§4等直圆杆扭转时的应力强度条件 变形几何 平面假定
§4 等直圆杆扭转时的应力.强度条件 Me Me 变形几何 平面假定
T d aX y。=P T=Gy dx P pt dA=T G p2d=7 T dx gi P p 截面的极惯性矩
x dx T T d d dx dx d = = G = G dx d = G = A dA T dA T dx d G A = 2 Ip GIP T dx d = GIP T P I T = 截面的极惯性矩
T d aX φT y。=P T=Gy Gp dx P pt dA=T G p2d=7 T dx gi P p 截面的极惯性矩
dx d x dx T T d d dx dx d = = G dx d = G = A dA T dA T dx d G A = 2 Ip GIP T dx d = GIP T P I T = 截面的极惯性矩
= dA A
max- maX 扭转截面系数
P I T = P I Tr max = r I W P P = 扭转截面系数 WP T max =
截面的级惯性矩与扭转载面系数 实心圆截面 12=」paA=2nm1=2np4 0 4 m W 32 16 空心圆截面 Ip=2丌pdp= 元 D-d 32 2 元D D D 32 16
截面的极惯性矩与扭转截面系数 实心圆截面 空心圆截面 d d = A I P dA 2 = A 2 d 2 = 2 0 3 2 d d 32 4 d I P = 16 3 d WP = D d I P = 2 2 3 2 D d d ( ) 4 4 32 = D − d D d = ( ) 4 4 1 32 = − D I P ( ) 4 3 1 16 = − D WP
由两种不同材料组成的圆轴,里层和外层材料的切变 例题模量分别为O1和G2,且C1=22°国轴尺寸如图所示。圆 3.4轴受扭肘,里、外层之间无相对滑动。关于横截面上的 切应力分布,有图中(A)、(B)、(C)、(D)所示 」的四种结论,请判新哪一种是正确的。 2d (A) (B)(C)(D)
由两种不同材料组成的圆轴，里层和外层材料的切变 模量分别为G1和G2，且G1=2G2。圆轴尺寸如图所示。圆 轴受扭时，里、外层之间无相对滑动。关于横截面上的 切应力分布，有图中（A）、（B）、（C）、（D）所示 的四种结论，请判断哪一种是正确的。 例题 3.4 2d d T G1 G2 O (A) (B) (C) (D)
解:圆轴受扭肘,里、外层之闻无相对滑动,这表明 二者形成一个整体,同时产生扭转变形。根据平面假 定,二者组成的组合截面,在轴受扭后依然保持平面 即其直径保持为直线,但要相当于原来的位置转过 角度。 因此,在里、外层交界处二者具有相同的切应变。 由于内层(实心轴)材料的剪切弹性模量大于外层 (圆环截面丿的剪切弹性模量(G1=22),所以内层 在二者交界处的切应力一定大于外层在二者交界处的 切应力。据此,答案(A)和(B)都是不正确的。 在答案(D)中,外层在二者交界处的切应力等于 零,这也是不正确的,因为外层在二者交界处的切应 变不为季,根据剪切胡克定律,切应力也不可能等于 零。 根据以上分析,正确答案是(C)
解：圆轴受扭时，里、外层之间无相对滑动，这表明 二者形成一个整体，同时产生扭转变形。根据平面假 定，二者组成的组合截面，在轴受扭后依然保持平面， 即其直径保持为直线，但要相当于原来的位置转过一 角度。 因此，在里、外层交界处二者具有相同的切应变。 由于内层（实心轴）材料的剪切弹性模量大于外层 （圆环截面）的剪切弹性模量（G1=2G2），所以内层 在二者交界处的切应力一定大于外层在二者交界处的 切应力。据此，答案（A）和（B）都是不正确的。 在答案（D）中，外层在二者交界处的切应力等于 零，这也是不正确的，因为外层在二者交界处的切应 变不为零，根据剪切胡克定律，切应力也不可能等于 零。 根据以上分析，正确答案是（C）
例题 内径d=100mm的空心圆轴如图示,已知圆轴受扭 3.5 矩T=5kNm,许用切应力[T=80MPa,试确定空心圆轴 的壁厚。 因不知道壁厚,所以不知道是不是薄壁圆筒。分别按薄壁圆筒 和空心圆軸设计 薄壁圆筒设计 T 2T 设平均半径R0=(d+δ)/2 2R26(d④) 2×5×103N●m δ小062￥1000m2,810Pa 空心圆轴设计r D max ≤z D=d+2 DT 6 丌×80×10°Pa %B二5知N,mxDx(91my(8n0 D=1077m 2 当δ≤R0/10时,即可认为是薄壁圆简
因不知道壁厚，所以不知道是不是薄壁圆筒。分别按薄壁圆筒 和空心圆轴设计 薄壁圆筒设计 D d 设平均半径 R0=(d+δ)/2 2 2 R0 T = ( ) T d 2 2 + = T d d 2 2 3 2 2 + + = ( ) Pa N m m m 6 3 2 3 3 2 3 80 10 2 5 10 2 100 10 100 10 • + + = − − = 3.7mm 空心圆轴设计 = WP T max ( ) 4 4 16 D d D WP = − D = d +2 ( ) − 4 4 16 D d DT 80 10 16 5 10 (0.1 ) (8 10 ) 0 6 4 3 4 6 Pa D − N •m D − m Pa = D =107.7mm 2 D − d = 2 107.7mm−100mm = 3.85mm 当δ≤R0 /10时，即可认为是薄壁圆筒 一内径d=100mm的空心圆轴如图示，已知圆轴受扭 矩T=5kN·m，许用切应力[τ]=80MPa，试确定空心圆轴 的壁厚。 例题 3.5
圆轴扭转时斜截面的应力° T A dA cos a dasin a T F.=0 证1a)osa=0 T o, dA+(ddaC a s ∑F;=0 t f t,dA-dA yos af ce eos een a)sin a=0
T T 圆轴扭转时斜截面的应力 A τ τ τ A e τ f dAsin dAcos dA x n e f F = 0 dA+ (dAcos)sin + (dAsin )cos = 0 F = 0 dA−(dAcos)cos + (dAsin )sin = 0 = − sin 2 = cos2