§4等直圆杆扭转肘的变形.刚度条件 φT T dx l 9=|d 0 Glp 当等直圆杆仅在两端受一对外力偶作用时 G P 当等直圆杆有两个以上的外力偶作用时,需要先画出扭矩图,然后 分段计算各段的变形,各段变形的代和即为杆的总变形。三 TL T G G
§4 等直圆杆扭转时的变形.刚度条件 GIP T dx d = = l d dx GI l T P = 0 当等直圆杆有两个以上的外力偶作用时，需要先画出扭矩图，然后 分段计算各段的变形，各段变形的代数和即为杆的总变形。 当等直圆杆仅在两端受一对外力偶作用时 GIP TL = ( ) = i P i i i GI T L GIP T =
如图所示阶梯轴。外力偶矩M1=0.8KN·m,M2 例题2.3KNm,M2=1.5KNm,AB段的直径d1=4m,BC段 3.7的直桎d2=7m。已知材料的剪切弹性模量G=80GPa, 试计算φAB和φAC L M Ma =25.lcm4 32 2 4 236cm 4 P2 32 A C 0.8m 10m 0.0318r 0.8kN-m G PI PBC 22=-0.00797ad P2 1 5kNm qc=qAB+qBC=0.03187ad-00079d=0.0239a4
如图所示阶梯轴。外力偶矩M1＝0.8KN·m， M2＝ 2.3KN·m， M3＝1.5KN·m，AB段的直径d1＝4cm，BC段 的直径d2＝7cm。已知材料的剪切弹性模量G＝80GPa， 试计算φAB和φAC。 0.8kN·m 1.5kN·m 例题 3.7 0.8m 1.0m M1 M2 M3 d1 d2 A B C 32 4 1 1 d I P = 4 = 25.1cm 32 4 2 2 d I P = 4 = 236cm 1 1 1 P AB GI T L = = 0.0318rad 2 2 2 P BC GI T L = = −0.0079rad AC = AB + BC = 0.0318rad −0.0079rad = 0.0239rad
图示一空心传动轴,轮1为主动轮,力偶矩M1=张KN·m,轮2、轮3、 例题 轮4为从动轮,力偶矩分别为M2=4KNm,M3=3.5KN·m,M 3.8 5KN·m。已知空心軸内外径之比d/D=1/2,试设计此轴的外径D,并 求出全轴两端的相对扭转角φ240G=80GPa,「τ=60MPao M may max c《国 500 500 500 4kN 221 =0.00734rd P 1 5kN 113 5 913 0.00917rd glo 34 000275rad 924=921+913+934=-0.00458rad G P
图示一空心传动轴，轮1为主动轮，力偶矩M1＝9KN·m，轮2、轮3、 轮4为从动轮,力偶矩分别为M2＝4KN·m，M3＝3.5KN·m，M4＝ 1.5KN·m。已知空心轴内外径之比d/D＝1/2，试设计此轴的外径D，并 求出全轴两端的相对扭转角φ24。G＝80GPa，［τ］＝60MPa。 5kN 1.5kN 4kN 例题 3.8 500 500 M1 M2 M3 M4 500 ( ) 4 3 1 16 = − D WP W Tmax P ( ) 4 max 3 1 16 D T − ( ) 3 4 3 max 1 16 − T D D = 78mm d = =7639.7 mmmm GIP T21L 21 = = 0.00734rad GIP T13L 13 = = −0.00917rad GIP T34L 34 = = −0.00275rad 24 =21 +13 +34 = −0.00458rad
已知钻探机杆的外径D=60mm,内径d=50mm,功率P=7.35kW 例题转速n=180mn,站杆入土深度L=40m,G=80Pa,[r1=40MPa。 3,9 设土壤对钻杄的阻力是沿长度均勺分布的,试求:(1)单位长度上土 壤对钻杆的阻力矩M;(2)作钻杆的扭矩图,并进行强度校核;(3) 求A、B两截面相对扭转角。 M=t-395Nmm T=95502=-390Nm单长度取力想30×107 M 7AP66 max Wo n60 60 T(x AB P A r=Mix B B T 32×390×40 qAB=aG1n280×16ea 女×(604-504)x10-2×2
已知钻探机杆的外径D=60mm，内径d=50mm，功率P=7.35kW， 转速n=180r/min，钻杆入土深度L=40m，G=80GPa，[τ]=40MPa。 设土壤对钻杆的阻力是沿长度均匀分布的，试求：（1）单位长度上土 壤对钻杆的阻力矩M；（2）作钻杆的扭矩图，并进行强度校核；（3） 求A、B两截面相对扭转角。 M A l B A B T (x) x T 例题 3.9 n P T 3 = 9.5510 = 390Nm 单位长度阻力矩 L T M = m Nm 40 390 = m = 9.75Nm WP T max = 16 60 50 60 1 390 10 4 3 3 − = =17.7MPa ( ) = l P AB GI T x dx 0 T(x) = Mx x L T = dx GI l x Tl P AB = 0 2 l GI T P = • 80 10 (60 50 ) 10 2 32 390 40 9 4 4 1 2 − = − = 0.148rad
但一内径为d、外径为D=2d的空心圆管与一直径为d的实 例题心圆杆结合成一组合圆轴,共同承受转矩M。固管与圆 3.0杆的材料不同,其切变模量分别为G1和C2,且C1=C2/2 假设两杆扭转变形肘无相对转动,且均处于线弹性范围。 试问两杄橫截面上的最大切应力之比τ〃/τ2为多大?并画 出沿半径方向的切应力变化规律。三 因两杆扭转变形肘无相对转动 TL 71G M。91=q2m D G pi D 2
一内径为d、外径为D=2d的空心圆管与一直径为d的实 心圆杆结合成一组合圆轴，共同承受转矩Me。圆管与圆 杆的材料不同，其切变模量分别为G1和G2，且G1=G2 /2， 假设两杆扭转变形时无相对转动，且均处于线弹性范围。 试问两杆横截面上的最大切应力之比τ1 /τ2为多大？并画 出沿半径方向的切应力变化规律。 d D (1) (2) Me 2 1 例题 3.10 因两杆扭转变形时无相对转动 1 =2 2 2 2 1 1 1 P P G I T L G I T L = 2 2 1 1 2 1 P P G I G I T T = 2 2 1 1 2 1 2 2 P P I d T I D T • • = d D T I T I P P = • 2 1 1 2 2 2 1 = G G = 1
一圆形截面杄和矩形截面杆受到相同扭矩T=400Nm作 例题用,圆杆直d=40m,矩形我面为60mm×20mm,试 3.1比较这西种杆的最大切应力和截面面积。 圆杆:zm T16T16×400×10 =31.9MPa x×40 4md212g02矩形面积与圆形面积相 Imm 4 近,但最大应力却增大了一 倍,且h/b之值越大,切应 矩形杆 h =3a=0.267力也越大,因此工程中应尽 b 量避免使用矩形截面杆作扭 转杆件。 T 400×103 =624mPa max ab2h0.267×202×60 A=bh=1200mm2
一圆形截面杆和矩形截面杆受到相同扭矩T=400Nm作 用，圆杆直径d=40mm，矩形截面为60mm×20mm，试 比较这两种杆的最大切应力和截面面积。 例题 3.11 圆杆: WP T max = 3 16 d T = 3 3 40 16 400 10 = = 31.9MPa 矩形杆: = 3 b h = 0.267 b h T max 2 = 0.267 20 60 400 10 2 3 = = 62.4MPa 2 2 1260 4 mm d A = = 2 A = bh =1200mm 矩形面积与圆形面积相 近.但最大应力却增大了一 倍,且 h/b之值越大，切应 力也越大，因此工程中应尽 量避免使用矩形截面杆作扭 转杆件
刚度条件 0 max y 0 180 m×≤[0 Gln丌
刚度条件 max ( ) m 0 0 max 180 GIP T
§6等直圆杆扭转时的应变能 单元体外力作功dW=(ahy)(rhx)= rydxdydz 2 dw= dy 应变能密度 2 dxdvdz 等直圆杆扭转时的应变能 a=∫ lp ax T dAd P dA 2 2G1, GⅠ
§6 等直圆杆扭转时的应变能 x y z dx dz dy dW = (dydz)• (dx) 2 1 单元体外力作功 dxdydz 2 1 = dW = dV 应变能密度 dV dV v = dxdydz dxdydz 2 1 = 2 1 = 等直圆杆扭转时的应变能 = V V v dV = l A v dAdx v 2 1 = G = = l A dAdx G V 2 2 P I T = = A P dA I T G l 2 2 2 GIP T l 2 2 =