第六章定积分 一、本章提要 1.基本概念 定积分，曲边梯形，定积分的几何意义，变上限的定积分，广义积分，无穷区间上的广 义积分，被积函数有无穷区间断点的广义积分。 2.基本公式 牛顿-莱布尼茨公式。 3.基本方法 积分上限函数的求导方法，直接应用牛顿-莱布尼茨公式计算定积分的方法，借助于换 元积分法及分部积分法计算定积分的方法，两类广义积分的计算方法 4.定理 定积分的线性运算性质，定积分对积分区间的分割性质，定积分的比较性质，定积分的 估值定理，定积分的中值定理，变上限积分对上限的求导定理 二、要点解析 问题1应用换元积分法计算定积分时应注意什么问题？ 解析换元积分法包括第一换元法与第二换元法，具体应用时应注意如下3点： (1)应用第一换元法（凑微分法）时，一般不需引入新的积分变量，所以积分限不变 (2)应用第二换元法时，由于必须引入新的积分变量，所以，换元必换限。 (3)所作代换必须满足换元法中所限定的条件， 例1计算定积分 3 dx xvx2-1 解-令r=secu,则d=secutanudu且X=V2时，M=i,x=2时，u=月 dx sec u tan udu secutanu 作3412 g令名则d血-如且=归时，=疗：=2时u=分所 以
1 第六章 定积分 一、本章提要 1.基本概念 定积分，曲边梯形，定积分的几何意义，变上限的定积分，广义积分，无穷区间上的广 义积分，被积函数有无穷区间断点的广义积分. 2．基本公式 牛顿-莱布尼茨公式. 3．基本方法 积分上限函数的求导方法，直接应用牛顿-莱布尼茨公式计算定积分的方法，借助于换 元积分法及分部积分法计算定积分的方法，两类广义积分的计算方法. 4．定理 定积分的线性运算性质，定积分对积分区间的分割性质，定积分的比较性质，定积分的 估值定理，定积分的中值定理，变上限积分对上限的求导定理. 二、要点解析 问题 1 应用换元积分法计算定积分时应注意什么问题？ 解析 换元积分法包括第一换元法与第二换元法，具体应用时应注意如下 3 点： （1）应用第一换元法（凑微分法）时，一般不需引入新的积分变量，所以积分限不变. （2）应用第二换元法时，由于必须引入新的积分变量，所以，换元必换限. （3）所作代换必须满足换元法中所限定的条件. 例 1 计算定积分 − 2 2 2 1 d x x x . 解一 令 x = secu,则 dx = secu tanudu 且 x = 2 时, 4 π u = ，x = 2 时, 3 π u = .所以 = − 3 π 4 π sec tan sec tan d 1 2 d 2 2 u u u u u x x x 4 π 3 π 3 π 4 π = du = u 12 π 4 π 3 π = − = ． 解二 令 x u = 1 ，则 u u x d 1 d 2 − = 且 x = 2 时， 2 1 u = ； x = 2 时， 2 1 u = ，所 以
1 dx -du 方1 (-)2-1 12 问题2被积分函数中含绝对值符号时，应如计算定积分？ 解析当被积函数中含绝对值符号时，被积函数一般在积分区间上为分段函数，计算分 段函数的定积分必须分段积分 例2 计算 解了 1 d(1+x2) d1+x2) 22 1(1+x2)2 .1(1+x2)7 21 21 2 =√2-1+5-1 =2+5-2. 三、例题精解 例3比较hxdr与+xd的大小 解一 令f(x)=1+x-nx,因为 f"x)=1-1=x-1 xx 所以，当10.又因为f(x)在[1,2]上连续，所以f(x)在[，2]上 单增.则当x>1时，f(x)>f1)=2>0,即 1+x>hx, 所以j2nxdr<∫2+xd. 解二因为
2 − − = − 2 1 2 1 ) 1 1 ( 1 d 1 1 d 2 2 2 2 2 u u u u x x x − − = 2 1 2 1 2 1 d u u 12 π arccos 2 1 2 = u 1 = ． 问题 2 被积分函数中含绝对值符号时，应如计算定积分？ 解析 当被积函数中含绝对值符号时，被积函数一般在积分区间上为分段函数，计算分 段函数的定积分必须分段积分. 例 2 计算 − + 2 1 2 d 1 x x x . 解 − + 2 1 2 d 1 x x x = − + + + 0 − 1 2 2 0 2 d 1 d 1 x x x x x x + + + + + = − 2 0 2 2 1 0 2 2 1 d(1 ) 2 1 1 d(1 ) 2 1 x x x x 2 0 2 1 2 1 0 2 1 2 2 1 (1 ) 2 1 2 1 (1 ) 2 1 x + x + + = − = 2 −1+ 5 −1 = 2 + 5 − 2 ． 三、例题精解 例 3 比较 2 1 ln xdx 与 + 2 1 (1 x)dx 的大小. 解一 令 f (x) = 1+ x − ln x，因为 x x x f x 1 1 ( ) 1 − = − = ， 所以，当 1 x 2 时 , f (x) 0 .又因为 f (x) 在[1，2]上连续,所以 f (x) 在 [1,2] 上 单增.则当 x 1 时, f (x) f (1) = 2 0 ,即 1+ x ln x， 所以 + 2 1 2 1 ln xdx (1 x)dx . 解二 因为
Sm xdx=xxd(l x)=2In2-dx=2In 2-=22-1, 所以xdx0,则x=6,d血=.且当x=0时，1=0：当x=a时， t=a2.于是 ea-o时知0ta. 解 &瓜nu=nt+sray (c为常数) (sinsin d). sindr)i(sin dr)e) =-sin(n x)2.+sin e.e 例6图中所示是函数f(x)的导函数f'(x)的图像，且已知f(0)=100.画出f(x) 的图像.显示∫的一切临界点和拐点，并给出它们的坐 标. 解f在x=0,x=20及x=30处有临界点，因 20 为在这些点f=0.f在x=10和x=25处有拐 10 点， 1020 30 -10 因为∫'在这两点有极值.为了求∫的临界点和拐点 的坐
3 = − 2 1 2 1 2 1 ln xdx x ln x xd(ln x) = − 2 1 2ln 2 dx 2 1 = 2ln 2 − x = 2ln 2 −1， + 2 1 (1 x)dx 2 1 2 2 (1+ x) = = − = 9 2 2 5 2 ， 所以 + 2 1 2 1 ln xdx (1 x)dx . 例 4 证明 = a x f x x 0 3 2 ( )d xf x x a ( )d 2 1 2 0 . 证 令 x = t 2 (x 0) ,则 x = t , x t dt 2 1 d 2 1 − = ，且当 x = 0 时， t = 0 ; 当 x = a 时， 2 t = a . 于是 a x f x x 0 3 2 ( )d = − 2 0 2 1 2 3 d 2 1 ( ) a t f t t t = 2 0 ( )d 2 1 a tf t t = xf x x a ( )d 2 1 2 0 ． 例 5 求 x x t t x e ln 2 sin d d d . 解 x x t t x e ln 2 sin d d d x c c x x ( sin t dt sin t dt) e 2 ln 2 = + （ c 为常数） x c x x c x ( sin t dt) ( sin t dt) e 2 ln 2 = − + x x e c x x x c x x ( sin t dt) (ln x) ( sin t dt) (e ) e 2 ln ln 2 = − + x x x x sin e e 1 sin(ln ) 2 2 = − + ． 例 6 图中所示是函数 f (x) 的导函数 f (x) 的图像，且已知 f (0) = 100 .画出 f (x) 的图像.显示 f 的一切临界点和拐点，并给出它们的坐 标. 解 f 在 x = 0, x = 20 及 x = 30 处有临界点，因 为在这些点 0 ' f = . f 在 x =10 和 x = 25 处有拐 点, 因为 f 在这两点有极值.为了求 f 的临界点和拐点 的坐 O 10 x 20 30 −10 10 20 f (x) f
标，必须计算在x=0,10,20,25,30处的函数f(x)的值. 因为∫f"x)dr=fb)-fa),所以 f(b)=f(@)+J"f(x)dx, 而∫心∫(x)由其几何意义可以得到，于是 f(0)=100 (已知)， f00=/0)+fxt=10+x10x20=20, f0=/10+rt=20+5x(20-10x20=300. 25)=20+ra=30+(×25-20x10=275. f0)=/25+7t=275+(-×(00-2x10,=250. 根据上述分析，可得∫的图像 f 300 200 100 102030 二、练习题 1.判断正误 (1)sin xdx0; 解析 ∫snxd=∫”+sndr limsin xdx+imsin xdx =lim(-cosxlim(-cosx) (不存在)
4 标，必须计算在 x = 0,10,20,25,30 处的函数 f (x) 的值. 因为 f (x)dx f (b) f (a) b a = − ,所以 = + b a f (b) f (a) f (x)dx ， 而 b a f (x)dx 由其几何意义可以得到，于是 f (0) = 100 （已知）， = + 10 0 f (10) f (0) f (x)dx =100 + 1 2 10 20 = 200 ， = + 20 10 f (20) f (10) f (x)dx (20 10) 20 300 2 1 = 200 + − = ， = + 25 20 f (25) f (20) f (x)dx (25 20) 10) 2 1 = 300 + (− − = 275， = + 30 25 f (30) f (25) f (x)dx (30 25) 10) 250 2 1 = 275 + (− − = ， 根据上述分析，可得 f 的图像. 二、 练习题 1．判断正误 (1) sin d = 0 + − x x ； ( × ) 解析 + − sin xdx + − = + 0 0 sin xdx sin xdx →− →+ = + b a a b x x x x 0 0 lim sin d lim sin d b b a a x x 0 0 = lim (−cos ) + lim (−cos ) →− →+ （不存在）． O 10 20 30 x 100 200 300f
@an-2-r=2r-2-2=4:（×) 解析 0= ((x))(): (×) 解析 ∫fx)山是定积分，结果是一个常数，常数对x求导为0，即（心fx)d以=0. (④ ∫6snd =1 (×) x ['sin tdt 解析由洛必达法则及变上限积分函数求导公式，有im J -lim sinx=0. -01 2.选择题 ①2-xd=(A): 03 解析2-xdr=2-xr+∫(x-2 --明-2*月 (2)∫edr=(B): (A)不收敛： (B)1; (C)-1; (D)0. 解析ed=-e。=0+1=1. 3)∫°f'3x)d=(A)片 J
5 (2) − − 2 2 2 d ( 1) 1 x x 2 0 1 2 0 2 1 2( 1) 2 ( 1) d − − = − = − − x x x = −2 − 2 = −4 ； ( × ) 解析 − − 2 2 2 d ( 1) 1 x x − + − = − 2 1 2 1 2 2 d ( 1) 1 d ( 1) 1 x x x x → + − → − − + − = + + 2 1 2 0 1 2 2 0 2 2 1 1 d ( 1) 1 d lim ( 1) 1 lim x x x x 2 1 0 1 2 0 2 2 1 1 ) 1 1 ) lim ( 1 1 lim ( + → − − → − + − − = − + + x x 2 0 1 0 1 lim 1 lim 3 4 1 2 → + → + = − + + （不存在）． (3) ( f (x)dx) f (b) x b a = ； （ × ） 解析 b a f (x)dx 是定积分，结果是一个常数，常数对 x 求导为 0，即 ( ( )d ) = 0 x b a f x x ． (4) 1 sin d lim 0 0 = → x t t x x ． ( × ) 解析 由洛必达法则及变上限积分函数求导公式，有 0 1 sin lim sin lim 0 0 0 = = → → x x tdt x x x ． 2．选择题 ⑴ − = 3 0 2 x dx ( A ); (A) 2 5 ； (B) 1 2 ； (C) 3 2 ； (D) 2 3 . 解析 − 3 0 2 x dx ( ) ( ) = − + − 3 2 2 0 2 x dx x 2 dx ( ) ( ) 3 2 2 2 0 2 2 2 1 2 2 1 = − − x + x − 2 1 = 2 + 2 5 = ． (2) + − 0 e dx x =( B ); (A)不收敛; (B)1; (C)－１; (D)0. 解析 + − 0 e dx x + − = − 0 e x = 0 +1=1． (3) 0 1 f (3x)dx =( A );
,Uo)-f3: ®)f(0)-f(3): (C)f(3)-f(0): @)U3)-f0 解折°f3x)d=打f6xa6)=Bx8=Uo)-f6创 (④f(x)=∫u+e)d在区间[-10,10]上的最大值为( ）: (A)10: (B)10+e1o0: (C)100: (①)10e100. 解析 设g=a=[u+ea=x+er 则 g(x)-(x+e*)-1+2x-e. 令 g'(x)=0, 解得 3.填空题 0岛nmd 解题为变下限积分求导，则岛snr品sn-a. 2)24-x产d=4r 解一 被积函数V4-x是偶函数，则24-x产d山=4V4-x2d, 令x=2sn1(0≤1≤)，则V4-x2=2cos1,dr=2cosd,有 -=4aw-0os2a-0-g知2n5-a 所以224-xdr=4r. 解二y=√4-x2是以原点为圆心，以2为半径的上半圆周. 由定积分的几何意义，∫V4-xFdr表示半圆面积，则2√4-xd恰为整个圆面积， 所以24-x产dx=元22=4m. 3)∫f'xd=fx)-fa)： 解因为∫f'(x)d=f(x)+C. 6
6 (A) (0) (3) 3 1 f − f ; (B) f (0) − f (3) ; (C) f (3) − f (0) ; (D) (3) (0) 3 1 f − f . 解析 0 1 f (3x)dx ( ) = 0 1 (3 )d 3 3 1 f x x ( ) 0 1 3 3 1 = f x (0) (3) 3 1 = f − f ． (4) = + x t f x t t 10 ( ) ( e )d 2 在区间 [−10,10] 上的最大值为( ); (A) 10 ; (B) 100 10 + e ; (C) 100 ; (D) 100 10e . 解析 设 2 2 ( ) ( ) ( e )d e 10 x x t g x f x t t = x + = = + , 则 ( ) 2 2 ( ) e 1 2 e x x g x x = + x = + , 令 g (x) = 0, 解得 3．填空题 (1) b a x x a sin d d d 2 = 2 − sin a ; 解 题为变下限积分求导，则 b a x x a sin d d d 2 = − a b x x a sin d d d 2 2 = −sin a ． (2) − − 2 2 2 2 4 x dx = 4π ; 解一 被积函数 2 4 − x 是偶函数，则 − − 2 2 2 2 4 x dx = − 2 0 2 4 4 x dx ， 令 ) 2 π x = 2sin t (0 t ，则 4 x 2cost 2 − = ，dx = 2costdt ，有 − 2 0 2 4 4 x dx = 2 π 0 2 4 4cos tdt = + 2 π 0 8 (1 cos2t)dt 2 π 0 sin 2 ) 2 1 = 8(t + t = 4π， 所以 − − 2 2 2 2 4 x dx = 4π． 解二 2 y = 4 − x 是以原点为圆心，以 2 为半径的上半圆周． 由定积分的几何意义， − − 2 2 2 4 x dx 表示半圆面积，则 − − 2 2 2 2 4 x dx 恰为整个圆面积， 所以 − − 2 2 2 2 4 x dx π 2 4π 2 = = ． (3) x a f (x)dx = f (x) − f (a) ; 解 因为 f x dx = f x + C ( ) ( ) ．
所以∫f'(x)dr=[f(x)+C]a=fx)-f(a). ④已知可fxd-+C(C为任意常数)，则)= -2 x-1 x-12 ga=+司 4.解答题 ()计算∫+x)eHdr: 解 ∫+xedr=J（-x+xedr+r+xed -2fixe"dx =24xe-e8 =2(e2+1) ②）设f)在[a,b]上有连续导数，且fa)=f)=0,∫心∫(x)dr=l,求证 se= 证一 ∫fxf'x)d=∫xfx)d/x =fxfx-∫fx)fx =xfr2ax)2-∫fa)-Vx+fxhr =0-Jf产(x)dr-∫xx)f'x), 移项，有 2Jx/(x)f(x)dx=-J"f(x)dx=-1, 所以 r地=-号 证二 ∫(w)/GxXix=-∫xd/x=d -2r2-r(xd =2r0-g(a-0f产)d =0-1=
7 所以 f (x)dx f (x) C f (x) f (a) x a x a = + = − ． (4)已知 C x x f x x + − + = 1 1 ( )d （ C 为任意常数）, 则 f (x) = ( ) 2 1 2 − − x . 解 ( ) 2 1 2 ) 1 1 ( ) ( − − + = − + = x C x x f x ． 4．解答题 (1) 计算 − + 2 2 ( x x)e dx x ; 解 − + 2 2 ( x x)e dx x = − + + + − − 2 0 0 2 ( x x)e dx (x x)e dx x x = 2 0 2 xe dx x 2 0 2( e e ) x x = x − 2(e 1) 2 = + ． (2) 设 f (x) 在 [a,b] 上有连续导数，且 f (a) = f (b) = 0 , ( )d 1 2 = b a f x x ，求证 2 1 ( ) ( )d = − b a xf x f x x ; 证一 b a xf (x) f (x)dx = b a xf (x)d f (x) = − b a b a xf (x) f (x) f (x)d xf (x) = − + b a b a x f (x) f (x) f (x) xf (x) dx 2 = − − b a b a 0 f (x)dx xf (x) f (x)dx 2 ， 移项，有 b a 2 xf (x) f (x)dx ( )d 1 2 = − = − b a f x x ， 所以 = − b a xf x f x x 2 1 ( ) ( )d ． 证二 b a xf (x) f (x)dx = b a xf (x)d f (x) = b a xd f (x) 2 1 2 [ ( ) ( )d ] 2 1 2 2 = − b a b a xf x f x x = − − b a bf b af a f (x)dx 2 1 ( ) ( ) 2 1 2 2 2 1 2 1 = 0 − 2 1 = −
即 [efed= 因计 (④已知f0)=1,f(2)=3,f'(2)=5,计算∫。f"(2x)dr: 解 y2xdr=y"2xa(2=。dU2x) =[26-6f2x] a-0o-m 5-00-小-2 解一换元，令√x=t,则x=t2,dr=2tdt, 则 =2 aran4。=25-0)=元： 解二 简 =2 aretan风。 =24写-0)=元 (6)图中给出了函数g(x)的导函数g'(x)的图像，己知g(O)=50,画出g(x)的图像， 显示g的一切临界点和拐点，并给出它们的坐标
8 即 = − b a xf x f x x 2 1 ( ) ( )d ． (3) 计算 + 1 4 d x x ; 解 + 1 4 d x x + − = − 1 3 3 1 x 3 1 3 1 = 0 + = ． (4) 已知 f (0) = 1, f (2) = 3, f (2) = 5, 计算 1 0 xf (2x)dx ; 解 1 0 xf (2x)dx = 1 0 (2 )d(2 ) 2 1 xf x x = 1 0 d (2 ) 2 1 x f x = − 1 0 1 0 (2 ) (2 )d 2 1 xf x f x x = − − 1 0 (2 ) 2 1 1 (2) 0 (0) 2 1 f f f x = − − (3 −1) 2 1 5 0 2 1 = 2． (5) 求 + + 0 d x x x x ; 解一 换元，令 x = t ，则 2 x = t ，dx = 2tdt ， 则 + + 0 d x x x x + + = 0 2 2 d t t t t t + + = 0 2 d 1 2 t t + = 0 2arctan t 0) 2 π = 2( − = π． 解二 + + 0 d x x x x + + = 0 2 (1 ) d 2 x x x ( ) + + = 0 2 1 d 2 x x + = 0 2arctan x 0) 2 π = 2( − = π (6) 图中给出了函数 g(x) 的导函数 g(x) 的图像，已知 g(0) = 50 ,画出 g(x) 的图像， 显示 g 的一切临界点和拐点，并给出它们的坐标
8 10H D(20,10) 15 10 /C20 30 40 10 20 解将 B(10,-20) g'(x)的图像看作 四条线段 AB,BC,CD,DE, AB过点(0，-10)、(10，-20)，方程为g(x)=-x-10, 所以 8)=-10x+G (0≤x≤10) BC过点(10，-20)、15,0)，方程为g2(x)=4x-60 所以 82(x)=2x2-60x+C2 (10≤x≤15)， CD过点(15,0)、(20,10)，方程为g(x)=2x-30, 所以 g,(x)=x2-30x+C3(15≤x≤20)， DE过点20,10小.(0.0.方程为g(=+20. 所以 8创=-+20+C, (20≤x≤+0)， 显然g(x)的图像为四段抛物线， 由于x∈[0，+o)时，g'(x)存在，所以g(x)在[0，+∞)上连续， 因此有g(10)=g(10)=g2(10),g(15)=g2(15)=g3(15), g(20)=83(20)=g4(20), 将g(0)=50代入g1(x),解得C=50, 于是 8()=-76r+10+100 (0≤x≤10)， 将g(10)=-100代入g2(x),解得C2=300, 9
9 解 将 g(x) 的图像看作 四条线段 AB, BC,CD, DE ， AB 过点 (0，−10)、(10，− 20) ，方程为 g1 (x) = −x −10 ， 所以 1 2 1 10 2 1 g (x) = − x − x + C (0 x 10)， BC 过点 (10，− 20)、(15，0)， 方程为 g2 (x) = 4x − 60， 所以 2 2 g2 (x) = 2x − 60x +C (10 x 15)， CD 过点 (15，0)、(20，10) ，方程为 g3 (x) = 2x − 30 ， 所以 3 2 g3 (x) = x − 30x + C (15 x 20)， DE 过点 (20，10)、(40，0) ，方程为 20 2 1 ( ) g4 x = − x + ， 所以 4 2 4 20 4 1 g (x) = − x + x + C (20 x +)， 显然 g(x) 的图像为四段抛物线． 由于 x 0,+ ) 时， g(x) 存在，所以 g(x) 在 0,+ ) 上连续， 因此有 (10) (10) (10) g = g1 = g2 ， (15) (15) (15) g = g2 = g3 ， (20) (20) (20) g = g3 = g4 ， 将 g(0) = 50 代入 ( ) 1 g x ，解得 C1 = 50， 于是 ( 10) 100 2 1 ( ) 2 g1 x = − x + + (0 x 10)， 将 g(10) = −100 代入 ( ) 2 g x ，解得 C2 = 300 ， x O g 10 −10 − 20 10 20 30 40 15 A B(10,−20) C D(20,10) E
于是 g2(x)=2(x-15)2-150 (10≤x≤15)， 将g(15)=-150代入g3(x),解得C3=75, 于是 8(x)=(x-15)}2-150 (15≤x≤20)， 将g(20)=-125代入g4(x),解得C4=-25, 于是 8,6=-4-40jP-25 (20≤x≤+0)， -6c+10P+100,0≤x≤10)， 综上，g(x)= 2K-15}-150,0≤x≤15)，画草图如下 (x-15)2-150,(15≤x≤20)， 4-40r-25,20≤x≤40. 小 50A0,50) 0 10 20 30 40 -50 E'(40,25 -1001 3'(10100) D'(20,25) ()计算」 智器漂网 darcsin (resin =-(孕 3m2 6 0
10 于是 ( ) 2( 15) 150 2 g2 x = x − − (10 x 15)， 将 g(15) = −150 代入 ( ) 3 g x ，解得 C3 = 75， 于是 ( ) ( 15) 150 2 g3 x = x − − (15 x 20)， 将 g(20) = −125 代入 ( ) 4 g x ，解得 C4 = −25， 于是 ( 40) 25 4 1 ( ) 2 g4 x = − x − − (20 x +)， 综上， ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) − − − − − − − − + + = 40 25 , 20 40 , 4 1 15 150 , 15 20 , 2 15 150 , 10 15 , 10 100 , 0 10 , 2 1 ( ) 2 2 2 2 x x x x x x x x g x 画草图如下 (7) 计算 x x x x d (1 ) 1 arcsin 2 1 − ． 解 x x x x d (1 ) 1 arcsin 2 1 − ( x ) x x d 1 ( ) arcsin 2 1 2 1 2 − = 2 arcsin xd(arcsin x ) 1 2 = 1 ( ) 1 2 1 2 = arcsin x 2 2 ) 4 π ) ( 2 π = ( − 16 3π 2 = ． x y O 10 20 30 40 50 -50 -100 -150 C (15,150) − B (10,100) − A (0,50) D (20,125) − E (40,25) −