一类具有时变参数的混沌同步保密通信方法

针对混沌同步保密通信中由于同步实现导致参数敏感性下降,无法保证安全性的普遍问题,提出一类新的具有时变参数的混沌同步保密通信的理论方法,并证明了其同步稳定性.时变参数使混沌系统运动轨迹总体服从奇异吸引子,局部小范围作随机波动,混沌运动的复杂性显著提高,难以用参数估计方法破译.参数敏感度级数从1级提高到10级,使之有效抵御穷举法、基于相空间重构等方法的攻击.若采用主动-被动同步方式,同步误差为零.本方法适用于一类连续混沌系统.

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D0I:10.13374/1.issm100103.2008.08.024 第30卷第8期北京科技大学学报 Vol.30 No.8 2008年8月 Journal of University of Science and Technology Beijing Aug.2008 类具有时变参数的混沌同步保密通信方法翁贻方1,2) 郑德玲)鞠磊3) 1)北京工商大学信息工程学院，北京1000372)北京科技大学信息工程学院，北京100083 3)北京电子科技学院通信系，北京100070 摘要针对混沌同步保密通信中由于同步实现导致参数敏感性下降，无法保证安全性的普遍问题，提出一类新的具有时变参数的混沌同步保密通信的理论方法，并证明了其同步稳定性·时变参数使混沌系统运动轨迹总体服从奇异吸引子，局部小范围作随机波动，混沌运动的复杂性显著提高，难以用参数估计方法破译.参数敏感度级数从1级提高到10级，使之有效抵御穷举法、基于相空间重构等方法的攻击·若采用主动被动同步方式，同步误差为零.本方法适用于一类连续混沌系统关键词保密通信：混沌同步：时变参数：安全性分类号TN918.1 A kind of chaotic synchronized secure communication methodology with time- varying parameters WENG Yifang2.ZHENG Deling?,JU Lei 1)School of Information Engineering.Beijing Technology and Business University.Beijing 100037.China 2)School of Information Engineering.University of Science and Technology Beijing.Beijing 100083,China 3)Department of Communication.Beijing Electronic Science and Technology Institute,Beijing 100070.China ABSTRACT A kind of chaotic synchronized secure communication scheme with timevarying parameters was proposed to solve the problem of parameter sensitivity reduction caused by chaotic synchronization.which further degrades the security.The stability of synchronization was then proved.It is unique that the chaotic activities obey the strange attractor globally.while in local they move randomly.As a result,the chaotic obits are more complex,the parameter sensitivity degree rises from I to 10.It makes the system hard to be broken by exhaustive attack and phase space restructuring.When the active"passive decomposition method is used,the se- cure communication scheme has no synchronized error.Simulation results indicate the effectiveness of the method.It is applicable to a kind of continuous chaotic system KEY WORDS secure communication:chaotic synchronization:time varying parameter:security 混沌是确定性非线性系统所特有的运动形态，模糊遗传算法门等均被采用，取得较好的同步控制出现在某些耗散系统、不可积Hamilton保守系统和效果.上述工作以理论研究为主，时钟间隔脉冲驱非线性离散映射系统中，混沌运动主要独有的特征动同步8)方法的提出和数字实现则是朝着实际应是有界性、遍历性、内随机性等，近20年来，混沌同用迈进的一个亮点，步保密通信的研究一直是个热点，这方面的工作近混沌同步保密通信具有自同步功能，不必外年与控制学科有较为紧密的结合，取得了一定的成加同步信号，就可进行实时通信，混沌的初值敏感果.除了PI一状态观测器山、未知输入的多重状态性所表现出的运动轨道不可预测性，是抵御穷举法、观测器]、连续有限时间状态观测器]被用于实现相空间重构等分析方法的安全保障。但是混沌同步混沌同步，最优控制[闺、PID控制、进化算法6]和实现后，混沌系统变得对参数、初值的变化极不敏收稿日期：2007-08-08修回日期：2008-03-05 基金项目：北京市优秀人才专项经费资助项目(N。,20041D0500309) 作者简介：翁贻方(1954-)，女，教授，博士，E-mail:yifangweng@126.com

一类具有时变参数的混沌同步保密通信方法翁贻方12）郑德玲2）鞠磊3） 1）北京工商大学信息工程学院北京100037 2）北京科技大学信息工程学院北京100083 3）北京电子科技学院通信系北京100070 摘要针对混沌同步保密通信中由于同步实现导致参数敏感性下降无法保证安全性的普遍问题提出一类新的具有时变参数的混沌同步保密通信的理论方法并证明了其同步稳定性．时变参数使混沌系统运动轨迹总体服从奇异吸引子局部小范围作随机波动混沌运动的复杂性显著提高难以用参数估计方法破译．参数敏感度级数从1级提高到10级使之有效抵御穷举法、基于相空间重构等方法的攻击．若采用主动－被动同步方式同步误差为零．本方法适用于一类连续混沌系统．关键词保密通信；混沌同步；时变参数；安全性分类号 T N918∙1 A kind of chaotic synchronized secure communication methodology with timevarying parameters W ENG Y if ang 12）ZHENG Deling 2）JU Lei 3） 1） School of Information EngineeringBeijing Technology and Business UniversityBeijing100037China 2） School of Information EngineeringUniversity of Science and Technology BeijingBeijing100083China 3） Department of CommunicationBeijing Electronic Science and Technology InstituteBeijing100070China ABSTRACT A kind of chaotic synchronized secure communication scheme with time-varying parameters was proposed to solve the problem of parameter sensitivity reduction caused by chaotic synchronizationwhich further degrades the security．T he stability of synchronization was then proved．It is unique that the chaotic activities obey the strange attractor globallywhile in local they move randomly．As a resultthe chaotic obits are more complexthe parameter sensitivity degree rises from 1to10．It makes the system hard to be broken by exhaustive attack and phase space restructuring．When the active-passive decomposition method is usedthe secure communication scheme has no synchronized error．Simulation results indicate the effectiveness of the method．It is applicable to a kind of continuous chaotic system． KEY WORDS secure communication；chaotic synchronization；time-varying parameter；security 收稿日期：2007-08-08 修回日期：2008-03-05 基金项目：北京市优秀人才专项经费资助项目（No．20041D0500309）作者简介：翁贻方（1954－）女教授博士E-mail：yifangweng＠126．com 混沌是确定性非线性系统所特有的运动形态出现在某些耗散系统、不可积 Hamilton 保守系统和非线性离散映射系统中．混沌运动主要独有的特征是有界性、遍历性、内随机性等．近20年来混沌同步保密通信的研究一直是个热点．这方面的工作近年与控制学科有较为紧密的结合取得了一定的成果．除了 PI－状态观测器［1］、未知输入的多重状态观测器［2］、连续有限时间状态观测器［3］被用于实现混沌同步最优控制［4］、PID 控制［5］、进化算法［6］和模糊遗传算法［7］等均被采用取得较好的同步控制效果．上述工作以理论研究为主时钟－间隔脉冲驱动同步［8］方法的提出和数字实现则是朝着实际应用迈进的一个亮点．混沌同步保密通信具有自同步功能［9］不必外加同步信号就可进行实时通信．混沌的初值敏感性所表现出的运动轨道不可预测性是抵御穷举法、相空间重构等分析方法的安全保障．但是混沌同步实现后混沌系统变得对参数、初值的变化极不敏第30卷第8期 2008年 8月北京科技大学学报 Journal of University of Science and Technology Beijing Vol．30No．8 Aug．2008 DOI:10．13374／j．issn1001－053x．2008．08．024

第8期翁贻方等：一类具有时变参数的混沌同步保密通信方法 .953. 感，使保密通信不再安全；因为混沌同步机制的本质 x1=一1x1十41x2 是通过某种方式克服混沌动力系统的初值敏感性， x2=一x1x3十x1-x2 从而使两个或多个同构的混沌系统同步，因此需要 (7) X3=x1x2一3x3 研究既能实现混沌同步，又保证保密通信安全性的 4=「10288/3101101P 混沌同步理论方法，令中有微小偏差△=10-14，并取L=5.经过一个 1 混沌同步与初值敏感性瞬态过程，有‖e‖≥5，此处e表示系统参数向量改变前后状态的误差，根据定义2，可确定Lorenz 设n维系统：系统在非同步方式下的参数敏感度级数1为14级， (t)=f(x,t),x∈R",x(to)=x°(1) 在主动一被动同步[1机制下驱动系统和响应系其中，n维向量函数f(x)的各元素f:(x),i=1, 统的Lorenz方程分别为： 2,,n是x的有界、连续可微单值函数.设参数向 x1=一1x1十s(t) 量a∈Rm使系统(I)处于混沌态，a和初值x°组成龙2=一x1x3十2x1一x2 向量=[ax]T,∈Rm+n. (8) 元3=x1x2-3x3 系统(1)的同构系统为： s(t)=ax2十m(t) y(t)=f(y,t),y∈R",y(to)=y° (2) 1=-By1+s(t) 同理有参数向量B∈Rm与初值y°的组合向量，= y2=-1y3十By1-y2 (9) [By]T,9∈Rm+. y3=y1y2-月y3 定义1设系统(1)和(2)在初始状态x°，y°下其中，s(t)为信道上传输的信号，m(t)是信源信号. 的解x(t)=P(tto,x)y(t)=P(t;t0,y),满足中同式(7).令L=5,当与中的偏差满足 Lipschitz条件.若系统(1)与(2)的同步误差为： 10-14to(4) 感度仅为1级，在这一参数敏感度级数下容易被穷称系统(1)与(2)同步.式(4)中，‖x(t)一y(t)‖= 举法攻破，这是混沌同步保密通信中普遍存在的户(，一)月是欧几里德范数。当初值满足问题定理1两个同构混沌系统在有效的同步方式 x°，y∈D(to),称D(to)为同步区域工下，参数敏感度级数减小，定义2令系统(1)和(2)的中，中.存在微小证明：用反证法，令系统(1)和(2)的，中存偏差在微小偏差时的参数敏感度级数为，即有： =空14-1+户1号-=101() 8= 会14-月+宁19-91=10 其中，l为大于零的整数.当同步误差e达到稳态 leI≥L 后的范数满足系统(1)和(2)的同步误差状态方程为： ‖e‖=‖x-yl>L (6) e=f(x,t,a)一f(y,t,中)= 其中，L是轨道分离的下确界，可令其等于混沌状 f(x,t,Ya)-f(x-e,t,a+), 态x,y值域I的25%~50%.若混沌系统(1)与根据李雅普诺夫第二法，上式在e=0处有一个稳定 (2)的轨道完成分离，称系统(1)和(2)的参数或初值的不动点，系统(1)和(2)在中，中有微小偏差ò 敏感度级数为1级时，存在一个稳定的同步态，有定义2给出了混沌系统对参数或初值改变的轨 lim‖e(t)‖= 道不可预测性，用敏感度级数！衡量，结果与用李亚 im‖x(t)-y(t)‖=0to, 普诺夫指数的一致，！越大，敏感度越高，混沌同步故在，中存在微小偏差δ时，系统(1)和(2)同步保密通信的安全性越有保障，稳定，参数敏感度级数小于. 考虑非同步情况下处于混沌态的Lorenz系统证毕

感使保密通信不再安全；因为混沌同步机制的本质是通过某种方式克服混沌动力系统的初值敏感性从而使两个或多个同构的混沌系统同步．因此需要研究既能实现混沌同步又保证保密通信安全性的混沌同步理论方法． 1 混沌同步与初值敏感性设 n 维系统： x · （ t）＝ f（ xt）x∈R nx（ t0）＝x 0 （1）其中n 维向量函数 f （ x）的各元素 fi （ x）i＝1 2…n 是x 的有界、连续可微单值函数．设参数向量 α∈R m 使系统（1）处于混沌态α和初值 x 0 组成向量 ψd＝［α x 0］ Tψd∈R m＋ n．系统（1）的同构系统为： y · （ t）＝ f（yt）y∈R ny（ t0）＝y 0 （2）同理有参数向量β∈R m 与初值y 0 的组合向量 ψr＝［β y 0］ Tψr∈R m＋ n．定义1 设系统（1）和（2）在初始状态 x 0y 0 下的解 x（ t）＝φ（ t；t0x 0）、y（ t）＝φ（ t；t0y 0）满足 Lipschitz 条件．若系统（1）与（2）的同步误差为： e＝（ x－y）e∈R n （3）满足 limt→∞ ‖e（ t）‖＝‖x（ t）－y（ t）‖≡0t＞t0 （4）称系统（1）与（2）同步．式（4）中‖x（ t）－y（ t）‖＝ ∑ n i＝1 （ xi－ yi） 2 1 2是欧几里德范数．当初值满足 x 0y 0∈ D（ t0）称 D（ t0）为同步区域．定义2 令系统（1）和（2）的 ψdψr 存在微小偏差 δ＝ ∑ m i＝1 ｜αi－βi｜＋ ∑ n j＝1 ｜x 0 j－y 0 j｜＝10－ l （5）其中l 为大于零的整数．当同步误差 e 达到稳态后的范数满足 ‖e‖＝‖x－y‖＞ L （6）其中L 是轨道分离的下确界可令其等于混沌状态 xy 值域 I 的25％～50％．若混沌系统（1）与（2）的轨道完成分离称系统（1）和（2）的参数或初值敏感度级数为 l 级．定义2给出了混沌系统对参数或初值改变的轨道不可预测性用敏感度级数 l 衡量结果与用李亚普诺夫指数的一致．l 越大敏感度越高混沌同步保密通信的安全性越有保障．考虑非同步情况下处于混沌态的 Lorenz 系统 x · 1＝－α1x1＋α1x2 x · 2＝－ x1x3＋α2x1－ x2 x · 3＝ x1x2－α3x3 ψd＝［10 28 8／3 10 1 10］ T （7）令 ψd 有微小偏差 Δ＝10－14并取 L＝5．经过一个瞬态过程有‖ e‖≥5此处 e 表示系统参数向量改变前后状态的误差．根据定义2可确定 Lorenz 系统在非同步方式下的参数敏感度级数 l 为14级．在主动－被动同步［10］机制下驱动系统和响应系统的 Lorenz 方程分别为： x · 1＝－α1x1＋s（ t） x · 2＝－ x1x3＋α2x1－ x2 x · 3＝ x1x2－α3x3 s（ t）＝α1x2＋ m（ t）（8） y · 1＝－β1y1＋s（ t） y · 2＝－y1y3＋β2y1－y2 y · 3＝y1y2－β3y3 （9）其中s（ t）为信道上传输的信号m（ t）是信源信号． ψd 同式（7）．令 L＝5当 ψd 与 ψr 的偏差满足 10－14＜δ＜10－2驱动系统（8）与响应系统（9）的轨道未发生分离．仅当 δ＝10－1时‖ e‖≥5．因此 Lorenz 系统在主动－被动同步方式下对参数的敏感度仅为1级．在这一参数敏感度级数下容易被穷举法攻破．这是混沌同步保密通信中普遍存在的问题．定理1 两个同构混沌系统在有效的同步方式 Γ下参数敏感度级数 l 减小．证明：用反证法．令系统（1）和（2）的 ψdψr 存在微小偏差时的参数敏感度级数为ν即有： δ＝ ∑ m i＝1 |αi －βi|＋∑ n j＝1 | x 0 j － y 0 j|＝10－ν ‖e‖ ≥ L ．系统（1）和（2）的同步误差状态方程为： e ·＝ f （ xtψd）－ f （ytψr）＝ f （ xtψd）－ f （ x－etψd＋δ）根据李雅普诺夫第二法上式在 e＝0处有一个稳定的不动点系统（1）和（2）在 ψdψr 有微小偏差 δ 时存在一个稳定的同步态有 limt→∞ ‖e（ t）‖≡ limt→∞ ‖x（ t）－y（ t）‖＝0＜ Lt＞t0．故在 ψdψr 存在微小偏差 δ时系统（1）和（2）同步稳定参数敏感度级数小于ν．证毕．第8期翁贻方等：一类具有时变参数的混沌同步保密通信方法 ·953·

.954 北京科技大学学报第30卷图1为Lorenz系统参数微小偏差与同步误差 2一类具有时变参数的混沌同步保密通信的关系，图中曲线说明Lorenz系统的同步误差与参新方法数的改变量成正比，这表明主动一被动同步对于参 2.1时变参数提出的理论依据数改变的同步效果好；同时也说明同步实现后，保密密码学中用密钥长度表示安全程度，在混沌同通信系统的参数敏感级数为1级，不能满足安全性步保密通信中，混沌系统的参数和初值相当于密钥要求根据Shannon的信息理论，“一次一密”是最安全的如果混沌系统的参数或初值是某种程度上的随机变量，将可能取得近似“一次一密”的效果 a)xew 定义3对于n维系统(1)，当参数向量a取 -10 值a时系统为混沌的，如果对于任意给定的实数 e0,使得当参数向量满足a一a≤e时，系统 154-12-10-86 (1)仍为混沌的，则称e为系统(1)的混沌参数范围. 1g a-a' 定理2n维系统(1)的混沌参数范围>0. 证明：对三维Lorenz系统(6)显然有c>0,i= 图1Lor心m系统参数微小偏差与同步误差的关系 1,2,3.当a=10,g=8/3,2改变时的相轨迹特 Fig.1 Relations between Lorenz equations'parameter difference 征如表1.2在[0，∞]区间共有三个混沌区， and synchronization error 表1 Lorenz系统a2改变时的相轨迹特征 Table 1 Characteristics of Lorenz equations'phase locus with different a2 ?变化范围相轨迹特征 2变化范围相轨迹特征 30.1，A。不再是密钥必须具有相等可能性，这些密钥可从可靠的随奇异吸引子，这就证明了Lorenz系统的混沌参数范机源中产生，或从安全的伪随机位发生器中产生围e0. 在混沌同步保密通信系统中，受混沌参数范围的限证毕制，不可能采用随机密钥，而且从密码学角度，动力 2.2混沌时变参数方法系统的混沌参数相当于弱密钥，即这些密钥的安全在现实世界中，密钥管理是密码学领域最困难性差.从安全角度，对密钥还有如下考虑：的部分，密码分析者经常通过密钥管理来破译保密 ()密钥使用时间越长，泄露的机会就越大，就系统，算法的安全性依赖于密钥，如果用一个弱的可能被耗时的穷举攻击法破译；密钥产生方法，则整个保密系统都是弱的，对于混 (2)对用同一密钥加密的多个文件进行密码分沌同步保密通信系统，混沌系统的参数和初值是保析一般比较容易，因此加密不同文件应避免用同一密通信的密钥.且因为发送端与接收端混沌系统的密钥. 参数和初值应相等，属于对称密钥体制定义5设混沌系统参数向量a(t),a∈Rm 定义4设n维系统(1)的混沌参数范围是以为： E为半径的球域，D(to)是系统的同步区域，则保密 a(t)=ah十(x),μ∈Rm (11) 通信的密钥空间为：当满足‖(x)‖<e,e是系统的混沌参数范围，称 K=D(to)∩B(E) (10) a(t)为混沌时变参数向量其中，B(e)为以ah为圆心的m维球体定义5中的混沌时变参数向量a,(t)充分利用安全的保密通信系统希望有大的密钥空间，在混沌系统自身的内随机特性，通过函数()产生伪

图1为 Lorenz 系统参数微小偏差与同步误差的关系图中曲线说明 Lorenz 系统的同步误差与参数的改变量成正比．这表明主动－被动同步对于参数改变的同步效果好；同时也说明同步实现后保密通信系统的参数敏感级数为1级不能满足安全性要求．图1 Lorenz 系统参数微小偏差与同步误差的关系 Fig．1 Relations between Lorenz equations’parameter difference and synchronization error 2 一类具有时变参数的混沌同步保密通信新方法 2∙1 时变参数提出的理论依据密码学中用密钥长度表示安全程度．在混沌同步保密通信中混沌系统的参数和初值相当于密钥．根据 Shannon 的信息理论“一次一密”是最安全的．如果混沌系统的参数或初值是某种程度上的随机变量将可能取得近似“一次一密”的效果．定义3 对于 n 维系统（1）当参数向量 α取值αch时系统为混沌的．如果对于任意给定的实数 ε＞0使得当参数向量满足｜α－αch｜≤ε时系统（1）仍为混沌的则称ε为系统（1）的混沌参数范围．定理2 n 维系统（1）的混沌参数范围ε＞0．证明：对三维 Lorenz 系统（6）显然有 αi＞0i＝ 123．当 α1＝10α3＝8／3α2 改变时的相轨迹特征如表1．α2 在［0∞］区间共有三个混沌区．表1 Lorenz 系统 α2 改变时的相轨迹特征 Table1 Characteristics of Lorenz equations’phase locus with different α2 α2 变化范围相轨迹特征＜1 趋向于无对流的定态 1～13∙926 趋向于3个平衡点之一在13∙926处出现同宿轨道 13∙926～24∙06 存在无穷多个周期和混沌轨道 24∙06～24∙74 奇异吸引子与一对稳定平衡点共存 α2 变化范围相轨迹特征 24∙74～148∙4 混沌区在148∙4附近出现倍周期分岔 148∙4～166∙07 周期区 166∙07～233∙5 混沌区在233∙5附近出现与148∙4附近类似的分岔 233∙5→∞ 周期区若集合 Ap⊂R 3 是系统（6）的混沌吸引子则称 Ap 为 Lorenz 奇异吸引子．奇异吸引子 Ap 在24∙06 ≤α2≤30∙1范围内存在．当 α2＞30∙1Ap 不再是奇异吸引子．这就证明了 Lorenz 系统的混沌参数范围ε＞0．证毕． 2∙2 混沌时变参数方法在现实世界中密钥管理是密码学领域最困难的部分．密码分析者经常通过密钥管理来破译保密系统．算法的安全性依赖于密钥．如果用一个弱的密钥产生方法则整个保密系统都是弱的．对于混沌同步保密通信系统混沌系统的参数和初值是保密通信的密钥．且因为发送端与接收端混沌系统的参数和初值应相等属于对称密钥体制．定义4 设 n 维系统（1）的混沌参数范围是以 ε为半径的球域D（ t0）是系统的同步区域则保密通信的密钥空间为： K＝ D（ t0）∩B（ε）（10）其中B（ε）为以 αch为圆心的 m 维球体．安全的保密通信系统希望有大的密钥空间．在密码学中好的密钥是由自动处理设备产生的随机位串．如果密钥长度是64位每一个可能的64位密钥必须具有相等可能性．这些密钥可从可靠的随机源中产生或从安全的伪随机位发生器中产生．在混沌同步保密通信系统中受混沌参数范围的限制不可能采用随机密钥．而且从密码学角度动力系统的混沌参数相当于弱密钥即这些密钥的安全性差．从安全角度对密钥还有如下考虑：（1）密钥使用时间越长泄露的机会就越大就可能被耗时的穷举攻击法破译；（2）对用同一密钥加密的多个文件进行密码分析一般比较容易因此加密不同文件应避免用同一密钥．定义5 设混沌系统参数向量 αs（ t）αs∈R m 为： αs（ t）＝αch＋μ（ x）μ∈R m （11）当满足‖μ（ x）‖＜εε是系统的混沌参数范围称 αs（ t）为混沌时变参数向量．定义5中的混沌时变参数向量 αs（ t）充分利用混沌系统自身的内随机特性通过函数 μ（·）产生伪 ·954· 北京科技大学学报第30卷

第8期翁贻方等：一类具有时变参数的混沌同步保密通信方法 .955 随机数，叠加到一组混沌系统参数上，形成一种具有的混沌信号作为载体来隐藏有用信号的一种保密通伪随机特性的动态密钥，信技术，基带信号调制要求混沌掩盖信号的频谱具设两个同构的混沌系统(1)、(2)在某种同步机有带通形式，且中心频率远离零频，从保密通信的制「下，构成混沌同步保密通信系统Σ：安全性考虑，则要求混沌掩盖信号功率谱应覆盖信 (t)=f(x,t,),x∈R",x(to)=x° 源信号，且其功率高于基带信号20B左右.以语音 ((t)=f(y,t,),y∈R",y(to)=y° 信号作为信源信号，研究Lorenz系统混沌掩盖信号 (12) 的功率谱定义6在与Σ相同的同步机制T下，具有混 Lore系统变量x1和语音信号的功率谱如沌时变参数的混沌同步保密通信系统三为：图2，x1的能量主要集中在低频部分，在对人耳敏 r()=f(x,t,4,),a∈Rm,x∈R",x(o)=x° 感的频率段(300~3600z),其功率迅速衰减，不宜作为语音保密通信的混沌掩盖信号， (5()=fy,t,B,)B∈Rm,y∈R,y(0)=y° 50 (13) 其中，a(t)满足式(11)，B(t)=B十(y),μ∈ 语音 R". 定理3如果在某种有效的同步机制「下，混 100 混沌沌同步保密通信系统Σ同步，当混沌同步保密通信 -150 系统Σ的混沌时变参数向量满足： -200L B(t)=a(t),tto (14) -5000-3000-1000100030005000 f/Hz 则保密通信系统Σ4是稳定同步的· 证明：因为保密通信系统Σ同步，故存在一个图2混沌变量和语音信号的功率谱 R“的子集D(to),使得状态向量的初始值x°，yC Fig.2 Relation between power spectra of the chaotic variable and voice signal D(to),则有 im‖e(t)‖=lx(t)-y(t)l=0,t>to Lorenz系统另两个变量x2、x3的功率谱，以及 (15) ROsslor系统、超混沌系统、细胞神经网络(CNN)混不失一般性，令混沌时变参数向量的确定部分沌系统的功率谱，有相同结论，在此情况下，攻击者 =B,且伪随机部分满足定义5，即‖(x)‖to:进一步放大法.设原始混沌信号为xo(xo∈R),其傅里叶变换为XoGω)，采用频率特性如下式所示的高通证明保密通信系统Σk是稳定同步的，对于式(13)，滤波器对x0进行滤波和放大，令e(t)=x(t)一y(t),建立同步误差状态方程： G(Gw)=k(1十jTω) (17) e=f(x,t,a.)-f(y,t,B.)= 式中，T为滤波时间常数，该装置允许w≥1/T, f(x,t,a)-f(x-e,t,B.) (16) rads频率范围的高频分量通过. 根据李亚普诺夫第二法，式(16)状态误差系统在适当选取T可滤去x0中的低频分量，获得在 e=0处有一个稳定的不动点，于是式(13)中的驱动较大频率范围内功率谱均匀分布的混沌掩盖信号，系统和响应系统存在一个稳定的同步态，即 Xmk(Gω)=k(1十jTo)Xo(Gω) (18) li‖e(t)‖≡li‖x(t)-y(t)‖=0，t>to: 放大倍数k的选取是为使混沌掩盖信号的功率比因此，具有混沌时变参数的混沌同步保密通信系统信源信号高30dB左右，以保证信息隐藏的安全性， ∑k是稳定同步的· 定理4如果在某种有效的同步机制Γ下，式证毕， (12)混沌同步保密通信系统Σ同步，则经预处理得 2.3混沌信号功率谱分析与预处理方法到的混沌掩盖信号xmk,ymk是稳定同步的，混沌掩盖是利用具有逼近高斯白噪声统计特性证明：已知保密通信系统Σ同步，有

随机数叠加到一组混沌系统参数上形成一种具有伪随机特性的动态密钥．设两个同构的混沌系统（1）、（2）在某种同步机制 Γ下构成混沌同步保密通信系统 Σ： Σ x · （ t）＝ f（ xtΓ） x∈R nx（ t0）＝x 0 y · （ t）＝ f（ytΓ） y∈R ny（ t0）＝y 0 （12）定义6 在与 Σ相同的同步机制Γ下具有混沌时变参数的混沌同步保密通信系统 Σsk为： Σsk x · （ t）＝ f（ xtαsΓ） αs∈R mx∈R nx（ t0）＝x 0 y · （ t）＝ f（ytβsΓ） βs∈R my∈R ny（ t0）＝y 0 （13）其中αs（ t）满足式（11）βs（ t）＝βch＋μ（ y）μ∈ R m．定理3 如果在某种有效的同步机制 Γ下混沌同步保密通信系统 Σ同步当混沌同步保密通信系统 Σsk的混沌时变参数向量满足： βs（ t）＝αs（ t）t＞t0 （14）则保密通信系统 Σsk是稳定同步的．证明：因为保密通信系统 Σ同步故存在一个 R n 的子集 D（ t0）使得状态向量的初始值 x 0y 0⊂ D（ t0）则有 limt→∞ ‖e（ t）‖＝‖x（ t）－y（ t）‖≡0t＞t0 （15）不失一般性令混沌时变参数向量的确定部分 αch＝βch且伪随机部分满足定义5即‖μ（ x）‖＜ ε‖μ（ y）‖＜ε．由 Σ同步可得混沌时变参数向量的伪随机数部分： limt→∞ ‖μ（ x）－μ（y）‖≡0 因此有limt→∞ ‖βs（ t）－αs（ t）‖≡0t＞ t0．进一步证明保密通信系统 Σsk是稳定同步的．对于式（13）令 e（ t）＝x（ t）－y（ t）建立同步误差状态方程： e · ＝ f （ xtαs）－ f （ytβs）＝ f （ xtαs）－ f （ x－etβs）（16）根据李亚普诺夫第二法式（16）状态误差系统在 e＝0处有一个稳定的不动点于是式（13）中的驱动系统和响应系统存在一个稳定的同步态即 limt→∞ ‖e（ t）‖≡limt→∞ ‖x（ t）－y（ t）‖＝0t＞t0．因此具有混沌时变参数的混沌同步保密通信系统 Σsk是稳定同步的．证毕． 2∙3 混沌信号功率谱分析与预处理方法混沌掩盖是利用具有逼近高斯白噪声统计特性的混沌信号作为载体来隐藏有用信号的一种保密通信技术．基带信号调制要求混沌掩盖信号的频谱具有带通形式且中心频率远离零频．从保密通信的安全性考虑则要求混沌掩盖信号功率谱应覆盖信源信号且其功率高于基带信号20dB 左右．以语音信号作为信源信号研究 Lorenz 系统混沌掩盖信号的功率谱． Lorenz 系统变量 x1 和语音信号的功率谱如图2．x1 的能量主要集中在低频部分．在对人耳敏感的频率段（300～3600Hz）其功率迅速衰减不宜作为语音保密通信的混沌掩盖信号．图2 混沌变量和语音信号的功率谱 Fig．2 Relation between power spectra of the chaotic variable and voice signal Lorenz 系统另两个变量 x2、x3 的功率谱以及 Rösslor 系统、超混沌系统、细胞神经网络（CNN）混沌系统的功率谱有相同结论．在此情况下攻击者只需将截获的信号进行语音频段的带通滤波即可能实现破译．本文在 DSP 平台上进行了基于 Lorenz 系统的语音混沌掩盖保密通信的低通滤波破译实验验证了以上结论．为此提出高频混沌分量提取、放大法．设原始混沌信号为 x0（ x0∈R 1）其傅里叶变换为 X0（jω）．采用频率特性如下式所示的高通滤波器对 x0 进行滤波和放大 G（jω）＝k（1＋j Tω）（17）式中T 为滤波时间常数该装置允许 ω≥1／T rad·s －1频率范围的高频分量通过．适当选取 T 可滤去 x0 中的低频分量获得在较大频率范围内功率谱均匀分布的混沌掩盖信号 Xmk（jω）＝k（1＋j Tω） X0（jω）（18）放大倍数 k 的选取是为使混沌掩盖信号的功率比信源信号高30dB 左右以保证信息隐藏的安全性．定理4 如果在某种有效的同步机制 Γ下式（12）混沌同步保密通信系统 Σ同步则经预处理得到的混沌掩盖信号 xmkymk是稳定同步的．证明：已知保密通信系统 Σ同步有第8期翁贻方等：一类具有时变参数的混沌同步保密通信方法 ·955·

.956 北京科技大学学报第30卷 im‖e(t)‖≡lim‖x(t)-y(t)‖=0，t>o -20 30 因为Xmk(jω)=k(1十jTω)X:(Gω)，Yk(Gw)= 预处理后的混沌 k(1+jTω)YGω)，XGω)，YGω)是x(t),y:(t) 的傅里叶变换，是n维混沌系统(1)、(2)的任意的对应变量.由于混沌掩盖信号xmk,yk与混沌系统原始变量x(t),y:(t)是线性变换关系，可得： -5000 -3000 -1000 1000 3000 5000 li‖xmk一yamk‖=0，t>to (19) f/Hz 即xmk,ymk是稳定同步的. 图3混沌掩盖信号和语音信号的功率谱证毕. Fig-3 Relation of power spectra of the chaotic masking signal and 用高频混沌分量提取放大法对Lorenz系统变 voice signal 量x1处理后，获得一个具有宽带、连续均衡功率谱 2,4具有时变参数的混沌同步保密通信模型的混沌掩盖信号xmk,其功率谱见图3.xmk功率谱一类具有混沌时变参数的混沌同步保密通信模值平均高于语音信号30B左右，在人耳敏感的音型如图4所示，图4中驱动系统和响应系统见频范围内，可有效地掩盖语音信号式(13)，其中Γ表示某种同步方式，动态密朝动态密明 a(r) B.(r) m m(r) 范系统三，混池量信号，同神 ,混掩盖信号信号产生系统信号产生调制同步方式「道发送端接收腾图4具有混沌时变参数的混沌同步保密通信模型 Fig.4 Chaotic synchronized secure communication model with time varying parameters 信源信号m(t)经过某种调制后得到信道上传号，m(t)为信源信号输的信号：响应系统的混沌时变参数向量为： s(t)=g(m(t),x,xmk) (20) Ba(t) Bchl+1.5ymk 设信道为理想信道，即不存在信道噪声，且信号 B.(t)= B() B2十1.5ymk (24) s(t)不发生失真，信号解调的过程为： B3(t) LBah3十1.5ymk m:(t)=h(s(t),x,xmk) (21) 响应系统方程为：式中，h()为调制函数g()的反函数 1=-B(t)y1+s(t) 3计算机仿真与安全性分析 y2=-y1y3+B.2(t)y1-y2 (25) 根据上述具有混沌时变参数的混沌同步保密通 3=y1y2-月2(t)y3 信模型，构建基于Lorenz系统的主动一被动同步保接收端的解密信号为：密通信系统.令(x)=1.5xmk为标量函数，得： m,()=)-102 (26) a1(t) au1十1.5xmk ymk 推论1如果在主动一被动同步方式下，未加混 a(t)= c2(t) ah2十1.5xmk (22) 沌时变参数的Lorenz响应系统(9)和驱动系统(8) L Q3(t) Lach3+1.5xmk 同步，则混沌掩盖信号xmk,ymk同步，且时变参数向驱动系统方程为：量满足B(t)=a(t),具有时变参数的Lorenz保密 x1=-a1(t)x1十s(t) 通信系统稳定同步 x2=一x1x3十a2(t)x1一x2 (23) 证明：因为Lorenz响应系统(9)和驱动系统(8) x3=x1x2一a3(t)x3 同步，故存在一个R3的子集D(to),使得状态向量其中，s(t)=10x2十m(t)xmk为信道上传输的信的初始值x”,y°∈D(to),当too时，存在

limt→∞ ‖e（ t）‖≡limt→∞ ‖x（ t）－y（ t）‖＝0t＞t0．因为 Xmk（jω）＝k（1＋j Tω） Xi（jω）Y mk （jω）＝ k（1＋j Tω） Y i（jω）Xi（jω）Y i（jω）是 xi（ t）yi（ t）的傅里叶变换是 n 维混沌系统（1）、（2）的任意的对应变量．由于混沌掩盖信号 xmkymk与混沌系统原始变量 xi（ t）yi（ t）是线性变换关系可得： limt→∞ ‖ xmk－ymk‖＝0t＞t0 （19）即 xmkymk是稳定同步的．证毕．用高频混沌分量提取放大法对 Lorenz 系统变量 x1 处理后获得一个具有宽带、连续均衡功率谱的混沌掩盖信号 xmk其功率谱见图3．xmk功率谱值平均高于语音信号30dB 左右在人耳敏感的音频范围内可有效地掩盖语音信号．图3 混沌掩盖信号和语音信号的功率谱 Fig．3 Relation of power spectra of the chaotic masking signal and voice signal 2∙4 具有时变参数的混沌同步保密通信模型一类具有混沌时变参数的混沌同步保密通信模型如图4所示．图4中驱动系统和响应系统见式（13）其中 Γ表示某种同步方式．图4 具有混沌时变参数的混沌同步保密通信模型 Fig．4 Chaotic synchronized secure communication model with time-varying parameters 信源信号 m（ t）经过某种调制后得到信道上传输的信号： s（ t）＝g（ m（ t）xxmk）（20）设信道为理想信道即不存在信道噪声且信号 s（ t）不发生失真．信号解调的过程为： mr（ t）＝h（ s（ t）xxmk）（21）式中h（·）为调制函数 g（·）的反函数． 3 计算机仿真与安全性分析根据上述具有混沌时变参数的混沌同步保密通信模型构建基于 Lorenz 系统的主动－被动同步保密通信系统．令 μ（ x）＝1∙5xmk为标量函数得： αs（ t）＝ αs1（ t） αs2（ t） αs3（ t）＝ αch1＋1∙5xmk αch2＋1∙5xmk αch3＋1∙5xmk （22）驱动系统方程为： x · 1＝－αs1（ t） x1＋s（ t） x · 2＝－ x1x3＋αs2（ t） x1－ x2 x · 3＝ x1x2－αs3（ t） x3 （23）其中s（ t）＝10x2＋ m （ t） xmk为信道上传输的信号m（ t）为信源信号．响应系统的混沌时变参数向量为： βs（ t）＝ βs1（ t） βs2（ t） βs3（ t）＝ βch1＋1∙5ymk βch2＋1∙5ymk βch3＋1∙5ymk （24）响应系统方程为： y · 1＝－βs1（ t） y1＋s（ t） y · 2＝－y1y3＋βs2（ t） y1－y2 y · 3＝y1y2－βs2（ t） y3 （25）接收端的解密信号为： mr（ t）＝ s（ t）－10y2 ymk （26）推论1 如果在主动－被动同步方式下未加混沌时变参数的 Lorenz 响应系统（9）和驱动系统（8）同步则混沌掩盖信号 xmkymk同步且时变参数向量满足 βs（ t）＝αs（ t）具有时变参数的 Lorenz 保密通信系统稳定同步．证明：因为 Lorenz 响应系统（9）和驱动系统（8）同步故存在一个 R 3 的子集 D（ t0）使得状态向量的初始值 x 0y 0∈ D（ t0）当 t→∞时存在 ·956· 北京科技大学学报第30卷

e（ t）≡‖x（ t）－y（ t）‖→0t＞t0 （27）因为 xmk是状态向量 x1 的线性函数预处理并未改变其性质故由 xy 同步可得 xmkymk同步．进一步证明具有混沌时变参数的 Lorenz 混沌同步保密通信系统是稳定同步的．设驱动系统（23）和响应系统（25）的同步误差为e（ t）＝x（ t）－y（ t）则同步误差状态方程为： e · 1＝αs1e1 e · 2＝－ x1e3－e2 e · 3＝ x1e2－αs3e3 （28）从式（28）可见当 t→∞时因为 αs1＞0故有 e1→ 0．对于由 e2 和 e3 构成的二维系统设李亚普诺夫函数为 V ＝e 2 2＋e 2 3可求得其导数为： V · ＝－2（e 2 2＋αs3e 2 3）＜0．其中αs3＞0因此 V · 负定根据李亚普诺夫第二法可判定系统（28）是大范围渐近稳定的．由于（28）在 e＝0处有一个稳定的平衡状态因此系统（23）和（25）存在一个稳定的同步态 x＝ y．必有 xmk ＝ ymkβs（ t）＝αs（ t）故该保密通信系统同步．证毕．加入混沌时变参数前、后 Lorenz 系统的奇异吸引子如图5所示．可见加入混沌时变参数后系统的状态偏离了原来的轨道总体上服从奇异吸引子局部发生随机改变．图5 Lorenz 系统的奇异吸引子微小变形：（a）加入混沌时变参数前；（b）加入混沌时变参数后 Fig．5 Min-i distort of Lorenz equations’strange attractor：（a） without chaotic time-varying parameters；（b） with chaotic time-varying parameters 在 MATLAB 的 Simulink 仿真环境下对具有混沌时变参数的主动－被动同步 Lorenz 保密通信模型进行计算机仿真研究图6是方波保密通信的结果．图6 方波保密通信．（a）方波；（b）混沌掩盖后的波形；（c）信道上的传输信号；（d）参数存在偏差时解密信号 Fig．6 Square wave secure communication：（a） square wave；（b） after chaotic masking；（c） signal on transmission line；（d） decrypted signal under the parameter difference 第8期翁贻方等：一类具有时变参数的混沌同步保密通信方法 ·957·

.958 北京科技大学学报第30卷当驱动和响应混沌系统的初始状态不同时，经参考文献过4.5s的同步时间，同步误差达到零，解密得到与 [1]Johnson P,Busawon K.Chaotic synchronization for secure com- 图6(a)相同的方波，但当驱动和响应混沌系统的参 munication using Pl-observers /IFAC CHAOS'06.Reims, 数向量（混沌时变参数向量中的确定部分）不匹配 2006 时，取‖一B‖=10-10，驱动系统和响应系统 [2]Akhenak A.Chadli M.Ragot J.et al.Unknown input multiple observerbased approach to secure communications IFAC 不能同步，图6(d)显示解调误差已远远大于信源信 CHAOS'06.Reims,2006 号幅值，参数的敏感度级数达10级，增大了穷举法 [3]Perruquetti W.Floquet T.Continuous finite time observer for 的破译难度， chaotic synchronization//IFAC CHAOS'06.Reims.2006 本保密通信系统将经过调制的信源信号与混沌 [4]Salas O H.Banks S P.Optimal control of nonhomogeneous 掩盖信号叠加，因此即使用基于相空间重构山的攻 chaotic systems//IFAC CHAOS'06.Reims.2006 [5]Launay F.Coirault P,Cauet S.et al.Synchronization of two 击方法或噪声削减技术，得到的只是调制信号，不是 chaotie systems using PID control//IFAC CHAOS'06.Reims. 信源信号，达不到破译目的. 2006 设Lorenz系统的参数为1=10.123456789， [6]Zelinka I.Senkerik R.Navratil E.Investigation on real time de- 2=28,a3=8/3,截取长度为30000的混沌信号序 terministic chaos control by means of evolutionary algorithms 列，用基于混沌同步的参数估计方法1]进行破译， FAC CHAOS'06.Reims,2006 [7]Li Q.Zheng D L:Yang L H.Synchronization of chaos based on 得到的参数估计结果是10.36X27X153,其中X表 fuzy genetic algorithm.JUniv Sci Technol Beijing.2001.23 示该位得不到估计结果，表明由于时变参数破坏了 (2):184 奇异吸引子的轨道，结果是两种情况：一是不能估计 (李擎，郑德玲，杨林浩·基于模糊遗传算法的混沌同步控制算出准确参数，二是因无极值而无法确定，因此这一法.北京科技大学学报，2001,23(2)：184) 方法对于基于混沌同步的参数估计方法是安全的. [8]Zhao G.Zheng D L,Dong J Y.A secure speech communication system based on a digital chaos.J Univ Sci Technol Beijing. 4结论 2001,23(2):168 (赵耿，郑德玲，董冀媛.一类数字混沌保密语音通信系统，北具有时变参数的混沌同步保密通信方法有效解京科技大学学报，2001,23(2)：168) 决了同步机制引起参数敏感度降低造成的低安全性 [9]Pecora L M,Carroll T L.Synchronization in chaotic systems. 问题，混沌高频分量提取放大法能获得满足要求的 Phys Rev Lett,1990,64(8):821 [10]Kocarev L,Halle K S.Eckert K.et al.Experimental demon- 混沌掩盖信号.在典型的连续混沌系统Lorenz方程 stration of secure communication via chaotic sy nchronization.Int 上完成的计算机仿真实验验证了以上方法，敏感度 J Bifurcation Chaos,1992.2(3):709 级数从1级提高到10级，获得了连续、宽频、均匀分 [11]Short K M.Steps toward unmasking secure communications- 布功率谱的混沌掩盖信号，对于穷举法、基于相空间 Int J Bifurcation Chaos.1994.4(4):959 重构的攻击方法或噪声削减技术、基于混沌同步的 [12]Parlitz U.Junce L.Kocarev L.Synchronization-based parame 参数估计方法等破译方法是安全的，本方法适用一 ter estimation from time series.Phys Rev E.1996,54(6): 6253 类连续混沌系统，安全性高，并具有实际应用价值

当驱动和响应混沌系统的初始状态不同时经过4∙5s 的同步时间同步误差达到零解密得到与图6（a）相同的方波．但当驱动和响应混沌系统的参数向量（混沌时变参数向量中的确定部分）不匹配时取‖αch－βch‖＝10－10驱动系统和响应系统不能同步图6（d）显示解调误差已远远大于信源信号幅值参数的敏感度级数达10级增大了穷举法的破译难度．本保密通信系统将经过调制的信源信号与混沌掩盖信号叠加因此即使用基于相空间重构［11］的攻击方法或噪声削减技术得到的只是调制信号不是信源信号达不到破译目的．设 Lorenz 系统的参数为 α1＝10∙123456789 α2＝28α3＝8／3截取长度为30000的混沌信号序列用基于混沌同步的参数估计方法［12］进行破译得到的参数估计结果是10∙36X27X153其中 X 表示该位得不到估计结果．表明由于时变参数破坏了奇异吸引子的轨道结果是两种情况：一是不能估计出准确参数二是因无极值而无法确定．因此这一方法对于基于混沌同步的参数估计方法是安全的． 4 结论具有时变参数的混沌同步保密通信方法有效解决了同步机制引起参数敏感度降低造成的低安全性问题混沌高频分量提取放大法能获得满足要求的混沌掩盖信号．在典型的连续混沌系统 Lorenz 方程上完成的计算机仿真实验验证了以上方法敏感度级数从1级提高到10级获得了连续、宽频、均匀分布功率谱的混沌掩盖信号对于穷举法、基于相空间重构的攻击方法或噪声削减技术、基于混沌同步的参数估计方法等破译方法是安全的．本方法适用一类连续混沌系统安全性高并具有实际应用价值．参考文献［1］ Johnson PBusawon K．Chaotic synchronization for secure communication using PI-observers ∥ IFAC CHAOS’06．Reims 2006 ［2］ Akhenak AChadli MRagot Jet al．Unknown input multiple observe-r based approach to secure communications ∥ IFAC CHAOS’06．Reims2006 ［3］ Perruquetti WFloquet T．Continuous finite time observer for chaotic synchronization∥ IFAC CHAOS’06．Reims2006 ［4］ Salas O HBanks S P．Optimal control of non-homogeneous chaotic systems∥ IFAC CHAOS’06．Reims2006 ［5］ Launay FCoirault PCauet Set al．Synchronization of two chaotic systems using PID control∥ IFAC CHAOS’06．Reims 2006 ［6］ Zelinka ISenkerik RNavratil E．Investigation on real time deterministic chaos control by means of evolutionary algorithms∥ IFAC CHAOS’06．Reims2006 ［7］ Li QZheng D LYang L H．Synchronization of chaos based on fuzzy genetic algorithm．J Univ Sci Technol Beijing200123 （2）：184 （李擎郑德玲杨林浩．基于模糊遗传算法的混沌同步控制算法．北京科技大学学报200123（2）：184）［8］ Zhao GZheng D LDong J Y．A secure speech communication system based on a digital chaos． J Univ Sci Technol Beijing 200123（2）：168 （赵耿郑德玲董冀媛．一类数字混沌保密语音通信系统．北京科技大学学报200123（2）：168）［9］ Pecora L MCarroll T L．Synchronization in chaotic systems． Phys Rev Lett199064（8）：821 ［10］ Kocarev LHalle K SEckert Ket al．Experimental demonstration of secure communication via chaotic synchronization．Int J Bif urcation Chaos19922（3）：709 ［11］ Short K M．Steps toward unmasking secure communications． Int J Bif urcation Chaos19944（4）：959 ［12］ Parlitz UJunce LKocarev L．Synchronization-based parameter estimation from time series．Phys Rev E199654（6）： 6253 ·958· 北京科技大学学报第30卷

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