高等教育出版社：《材料力学》配套教材电子教案（PPT课件）第十一章 能量法

能量法 Energy method

能量法 Energy method

概述(General introduction) 能量法: 固体力学中,把一个和功、能的概念有关的理论和方法 统称为能量法 同静力学方法平行的一种方法

一 概述（General introduction） 能量法: 固体力学中，把一个和功、能的概念有关的理论和方法 统称为能量法 同静力学方法平行的一种方法

功、能(应变能或变形能) 1功: 力作用于物体,力在其作用方向上发生位移,则该 力对物体做了功Wy=∫Fdm AB 恒力功: 变形功:W=F W=Fp·△ F △ △

恒力功: 二 功、能（应变能或变形能） 1 功: 力作用于物体，力在其作用方向上发生位移，则该 力对物体做了功  =  AB W F du 1 =  W FP 变形功: F  F  FP 1   =  1 0 W Fd

在线弹性范围内 轴向拉伸时外力做功W=F△l 扭转时外力做功 W=nYF 弯曲时外力做功 W=-M· 统一表示为 △ W=-F·△ 2 广义力 广义位移

在线弹性范围内 广义力 广义位移 F   f W = F  2 1 轴向拉伸时外力做功 W F l = N  2 1 扭转时外力做功 W = T  2 1 弯曲时外力做功 W = M  2 1 统一表示为

2能(应变能或变形能) 能是一种可对物体做功的本领 根据能量守恒定律。贮存在物体中的应变能V等于外力在物 体变形过程中所做的功W。 Ve=w=Fdu AB 应变能密度:单位体积内积蓄的应变能 ods=v 若徽元各边分别为ox,y,dV= v dxdydz dxdydz 若整个体积内v相同1=pV E

2 能（应变能或变形能） 能是一种可对物体做功的本领 应变能密度：单位体积内积蓄的应变能  = = 1 0   W d v 若微元各边分别为 dx, dy, dz dV v dxdydz  =   V = v dxdydz  V  若整个体积内v 相同 V = v V 根据能量守恒定律。贮存在物体中的应变能 等于外力在物 体变形过程中所做的功W。 V  = = AB V W Fdu FN

例题 图示在线弹性范围内工作的一端固定、另一端自由的圆轴,在自由端截面 上承受扭转力偶矩M1。材料的切变模量G和轴的长度以及直径d均已知。 试计算轴在加载过程中所积蓄的应变能 利用外力功 三种方法利用内力功 利用应变能密度

图示在线弹性范围内工作的一端固定、另一端自由的圆轴，在自由端截面 上承受扭转力偶矩M1。材料的切变模量G和轴的长度 l 以及直径 d 均已知。 试计算轴在加载过程中所积蓄的应变能 。V 例题 l M1 d 利用应变能密度 三种方法 利用外力功 利用内力功

三卡氏第一定理 FF2 B W=∑ fd6V为最后位移△的函数 0 i=1 由于Δ改变了d△,外力功相应改变量为 dW=Fd△ E d△由于dW=dI aA 卡氏第一定理 应变能对于构件上某 位移之变化率,就等于 与该位移相应的荷载 △

三 卡氏第一定理  =  = = n i i i i V W f d 1 0   V 为最后位移 i 的函数 i i d V dV    =   dW = Fi di 由于dW = dV i i V F   =  卡氏第一定理 应变能对于构件上某一 位移之变化率，就等于 与该位移相应的荷载。 1 2 n 3 A B F1 F2 F3 Fn 由于 i 改变了 di ，外力功相应改变量为

例题 图示在线弹性范围内工作的一端固定、另一端自由的圆轴,在自由端截面 上承受扭转力偶矩M1。材料的切变模量G和轴的长度/以及直径d均已知。 试计算轴两端的相对扭转角。 A B

图示在线弹性范围内工作的一端固定、另一端自由的圆轴，在自由端截面 上承受扭转力偶矩M1。材料的切变模量G和轴的长度 l 以及直径 d 均已知。 试计算轴两端的相对扭转角。 例题 l M1 d A B

四余功、余能及卡氏第二定理 △dF C 与余功相应的能称为余能V=W=|"MF Vc=vd v= edo 与外力功W=FC之和等于矩形面积F△ 线弹性范围内外力功等 F F 于余功,能等于余能。 F △ △1△

四 余功、余能及卡氏第二定理 o F  F1 1  =  1 0 F Wc dF 与外力功  之和等于矩形面积 F1 1  =  1 0 W Fd 与余功相应的能称为余能  = =  1 0 F Vc Wc dF  = V Vc vc dV  = 1 0  vc d o F  F1 1 线弹性范围内外力功等 于余功，能等于余能

试计算图示结构在荷载F作用下的余能,结构中两杆的 例题 长度均为1,横截面面积均为A材料在单轴拉伸时的应力 一应变曲线如图所示。 B D > 解:由结点C的平衡方程,可得两杆的轴力为 .F 2 cos a 于是两杆横截面上的应力为σ1 FN F a aCos a 由非线性弹性材料的应力应变关系曲线可得E= K 余能密度为v2=ma= po do F K K n+1)2A a 由于轴向拉伸杆内各点应变状态均相同,因此,结构在荷载作用下的余能为 V =v(2A1) (2AK"(n+))( cos a)

o    1 1  ( 1) 1 = K n  n   试计算图示结构在荷载 作用下的余能，结构中两杆的 长度均为 ，横截面面积均为A材料在单轴拉伸时的应力 —应变曲线如图所示。 F1 l B F1 D C   解：由结点C的平衡方程，可得两杆的轴力为 2cos F1 FN =   2 cos 1 1 A F A FN = = n K       =   ( ) 1 1 0 0 1 2 cos 1 1 1 +       +  =      = =   n n n c A F K n d K v d        于是两杆横截面上的应力为 由于轴向拉伸杆内各点应变状态均相同，因此，结构在荷载作用下的余能为 由非线性弹性材料的应力应变关系曲线可得 余能密度为 ( ) ( ) ( ) 1 1 2 1 cos 2 +       + = = n c c n n F A K n l V v Al  例题