云南财经大学：《计量经济学》课程教学资源（习题题解）第三章经典单方程计量经济学模型（多元线性回归模型）.doc_大学文库

第三章、经典单方程计量经济学模型:多元线性回归模型、内容提要本章将一元回归模型拓展到了多元回归模型,其基本的建模思想与建模方法与一元的情形相同。主要内容仍然包括模型的基本假定、模型的估计、模型的检验以及模型在预测方面的应用等方面。只不过为了多元建模的需要,在基本假设方面以及检验方面有所扩充本章仍重点介绍了多元线性回归模型的基本假设、估计方法以及检验程序。与一元回归分析相比,多元回归分析的基本假设中引入了多个解释变量间不存在(完全)多重共线性这一假设;在检验部分,一方面引入了修正的可决系数,另一方面引入了对多个解释变量是否对被解释变量有显著线性影响关系的联合性F检验,并讨论了F检验与拟合优度检验的内在联系。本章的另一个重点是将线性回归模型拓展到非线性回归模型,主要学习非线性模型如何转化为线性回归模型的常见类型与方法。这里需要注意各回归参数的具体经济含义。本章第三个学习重点是关于模型的约束性检验问题,包括参数的线性约束与非线性约束检验。参数的线性约束检验包括对参数线性约束的检验、对模型增加或减少解释变量的检验以及参数的稳定性检验三方面的内容,其中参数稳定性检验又包括邹氏参数稳定性检验与邹氏预测检验两种类型的检验。检验都是以F检验为主要检验工具,以受约東模型与无约束模型是否有显著差异为检验基点。参数的非线性约束检验主要包括最大似然比检验、沃尔德检验与拉格朗日乘数检验。它们仍以估计无约束模型与受约束模型为基础,但以最大似然原理进行估计,且都适用于大样本情形,都以约束条件个数为自由度的x2分布为检验统计量的分布特征。非线性约束检验中的拉格朗日乘数检验在后面的章节中多次使用、典型例题分析例1.某地区通过一个样本容量为722的调查数据得到劳动力受教育的一个回归方程为 ed=10.36-0.094sibs+0.13lmed+0.210fedh R2=0.214 式中,edu为劳动力受教育年数,sibs为该劳动力家庭中兄弟姐妹的个数,medu与fedu分别为母亲与父亲受到教育的年数。问

第三章、经典单方程计量经济学模型：多元线性回归模型一、内容提要本章将一元回归模型拓展到了多元回归模型，其基本的建模思想与建模方法与一元的情形相同。主要内容仍然包括模型的基本假定、模型的估计、模型的检验以及模型在预测方面的应用等方面。只不过为了多元建模的需要，在基本假设方面以及检验方面有所扩充。本章仍重点介绍了多元线性回归模型的基本假设、估计方法以及检验程序。与一元回归分析相比，多元回归分析的基本假设中引入了多个解释变量间不存在（完全）多重共线性这一假设；在检验部分，一方面引入了修正的可决系数，另一方面引入了对多个解释变量是否对被解释变量有显著线性影响关系的联合性 F 检验，并讨论了 F 检验与拟合优度检验的内在联系。本章的另一个重点是将线性回归模型拓展到非线性回归模型，主要学习非线性模型如何转化为线性回归模型的常见类型与方法。这里需要注意各回归参数的具体经济含义。本章第三个学习重点是关于模型的约束性检验问题，包括参数的线性约束与非线性约束检验。参数的线性约束检验包括对参数线性约束的检验、对模型增加或减少解释变量的检验以及参数的稳定性检验三方面的内容，其中参数稳定性检验又包括邹氏参数稳定性检验与邹氏预测检验两种类型的检验。检验都是以 F 检验为主要检验工具，以受约束模型与无约束模型是否有显著差异为检验基点。参数的非线性约束检验主要包括最大似然比检验、沃尔德检验与拉格朗日乘数检验。它们仍以估计无约束模型与受约束模型为基础，但以最大似然原理进行估计，且都适用于大样本情形，都以约束条件个数为自由度的 2  分布为检验统计量的分布特征。非线性约束检验中的拉格朗日乘数检验在后面的章节中多次使用。二、典型例题分析例 1．某地区通过一个样本容量为 722 的调查数据得到劳动力受教育的一个回归方程为 edu = 10.36 − 0.094sibs + 0.131medu + 0.210 fedu R 2=0.214 式中，edu 为劳动力受教育年数，sibs 为该劳动力家庭中兄弟姐妹的个数，medu 与 fedu 分别为母亲与父亲受到教育的年数。问

(1)sbs是否具有预期的影响?为什么?若medu与fedu保持不变,为了使预测的受教育水平减少一年,需要sibs增加多少? (2)请对medu的系数给予适当的解释。 (3)如果两个劳动力都没有兄弟姐妹,但其中一个的父母受教育的年数为12年,另个的父母受教育的年数为16年,则两人受教育的年数预期相差多少? 解答: (1)预期sbs对劳动者受教育的年数有影响。因此在收入及支出预算约束一定的条件下,子女越多的家庭,每个孩子接受教育的时间会越短。根据多元回归模型偏回归系数的含义,sibs前的参数估计值-0.094表明,在其他条件不变的情况下,每增加1个兄弟姐妹,受教育年数会减少0.094年,因此,要减少1年受教育的时间,兄弟姐妹需增加1/0.094=10.6个 (2)medu的系数表示当兄弟姐妹数与父亲受教育的年数保持不变时,母亲每增加1 年受教育的机会,其子女作为劳动者就会预期增加0.131年的教育机会。 (3)首先计算两人受教育的年数分别为 10.36+0.131×12+0.210×12=14452 10.36+0.131×16+0.210×16=15816 因此,两人的受教育年限的差别为15.816-14452=1.364 例2.以企业研发支出(R&D)占销售额的比重为被解释变量(Y),以企业销售额(X1) 与利润占销售额的比重(X2)为解释变量,一个有32容量的样本企业的估计结果如下: Y=0472+0.32lg(X1)+0.05X2 (1.37)(0.22) (0046) R2=0099 其中括号中为系数估计值的标准差 (1)解释log(X1)的系数。如果X1增加10%,估计Y会变化多少个百分点?这在经济上是一个很大的影响吗? (2)针对R&D强度随销售额的增加而提高这一备择假设,检验它不虽X1而变化的假设。分别在5%和10%的显著性水平上进行这个检验。 (3)利润占销售额的比重X2对R&D强度Y是否在统计上有显著的影响? 解答: (1)log(x1)的系数表明在其他条件不变时,log(x1)变化1个单位,Y变化的单位数, 即△Y=0.32△log(X1)0.32(△X1/X1)=0.32×100%,换言之,当企业销售X1增长100%时,企业研发支出占销售额的比重Y会增加0.32个百分点。由此,如果ⅹ1增加10%,Y会增加 0.032个百分点。这在经济上不是一个较大的影响 (2)针对备择假设Hl:B1>0,检验原假设H0:B1=0。易知计算的t统计量的值为t=0.32022=1468。在5%的显著性水平下,自由度为32-3=29的t分布的临界值为1.699 (单侧),计算的t值小于该临界值,所以不拒绝原假设。意味着R&D强度不随销售额的增加而变化。在10%的显著性水平下,t分布的临界值为1.31l,计算的t值小于该值,拒绝原假设,意味着R&D强度随销售额的增加而增加。 (3)对X2,参数估计值的t统计值为005/046=1087,它比在10%的显著性水平下的临界值还小,因此可以认为它对Y在统计上没有显著的影响

（1）sibs 是否具有预期的影响？为什么？若 medu 与 fedu 保持不变，为了使预测的受教育水平减少一年，需要 sibs 增加多少？（2）请对 medu 的系数给予适当的解释。（3）如果两个劳动力都没有兄弟姐妹，但其中一个的父母受教育的年数为 12 年，另一个的父母受教育的年数为 16 年，则两人受教育的年数预期相差多少？解答：（1）预期 sibs 对劳动者受教育的年数有影响。因此在收入及支出预算约束一定的条件下，子女越多的家庭，每个孩子接受教育的时间会越短。根据多元回归模型偏回归系数的含义，sibs 前的参数估计值-0.094 表明，在其他条件不变的情况下，每增加 1 个兄弟姐妹，受教育年数会减少 0.094 年，因此，要减少 1 年受教育的时间，兄弟姐妹需增加 1/0.094=10.6 个。（2）medu 的系数表示当兄弟姐妹数与父亲受教育的年数保持不变时，母亲每增加 1 年受教育的机会，其子女作为劳动者就会预期增加 0.131 年的教育机会。（3）首先计算两人受教育的年数分别为 10.36+0.13112+0.21012=14.452 10.36+0.13116+0.21016=15.816 因此，两人的受教育年限的差别为 15.816-14.452=1.364 例 2．以企业研发支出（R&D）占销售额的比重为被解释变量（Y），以企业销售额（X1）与利润占销售额的比重（X2）为解释变量，一个有 32 容量的样本企业的估计结果如下： 0.099 (1.37) (0.22) (0.046) 0.472 0.32log( ) 0.05 2 1 2 = = + + R Y X X 其中括号中为系数估计值的标准差。（1）解释 log(X1)的系数。如果 X1 增加 10%，估计 Y 会变化多少个百分点？这在经济上是一个很大的影响吗？（2）针对 R&D 强度随销售额的增加而提高这一备择假设，检验它不虽 X1 而变化的假设。分别在 5%和 10%的显著性水平上进行这个检验。（3）利润占销售额的比重 X2 对 R&D 强度 Y 是否在统计上有显著的影响？解答：（1）log(x1)的系数表明在其他条件不变时，log(x1)变化 1 个单位，Y 变化的单位数，即Y=0.32log(X1)0.32(X1/X1)=0.32100%，换言之，当企业销售 X1 增长 100%时，企业研发支出占销售额的比重 Y 会增加 0.32 个百分点。由此，如果 X1 增加 10%，Y 会增加 0.032 个百分点。这在经济上不是一个较大的影响。（2）针对备择假设 H1：1  0 ，检验原假设 H0：1 = 0 。易知计算的 t 统计量的值为 t=0.32/0.22=1.468。在 5%的显著性水平下，自由度为 32-3=29 的 t 分布的临界值为 1.699 （单侧），计算的 t 值小于该临界值，所以不拒绝原假设。意味着 R&D 强度不随销售额的增加而变化。在 10%的显著性水平下，t 分布的临界值为 1.311，计算的 t 值小于该值，拒绝原假设，意味着 R&D 强度随销售额的增加而增加。（3）对 X2，参数估计值的 t 统计值为 0.05/0.46=1.087，它比在 10%的显著性水平下的临界值还小，因此可以认为它对 Y 在统计上没有显著的影响

例3.下表为有关经批准的私人住房单位及其决定因素的4个模型的估计量和相关统计值(括号内为p-值)(如果某项为空,则意味着模型中没有此变量)。数据为美国40个城市的数据。模型如下: housin g=B.+B,density+Bvalue+B, income+ B popchang +B,unemp+ B localtax +B,statetax+u 式中 housing-—实际颁发的建筑许可证数量, density.--每平方英里的人口密度, value 自由房屋的均值(单位:百美元), Income-平均家庭的收入(单位:千美元), pophung 1980-1992年的人口增长百分比, unemp-—失业率, localtax-—人均交纳的地方税 etax-人均缴纳的州税变量模型A 模型B 模型C 模型D 813(0.74) L-392(081) 1279(0.34) 973(0.44) Density 0075(043)0062(032)042(047 0.873(0.11) -0.994(006) Income 1104(0.14)13303(04) 125.71(0.05) 11660(0.06) Popchang 6.77(0.11) 29.19(0.06) 2941(0.001) 2486(0.08) U 55(0.48) 0.06100.95 Statetax 1.006(0.40) 004(0.37) RSS 4.763e+7 4.843e+7 4.962e+7 5.038e+7 0.349 0.338 0.322 0.312 1488e+6 1424e+6 1.418e+6 1.399+6 1.776e+6 1.634e+6 1.593e+6 1.538e+6 (1)检验模型A中的每一个回归系数在10%水平下是否为零(括号中的值为双边备择p 值)。根据检验结果,你认为应该把变量保留在模型中还是去掉? (2)在模型A中,在10‰%水平下检验联合假设H:β1=0(i=1,5,6,7)。说明被择假设,计算检验统计值,说明其在零假设条件下的分布,拒绝或接受零假设的标准。说明你的结论 (3)哪个模型是“最优的”?解释你的选择标准 (4)说明最优模型中有哪些系数的符号是“错误的”。说明你的预期符号并解释原因。确认其是否为正确符号。解谷: (1)直接给出了P-值,所以没有必要计算t-统计值以及查t分布表。根据题意,如果 p-值<0.10,则我们拒绝参数为零的原假设由于表中所有参数的p-值都超过了10%,所以没有系数是显著不为零的。但由此去掉所有解释变量,则会得到非常奇怪的结果。其实正如我们所知道的,多元回去归中在省略变量时一定要谨慎,要有所选择。本例中, value、 Income、 popchang的p-值仅比0.1稍大一点, 在略掉 unemp、 localtax、 statetax的模型C中,这些变量的系数都是显著的 (2)针对联合假设H 0(i=1,5,6,7)的备择假设为H:β1=0(i=1,5,6,7) 中至少有一个不为零。检验假设H0,实际上就是参数的约束性检验,非约束模型为模型A

例 3．下表为有关经批准的私人住房单位及其决定因素的 4 个模型的估计量和相关统计值（括号内为 p-值）（如果某项为空，则意味着模型中没有此变量）。数据为美国 40 个城市的数据。模型如下：          + + + + = + + + + unemp localtax statetax hou g density value income popchang 5 6 7 0 1 2 3 4 sin 式中 housing——实际颁发的建筑许可证数量，density——每平方英里的人口密度，value— —自由房屋的均值（单位：百美元），income——平均家庭的收入（单位：千美元），popchang ——1980~1992 年的人口增长百分比，unemp——失业率，localtax——人均交纳的地方税， statetax——人均缴纳的州税变量模型 A 模型 B 模型 C 模型 D C 813 (0.74) -392 (0.81) -1279 (0.34) -973 (0.44) Density 0.075 (0.43) 0.062 (0.32) 0.042 (0.47) Value -0.855 (0.13) -0.873 (0.11) -0.994 (0.06) -0.778 (0.07) Income 110.41 (0.14) 133.03 (0.04) 125.71 (0.05) 116.60 (0.06) Popchang 26.77 (0.11) 29.19 (0.06) 29.41 (0.001) 24.86 (0.08) Unemp -76.55 (0.48) Localtax -0.061 (0.95) Statetax -1.006 (0.40) -1.004 (0.37) RSS 4.763e+7 4.843e+7 4.962e+7 5.038e+7 R 2 0.349 0.338 0.322 0.312 2  ˆ 1.488e+6 1.424e+6 1.418e+6 1.399e+6 AIC 1.776e+6 1.634e+6 1.593e+6 1.538e+6 （1）检验模型 A 中的每一个回归系数在 10%水平下是否为零（括号中的值为双边备择 p- 值）。根据检验结果，你认为应该把变量保留在模型中还是去掉？（2）在模型 A 中，在 10%水平下检验联合假设 H0：i =0(i=1,5,6,7)。说明被择假设，计算检验统计值，说明其在零假设条件下的分布，拒绝或接受零假设的标准。说明你的结论。（3）哪个模型是“最优的”？解释你的选择标准。（4）说明最优模型中有哪些系数的符号是“错误的”。说明你的预期符号并解释原因。确认其是否为正确符号。解答：（1）直接给出了 P-值，所以没有必要计算 t-统计值以及查 t 分布表。根据题意，如果 p-值<0.10,则我们拒绝参数为零的原假设。由于表中所有参数的 p-值都超过了 10%，所以没有系数是显著不为零的。但由此去掉所有解释变量，则会得到非常奇怪的结果。其实正如我们所知道的，多元回去归中在省略变量时一定要谨慎，要有所选择。本例中，value、income、popchang 的 p-值仅比 0.1 稍大一点，在略掉 unemp、localtax、statetax 的模型 C 中，这些变量的系数都是显著的。（2）针对联合假设 H0 ：i =0(i=1,5,6,7)的备择假设为 H1：i =0(i=1,5,6,7) 中至少有一个不为零。检验假设 H0，实际上就是参数的约束性检验，非约束模型为模型 A

约束模型为模型 D，检验统计值为 0.462 (4.763 7)/(40 8) (5.038 7 4.763 7)/(7 3) /( 1) ( )/( ) = + − + − + − = − − − − = e e e RSS n k RSS RSS k k F U U R U U R 显然，在 H0 假设下，上述统计量满足 F 分布，在 10%的显著性水平下，自由度为（4，32）的 F 分布的临界值位于 2.09 和 2.14 之间。显然，计算的 F 值小于临界值，我们不能拒绝 H0，所以βi(i=1,5,6,7)是联合不显著的。 (3）模型 D 中的 3 个解释变量全部通过显著性检验。尽管 R2 与残差平方和较大，但相对来说其 AIC 值最低，所以我们选择该模型为最优的模型。（4）随着收入的增加，我们预期住房需要会随之增加。所以可以预期β3>0，事实上其估计值确是大于零的。同样地，随着人口的增加，住房需求也会随之增加，所以我们预期β 4>0，事实其估计值也是如此。随着房屋价格的上升，我们预期对住房的需求人数减少，即我们预期β3 估计值的符号为负，回归结果与直觉相符。出乎预料的是，地方税与州税为不显著的。由于税收的增加将使可支配收入降低，所以我们预期住房的需求将下降。虽然模型 A 是这种情况，但它们的影响却非常微弱。 4、在经典线性模型基本假定下，对含有三个自变量的多元回归模型： Y =  0 + 1X1 +  2X2 +  3X3 +  你想检验的虚拟假设是 H0： 1 − 2 2 =1。（1）用 1 2 ˆ ,  ˆ  的方差及其协方差求出 ) ˆ 2 ˆ ( Var 1 −  2 。（2）写出检验 H0： 1 − 2 2 =1 的 t 统计量。（3）如果定义 1 − 2 2 = ，写出一个涉及0、、2 和3 的回归方程，以便能直接得到估计值  ˆ 及其标准误。解答：（1）由数理统计学知识易知 ) ˆ ) 4 ( ˆ , ˆ ) 4 ( ˆ ) ( ˆ 2 ˆ ( Var 1 −  2 = Var 1 − Cov 1  2 + Var  2 （2）由数理统计学知识易知 ) ˆ 2 ˆ ( 1 ˆ 2 ˆ 1 2 1 2     − − − = se t ，其中 ) ˆ 2 ˆ (1 −  2 se 为 ) ˆ 2 ˆ (1 −  2 的标准差。（3）由 1 − 2 2 = 知 1 = + 22 ，代入原模型得            = + + + + + = + + + + + 0 1 2 1 2 3 3 0 2 1 2 2 3 3 (2 ) ( 2 ) X X X X Y X X X 这就是所需的模型，其中估计值  ˆ 及其标准误都能通过对该模型进行估计得到

3-16．考虑下列两个模型： Ⅰ、 i i i ui y = 1 +  2 x2 +  3 x3 + Ⅱ、 i i i i ui y − x = + x + x +  2 1 2 2 3 3 ( )    要求：（1）证明： 1 ˆ ˆ 2 =  2 − ， 1 1 ˆ  ˆ =  ， 3 3 ˆ  ˆ =  （2）证明：残差的最小二乘估计量相同，即： ui ui ˆ = ˆ （3）在何种情况下，模型Ⅱ的拟合优度 2 R2 会小于模型Ⅰ拟合优度 2 R1 。 3-17．假设要求你建立一个计量经济模型来说明在学校跑道上慢跑一英里或一英里以上的人数，以便决定是否修建第二条跑道以满足所有的锻炼者。你通过整个学年收集数据，得到两个可能的解释性方程：方程 A： 1 2 5 3 125.0 15.0 1.0 1. Y ˆ = − X − X + X 0.75 2 R = 方程 B： 1 2 7 4 123.0 14.0 5.5 3. Y ˆ = − X + X − X 0.73 2 R = 其中： Y ——某天慢跑者的人数 X1——该天降雨的英寸数 X2 ——该天日照的小时数 X3 ——该天的最高温度（按华氏温度） X4 ——第二天需交学期论文的班级数请回答下列问题：（1）这两个方程你认为哪个更合理些，为什么？（2）为什么用相同的数据去估计相同变量的系数得到不同的符号？ 3-18．对下列模型： i i i ui y = + x + 2z + （1） i i i ui y = + x − z + （2）求出β的最小二乘估计值；并将结果与下面的三变量回归方程的最小二乘估计值作比较：（3） i i i ui y = + x −z + ，你认为哪一个估计值更好？ 3-19．假定以校园内食堂每天卖出的盒饭数量作为被解释变量，盒饭价格、气温、附近餐厅的盒饭价格、学校当日的学生数量（单位：千人）作为解释变量，进行回归分析；假设不管是否有假期，食堂都营业。不幸的是，食堂内的计算机被一次病毒侵犯，所有的存储丢失，无法恢复，你不能说出独立变量分别代表着哪一项！下面是回归结果（括号内为标准差）：

yi x3i = 4250.9 ， x2i x3i = 4796.0 其中小写字母代表了各值与其样本均值的离差。要求：（1）估计三个多元回归系数；（2）估计它们的标准差；并求出 2 R 与 2 R ？（3）估计 B2、 B3 95%的置信区间；（4）在  = 5% 下，检验估计的每个回归系数的统计显著性（双边检验）；（5）检验在  = 5% 下所有的部分系数都为零，并给出方差分析表。 3-23．考虑以下方程（括号内为估计标准差）： Wi Pt Pt 560Ut 8.562 0.364 0.004 2. ˆ = + + −1 − （0.080） (0.072) (0.658) n =19 0.873 2 R = 其中： W ——t 年的每位雇员的工资和薪水 P ——t 年的物价水平 U ——t 年的失业率要求：（1）对个人收入估计的斜率系数进行假设检验；（尽量在做本题之前不参考结果）（2）讨论 Pt−1 在理论上的正确性，对本模型的正确性进行讨论； Pt−1 是否应从方程中删除？为什么？ 3-24．下表是某种商品的需求量、价格和消费者收入十年的时间序列资料：年份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 需求量（吨） Y 59190 65450 62360 64700 67400 64440 68000 72400 75710 70680 价格（元） X1 23.56 24.44 32.07 32.46 31.15 34.14 35.30 38.70 39.63 46.68 收入（元） X2 76200 91200 106700 111600 119000 129200 143400 159600 180000 193000 要求：（1）已知商品需求量 Y 是其价格 X1 和消费者收入 X2 的函数，试求 Y 对 X1 和 X2 的最小二乘回归方程： 0 1 1 2 2 Y ˆ =  ˆ +  ˆ X +  ˆ X （2）求 Y 的总变差中未被 X1 和 X2 解释的部分，并对回归方程进行显著性检验；（3）对回归参数 1 ˆ  ， 2 ˆ  进行显著性 t 检验。 3-25．参考习题 2-28 给出的数据，要求：（1）建立一个多元回归模型，解释 MBA 毕业生的平均初职工资，并且求出回归结果；（2）如果模型中包括了 GPA 和 GMAT 分数这两个解释变量，先验地，你可能会遇到什么问题，为什么？

云南财经大学：《计量经济学》课程教学资源（习题题解）第三章 经典单方程计量经济学模型（多元线性回归模型）

云南财经大学：《计量经济学》课程教学资源（习题题解）第三章经典单方程计量经济学模型（多元线性回归模型）