麻省理工学院 16.07动力学 期中考试 2004年10月28日 分数 习题1 习题2 习题3 习题4 习题5 习题6 习题7 习题8 习题9 总分数
麻省理工学院 16.07 动力学 期中考试 2004 年 10 月 28 日 分数 习题 1 习题 2 习题 3 习题 4 习题 5 习题 6 习题 7 习题 8 习题 9 总分数
1.(10分)长1的杆，不计质量，末端连接一个小球，当杆和水平面夹角成0时，角速度为 o。当小球与地面弹性碰撞后，计算最大反弹角度。 0 答案： 能量守恒 2m()2+mg(lsin0o) =mg(lsin0ma） (1) sin 0mar =sin+ w21 (2) 2g Dnar sin-(sin (3) 2g 注意，支点高度不影响结果。取支点的最高处为零势能点。 2.(10分)如图，摆由一根不计质量的刚性杆连接等质量的两个小球。绳子系在杆的中点，从 0=25度时释放。小球都静止，绳子与杆垂直。当0仁-20度，计算绳子与杆的角度。需要给出 解释。 g 答案： 由于小球会相对称，且没有运动，所以杆悬吊在重心处。重力在一个小球上产生的运动和 重力在另一个小球上产生的运动互相平衡（杆和水平方向的夹角没有变化）
1．（10 分）长 l 的杆，不计质量，末端连接一个小球，当杆和水平面夹角成 θ0 时，角速度为 ω。当小球与地面弹性碰撞后，计算最大反弹角度。 答案： 能量守恒 注意，支点高度不影响结果。取支点的最高处为零势能点。 2．(10 分) 如图，摆由一根不计质量的刚性杆连接等质量的两个小球。绳子系在杆的中点，从 θ=25 度时释放。小球都静止，绳子与杆垂直。当 θ= -20 度，计算绳子与杆的角度。需要给出 解释。 答案： 由于小球会相对称，且没有运动，所以杆悬吊在重心处。重力在一个小球上产生的运动和 重力在另一个小球上产生的运动互相平衡（杆和水平方向的夹角没有变化）
根据几何学，可以快速计算角度为45度。 3.(10分)长1的杆以角度读o旋转，质量为m的两个滑块在如图位置被锁上，由刚度为k 的弹簧连接。初始时，距离旋转轴线，弹簧没有被压缩，且长度为s。求滑块释放后，滑块距 离旋转轴线的最大距离。 1 111 m 答案： 角动量矩守恒 2mriw 2mr2n (4) 2 (2w (5) 能量守恒 1 2×2mwro)2 =2×2mm2+2kr+s-号2 (6) m(wro)2 =mP+2r+8-分2 (7） 最后的方程，不能精确求r的解。 4.(10分)小车以加速度a在平坦路面上加速运动，固定长1的摆，计算摆的周期
根据几何学，可以快速计算角度为 45 度。 3．（10 分）长 l 的杆以角度读 ω 旋转，质量为 m 的两个滑块在如图位置被锁上，由刚度为 k 的弹簧连接。初始时，距离旋转轴线 r0,弹簧没有被压缩，且长度为 s。求滑块释放后，滑块距 离旋转轴线的最大距离。 答案： 角动量矩守恒 能量守恒 最后的方程，不能精确求 r 的解。 4．（10 分）小车以加速度 a 在平坦路面上加速运动，固定长 l 的摆，计算摆的周期
8 答案： 利用有效重力的概念 geff =g-a (8) Jeff Vg2+a2 (9) 因为向量g和a互相垂直，所以周期为 T=2π (10) g2+a2 5.(10分)飞机以速度v水平飞行，以半径R向左转弯。飞机的螺旋桨逆时针旋转，恒定 角速度为，计算螺旋桨的角加速度的大小和方向。 答案：选择飞行参考系，使x轴和螺旋桨轴线相同，y轴指向飞行的右边，有： =+ (11) (12) 根据科氏定律 a 市=w:+×d (13) a xi-影 (14) R 所以角加速度的模为pvR指向飞行的右侧。 6.(10分)三个质量块摆放位置如图，力F作用在m1上，任意两个表面的摩擦系数为μ， 回答下列问题： a)m2没有滑离m1时，最大作用力？ b)a)中计算的力作用下，1和3之间的接触力？
答案： 利用有效重力的概念 因为向量 g 和 a 互相垂直，所以周期为 5．（10 分） 飞机以速度 v 水平飞行，以半径 R 向左转弯。飞机的螺旋桨逆时针旋转，恒定 角速度为 p,计算螺旋桨的角加速度的大小和方向。 答案：选择飞行参考系，使 x 轴和螺旋桨轴线相同，y 轴指向飞行的右边，有： 根据科氏定律 所以角加速度的模为 pv/R 指向飞行的右侧。 6．（10 分）三个质量块摆放位置如图，力 F 作用在 m1上，任意两个表面的摩擦系数为 µ， 回答下列问题： a) m2没有滑离 m1时，最大作用力? b) a)中计算的力作用下，1 和 3 之间的接触力？
12 F m 肠 答案： 2上的最大力F=μgm2,所以最大加速度a=μg, a)最大外力 F a(m1+m2+m3)+(Ffr)au 三 g(m1+m2+m3)+ugm1+m2+m3)=2μg(m1+m2+m3) b)3的接触力抵消摩擦力，提供加速度， Fcont am3 (Ffr)3 am3 ugm3 2ugm3 (15 7.(12分)质量m的小球通过刚性杆连接在质量M的四个轮子滑车上，小球在=0°时释 放，计算=90°小球相对滑车的速度大小，杆长1. M m 答案：动量守恒 MUM +mum =0 (16) 能量守恒 gL二1u+m品 (17) 计算速度 2gl Um “V1+罗 (18) m 2gl UM 19) 1+罗 相对速度
答案： 2 上的最大力 Ffr=µgm2，所以最大加速度 a=µg. a) 最大外力 b) 3 的接触力抵消摩擦力，提供加速度， 7．（12 分） 质量 m 的小球通过刚性杆连接在质量 M 的四个轮子滑车上，小球在 θ=00时释 放，计算 θ=900小球相对滑车的速度大小，杆长 l. 答案：动量守恒 能量守恒 计算速度 相对速度
Um/M Um-UM (20) m Um/M )2gl M (21) 8.(12分)摆由两个等质量小球和长21的无质量杆组成。杆可以绕顶端自由旋转，求摆的周 期T? 答案：根据H=M,转矩M M=-mg(Isin 0)-mg(2l sin 0)-3mgle (22) ⊙比较小。动量矩H H= ml(10)+m2l(2l0 (23) H 5ml20 (24) i=5ml26. (25) 所以运动方程 5m120 3mgl0 =0 (26) 399=0 0十 (27) 以及 3g W= 57 (28) 57 T= 2π1 3g (29) 9.(16分)质点沿抛物线运动，x=at,y=bt,a=1m/s,b=lm/s2,t是时间，单位秒。T=1秒，计算 速度和加速度矢量： a)笛卡尔坐标系
8．（12 分）摆由两个等质量小球和长 2l 的无质量杆组成。杆可以绕顶端自由旋转，求摆的周 期 T? 答案：根据 ，转矩 M: Θ 比较小。动量矩 H 所以运动方程 以及 9． （16 分）质点沿抛物线运动，x=at,y=bt2 ,a=1m/s,b=1m/s2 ,t 是时间，单位秒。T=1 秒，计算 速度和加速度矢量： a) 笛卡尔坐标系
b)固有坐标系 c)极坐标系 d)计算0,0，产和 答案： a) Ux a,vy =2bt,az=0,au 2b (30) vz(t=1)=1m/s,v(t=1)=2m/s (31) az(t=1)=0m/s2,au(t=1)=2m/s2 (32) b) v(t=1) =V喔+呢=V5m/s (33) ve+0n+0en m/s (34 1 e= (35) V5'V3 (36) aa.=- 店m/s2 (37) 2 an a.en= V5 m/s2 (38) d= 4 v m/s2 2 39) c) e, (40) 1 e= (41)
b) 固有坐标系 c) 极坐标系 d) 计算 和 答案：
3 U,=i,= V2 m/s (42) 1 Vo =i.e0= V2 m/s (43) = 9 om/s (44) 2 ar a.e,= m/s2 V2 (45) 2 ao =d.e0= /小s? (46) 2 m/s2 2 (47) d) U=rer +rdeo (48) d=(r-r02)e,+(r0+2r0)ee (49) 从前面的方程和速度/加速度可知，(？=V2m) 3 m/s (50) 1 8 2 rad/s 51) 5V2 4 m/s2 (52) a rad/s2 (53)
从前面的方程和速度/加速度可知