高等教育出版社：《材料力学》配套教材电子教案（PPT课件）第六章 简单的超静定问题

第六章简单的超静定问题 1.超静定问题及其解法 未知力个数等于独立的平衡方程数目,则仅 由平衡方程即可解出全部未知力,这类问题称 为静定问題,相应的结构称为静定结构 未知力个数多于独立的平衡方程数目,则仅由平衡方程无法确定全部未知力,这 类问題称为超静定问题或静不定问题,相应的结构称为超静定结构或静不定结构. 所有超静定结构,都是在静定结构上再加一个或几个约束,这些约束对于特定的 工程要求是必要的,但对于保证结构平衡却是多余的,故称为多余约束 未知力个数与平衡方程数之差,称为超静定次数或静不定次教 求解超静定问題,需要综合考察结构的平衡,变形协调和物理等三个方面

第六章 简单的超静定问题 1.超静定问题及其解法 未知力个数等于独立的平衡方程数目,则仅 由平衡方程即可解出全部未知力,这类问题称 为静定问题,相应的结构称为静定结构. 未知力个数多于独立的平衡方程数目,则仅由平衡方程无法确定全部未知力,这 类问题称为超静定问题或静不定问题,相应的结构称为超静定结构或静不定结构. 所有超静定结构,都是在静定结构上再加一个或几个约束,这些约束对于特定的 工程要求是必要的,但对于保证结构平衡却是多余的,故称为多余约束. 未知力个数与平衡方程数之差,称为超静定次数或静不定次数. l A B q 求解超静定问题,需要综合考察结构的平衡,变形协调和物理等三个方面

2拉压超静定问题一锬接结构如图示,在水平刚性横梁的B端作用有载荷F y6.1 垂直杆1,2的抗拉压刚度分别为EA1,E2A2,若横梁AB的自重不计,求 两杆中的内力 ∑ M,=0 Fa+F2a)-F(2a)=0 B 变形协调方程 C F 2△L,=△L C C F w2 E,A E, A2 2F 4 MI 1+4E2A2E1A1 N2 4+EA1/E2

2.拉压超静定问题 一铰接结构如图示,在水平刚性横梁的B端作用有载荷F, 垂直杆1,2的抗拉压刚度分别为E1A1 ,E2A2 ,若横梁AB的自重不计,求 两杆中的内力. a A B L1 1 2 C a F a A B C a F FN1 FN 2 L1 L2  = 0 MA (2 ) (2 ) 0 FN1 a + FN2 a − F a = 2L1 = L2 变形协调方程 2 2 2 1 1 1 2 E A F L E A FN L N = 2 2 1 1 1 1 4 2 E A E A F FN + = 1 1 2 2 2 4 4 E A E A F FN + = 例题 6.1

2拉压超静定问题图示刚性梁AB受均布载荷作用,梁在A端铰支,在B点和C y6a2也而们+用1#的面夜料项 列静力平街方程∑M1=0mFE=135kN-3F NBD 变形协调方程A=y=30Nm×3m F×1.8l, l 34 NCE 00 b×1 400×10 E 30kN /m B FNBD=32.2KN Fur=384kM 1m 2m on NBD 20mn2 ACe 400mm ↓↓↓AB、fp 1m 2m 三△L

列静力平衡方程  = 0 MA FNCE 1m−30k N/ m3m1.5m+ FNBD 3m = 0 NCE FNBD F =135kN −3 变形协调方程 LDB = LCE 3 m E F l m E F l NBD NCE     =    −6 2 −6 2 400 10 3 200 10 1.8 FNBD FNCE 6 5 = FNBD = 32.2kN FNCE = 38.4kN DB NBD BD A F  = 2 3 200 32.2 10 mm  N ==161MPa  CE NCE CE A F  = 2 3 400 38.4 10 mm  N == 96MPa  图示刚性梁AB受均布载荷作用，梁在A端铰支，在B点和C 点由两根钢杆BD和CE支承。已知钢杆的横截面面积ADB=200mm2 ， ACE=400mm2，其许用应力[σ]=170MPa，试校核钢杆的强度。 1m 2m LCE DB L 2.拉压超静定问题 1.8L L 1m 2m A E 30kN/m B C D A E 30kN/m B C D B FBD FBD  例题 6.2

y63图示结构中的三角形板可视为刚性板。杆材料为钢,2杆材料为锏 两杆的横截面面积分别为A钢=1000mm2,A铜=2000mm2。当F=200kN 且温度升高20°℃时,试求1、2杄内的应力。钢杄的弹性模量为E=210GPa 线膨胀糸数α=125×106°℃C1;锕杄的殚性模量为E=100GPa,线膨胀 条数0=16:5×106℃C1; 列静力平衡方程∑M1=0m+2F=F 变形协调方程mx(FA)2mxan2M=4mxa 2mA △2=2A 2m△L1=fL f +a2△L1 F, E,A 2(q40n△TL1) eA E,A 22-8F=20×(4×12.5+165)×42×x10N E=-3852NF2=11926N 计算1,2样的正应力 F-852×10NaF2_-11926×10N A 1000mm A

L1 L2   列静力平衡方程  = 0 MA ( ) 2m F −F1 = 4mF2 F1 + 2F2 = F 变形协调方程 L1 = 2m L2 = 4m 2 1 L = 2L 1 1 ! 1 1 1 TL E A F L L = + g  2 2 2 2 2 2 TL E A F L L = −t  2 2 2 2 2 TL E A F L −t  2( ) 1 1 ! 1 1 TL E A F L = + g  F F ( ) N 2 2 1 2.1 −8 = 20 412.5+16.5 4.210 F1 = −38.52kN F =119.26kN(−) 2 计算1，2杆的正应力 1 1 1 A F  = 2 3 1000 38.52 10 mm −  N == −38.5MPa 2 2 2 A F  = 2 3 2000 119.26 10 mm −  N == −59.6MPa 图示结构中的三角形板可视为刚性板。1杆材料为钢，2杆材料为铜， 两杆的横截面面积分别为A钢=1000mm2 ，A铜=2000mm2。当F=200kN， 且温度升高20℃时，试求1、2杆内的应力。钢杆的弹性模量为E钢=210GPa， 线膨胀系数αl钢=12.5×10-6 ℃-1；铜杆的弹性模量为E铜=100GPa，线膨胀 系数αl铜=16.5×10-6 ℃ -1； 2m 2m 1 F1 F A 4m F2 1m 2 例题 6.3

y64 F(L+6 O=△= EA 三EA B L δ-L eAs B A EA N E O E=200GPa o=200MPa 6/L=1/1000

例题 6.4 A B L EA B A L EA   = L ( ) EA FN L + =   L L EA FN  = L E  = E = 200GPa  L =1 1000  = 200MPa

3.扭转超静定问题 y65 M+M= 0 a4=0 ML M-M ML + 0 GⅠ Gl

3.扭转超静定问题 A B L L L Me Me MA + MB = 0  BA = 0 p A GI M L ( ) p A e GI M − M L + p A GI M L + = 0 3 e A B M M = −M = 例题 6.5

4.简单超静定梁 y6.6 BI +Oa2=0 m,=ql2 qL Fbi 0 E B 8El,3 B B 8 El kN q 3 El B BI kN 28 B2 A Elz B

L A B q EIZ FB L B A q F ql A 8 5 = F ql B 8 3 = 2 8 1 m ql A = ql 8 3 ql 8 5 kN 2 128 9 ql 2 8 1 ql 4.简单超静定梁 L B A q EIZ l A B q EIZ B1 l B A EIZ B2 FB B1 +B2 = 0 EIZ qL 8 4 Z B EI F L 3 3 − = 0 F ql B 8 3 = kNm 例题 6.6

>y67图杀条A处为定铰链支座BC二处为舰轴支座,渠作用有均布荷载已 知:均布荷载集度q=15Nm,L=4m,梁圆截面直径d=100mm]100MPa 试校核该梁的强度 列静力平衡方程 ∑ F.=0 F+F+f-aL B ,=0 B L2 韦2 ∑M=0 L Fca+FBL+ 2 变形协调方程 5gL Fl 2(q)+2(F2)=0384E-48E =OFR o9L F= 3 16 11-16 q knm knm 32M max =76.4MPa 4.22kNm三 4.22kNm

图示梁,A处为固定铰链支座,B,C二处为辊轴支座.梁作用有均布荷载.已 知:均布荷载集度q=15N/m,L=4m,梁圆截面直径d=100mm,[σ]=100MPa. 试校核该梁的强度. 例题 6.7 L 2 A B L 2 q C FC FA FB 列静力平衡方程 F + F + F − qL = 0 A B C Fy = 0 MA = 0 0 2 2 2 + + − = qL F L L FC B 变形协调方程 ( )+ ( ) = 0 C C FC  q  EIZ qL 384 5 4 Z C EI F L 48 3 − = 0 FC qL 8 5 = FB qL 16 3 = FA qL 16 3 = 4.22kNm7.5kNm 4.22kNm M 7.5kNm max = WZ M max  = 3 max 32 d M  = = 76.4MPa  

y68 试求图示梁的支反力 40kM 在小变形条件下B点轴向力较小可忽略不 20kN/m 计,所以为一次超静定 B A C 4m 2m 2m1 g=8.75kN ⑧E1,3E 20kN/m B 所生52) O C+ M BEB- B2 M 3BL-BElz125kX 2E(2 FB 40KNL D F=F+F=48.75kN M=F-=+FL=115kNm 2m 2n 2

例题 6.8 试求图示梁的支反力 4m B A 20kN m 2m 2m 40kN D C 在小变形条件下,B点轴向力较小可忽略不 计,所以为一次超静定. B 2m 2m 40kN D C 4m A 20kN m B FB FB  B1 B2 B1 =B2 Z B EI qL 8 4  1 = Z B EI F L 3 3 − Z B B EI F L 3 3  2 = Z P EI L F 3 2 3       +             + 2 2 2 2 L EI L F Z P       = − 48 5 2 8 3 P B qL F F = 8.75kN FA FA = qL− FB = 71.25kN M A F L qL M A = − B 2 2 =125kNm FC FC = FP + FB = 48.75kN MC F L L MC = FP + B 2 =115kNm

y69结构如图示,设梁AB和CD的弯曲刚度El相同 拉杆BC的拉压刚度EA为已知,求拉杆BC的轴力 将杆CB移除,则ABCD均为静定结构,杆 CB的未知轴力F作用在ABCD梁上。为1次超 D静定。 B BC A B 2a)F(2 B 8E 3E1 - ld Z F LD 3E △Ln A EA B gaa 2 g(2a) Fx(2a Fa era 8El, 3EL, 3EL, EA Ba4+7

例题 6.9 结构如图示,设梁AB和CD的弯曲刚度EIz相同. 拉杆BC的拉压刚度EA为已知,求拉杆BC的轴力. 2a B A q a C a D 2a B A q 将杆CB移除，则AB,CD均为静定结构，杆 CB的未知轴力FN作用在AB,CD梁上。为1次超 静定。 C a a D FN FN FN FN B =C + LBC ( ) Z B EI q a 8 2 4  = ( ) Z N EI F a 3 2 3 − Z N C EI F a 3 3  = EA F a L N  BC = ( ) ( ) EA F a EI F a EI F a EI q a N Z N Z N Z − = + 3 3 2 8 2 4 3 3 Z N a A I qa A F + = 2 3 3 2