习题八 1.设X,X2,…,Xn是从总体X中抽出的样本，假设X服从参数为元的 指数分布，2未知，给定，>0和显著性水平a(0X2,所以(2≥x2(2n》p(x2≥x2(2n),从而 a=P{元2≥x2(2n)}≥P{x2≥x2(2n)} 可见H。:元≥的否定域为X22X2(2n). 2.某种零件的尺寸方差为σ2=1.21，对一批这类零件检查6件得尺寸数 据（毫米）：32.56,29.66,31.64,30.00,21.87,31.03。设零件尺寸服从正 态分布，问这批零件的平均尺寸能否认为是32.50毫米(=0.05). 解问题是在σ2己知的条件下检验假设H。:4=32.50 H。的否定域为|uPa2 ·110·
·110· 习 题 八 1．设 1 2 , , , X X Xn 是从总体 X 中抽出的样本，假设 X 服从参数为 的 指数分布， 未知，给定 0 0 和显著性水平 (0 1) ，试求假设 0 0 H : 的 2 检验统计量及否定域. 解 0 0 H : 选统计量 2 0 0 1 2 2 n i i X nX = = = 记 2 1 2 n i i X = = 则 2 2 ~ (2 ) n ，对于给定的显著性水平 ，查 2 分布表求出临界值 2 (2 ) n ， 使 2 2 P n ( (2 )) = 因 2 2 ，所以 2 2 2 2 ( (2 )) ( (2 )) n n ，从而 2 2 2 2 P n P n { (2 )} { (2 )} = 可见 0 0 H : 的否定域为 2 2 (2 ) n . 2．某种零件的尺寸方差为 2 =1.21 ，对一批这类零件检查 6 件得尺寸数 据（毫米）：32.56, 29.66, 31.64, 30.00, 21.87, 31.03。设零件尺寸服从正 态分布，问这批零件的平均尺寸能否认为是 32.50 毫米（ = 0.05 ）. 解 问题是在 2 已知的条件下检验假设 0 H : 32.50 = H0 的否定域为 /2 | | u u
其中 u=-32.50万-2946-3250×245=-67 1.1 o2s=1.96,因|u=6.77>1.96,所以否定H。,即不能认为平均尺寸是32.5 毫米。 3.设某产品的指标服从正态分布，它的标准差为6=100，今抽了一个容 量为26的样本，计算平均值1580，问在显著性水平=0.05下，能否认为这批 产品的指标的期望值4不低于1600。 解问题是在σ2己知的条件下检验假设H。:4≥1600 H。的否定域为u-1.64=-4o5,所以接受H。,即可以认为这批产品的指 标的期望值4不低于1600. 4.一种元件，要求其使用寿命不低于1000小时，现在从这批元件中任取 25件，测得其寿命平均值为950小时，已知该元件寿命服从标准差为0=100小 时的正态分布，问这批元件是否合格？（α=0.05） 解 设元件寿命为X,则X~N(4,100),问题是检验假设 H。:4≥1000.H。的否定域为u≤-4oo5,其中 =X-100025-950-1000x5=-25 100 40.05=1.64 ·111
·111· 其中 32.50 29.46 32.50 2.45 6.77 1.1 X u n − − = = = − u0.025 =1.96 ，因 | | 6.77 1.96 u = ，所以否定 H0 ，即不能认为平均尺寸是 32.5 毫米。 3．设某产品的指标服从正态分布，它的标准差为 =100 ，今抽了一个容 量为 26 的样本，计算平均值 1580，问在显著性水平 = 0.05 下，能否认为这批 产品的指标的期望值 不低于 1600。 解 问题是在 2 已知的条件下检验假设 0 H : 1600 H0 的否定域为 u u − /2 ，其中 1600 1580 1600 26 5.1 1.02 100 100 X u − − = = = − . − = − u0.05 1.64. 因为 u u = − − = − 1.02 1.64 0.05 ，所以接受 H0 ，即可以认为这批产品的指 标的期望值 不低于 1600. 4．一种元件，要求其使用寿命不低于 1000 小时，现在从这批元件中任取 25 件，测得其寿命平均值为 950 小时，已知该元件寿命服从标准差为 =100 小 时的正态分布，问这批元件是否合格？（ = 0.05 ） 解 设 元 件 寿 命 为 X ， 则 2 X N~ ( , 100 ) ， 问 题 是 检 验 假 设 0 H : 1000 . H0 的否定域为 u u − 0.05 ，其中 1000 950 1000 25 5 2.5 100 X u − − = = = − u0.05 =1.64
因为 l=-2.5ta2(4) x=3252,s2=22X,-5xX)=0.0017,S=0.013 10.005(4)=4.6041 1=-3255-3252-325 2.24=0.345 S 0.013 因为 1t=0.345<4.6041=.oos(4) 所以接受H。,即可以认为这批矿砂的镍含量为3.25. 6.糖厂用自动打包机打包，每包标准重量为100公斤，每天开工后要检验 一次打包机工作是否正常，某日开工后测得9包重量（单位：公斤）如下： 99.3,98.7,100.5,101.2,98.3,99.7,99.5,102.1,100.5 问该日打包机工作是否正常(0=0.05：已知包重服从正态分布)？ ·112·
·112· 因为 u u = − − = 2.5 1.64 0.05 所以否定 H0 ，即元件不合格. 5．某批矿砂的 5 个样品中镍含量经测定为 X (%) ： 3.25, 3.27, 3.24, 3.26, 3.24 设测定值服从正态分布，问能否认为这批矿砂的镍含量为 3.25( 0.01) = ？ 解 问题是在 2 未知的条件下检验假设 0 H : 3.25 = H0 的否定域为 /2 | | (4) t t 5 2 2 1 1 3.252, ( 5 ) 0.00017, 0.013 4 i i X S X X S = = = − = = 0.005 t (4) 4.6041 = 3.25 3.252 3.25 5 2.24 0.345 0.013 X t S − − = = = 因为 0.005 | | 0.345 4.6041 (4) t t = = 所以接受 H0 ，即可以认为这批矿砂的镍含量为 3.25. 6．糖厂用自动打包机打包，每包标准重量为 100 公斤，每天开工后要检验 一次打包机工作是否正常，某日开工后测得 9 包重量（单位：公斤）如下： 99.3, 98.7, 100.5, 101.2, 98.3, 99.7, 99.5, 102.1, 100.5 问该日打包机工作是否正常（ = 0.05 ；已知包重服从正态分布）？
解=99.98，S=2(X,-)=147,S=121, 8 问题是检验假设H。:4=100 H。的否定域为|t2ta2(8): 其中 1=-100V5=99,98-100x3=-0.05 S 1.21 10.25(8)=2.306 因为 1t=0.05<2.306=to25(8) 所以接受H。,即该日打包机工作正常. 7.按照规定，每100克罐头番茄汁中，维生素C的含量不得少于21毫克， 现从某厂生产的一批罐头中抽取17个，测得维生素C的含量（单位：毫克）如 下 22,21,20,23,21,19,15,13,16, 23,17,20,29,18.22,16,25 己知维生素C的含量服从正态分布，试检验这批罐头的维生素含量是否合格。 (a=0.025) 解设X为维生素C的含量，则X~N(4,σ2)，=20，S2=419.625, S=20.485,n=17.问题是检验假设H。:u≥21. (1)Ho:4≥21. ·113·
·113· 解 X = 99.98， 9 2 2 1 1 ( ( ) ) 1.47 8 i i S X X = = − = ， S =1.21， 问题是检验假设 0 H : 100 = H0 的否定域为 /2 | | (8) t t . 其中 100 99.98 100 9 3 0.05 1.21 X t S − − = = = − 0.025 t (8) 2.306 = 因为 0.025 | | 0.05 2.306 (8) t t = = 所以接受 H0 ，即该日打包机工作正常. 7．按照规定，每 100 克罐头番茄汁中，维生素 C 的含量不得少于 21 毫克， 现从某厂生产的一批罐头中抽取 17 个，测得维生素 C 的含量（单位：毫克）如 下 22, 21, 20, 23, 21, 19, 15, 13, 16, 23, 17, 20, 29, 18, 22, 16, 25. 已知维生素 C 的含量服从正态分布，试检验这批罐头的维生素含量是否合格。 ( 0.025) = 解 设 X 为维生素 C 的含量，则 2 X N~ ( , ) ， 2 X S = = 20, 419.625， S = 20.485， n =17 . 问题是检验假设 0 H : 21. （1） 0 H : 21
(2)选择统计量1并计算其值： 1=-21万=20-21V7=-020 20.485 (3)对于给定的a=0.025查t分布表求出临界值1.(n)=to2s(16)=2.2. (4)因为-to2s(16)=-2.20<-0.20=1。所以接受H。,即认为维生素含 量合格. 8.某种合金弦的抗拉强度X~N(4,o2),由过去的经验知4≤10560（公 斤/厘米2)，今用新工艺生产了一批弦线，随机取10根作抗拉试验，测得数据如 下： 10512,10623,10668,10554,10776, 10707,10557,10581,10666,10670. 问这批弦线的抗拉强度是否提高了？（α=0.05） 解X=10631.4,S2=6558.89,S=80.99,n=10.问题是检验假 设H:4≤10560 (1)H。:4≤10560. (2)选统计量并计算其值， 1=X-10560万=106314-10560， o S 80.99 =2.772 (3)对于a=0.05,查1分布表，得临界值t.(9)=tos(9)=1.833. (4)因t0os(9)=1.833<2.772=t,故否定H。即认为抗拉强度提高了。 9.从一批轴料中取15件测量其椭圆度，计算得S=0.025,问该批轴料椭 ·114·
·114· （2）选择统计量 t 并计算其值： 21 20 21 17 0.20 20.485 X t n S − − = = = − （3）对于给定的 = 0.025 查 t 分布表求出临界值 0.025 t n t ( ) (16) 2.2 = = . （4）因为 0.025 − = − − = t t (16) 2.20 0.20 。所以接受 H0 ，即认为维生素含 量合格. 8．某种合金弦的抗拉强度 2 X N~ ( , ) ，由过去的经验知 10560 （公 斤/厘米 2），今用新工艺生产了一批弦线，随机取 10 根作抗拉试验，测得数据如 下： 10512，10623，10668，10554，10776， 10707，10557，10581，10666，10670. 问这批弦线的抗拉强度是否提高了？（ = 0.05 ） 解 X =10631.4 ， 2 S = 6558.89 ， S =80.99，n =10 . 问题是检验假 设 0 H : 10560 （1） 0 H : 10560 . （2）选统计量并计算其值. 10560 10631.4 10560 10 80.99 X t n S − − = = = 2.772 （3）对于 = 0.05 ，查 t 分布表，得临界值 0.05 t t (9) (9) 1.833 = = . （4）因 0.05 t t (9) 1.833 2.772 = = ，故否定 H0 即认为抗拉强度提高了。 9．从一批轴料中取 15 件测量其椭圆度，计算得 S = 0.025 ，问该批轴料椭
圆度的总体方差与规定的σ2=0.0004有无显著差别？(=0.05，椭圆度服 从正态分布)。 解S=0.025,S2=0.00065,n=15,问题是检验假设H。:σ2=0.0004. (1)H。:62=o=0.0004. (2)选统计量x2并计算其值 x2=n-10S2=14x0.00065 =22.75 0.0004 (3)对于给定的心=0.05，查Y2分布表得临界值 Xa2(14)=X62s(14)-26.119,X2.12(14)-X695(14)=5.629. (4)因为X6975=5.629<22.75=X2<X625=26.119所以接受H。,即总 体方差与规定的σ2=0.0004无显著差异。 10.从一批保险丝中抽取10根试验其熔化时间，结果为 42,65,75,78,71,59,57,68,54,55. 问是否可以认为这批保险丝熔化时间的方差不大于80？(=0.05，熔化时间 服从正态分布) 解X=62.4,S2=121.82,n=10,问题是检验假设H。:o2≤80. (1)Ho:o≤80=o0: (2)选统计量x并计算其值 x2=0n-19-9×12182=13.705 00 80 (3)对于给定的α=0.05，查X2分布表得临界值 ·115·
·115· 圆度的总体方差与规定的 2 = 0.0004 有无显著差别？（ = 0.05 ，椭圆度服 从正态分布）。 解 2 S S n = = = 0.025, 0.00065, 15 ，问题是检验假设 2 0 H : 0.0004 = . （1） 2 2 0 0 H : 0.0004 = = . （2）选统计量 2 并计算其值 2 2 2 0 ( 1) 14 0.00065 22.75 0.0004 n S − = = = （3）对于给定的 = 0.05 ，查 2 分布表得临界值 2 2 2 / 2 0.025 1 / 2 (14) (14) 26.119, (14) = = − 2 0.975 = = (14) 5.629. （4）因为 2 2 2 0.975 0.025 = = = 5.629 22.75 26.119 所以接受 H0 ，即总 体方差与规定的 2 = 0.0004 无显著差异。 10．从一批保险丝中抽取 10 根试验其熔化时间，结果为 42，65，75，78，71，59，57，68，54，55. 问是否可以认为这批保险丝熔化时间的方差不大于 80？（ = 0.05 ，熔化时间 服从正态分布）. 解 X = 62.4 ， 2 S n = = 121.82, 10, 问题是检验假设 2 0 H : 80 . （1） 2 2 0 0 H : 80 = ； （2）选统计量 2 并计算其值 2 2 2 0 ( 1) 9 121.82 13.705 80 n S − = = = （3）对于给定的 = 0.05 ，查 2 分布表得临界值
x2(n-1)-X6s(9)=16.919. (4)因x2=13.705<16.919=6s,故接受H。,即可以认为方差不大于 80。 11.对两种羊毛织品进行强度试验，所得结果如下 第一种138,127,134,125： 第二种134,137,135,140,130,134. 问是否一种羊毛较另一种好？设两种羊毛织品的强度都服从方差相同的正态分 布。(a=0.05) 解设第一、二种织品的强度分别为X和Y,则X~N(4,σ2)， Y~N(42,o2) 元=131，S2=36.667,m=4 7=135,S=35.2,n2=6 问题是检验假设Ho:41=2 (1)H。:41=2 (2)选统计量T并计算其值. r-7 nn2 131-135 4×6 T= (n-1)S2+(n2-1)S号 n +n 3×36.667+5×35.2 V4+6 n1+n2-2 4+6-2 =-1.295 (3)对于给定的C=0.05,查1分布表得临界值ta12(n,+n2-2) =to.025(8)=2.3069. (4)因为t1.295<2.3069=12(8),所以接受假设，即不能说一种羊 ·116
·116· 2 2 0.05 ( 1) (9) 16.919 n − = = . （4）因 2 2 = = 13.705 16.919 0.05 ，故接受 H0 ，即可以认为方差不大于 80。 11．对两种羊毛织品进行强度试验，所得结果如下 第一种 138，127，134，125； 第二种 134，137，135，140，130，134. 问是否一种羊毛较另一种好？设两种羊毛织品的强度都服从方差相同的正态分 布。 ( 0.05) = 解 设第一、二种织品的强度分别为 X 和 Y ，则 2 X N~ ( , ), 1 2 Y N~ ( , ) 2 2 X S n = = = 131, 36.667, 4 1 1 2 Y S n = = = 135, 35.2, 6 2 2 问题是检验假设 0 1 2 H : = （1） 0 1 2 H : = （2）选统计量 T 并计算其值. 1 2 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 131 135 4 6 ( 1) ( 1) 3 36.667 5 35.2 4 6 2 462 X Y n n T n S n S n n n n − − = = − + − + + + + − + − =−1.295 （3）对于给定的 = 0.05 ，查 t 分布表得临界值 / 2 1 2 t n n ( 2) + − 0.025 = = t (8) 2.3069 . （4）因为 0.025 | | 1.295 2.3069 (8) t t = = ，所以接受假设，即不能说一种羊
毛较另一种好。 12.在20块条件相同的土地上，同时试种新旧两个品种的作物各十块土地， 其产量（公斤）分别为 旧品种78.1,72.4,76.2,74.3,77.4， 78.4,76.0,75.5,76.7,77.3: 新品种79.1,81.0,77.3,79.1,80.0， 79.1,79.1,77.3,80.2,82.1; 设这两个样本相互独立，并都来自正态总体（方差相等），问新品种的产量是否 高于旧品种？(a=0.01) 解设X为新品种产量，Y为旧品种产量：X~N(4,σ2)， Y~N(山2，σ2)，问题是检验假设 H0:41≥42 X=79.43,S2=2.2246,n=10 7-76.23,S=3.3245,n2=10 选统计量T并计算其值： 疗- nn2(h+n2-2) Vn-1)S2+(n,-1)S好 n +n 79.43-76.23 1800 =4.2956 V2.2246+3.3245)×9V20 对给定的a=0.01,查1分布表得临界值t.(18)=1oo1(18)=2.5524. 因为T=4.2956>-2.5524=-too1(18)故接受H。,即新品种高于旧品种. 13.两台机床加工同一种零件，分别取6个和9个零件，量其长度得 S2=0.345,S?=0.357,假定零件长度服从正态分布，问可否认为两台机床加 ·117·
·117· 毛较另一种好。 12．在 20 块条件相同的土地上，同时试种新旧两个品种的作物各十块土地， 其产量（公斤）分别为 旧品种 78.1, 72.4, 76.2, 74.3, 77.4, 78.4, 76.0, 75.5, 76.7, 77.3; 新品种 79.1, 81.0, 77.3, 79.1, 80.0, 79.1, 79.1, 77.3, 80.2, 82.1; 设这两个样本相互独立，并都来自正态总体（方差相等），问新品种的产量是否 高于旧品种？（ = 0.01 ） 解 设 X 为新品种产量， Y 为旧品种产量； 2 X N~ ( , ) 1 ， 2 Y N~ ( , ) 2 ，问题是检验假设 0 1 2 H : X = 79.43， 2 S1 = 2.2246， n1 =10 Y = 76.23， 2 S2 = 3.3245 ， n2 =10 选统计量 T 并计算其值： 1 2 1 2 2 2 1 2 1 1 2 2 ( 2) ( 1) ( 1) X Y n n n n T n S n S n n − + − = − + − + 79.43 76.23 1800 4.2956 (2.2246 3.3245) 9 20 − = = + 对给定的 = 0.01 ，查 t 分布表得临界值 0.01 t t (18) (18) 2.5524 = = . 因为 T t = − = − 4.2956 2.5524 (18) 0.01 故接受 H0 ，即新品种高于旧品种. 13．两台机床加工同一种零件，分别取 6 个和 9 个零件，量其长度得 2 2 S S 1 2 = = 0.345, 0.357 ，假定零件长度服从正态分布，问可否认为两台机床加
工的零件长度的方差无显著差异？（α=0.05） 解S2=0.345, n=6, S=0.357, h2=9 问题是检验假设 H。:o2=o 选统计量F并计算其值 F=S 0.345 =0.9664 0.357 对给定的a=0.05查F分布表得临界值Fa12(5,8)=F2s(5,8)=4.65, 5x5,8)==0.1479. 6.76 因F975(5,8)=0.1479<0.9664=F<4.65=F2(5,8)故接受H。,即 无显著差异 13.甲、乙两台机床加工同样产品，从它们加工的产品中各抽取若干，测得 直径（单位：mm)为 甲：20.5,19.8,19.7,20.4,20.1,20.0,19.0,19.9： 乙：19.7,20.8,20.5,19.8,19.4,20.6,19.2. 问甲、乙两台机床加工的精度有无显著差异？(=0.05，产品直径服从正态 分布。) 解设甲加工的直径为X,乙为Y.X~N(4,o),Y~N(,o) -19.925,S=0.2164,h=8 7=20, S2=0.3967,h2=7 问题是检验假设 ·118
·118· 工的零件长度的方差无显著差异？ ( 0.05) = 解 2 S n 1 1 = = 0.345, 6, 2 S n 2 2 = = 0.357, 9 问题是检验假设 2 2 0 1 2 H : = 选统计量 F 并计算其值 2 1 2 2 0.345 0.9664 0.357 S F S = = = 对给定的 = 0.05 查 F 分布表得临界值 / 2 0.025 F F (5,8) (5,8) 4.65 = = ， 0.975 1 (5,8) 0.1479 6.76 F = = . 因 0.975 0.025 F F F (5,8) 0.1479 0.9664 4.65 (5,8) = = = 故接受 H0 ，即 无显著差异. 13．甲、乙两台机床加工同样产品，从它们加工的产品中各抽取若干，测得 直径（单位：mm）为 甲：20.5, 19.8, 19.7, 20.4, 20.1, 20.0, 19.0, 19.9; 乙：19.7, 20.8, 20.5, 19.8, 19.4, 20.6, 19.2. 问甲、乙两台机床加工的精度有无显著差异？（ = 0.05 ，产品直径服从正态 分布。） 解 设甲加工的直径为 X ，乙为 Y . 2 X N~ ( , ) 1 1 ， 2 Y N~ ( , ) 2 2 . X =19.925 ， 2 S1 = 0.2164 ， n1 = 8 Y = 20 ， 2 S2 = 0.3967 ， n2 = 7 问题是检验假设
H。:o2=o 选统计量F并计算其值 F=S-0.2164 =0.5455. S,0.3967 对于给定的a=0.05,查F分布表得临界值F2(7,6)=Fo2s(7,6)=5.70, Fns(7,6)= 5.12 =0.1953 因F75(7,6)=0.1953<0.5455=F<F2s(7,6)=5.70,故接受H。,即 精度无显著差异 14.一颗骰子掷了120次，得下列结果： 点 数 2 3 4 5 出现次数 23 26 21 20 15 15 问骰子是否匀称？（α=0.05） 解用X表示掷一次骰子出现的点数，其可能值为1,2,3,4,5,6。问 题是检验假设 1 H:p=P(X=0=61=12,…,6、这里k=6,Pm=6n=120, p0=20,A={i故 X=20-p--202_6 20 4.8 0 查x2分布表，得临界值2(k-1)=Xds(⑤)=11.071因为x2=4.8<1.071=6s 故接受H。,即骰子匀称。 15.从一批滚珠中随机抽取50个，测得它们的直径（单位：mm)为 119·
·119· 2 2 0 1 2 H : = 选统计量 F 并计算其值 1 2 0.2164 0.5455 0.3967 S F S = = = . 对于给定的 = 0.05 ，查 F 分布表得临界值 / 2 0.025 F F (7,6) (7,6) 5.70 = = ， 0.975 1 (7,6) 0.1953 5.12 F = = 因 0.975 0.025 F F F (7,6) 0.1953 0.5455 (7,6) 5.70 = = = ，故接受 H0 ，即 精度无显著差异. 14．一颗骰子掷了 120 次，得下列结果： 点 数 1 2 3 4 5 6 出现次数 23 26 21 20 15 15 问骰子是否匀称？（ = 0.05 ） 解 用 X 表示掷一次骰子出现的点数，其可能值为 1，2，3，4，5，6。问 题是检验假设 0 1 : ( ) , 1,2, ,6. 6 H p P X i i i = = = = 这里 k = 6 ， 0 1 , 120, 6 p n i = = npi0 = 20， {} A i i = 故 2 2 6 2 0 1 1 0 ( ) ( 20) 96 4.8 20 20 k i i i i i i n np n np = = − − = = = = 查 2 分布表，得临界值 2 2 0.05 ( 1) (5) 11.071 k − = = 因为 2 2 0.05 = = 4.8 1.071 故接受 H0 ，即骰子匀称。 15．从一批滚珠中随机抽取 50 个，测得它们的直径（单位：mm）为