高等教育出版社：《材料力学》配套教材电子教案（PPT课件）第五章 梁弯曲时的位移（5.2）梁的挠曲线近似微分方程及积分

§2梁的挠曲线近似微分方程及积分 1M(x) 1土 2 E do d2a 2 M() do、 ET MO 2 E

§2 梁的挠曲线近似微分方程及积分 EIZ 1 M (x) =  3 2 2 2 1 ( ) 1       + =  dx d dx d    EIZ M x dx d dx d ( ) 1 ( ) 3 2 2 2 =       +    EIZ M x dx d ( ) 2 2 =  

2 M() El O W( x MT Mt M M 0 0 dxt M() 梁挠曲线近似微分方程 dx El

o x y + M + M 0 2 2  dx d y EIZ M x dx d ( ) 2 2 =   o x y − M − M 0 2 2  dx d y EIZ M x dx d ( ) 2 2 = −  梁挠曲线近似微分方程

d2o M(x) dA C B E B 0- dx M(x dx+Cl e=tan e d ∫ Mf(x)在小变形情下,任一面的转角等于拖曲线 通过积分求弯曲位移的特征: 1、适用于细长梁在线弹性范围内、小形情况下的对称弯曲。 橄分方程应全梁。在梁的弯矩方程或弯曲刚度不连续处,其抗曲线的近饭 2、积分 分段列出,并相应地分段积分。 3、积分常数由位移边界条件确定

=  − + 1 ( ) dx C EI M x dx d Z  = − • + 1 + 2 ( ) dx dx C x C EI M x Z  EIZ M x dx d ( ) 2 2 = −  C C A B B x y    在小变形情况下，任一截面的转角等于挠曲线 在该截面处的切线斜率。 dx d  =   tan = 通过积分求弯曲位移的特征： 1、适用于细长梁在线弹性范围内、小变形情况下的对称弯曲。 2、积分应遍及全梁。在梁的弯矩方程或弯曲刚度不连续处，其挠曲线的近似 微分方程应分段列出，并相应地分段积分。 3、积分常数由位移边界条件确定

积分常数C1、C2由边界条件确定 x=o x=L O=0a=0 y x=0 O=0 6=0 y

积分常数C1、C2由边界条件确定 x = 0 x = L x = 0  = 0 X y  = 0 X y  = 0  = 0

题51 求图所示悬臂梁A端的挠度与转角。 x M(x)=-F a(, Xal HCii y 边界条件 FL2 x= 0=0 2EL Ex FL 6= x=L OR=0> C FL 2E 2El dEl FL Fl FL x=06 x A 2El 3EⅠ 6El 2El 3EI

A 求图所示悬臂梁A端的挠度与转角。 x y x  A 例题 5.1 l A B F M(x) = −Fx  = − + 1 ( ) dx C EI M x dx d Z   = Fxdx+C1 dx d EIz   = + 1 + 2 2 2 dx C x C Fx EIz  1 2 3 6 C x C Fx EIz + +          = 1 2 2 C Fx EIz  = + 边界条件 x = L  B = 0 EI z FL C 2 2 1 = − x = L B = 0 EI z FL C 3 3 2 = z EI z FL EI Fx 2 2 2 2  = − z z EI z FL x EI FL EI Fx 6 2 3 3 2 3 = 0  = − + x z A EI FL 2 2  = − z A EI FL 3 3  =

题52 求图所示悬臂梁B端的挠度与转角。 Mx ■■■■■■口■B 2(L EO”=-M(x glL El′=E/O=、1 qlL-x)+C y E/20= 249L-x)+Cx+ch 边界条件 x=00=0> q 16E O 2k=y- 1 x=0O=0"→ LS 24E1 -x)+4E2x-( x= q gl4 24E1 6El OB EI

例题 5.2 求图所示悬臂梁B端的挠度与转角。 l A B x y x ( ) ( ) 2 2 1 M x = − q L − x ( ) ( ) 2 2 1 EI M x q L x z  = − = − ( ) 1 3 6 1 EIz  = EIz  = − q L − x +C ( ) 1 2 4 24 1 EIz  = q L − x +C x +C 边界条件 x = 0  = 0 EI z qL C 6 3 1 = x = 0  = 0 EI z qL C 24 3 2 = − ( )  3 3 6 L x L EI q z  = − − − ( )  4 3 4 4 24 L x L x L EI q z  = − + − x = L z B EI qL 6 3  = z B EI qL 8 4  =

演國5.3求图示简支梁在集中荷载F的作用下(F力在右半跨)的最大挠度。 F M1(x) Fb x0≤x≤a A B M(x)= Fbx-f(x-a x≤ x AC段且B三)二下 Fb y L Fh El x+cx+D CBS Fbe1fkxe) x= i d( 0)= x=L o(L)=0 6L E6- 2 ELo,=-x+ F(x-a+Cx+D x=a oD=D,a o( eta) 使是出建a+DBA=-+C一 2L Fb FblL-6 EO,=-1x2+F(x-a)2+ Fb FblLz-b 2L 6L Elo 6L 6L ELo. =-Fbx3 FblL-b x3+-F(x-a)+ 6L6 6L

求图示简支梁在集中荷载F的作用下（F力在右半跨）的最大挠度。 x x y x 例题 5.3 l F A B a b C L Fb L Fa ( ) x L Fb M1 x = 0  x  a ( ) x F(x a) L Fb M2 x = − − a  x  L AC段 ( ) x L Fb EI M x z 1  = − 1 = − 1 2 1 2 x C L Fb EIz  = − + 1 1 3 1 6 x C x D L Fb EIz  = − + + CB段 ( ) x F(x a) L Fb EI M x z 2  = − 2 = − ( +) −2 2 2 2 2 1 2 x F x a C L Fb EIz  = − + − + ( ) 2 2 3 3 2 6 1 6 x F x a C x D L Fb EIz  = − + − + + x = 0 (0) = 0 D1 = 0 x = L (L) = 0 x = a (a) (a) 1 =2 (a) (a) 1 =2 ( ) 2 2 2 1 3 2 1 2 2 a F a a C L Fb a C L Fb − + = − + − + C1 = C2 ( ) 2 2 3 3 1 1 3 6 1 6 6 a F a a C a D L Fb a C a D L Fb − + + = − + − + + D1 = D2 ( ) ( ) 0 6 1 6 2 3 3 = − L + F L − a +C L = L Fb EIZ  L ( ) 2 2 1 2 6 L b L Fb C = C = − ( ) L Fb L b x L Fb EIz 2 6 2 2 2 1 −  = − + ( ) x L Fb L b x L Fb EIz 6 6 2 2 3 1 −  = − + ( ) ( ) L Fb L b x F x a L Fb EIz 2 6 1 2 2 2 2 2 2 −  = − + − + ( ) ( ) x L Fb L b x F x a L Fb EIz 6 6 1 6 2 2 3 3 2 −  = − + − +

演國5.3求图示简支梁在集中荷载F的作用下(F力在右半跨)的最大挠度。 F El0 Fb 2 Fb(L-b 2 6 A B F6 FalL El 6L 6 Fb FblL-b LEle x 2L 6L y 最大转角O”=0M(x)=0x=0x=6x+f4x-a)+ ElO Fb(-b2 6L Fb(2-b)Fab(L +b) EL 0B=2L 君+厘%+424bB( 26E1 6L 6EL 6EⅠL 最大挠度=0令X=a 力靠近哪个支座,哪边的转角最大。 B.=Hba+-b)a=-2()转角为的点在AC段 6L Fb 2 FblL-6 -h b=-L L 2L 6L 一般认为梁的最大挠度就发生在跨中b→0x023<=0577L

求图示简支梁在集中荷载F的作用下（F力在右半跨）的最大挠度。 x x y x 例题 5.3 l F A B a b C L Fb L Fa ( ) L Fb L b x L Fb EIz 2 6 2 2 2 1 −  = − + ( ) x L Fb L b x L Fb EIz 6 6 2 2 3 1 −  = − + ( ) ( ) L Fb L b x F x a L Fb EIz 2 6 1 2 2 2 2 2 2 −  = − + − + ( ) ( ) x L Fb L b x F x a L Fb EIz 6 6 1 6 2 2 3 3 2 −  = − + − + 最大转角  = 0 M(x) = 0 x = 0 x = L ( ) EI L Fb L b z A 6 2 2 −  = ( ) EI L Fab L b 6 z + = ( ) ( ) L Fb L b L F L a L Fb EIz B 2 6 1 2 2 2 2 2 −  = − + − + ( ) EI L Fab L a z B 6 +  = − 最大挠度 力靠近哪个支座，哪边的转角最大。  = 0 令x=a ( ) L Fb L b a L Fb EIz C 2 6 2 2 2 −  = − + ( ) L Fab a b C 3 −  = − 转角为零的点在AC段 ( ) 0 2 6 2 2 2 0 = − − + L Fb L b x L Fb 3 2 2 0 L b x − = b L 2 1 = x L 2 1 0 = b →0 x L 3 3 一般认为梁的最大挠度就发生在跨中 0 = = 0.577L

题54 画出挠曲线大致形状。图中C为中间铰。 F 两根梁由中闻铰连接,挠曲线在 中间铰处,挠度连续,但转角不 连续。 O1=02 1≠62

例题 5.4 画出挠曲线大致形状。图中C为中间铰。 A F 两根梁由中间铰连接，挠曲线在 中间铰处，挠度连续，但转角不 连续。 1 =2 1  2

题55 用积分法求图示各梁挠曲线方程肘,试问下列各梁 的挠曲线近似微分方程应分几段;将分别出现几个积 分常数,并写出其确定积分常数的边界条件 挠曲线方程应分两段AB,BC F 共有四个积分常数 A X边界条件 B E x=a @B=0 x=a+l 0 y 连续条件 x=a ObI=OB2 n1=6a2

例题 5.5 F B A q C L EI z a 用积分法求图示各梁挠曲线方程时,试问下列各梁 的挠曲线近似微分方程应分几段;将分别出现几个积 分常数,并写出其确定积分常数的边界条件 挠曲线方程应分两段AB,BC. 共有四个积分常数 x = a B = 0 x = a + L C = 0 x y 边界条件 连续条件 x = a B1 =B2  B1 = B2