 200 9.50 0.25 225 9.42 0.33 250 9.33 0.42 275 9.25 0.50 300 9.12 0.63 4.3 结果分析 由表 3、表 4中数据绘制的曲线如图 7所示.由 图可知:一方面, 分别采用非线性柔性模型法、拟柔 · 1493·

。1494 北京科技大学学报 第32卷 性模型法和伪刚体模型法，计算的组合柔性结构的 于拟柔性模型与伪刚体模型，采用文中所建立的非 变形与实验测试结果具有一致的变化趋势：另一方 线性柔性模型所得的变形计算结果与实验测试结果 面，相对于拟柔性模型法和伪刚体模型法，非线性柔 更为接近，从而验证了本文提出的分析方法和所建 性模型所得的变形计算结果与实验测试结果更为接 立的求解模型的有效性. 近，验证了本文的分析方法和所建立的模型的有 效性. 参考文献 07 【刂LuhamukaR HesketP J Design of和ly cmpliant inPlane ro ary bistable micmom echanisms forMEMS applica tins SensAcuL 0.6 。内刚体模型法 日拟柔性模型法 a0r5A207.1341片231 一非线性柔性模型法 [2 YongYK Lu TE The effect of he accumcies of fkxure hirge 日实验测试结果 0.3 equa tions on the output compliances of p narm icromotion stges Mech Mach Theo 2008 43(3):347 [3 Venanzi$G iessen P ParentiCastelliV A novel technue pr 0.1 position ana psis ofplanar compliantmechanims MechMach The 0 50 100150200250300 or200543(11):1224 施加电压N [4 Wu Y F Zhou ZY Design cakultions pr fleure hinges Rev 图7不同电压下采用不同计算方法得到的组合柔性结构的变 Sci hstm200273(8片3101 形与实验测试变形的对比 I5]YongY K Lu T E Handley D C Review of circuar flexure Fg7 Con parison of de flec tion results obta ned by different com pu hinge desgn equations and derivation of empirical fomulations tational me thods and testng uder diffe rent volnges Precis Eng200832(2h63 I Baneriee A Bhattachaoa B MallikAK Lagede flectin of can 以上测试数据与理论计算结果之间存在一定的 tilever beams w ith gecme tric nonInearity Ana pytical and nume ri 误差，其中微加工过程引起单晶硅材料弹性模量E cal appoaches ht JNon LinearM吗200843(5)：36 值的改变（目前尚不能精确测定）是造成误差的 一 [7 Howell L I,Campliant Mechanisms New York Jchn W iky 个重要原因.另外，加工误差、观测误差和读数误差 Sons Inc 2001 [8 Midha A HovellL I.Norrn TW.Lmit positions of compliant 的存在也给测试结果带来一定误差 mechaniss using the pseudo rgibody molel concept Mech 5结论 Mach Theory 2000 35(1):99 [9 Qu L E W eng H$Lu I,et al Sudy on cmplete conpliant (1)组合柔性结构的结构参数对其变形特性有 mechanisms of nompktion distrbuted complince J Univ Sci 着直接的影响，依据对材料为铍青铜的组合柔性结 Technol Beijng 2007 29(Supp12):156 构的变形所作的分析，对其进行了归纳，得出了柔性 (邱丽芳，翁海珊，柳林，等.不完全分布柔度的全柔性机构的 研究.北京科技大学学报.200729增刊2)：156) 铰链柔性杆组合结构存在非线性变形的条件 10 Qu L E WengH Lu I,et al mprov ingonMetled of Pseu (2)针对变截面柔性铰链变截面柔性杆组合结 da rgiL body Model of Lum ped Complete ComnpliantMechanis 构的变形进行分析，考虑柔性杆变形的非线性，建立 TransChn SocAgricMac 2008 39(5):142 了组合结构变形求解的非线性柔性模型. (邱丽芳，翁海珊，柳林，等.全柔性四杆机构伪刚体模型分 (3)设计加工了柔性铰链等截面柔性直杆组合 析计算方法的改进.农业机械学报，20⑧39(5)：142) [11]Lu Q I,Qiu L F WengH Study on equivakent stifness of a 结构，采用建立的非线性柔性模型对其变形进行分 lexure hing您and its applicati知n micmdisplaoement compliant 析，给出了具体的求解过程， mechanism ChinaMech Eng 2010 21(8):917 (4)对设计加工的组合柔性结构，采用静电驱 (刘庆玲，邱丽芳，翁海珊.微位移机构中变截面柔性铰链等 动方式对其变形进行测试，得到不同电压下组合柔 效刚度系数求解方法的研究.中国机械工程，201021(8： 性结构的变形测试结果；同时，采用非线性柔性模 917) [12 Chowdhury S AhmadiM MillerW C Pull n woltge sudy of 型、伪刚体模型和拟柔性模型对其变形进行理论计 electrosm tically actua ted fixed fixed beams using a VI SI on chp 算，将测试结果与理论计算结果进行对比分析.理 nterconnect capac itnce model JMicroekectromech Sys 2006 论计算与实验测试结果具有一致的变化趋势，相对 15(3):639

北 京 科 技 大 学 学 报 第 32卷 性模型法和伪刚体模型法, 计算的组合柔性结构的 变形与实验测试结果具有一致的变化趋势 ;另一方 面, 相对于拟柔性模型法和伪刚体模型法, 非线性柔 性模型所得的变形计算结果与实验测试结果更为接 近, 验证了本文的分析方法和所建立的模型的有 效性. 图 7 不同电压下采用不同计算方法得到的组合柔性结构的变 形与实验测试变形的对比 Fig.7 Comparisonofdeflectionresultsobtainedbydifferentcompu￾tationalmethodsandtestingunderdifferentvoltages 以上测试数据与理论计算结果之间存在一定的 误差, 其中微加工过程引起单晶硅材料弹性模量 E 值的改变 (目前尚不能精确测定 )是造成误差的一 个重要原因 .另外, 加工误差、观测误差和读数误差 的存在也给测试结果带来一定误差. 5 结论 ( 1) 组合柔性结构的结构参数对其变形特性有 着直接的影响, 依据对材料为铍青铜的组合柔性结 构的变形所作的分析, 对其进行了归纳, 得出了柔性 铰链柔性杆组合结构存在非线性变形的条件. ( 2) 针对变截面柔性铰链变截面柔性杆组合结 构的变形进行分析, 考虑柔性杆变形的非线性, 建立 了组合结构变形求解的非线性柔性模型. ( 3) 设计加工了柔性铰链等截面柔性直杆组合 结构, 采用建立的非线性柔性模型对其变形进行分 析, 给出了具体的求解过程 . ( 4) 对设计加工的组合柔性结构, 采用静电驱 动方式对其变形进行测试, 得到不同电压下组合柔 性结构的变形测试结果;同时, 采用非线性柔性模 型 、伪刚体模型和拟柔性模型对其变形进行理论计 算, 将测试结果与理论计算结果进行对比分析.理 论计算与实验测试结果具有一致的变化趋势, 相对 于拟柔性模型与伪刚体模型, 采用文中所建立的非 线性柔性模型所得的变形计算结果与实验测试结果 更为接近, 从而验证了本文提出的分析方法和所建 立的求解模型的有效性 . 参 考 文 献 [ 1] LuharukaR, HeskethPJ.Designoffullycompliant, in-planero￾tary, bistablemicromechanismsforMEMSapplications.SensActu￾ators, A, 2007, 134( 1) :231 [ 2] YongYK, LuTF.Theeffectoftheaccuraciesofflexurehinge equationsontheoutputcompliancesofplanarmicro-motionstages. MechMachTheory, 2008, 43( 3 ) :347 [ 3] VenanziS, GiessenP, Parenti-CastelliV.Anoveltechniquefor positionanalysisofplanarcompliantmechanisms.MechMachThe￾ory, 2005, 43( 11) :1224 [ 4] WuYF, ZhouZY.Designcalculationsforflexurehinges.Rev SciInstrum, 2002, 73( 8 ):3101 [ 5] YongYK, LuTF, HandleyDC.Reviewofcircularflexure hingedesignequationsandderivationofempiricalformulations. PrecisEng, 2008, 32( 2 ):63 [ 6] BanerjeeA, BhattacharyaB, MallikAK.Largedeflectionofcan￾tileverbeamswithgeometricnon-linearity:Analyticalandnumeri￾calapproaches.IntJNonLinearMech, 2008, 43 ( 5) :366 [ 7] HowellLL.CompliantMechanisms.NewYork:JohnWiley＆ SonsInc, 2001 [ 8] MidhaA, HowellLL, NortonTW.Limitpositionsofcompliant mechanismsusingthepseudo-rigid-bodymodelconcept.Mech MachTheory, 2000, 35 ( 1) :99 [ 9] QiuLF, WengHS, LiuL, etal.Studyoncompletecompliant mechanismsofincompletiondistributedcompliance.JUnivSci TechnolBeijing, 2007, 29( Suppl2) :156 (邱丽芳, 翁海珊, 柳林, 等.不完全分布柔度的全柔性机构的 研究.北京科技大学学报, 2007, 29(增刊 2) :156 ) [ 10] QiuLF, WengHS, LiuL, etal.ImprovingonMethodofPseu￾do-rigid-bodyModelofLumpedCompleteCompliantMechanism. TransChinSocAgricMach, 2008, 39( 5) :142 (邱丽芳, 翁海珊, 柳林, 等.全柔性四杆机构伪刚体模型分 析计算方法的改进.农业机械学报, 2008, 39 ( 5) :142 ) [ 11] LiuQL, QiuLF, WengHS.Studyonequivalentstiffnessofa flexurehingeanditsapplicationinmicro-displacementcompliant mechanism.ChinaMechEng, 2010, 21( 8 ):917 (刘庆玲, 邱丽芳,翁海珊.微位移机构中变截面柔性铰链等 效刚度系数求解方法的研究.中国机械工程, 2010, 21 ( 8 ): 917 ) [ 12] ChowdhuryS, AhmadiM, MillerW C.Pull-involtagestudyof electrostaticallyactuatedfixed-fixedbeamsusingaVLSIon-chip interconnectcapacitancemodel.JMicroelectromechSyst, 2006, 15 ( 3) :639 · 1494·