D0L:10.13374.issn1001-053x.2011.04.015 第33卷第4期 北京科技大学学报 Vol.33 No.4 2011年4月 Journal of University of Science and Technology Beijing Apr.2011 基于多尺度广义自洽模型对耐火材料损伤过程的模拟 刘昌明)区 王志刚2) 李友荣》熊智强) 1)武汉科技大学机械传动与制造工程湖北省重点实验室，武汉4300812)武汉科技大学耐火材料与高温陶瓷省部共建国家重点实验室培 有基地，武汉430081 ☒通信作者，E-mail:liuchangmingwh@gmail.com 摘要基于材料在受拉和受压状态下损伤机理不同的假设，在恒温条件下，以细观力学以及多尺度广义自洽模型为手段， 分别对耐火材料在两种受载状态下的损伤过程进行了研究，提出了一种模拟耐火材料在承受拉压载荷下非线性损伤行为的 方法.以镁碳质耐火材料为例，分别对材料在受到拉力和受到压力过程的损伤进行了模拟.结果表明，运用此方法对耐火材 料的非线性力学行为进行模拟与试验结果能够较好的吻合 关键词耐火材料：损伤：模拟：细观力学：界面 分类号TB35 Simulation of the damage of refractory materials based on a multi-scale general- ized self-consistent model LIU Chang-ming,WANG Zhi-gang2),LI You-rong,XIONG Zhi-qiang 1)Hubei Province Key Lab of Machine Transmission and Manufacturing Engineering.Wuhan University of Science and Technology,Wuhan 430081. China 2)Hubei Province Key Lab of Ceramics and Refractories.Wuhan University of Science and Technology,Wuhan 430081,China Corresponding author.E-mail:liuchangmingwh@gmail.com ABSTRACT Based on the assumption that the damage mechanisms of materials under tension and compression are different,the nonlinear damaging behavior of refractory materials was studied by micro-mechanics and a multi-scale generalized self consistent scheme (GSCS)model at constant temperature.A method of simulating the nonlinear damage behavior of refractory materials under loading was put forward.By utilizing this technique,the damage of magnesium carbon refractory was simulated under tension and compression.The results of simulation are in agreement with experimental data. KEY WORDS refractory materials:damage;simulation;micromechanics:interfaces 耐火材料自身的损伤与黏塑性，使其在受载时 者从显微结构入手对材料的损伤行为作出了解释， 产生偏离线性的行为，内部生成微观裂纹，并伴随拉 认为加载时产生的微裂纹位于碳黏合剂中，并在黏 压非对称和残余变形的现象.借助材料微观组成结 合剂中围绕骨料扩展，这种微裂纹的产生和扩展造 构对其宏观力学性能进行预测，并建立损伤过程中 成了耐火材料强度和刚度的丧失：同时碳黏合剂中 微观结构与宏观弹性性能之间的对应关系，对于材 片状石墨的滑动和压碎也是造成材料非线性力学行 料的设计与研究具有重要意义. 为的原因.力学工作者则分别从宏观和微观两个 目前，国内外学者对耐火材料的非线性力学行 角度分析，探究材料产生非线性损伤的机理. 为研究已做了很多工作1刀，总结出耐火材料的损 Schmitt等借助损伤力学和弹塑性力学，建立了耐 伤主要表现为残余应变以及刚度的降低.材料工作 火材料的本构模型，并利用有限元方法，解释了镁碳 收稿日期：2010-06-25 基金项目：湖北省教有厅重点项目(N。.D20091105):湖北省耐火材料与高温陶瓷重点实验室一省部共建国家重点实验室培有基地开放基 金资助项目(No.C201008):国家自然科学基金面上项目(No.51075310)
第 33 卷 第 4 期 2011 年 4 月 北京科技大学学报 Journal of University of Science and Technology Beijing Vol． 33 No． 4 Apr． 2011 基于多尺度广义自洽模型对耐火材料损伤过程的模拟 刘昌明1) 王志刚1，2) 李友荣1) 熊智强1) 1) 武汉科技大学机械传动与制造工程湖北省重点实验室，武汉 430081 2) 武汉科技大学耐火材料与高温陶瓷省部共建国家重点实验室培 育基地，武汉 430081 通信作者，E-mail: liuchangmingwh@ gmail． com 摘 要 基于材料在受拉和受压状态下损伤机理不同的假设，在恒温条件下，以细观力学以及多尺度广义自洽模型为手段， 分别对耐火材料在两种受载状态下的损伤过程进行了研究，提出了一种模拟耐火材料在承受拉压载荷下非线性损伤行为的 方法． 以镁碳质耐火材料为例，分别对材料在受到拉力和受到压力过程的损伤进行了模拟． 结果表明，运用此方法对耐火材 料的非线性力学行为进行模拟与试验结果能够较好的吻合． 关键词 耐火材料; 损伤; 模拟; 细观力学; 界面 分类号 TB35 Simulation of the damage of refractory materials based on a multi-scale generalized self-consistent model LIU Chang-ming1) ，WANG Zhi-gang1，2) ，LI You-rong1) ，XIONG Zhi-qiang1) 1) Hubei Province Key Lab of Machine Transmission and Manufacturing Engineering，Wuhan University of Science and Technology，Wuhan 430081， China 2) Hubei Province Key Lab of Ceramics and Refractories，Wuhan University of Science and Technology，Wuhan 430081，China Corresponding author，E-mail: liuchangmingwh@ gmail． com ABSTRACT Based on the assumption that the damage mechanisms of materials under tension and compression are different，the nonlinear damaging behavior of refractory materials was studied by micro-mechanics and a multi-scale generalized self consistent scheme ( GSCS) model at constant temperature． A method of simulating the nonlinear damage behavior of refractory materials under loading was put forward． By utilizing this technique，the damage of magnesium carbon refractory was simulated under tension and compression． The results of simulation are in agreement with experimental data． KEY WORDS refractory materials; damage; simulation; micromechanics; interfaces 收稿日期: 2010--06--25 基金项目: 湖北省教育厅重点项目( No． D20091105) ; 湖北省耐火材料与高温陶瓷重点实验室———省部共建国家重点实验室培育基地开放基 金资助项目( No． G201008) ; 国家自然科学基金面上项目( No． 51075310) 耐火材料自身的损伤与黏塑性，使其在受载时 产生偏离线性的行为，内部生成微观裂纹，并伴随拉 压非对称和残余变形的现象． 借助材料微观组成结 构对其宏观力学性能进行预测，并建立损伤过程中 微观结构与宏观弹性性能之间的对应关系，对于材 料的设计与研究具有重要意义． 目前，国内外学者对耐火材料的非线性力学行 为研究已做了很多工作［1--7］，总结出耐火材料的损 伤主要表现为残余应变以及刚度的降低． 材料工作 者从显微结构入手对材料的损伤行为作出了解释， 认为加载时产生的微裂纹位于碳黏合剂中，并在黏 合剂中围绕骨料扩展，这种微裂纹的产生和扩展造 成了耐火材料强度和刚度的丧失; 同时碳黏合剂中 片状石墨的滑动和压碎也是造成材料非线性力学行 为的原因［2］． 力学工作者则分别从宏观和微观两个 角度 分 析，探 究 材 料 产 生 非 线 性 损 伤 的 机 理． Schmitt 等［3］借助损伤力学和弹塑性力学，建立了耐 火材料的本构模型，并利用有限元方法，解释了镁碳 DOI:10.13374/j.issn1001-053x.2011.04.015
第4期 刘昌明等：基于多尺度广义自洽模型对耐火材料损伤过程的模拟 ·469· 质耐火材料的非线性力学行为：但该方法涉及许多 场对失效的复杂判别过程，使材料在受损过程中的 材料参数，这些参数的确定需建立在大量的试验基 非线性力学行为能够通过定量的方式方达 础上，因而这种方法的适用性不强。Robin等a从热 1.2受压损伤行为假设 膨胀系数角度考虑材料的损伤过程，提出了用于判 当材料受到压力时，基质一骨料边界将保持闭 定损伤程度的损伤函数描述材料的非线性损伤过 合，在这种载荷下，由于基质和骨料刚度的极大差 程，指出受载过程中的残余变形等于有效热膨胀系 异，微裂纹会在基质中萌生和扩展，并最终导致材料 数的差值与温度差值的乘积，并利用该方法模拟出 破坏.在这个过程中，将基质相的损伤过程看作其 了耐火材料受载过程中的非线性行为：但该方法中 与气孔相逐步均匀化的过程，如图2所示.因此基 损伤函数的提出并没有物理根据，所以到目前为止 质相自身的刚度会逐渐降低，而此过程中颗粒相的 还不能够很好地解决损伤函数的定义问题.Bur 刚度保持不变，同时基质一骨料边界将保持闭合 等4]从界面损伤的角度考虑，利用细观力学方法 颗粒相 颗粒相 解释材料的宏观强度：但文章中只给出了材料的几 种破坏假设，没有实际模拟材料的非线性损伤过程. 本文提出了一种模拟材料非线性力学行为的新 方法，避开复杂的损伤判别过程，在已知材料强度和 相组成成分的前提下，先分别给出损伤假设，然后运 用细观力学及多尺度广义自洽模型对镁碳质耐火材 与气孔融合后 基质相 刚度降低的 料的损伤过程进行模拟. 某质相 图2受压损伤的简化过程 1非线性力学行为新假设 Fig.2 Simplified process of damage under compression 1.1受拉损伤行为假设 1.3耐火材料的细观力学模型 当材料受到拉力时，由于骨料与基质界面的黏 根据复合材料显微结构的空间分布，可利用相 结强度弱于基质相强度，骨料与基质的界面会逐渐 应的细观力学模型进行性能预测。耐火材料是典型 脱离.一旦该过程完成，骨料将不会对材料整体刚 的颗粒弥散多相复合材料，广义自洽模型是最适合 度作任何贡献，可以视其为气孔相.这里将耐火材 进行该类复合材料的性能预测的方法， 料的界面破坏近似成颗粒相体积分数减小和基质相 广义自洽模型的原理是将夹杂及其包围的介质 破坏相结合的过程，如图1所示.在此过程中，颗粒 嵌入性能未知的无限大的等效均匀介质中，在其边 相的一部分体积被气孔相所取代，同时新生成的气 界施加相应的边界条件，通过应力场的求解获得复 孔相与基质进行均匀化处理，形成带孔基质相，该相 合材料的等效性能9 由于气孔的摻入导致弹性模量的下降.在不考虑材 考虑一种非均质材料，它由N种各向同性成分 料断裂的情况下，当材料达到强度极限时，即认为界 组成，各相的体积模量为K,、切变模量为G,(图3中 面完全脱离，骨料不会对耐火材料的刚度做任何贡 P为基质相的性能，P,为颗粒相的性能，P为等效 献，最终材料以带气孔基质相的形式存在.该过程 均匀介质的性能).T等于1时对应连续相，「=2,3， 通过颗粒相的体积分数减小模拟界面逐渐脱离过 程，通过新生成的气孔相与基质相的融合模拟基质 相的破坏，从而有效简化了利用代表体积单元应力 基质相 体积分数变小后颗粒相 颗拉相 触合气孔后的基质相（弹性模量变小 ,, 界面完全脱粘，气孔与林质最终融合 形成的基质相（弹性模量变为最小） 不均匀介插 等效均匀介质 图1受拉损伤的简化过程 图3广义自洽模型 Fig.1 Simplified process of damage under tension Fig.3 Generalized self-consistent model
第 4 期 刘昌明等: 基于多尺度广义自洽模型对耐火材料损伤过程的模拟 质耐火材料的非线性力学行为; 但该方法涉及许多 材料参数，这些参数的确定需建立在大量的试验基 础上，因而这种方法的适用性不强． Robin 等［2］从热 膨胀系数角度考虑材料的损伤过程，提出了用于判 定损伤程度的损伤函数描述材料的非线性损伤过 程，指出受载过程中的残余变形等于有效热膨胀系 数的差值与温度差值的乘积，并利用该方法模拟出 了耐火材料受载过程中的非线性行为; 但该方法中 损伤函数的提出并没有物理根据，所以到目前为止 还不能够很好地解决损伤函数的定义问题． Burr 等［4--7］从界面损伤的角度考虑，利用细观力学方法 解释材料的宏观强度; 但文章中只给出了材料的几 种破坏假设，没有实际模拟材料的非线性损伤过程． 本文提出了一种模拟材料非线性力学行为的新 方法，避开复杂的损伤判别过程，在已知材料强度和 相组成成分的前提下，先分别给出损伤假设，然后运 用细观力学及多尺度广义自洽模型对镁碳质耐火材 料的损伤过程进行模拟． 1 非线性力学行为新假设 图 1 受拉损伤的简化过程 Fig． 1 Simplified process of damage under tension 1. 1 受拉损伤行为假设 当材料受到拉力时，由于骨料与基质界面的黏 结强度弱于基质相强度，骨料与基质的界面会逐渐 脱离． 一旦该过程完成，骨料将不会对材料整体刚 度作任何贡献，可以视其为气孔相． 这里将耐火材 料的界面破坏近似成颗粒相体积分数减小和基质相 破坏相结合的过程，如图 1 所示． 在此过程中，颗粒 相的一部分体积被气孔相所取代，同时新生成的气 孔相与基质进行均匀化处理，形成带孔基质相，该相 由于气孔的掺入导致弹性模量的下降． 在不考虑材 料断裂的情况下，当材料达到强度极限时，即认为界 面完全脱离，骨料不会对耐火材料的刚度做任何贡 献，最终材料以带气孔基质相的形式存在． 该过程 通过颗粒相的体积分数减小模拟界面逐渐脱离过 程，通过新生成的气孔相与基质相的融合模拟基质 相的破坏，从而有效简化了利用代表体积单元应力 场对失效的复杂判别过程，使材料在受损过程中的 非线性力学行为能够通过定量的方式方达． 1. 2 受压损伤行为假设 当材料受到压力时，基质--骨料边界将保持闭 合，在这种载荷下，由于基质和骨料刚度的极大差 异，微裂纹会在基质中萌生和扩展，并最终导致材料 破坏． 在这个过程中，将基质相的损伤过程看作其 与气孔相逐步均匀化的过程，如图 2 所示． 因此基 质相自身的刚度会逐渐降低，而此过程中颗粒相的 刚度保持不变，同时基质--骨料边界将保持闭合． 图 2 受压损伤的简化过程 Fig． 2 Simplified process of damage under compression 1. 3 耐火材料的细观力学模型 根据复合材料显微结构的空间分布，可利用相 应的细观力学模型进行性能预测． 耐火材料是典型 的颗粒弥散多相复合材料，广义自洽模型是最适合 进行该类复合材料的性能预测的方法［8］． 广义自洽模型的原理是将夹杂及其包围的介质 嵌入性能未知的无限大的等效均匀介质中，在其边 界施加相应的边界条件，通过应力场的求解获得复 合材料的等效性能［9］． 图 3 广义自洽模型 Fig． 3 Generalized self-consistent model 考虑一种非均质材料，它由 N 种各向同性成分 组成，各相的体积模量为 Kr、切变模量为 Gr ( 图 3 中 P1为基质相的性能，Pr为颗粒相的性能，Peff为等效 均匀介质的性能) ． r 等于 1 时对应连续相，r = 2，3， ·469·
·470… 北京科技大学学报 第33卷 …,V时对应不同的颗粒相.耐火材料为夹杂弥散 复合材料，其微观结构由任意分布的复合球组装而 2[63.(总-l+2mm]c+ 成，因此复合材料的等效体积模量K、等效切变模 量G仍保持各向同性 252会-1m,c-50(总-17- 等效刚度可通过在外边界(r→∞)施加均匀边 12ym+82)2C:+47-10y)7273(6) 界条件计算得到： U(S)= (1) B=-41-5(e-1nc+ 式中：U为位移场：S为复合材料骨料的外边界；s写 为约束应变张量；，为直角坐标系统.应变张量是 46s:(总-l+2]c- 球张量e=e8,或偏张量s2=s,8,为Kronecker8. 04(总-1n.c+150(2-1小3- 等效弹性性能可表示为 (7) Ka=K1+∑C,(K,-K) e〉 v)2C-34(7-15v）2ms 38 (2) D=-47-5(总-1n.c- G.-G+G(G-G)- i2） 84 2[63(总-1+2mm]c+ 式中，C,为r相的体积分数〈s〉和s2)为在条件 (1)下骨料相的平均应变. 22(2-1n.+25(总-- 由于材料的四个弹性常数（体积模量K、切变模 7)2C:-(7+5ym)27 (8) 量G、弹性模量E和泊松比)中只有两个独立量， 系数A、B、D中的71、2和7由式(9)、(10)和 可根据式(3)从K、G、E和v中任意两个弹性常数确 (11)确定： 定出其他两个弹性常数.由求得的体积模量K和切 变模量G,利用弹性模量E、泊松比v和Lame系数入 =(7+5)(7-10mn)-(7-10p,)(7+5v.) 之间的关系可计算出材料的弹性性能 (9) E=G(3A+2G) 入+G (7+5m)-47-10W 72= G (10) 3K-2G 2入+2G (3) =2(8-10.)+(7-5m） (11) A=~子c 可见，对于两相复合材料，在骨料、基质和等效 材料三者之中已知其中两个的材料性能，则可以利 当复合材料为两相时，等效弹性性能可以由下 用广义自洽模型计算出另一个材料的性能 面的解析式确定.下列各式中，K为体积模量，G为 1.4模拟步骤 切变模量，E为弹性模量，”为泊松比，C为体积分 基质相的体积分数为Cm,颗粒相的体积分数为 数，下标i、m和ef分别表示颗粒（骨料）相、基质相 和均质化后材料的等效性能. C,将颗粒相的失效平均化为N步，第n次迭代过程 等效体积弹性模量可以表示为 中转化的界面相体积分数为C:/N. 第一次均匀化：在第n步迭代中，基质相与界面 KE=Km+ Ci(K:-K) 相均匀化.注意到，界面相此时作为夹杂相的体积 1+(1-C)(K-K)1(K+等c） 分数为(C/N)/八Cm+nC,/NM. (4) 第二次均匀化：在第n步迭代中，新基质相与剩 等效切变模量满足以下方程： 余颗粒相均匀化，此时颗粒相的体积分数为(C:- A(2)+B(）+D=0 nC/N). (5) 图4为利用广义自洽模型对损伤破坏简化的计 其中，方程的系数A、B和D由式(6)、(7)和(8) 算过程. 确定 1.5由弹性模量和应力的对应关系推导应力应变 A=84-5(-1nmc- 关系 通过上述模拟过程得出E(σ)，由材料力学已
北 京 科 技 大 学 学 报 第 33 卷 …，N 时对应不同的颗粒相． 耐火材料为夹杂弥散 复合材料，其微观结构由任意分布的复合球组装而 成，因此复合材料的等效体积模量 Keff、等效切变模 量 Geff仍保持各向同性． 等效刚度可通过在外边界( r→$) 施加均匀边 界条件计算得到: Ui ( S) = ε0 ij xj ( 1) 式中: Ui 为位移场; S 为复合材料骨料的外边界; ε0 ij 为约束应变张量; xj 为直角坐标系统． 应变张量是 球张量 ε0 ij = εs δij或偏张量 ε0 12 = εd ，δij为 Kronecker δ． 等效弹性性能可表示为 Keff = K1 + ∑ N r = 2 Cr( Kr － K1 ) 〈εr ii〉 3εs Geff = G1 + ∑ N r = 2 Cr( Gr － G1 ) 〈εr 12〉 3ε { d ( 2) 式中，Cr 为 r 相的体积分数; 〈εr ii〉和〈εr 12〉为在条件 ( 1) 下骨料相的平均应变． 由于材料的四个弹性常数( 体积模量 K、切变模 量 G、弹性模量 E 和泊松比 ν) 中只有两个独立量， 可根据式( 3) 从 K、G、E 和 ν 中任意两个弹性常数确 定出其他两个弹性常数． 由求得的体积模量 K 和切 变模量 G，利用弹性模量 E、泊松比 ν 和 Lame 系数 λ 之间的关系可计算出材料的弹性性能． E = G( 3λ + 2G) λ + G ν = 3K － 2G 2λ + 2G λ = K － 2 3 G ( 3) 当复合材料为两相时，等效弹性性能可以由下 面的解析式确定． 下列各式中，K 为体积模量，G 为 切变模量，E 为弹性模量，ν 为泊松比，C 为体积分 数，下标 i、m 和 eff 分别表示颗粒( 骨料) 相、基质相 和均质化后材料的等效性能． 等效体积弹性模量可以表示为 Keff = Km + Ci ( Ki － Km ) 1 + ( 1 － Ci ) ( Ki － Km ) ( / Km + 4 3 Gm ) ( 4) 等效切变模量满足以下方程: A ( Geff G ) m 2 + B ( Geff G ) m + D = 0 ( 5) 其中，方程的系数 A、B 和 D 由式( 6) 、( 7) 和( 8) 确定． A = 8( 4 － 5νm ( ) Gi Gm － 1 ) η1C10 /3 i － 2 [ 63η2 ( Gi Gm － 1 ) + 2η1η2 ] C7 /3 i + 252 ( Gi Gm － 1 ) η2C5 /3 i － 50 ( Gi Gm － 1 ) ( 7 － 12νm + 8ν 2 m ) η2Ci + 4( 7 － 10νm ) η2η3 ( 6) B = － 4( 1 － 5νm ( ) Gi Gm － 1 ) η1C10 /3 i + 4 [ 63η2 ( Gi Gm － 1 ) + 2η1η2 ] C7 /3 i － 504 ( Gi Gm － 1 ) η2C5 /3 i + 150 ( Gi Gm － 1 ) ( 3 － νm ) η2Ci － 34( 7 － 15νm ) η2η3 ( 7) D = － 4( 7 － 5νm ( ) Gi Gm － 1 ) η1C10 /3 i － 2 [ 63η2 ( Gi Gm － 1 ) + 2η1η2 ] C7 /3 i + 252 ( Gi Gm － 1 ) η2C5 /3 i + 25 ( Gi Gm － 1 ) ( ν 2 m － 7) η2Ci － ( 7 + 5νm ) η2η3 ( 8) 系数 A、B、D 中的 η1、η2 和 η3 由式( 9) 、( 10) 和 ( 11) 确定: η1 = Gi Gm ( 7 + 5νi ) ( 7 － 10νm ) － ( 7 － 10νi ) ( 7 + 5νm ) ( 9) η2 = Gi Gm ( 7 + 5νi ) － 4( 7 － 10νi ) ( 10) η3 = Gi Gm ( 8 － 10νm ) + ( 7 － 5νm ) ( 11) 可见，对于两相复合材料，在骨料、基质和等效 材料三者之中已知其中两个的材料性能，则可以利 用广义自洽模型计算出另一个材料的性能． 1. 4 模拟步骤 基质相的体积分数为 Cm，颗粒相的体积分数为 Ci，将颗粒相的失效平均化为 N 步，第 n 次迭代过程 中转化的界面相体积分数为 Ci /N． 第一次均匀化: 在第 n 步迭代中，基质相与界面 相均匀化． 注意到，界面相此时作为夹杂相的体积 分数为( Ci /N) /( Cm + nCi /N) ． 第二次均匀化: 在第 n 步迭代中，新基质相与剩 余颗粒相均匀化，此时颗粒相的体积分数为( Ci － nCi /N) ． 图 4 为利用广义自洽模型对损伤破坏简化的计 算过程． 1. 5 由弹性模量和应力的对应关系推导应力应变 关系 通过上述模拟过程得出 E( σ) ，由材料力学已 ·470·
第4期 刘昌明等：基于多尺度广义自治模型对耐火材料损伤过程的模拟 ·471 表1镁碳质耐火材料的组成 式 31-5 Table 1 Composition of magnesia carbon refractory 带孔基质 式 E..C 新气孔 3-5材料宏视 化学成分（质量分数）/% 相组成（体积分数）/% A 体积分数减少 属性 Mgo C Al303 不连续相连续相 的颗粒相 82.95 C-PIN 13.07 0.72 0.61 65 35 图4破坏简化的计算过程 该耐火材料可看作是两相复合材料，颗粒相为 Fig.4 Simp lified process of calculations Mg0,基质相为C相.常温下该耐火材料的气孔率 知关系式E(σ)=dσ/de,通过积分可以得出此表达 很低为2.4%，暂且忽略不计.表2列出了颗粒相 关系： MgO和基质相C的弹性性能☒ (1 do s=E(o) (12) 表2各相的弹性性能 Table 2 The elastic property of all phases 在这里，由于E(σ)是不连续的表达式，可以利 组分 弹性模量，E/GPa 泊松比，y 用以上积分关系式，采用增量理论，推出σ-ε的对 Mgo 248 0.23 应关系： 0.12 孔洞 g1-g=En,n=0,1,…N (13) En+l-En 根据颗粒相和基质相的局部性能以及各自的相 2 镁碳质耐火材料的性能预测 组成，利用式(2)解出等效体积弹性模量和等效切 变模量.由于材料的弹性常数只有两个独立，可根 镁碳质耐火材料由在碳结合剂中嵌入的不同尺 据体积模量、切变模量、泊松比和弹性模量四者之间 寸的镁砂骨料所组成，并含有金属铝颗粒添加物，其 的相互关系求出弹性模量和泊松比.利用多尺度广 力学性能在很大程度上取决于这些相的内在性能和 义自洽模型预测的镁碳耐火材料的弹性模量为 体积分数以及它们的空间分布，因此有必要对各相 22.98GPa,泊松比为0.15.文献中报道的该种耐火 进行简单描述.在图5中所示的典型微观结构说明 材料在压缩试验中得到的弹性模量为22.6GPa,泊 材料的不均匀性.通过观察可以发现，最初存在的 松比为0.2 微裂纹主要位于结合剂之中，并在界面和基质相中 图6为利用广义自洽模型对该种镁碳质耐火材 扩散，故微裂纹是强度和刚性损失的原因. 料进行多步均匀化处理的步骤 孔洞 1) 第一尺度 带孔碳 M:0 总体尺度 镁碳质蜡火材料 注m为基质相，：为夹杂或颗粒相 图5镁碳耐火材料的典型显微结构[0 图6镁碳质耐火材料的多尺度广义自洽模型 Fig.5 Typical microstructure of magnesia carbon refractory[] Fig.6 Multi-scale generalized self-consistent model of magnesium- 从力学观点看，该种非均质材料由两种相组成： carbon refractory ①镁砂骨料可看作是一种不连续相；②连续相包括 第一尺度均匀化：耐火材料的黏合剂由无定形 碳结合剂、镁砂细颗粒、片状石墨和附加的金属元 碳、石墨、孔洞和微裂纹组成.无定形碳和石墨有相 素.表1中列出了该种耐火材料的化学成分和相组 近的性能，它们都含有高密度的微观裂纹，这些裂纹 成.其由镁砂与石墨组成，用树脂作为黏合剂，在 减弱了它们力学性能的差异.石墨片的分散性减弱 20~50℃下高压混炼成型，然后在500℃的中性气 了其较强的各向异性性能.材料中相连的气孔主要 氛下保温10h,开始热解并析出挥发物. 位于碳相.基于这种原因，可以利用两相多尺度广
第 4 期 刘昌明等: 基于多尺度广义自洽模型对耐火材料损伤过程的模拟 图 4 破坏简化的计算过程 Fig． 4 Simp lified process of calculations 知关系式 E( σ) = dσ/dε，通过积分可以得出此表达 关系: ε = ∫ 1 E( σ) dσ ( 12) 在这里，由于 E( σ) 是不连续的表达式，可以利 用以上积分关系式，采用增量理论，推出 σ － ε 的对 应关系: σn + 1 － σn εn + 1 － εn = En，n = 0，1，…，N ( 13) 2 镁碳质耐火材料的性能预测 镁碳质耐火材料由在碳结合剂中嵌入的不同尺 寸的镁砂骨料所组成，并含有金属铝颗粒添加物，其 力学性能在很大程度上取决于这些相的内在性能和 体积分数以及它们的空间分布，因此有必要对各相 进行简单描述． 在图 5 中所示的典型微观结构说明 材料的不均匀性． 通过观察可以发现，最初存在的 微裂纹主要位于结合剂之中，并在界面和基质相中 扩散，故微裂纹是强度和刚性损失的原因． 图 5 镁碳耐火材料的典型显微结构［10］ Fig． 5 Typical microstructure of magnesia carbon refractory ［10］ 从力学观点看，该种非均质材料由两种相组成: ①镁砂骨料可看作是一种不连续相; ②连续相包括 碳结合剂、镁砂细颗粒、片状石墨和附加的金属元 素． 表 1 中列出了该种耐火材料的化学成分和相组 成． 其由镁砂与石墨组成，用树脂作为黏合剂，在 20 ～ 50 ℃ 下高压混炼成型，然后在 500 ℃ 的中性气 氛下保温 10 h，开始热解并析出挥发物． 表 1 镁碳质耐火材料的组成 Table 1 Composition of magnesia carbon refractory 化学成分( 质量分数) /% 相组成( 体积分数) /% MgO C SiO2 Al3O3 不连续相 连续相 82. 95 13. 07 0. 72 0. 61 65 35 该耐火材料可看作是两相复合材料，颗粒相为 MgO，基质相为 C 相． 常温下该耐火材料的气孔率 很低为 2. 4% ，暂且忽略不计． 表 2 列出了颗粒相 MgO 和基质相 C 的弹性性能［2］． 表 2 各相的弹性性能 Table 2 The elastic property of all phases 组分 弹性模量，E /GPa 泊松比，ν MgO 248 0. 23 C 5 0. 12 孔洞 — — 根据颗粒相和基质相的局部性能以及各自的相 组成，利用式( 2) 解出等效体积弹性模量和等效切 变模量． 由于材料的弹性常数只有两个独立，可根 据体积模量、切变模量、泊松比和弹性模量四者之间 的相互关系求出弹性模量和泊松比． 利用多尺度广 义自洽模型预测的镁碳耐火材料的弹性模量为 22. 98 GPa，泊松比为 0. 15． 文献中报道的该种耐火 材料在压缩试验中得到的弹性模量为 22. 6 GPa，泊 松比为 0. 2 ［2］． 图 6 为利用广义自洽模型对该种镁碳质耐火材 料进行多步均匀化处理的步骤． 图 6 镁碳质耐火材料的多尺度广义自洽模型 Fig． 6 Multi-scale generalized self-consistent model of magnesiumcarbon refractory 第一尺度均匀化: 耐火材料的黏合剂由无定形 碳、石墨、孔洞和微裂纹组成． 无定形碳和石墨有相 近的性能，它们都含有高密度的微观裂纹，这些裂纹 减弱了它们力学性能的差异． 石墨片的分散性减弱 了其较强的各向异性性能． 材料中相连的气孔主要 位于碳相． 基于这种原因，可以利用两相多尺度广 ·471·
·472… 北京科技大学学报 第33卷 义自洽模型计算多孔碳基质的性能 在材料受压过程中，气孔则直接与基质相进行均匀 第二尺度均匀化：所有的骨料被多孔碳相包围， 化处理，然后再按照图6所示进行与颗粒相的总体 用两相多尺度广义自洽模型计算镁碳质耐火材料的 尺度均匀化.此过程采用线性迭代，将Mg0通过10 总体热弹性能 步迭代赋给气孔相.计算结果列于表3和表4.按 在材料受拉过程中，由于损伤界面连续被基质 照弹塑性力学中的格里菲斯理论，复合材料的断裂 相吞噬，气孔在第一步均匀化中作为颗粒相，其初始 强度为E7,所以在这里，有效弹性模量只取值前4 体积分数为0，从而可以按照图6进行两步均匀化： 步的计算结果 表3连续拉伸过程中各相的弹性性能 Table 3 Elastic property of phases under tension 第一步均匀化气 第一步均匀化 第二步均匀化 第二步均匀化 加权等效为拉伸 迭代 Mg0质量 C质量 气孔体积 孔在连续相中体 后连续相的弹 颗粒相的体积 后总体弹性 应力下的弹性 步数 分数/% 分数/% 分数/% 积分数/% 性模量/GPa 分数/% 模量/GPa 模量/GPa 0 65.0 35 0.0 0.00 5.00 65.0 22.98 35.90 58.5 35 6.5 15.66 3.64 58.5 13.99 21.86 52.0 35 13.0 13.54 2.77 52.0 8.93 13.96 3 45.5 35 19.5 11.93 2.18 45.5 5.94 9.28 39.0 的 26.0 10.66 1.76 39.0 4.08 6.37 5 32.5 35 32.5 9.63 1.45 32.5 2.88 4.50 6 26.0 39.0 8.78 1.21 26.0 2.08 3.26 > 19.5 35 45.5 8.07 1.03 19.5 1.54 2.40 8 13.0 35 52.0 7.47 0.89 13.0 1.15 1.80 9 6.5 35 58.5 6.95 0.7 6.5 0.88 1.37 10 0.0 35 65.0 6.50 0.68 0.0 0.68 1.06 表4连续受压过程中各相的弹性性能 Table 4 Elastic property of phases under compression 迭代 MgO质量C质量 气孔体积 第一步均匀化气孔在 第一步均匀化后连续 第二步均匀化颗粒 第二步均匀化后总 步数 分数/% 分数/% 分数/% 连续相中体积分数/% 相的弹性模量/GPa 相的体积分数/% 体弹性模量/GPa 0 65 35.0 0.0 0 5.00 65 22.98 的 31.5 3.5 10 4.66 65 21.00 2 65 28.0 7.0 20 3.81 65 17.93 24.5 10.5 30 3.12 65 14.86 4 65 21.0 14.0 40 2.55 65 12.29 17.5 17.5 50 2.08 65 10.12 6 65 14.0 21.0 60 1.70 65 8.34 7 65 10.5 24.5 70 1.39 65 6.87 7.0 28.0 80 1.13 65 5.61 65 3.5 31.5 90 0.92 65 4.59 10 65 0.0 35.0 100 0.75 65 3.76 料内部颗粒相的体积分数对损伤过程中弹性模量的 3 结果分析及讨论 影响.对比结果发现，颗粒相体积分数增高能够提 从模拟结果可以看出，运用此方法对耐火材料 高材料初始弹性模量，但也会使材料的损伤速率加 的非线性力学行为进行模拟是可行的，对材料在受 快，导致材料表现出更明显的脆性.图8为在受压 到拉力和受到压力过程的损伤进行了模拟，都能够 状态下弹性模量随应力的变化曲线，图9显示材料 较好地与试验结果吻合.图7显示了受拉状态下材 从拉力到压力状态下的应力应变曲线.从图9中发
北 京 科 技 大 学 学 报 第 33 卷 义自洽模型计算多孔碳基质的性能． 第二尺度均匀化: 所有的骨料被多孔碳相包围， 用两相多尺度广义自洽模型计算镁碳质耐火材料的 总体热弹性能． 在材料受拉过程中，由于损伤界面连续被基质 相吞噬，气孔在第一步均匀化中作为颗粒相，其初始 体积分数为 0，从而可以按照图 6 进行两步均匀化; 在材料受压过程中，气孔则直接与基质相进行均匀 化处理，然后再按照图 6 所示进行与颗粒相的总体 尺度均匀化． 此过程采用线性迭代，将 MgO 通过 10 步迭代赋给气孔相． 计算结果列于表 3 和表 4． 按 照弹塑性力学中的格里菲斯理论，复合材料的断裂 强度为 E /7，所以在这里，有效弹性模量只取值前 4 步的计算结果． 表 3 连续拉伸过程中各相的弹性性能 Table 3 Elastic property of phases under tension 迭代 步数 MgO 质量 分数/% C 质量 分数/% 气孔体积 分数/% 第一步均匀化气 孔在连续相中体 积分数/% 第一步均匀化 后连续相的弹 性模量/GPa 第二步均匀化 颗粒相的体积 分数/% 第二步均匀化 后总体弹性 模量/GPa 加权等效为拉伸 应力下的弹性 模量/GPa 0 65. 0 35 0. 0 0. 00 5. 00 65. 0 22. 98 35. 90 1 58. 5 35 6. 5 15. 66 3. 64 58. 5 13. 99 21. 86 2 52. 0 35 13. 0 13. 54 2. 77 52. 0 8. 93 13. 96 3 45. 5 35 19. 5 11. 93 2. 18 45. 5 5. 94 9. 28 4 39. 0 35 26. 0 10. 66 1. 76 39. 0 4. 08 6. 37 5 32. 5 35 32. 5 9. 63 1. 45 32. 5 2. 88 4. 50 6 26. 0 35 39. 0 8. 78 1. 21 26. 0 2. 08 3. 26 7 19. 5 35 45. 5 8. 07 1. 03 19. 5 1. 54 2. 40 8 13. 0 35 52. 0 7. 47 0. 89 13. 0 1. 15 1. 80 9 6. 5 35 58. 5 6. 95 0. 77 6. 5 0. 88 1. 37 10 0. 0 35 65. 0 6. 50 0. 68 0. 0 0. 68 1. 06 表 4 连续受压过程中各相的弹性性能 Table 4 Elastic property of phases under compression 迭代 步数 MgO 质量 分数/% C 质量 分数/% 气孔体积 分数/% 第一步均匀化气孔在 连续相中体积分数/% 第一步均匀化后连续 相的弹性模量/GPa 第二步均匀化颗粒 相的体积分数/% 第二步均匀化后总 体弹性模量/GPa 0 65 35. 0 0. 0 0 5. 00 65 22. 98 1 65 31. 5 3. 5 10 4. 66 65 21. 00 2 65 28. 0 7. 0 20 3. 81 65 17. 93 3 65 24. 5 10. 5 30 3. 12 65 14. 86 4 65 21. 0 14. 0 40 2. 55 65 12. 29 5 65 17. 5 17. 5 50 2. 08 65 10. 12 6 65 14. 0 21. 0 60 1. 70 65 8. 34 7 65 10. 5 24. 5 70 1. 39 65 6. 87 8 65 7. 0 28. 0 80 1. 13 65 5. 61 9 65 3. 5 31. 5 90 0. 92 65 4. 59 10 65 0. 0 35. 0 100 0. 75 65 3. 76 3 结果分析及讨论 从模拟结果可以看出，运用此方法对耐火材料 的非线性力学行为进行模拟是可行的，对材料在受 到拉力和受到压力过程的损伤进行了模拟，都能够 较好地与试验结果吻合． 图 7 显示了受拉状态下材 料内部颗粒相的体积分数对损伤过程中弹性模量的 影响． 对比结果发现，颗粒相体积分数增高能够提 高材料初始弹性模量，但也会使材料的损伤速率加 快，导致材料表现出更明显的脆性． 图 8 为在受压 状态下弹性模量随应力的变化曲线，图 9 显示材料 从拉力到压力状态下的应力应变曲线． 从图 9 中发 ·472·
第4期 刘昌明等：基于多尺度广义自洽模型对耐火材料损伤过程的模拟 ·473 现，受拉过程中加载初期预测值比试验值要小，这是 压状态下的初始弹性模量，默认为材料处于无损伤 由于材料的脆性造成，但加载末期试验值与预测值 状态：而本模型之所以能够在材料拉伸过程中运用 的大小逐渐吻合，说明按照此种简化方式能够较好 广义自洽方法是因为每次连续相“吞噬”了破损界 地模拟出材料非线性过程的变化趋势 面之后又可以看成是完好界面带入模型计算，只是 50 使用降低刚度的基质相取代了之前的基质相，所以 骨料体积分数为65%的质测值 40 件料体积分数为60修的预测值 迭代过程可以按照广义自洽模型计算再进行加权 713.35.9 骨料体积分数为70师的预测值 处理. 30 (2.621.86 4结论 3.9.13.9 10 529.665.64 本文从材料细观损伤入手，借助多尺度广义自 洽模型，对材料损伤过程进行了模拟，既很好地与试 3456 应力MPa 验值符合，又避免了复杂的损伤判别过程，从一个新 图7受拉过程中含不同颗粒相体积分数的材料弹性模量随应 的角度对耐火材料损伤行为进行了有益的探讨.同 力变化曲线 时，由于迭代计算过程中要用到多尺度广义自洽模 Fig.7 Curve of elastic modulus to stress of the materials with differ- 型，所以该模型的适用性对本模拟结果影响比较大. ent contents of grains under tension 由于多尺度广义自洽模型对受拉材料属性的预测还 需要经验公式配合，所以运用多尺度广义自洽模型 25 -3222.98-- 准确预测材料受拉状态下材料属性的工作将是笔者 20 ,-9.6.17.93) 进一步研究的重点 .-16.12.29 参考文献 -22.4.8.34 ·(-28.85.61 [1]Shashidhar N.Shenoy A.On using micromechanical models to de- ·-352.376 scribe dynamic mechanical behavior of asphalt mastics.Mech Ma- -30 -20 -10 0 ter.2002.3410):657 应力MPa [2]Robin J M,Berthand Y,Schmitt N.Thermomechanical behaviour 图8受压过程中材料弹性模量随应力变化曲线 of magnesia-carbon refractories.Br Ceram Trans,1998,97(1): Fig.8 Curve of elastic modulus to stress of the materials under com- 1 pression [3]Schmitt N.Berthaud Y,Themines D.et al.Modeling of the ther- momechanical behavior of magnesia carbon refractory materials// ·一拉应力实验值 056.4 Proceedings of UNITECR'95.Kyoto.1995:148 ·拉应力顶测值 0253.6 [4]Schmitt N,Burr A,Berthaud Y.et al.Micromechanics applied to 一压应力预测值 the thermal shock behavior of refractory ceramics.Mech Mater, 。压应力实验值 -10- (-0.684.-12.8 2002,3411):725 126-192 [5]Zhong Z.Meguid S A.On the elastic field of a spherical inhomo- -20 geneity with an imperfectly bonded interface.J Elast,1997.46 .(-21.-25.61 -30 -33,-32· (2):91 [6] Evans A G.Zok F W.MeMeeking R M.Fatigue of ceramic matrix 40 4 -2 composites.Acta Metall Mater,1995.43(3):859 应变10 [7]Hashin Z.The spherical inclusion with imperfect interface./Appl 图9应力一应变预测值与实验值对比☒ Mech,1991,58(2):444 Fig.9 Contrast between the stress-strain prediction and the experi- [8]Wang ZG.Li N.Kong J Y.et al.Prediction of properties of Alz mental[2] O;C refractory based on microstructure by an improved general- ized self-consistent scheme.Metall Mater Trans B,2005,36 耐火材料在进行拉、压和弯曲试验中获得的材 (10):577 料弹性模量差别比较大.以往，Schacht已从耐火材 9]Christensen R M.Lo K H.Solutions for effective shear properties in three phase sphere and cylinder models.I Mech Phys Solids 料大量试验中观测到这样的结果：从压力实验中得 1979,27(4):315 出的弹性模量，比从拉力实验中获得的要低 [10]Schmitt N.Berthaud Y.Poirier J.Tensile behaviour of magnesia 36%[2.同时，广义自洽模型只能用来预测材料受 carbon refractories.J Eur Ceram Soc,2000.20(12):2239
第 4 期 刘昌明等: 基于多尺度广义自洽模型对耐火材料损伤过程的模拟 现，受拉过程中加载初期预测值比试验值要小，这是 由于材料的脆性造成，但加载末期试验值与预测值 的大小逐渐吻合，说明按照此种简化方式能够较好 地模拟出材料非线性过程的变化趋势． 图 7 受拉过程中含不同颗粒相体积分数的材料弹性模量随应 力变化曲线 Fig． 7 Curve of elastic modulus to stress of the materials with different contents of grains under tension 图 8 受压过程中材料弹性模量随应力变化曲线 Fig． 8 Curve of elastic modulus to stress of the materials under compression 图 9 应力--应变预测值与实验值对比［2］ Fig． 9 Contrast between the stress-strain prediction and the experimental ［2］ 耐火材料在进行拉、压和弯曲试验中获得的材 料弹性模量差别比较大． 以往，Schacht 已从耐火材 料大量试验中观测到这样的结果: 从压力实验中得 出的 弹 性 模 量，比 从 拉 力 实 验 中 获 得 的 要 低 36%［2］． 同时，广义自洽模型只能用来预测材料受 压状态下的初始弹性模量，默认为材料处于无损伤 状态; 而本模型之所以能够在材料拉伸过程中运用 广义自洽方法是因为每次连续相“吞噬”了破损界 面之后又可以看成是完好界面带入模型计算，只是 使用降低刚度的基质相取代了之前的基质相，所以 迭代过程可以按照广义自洽模型计算再进行加权 处理． 4 结论 本文从材料细观损伤入手，借助多尺度广义自 洽模型，对材料损伤过程进行了模拟，既很好地与试 验值符合，又避免了复杂的损伤判别过程，从一个新 的角度对耐火材料损伤行为进行了有益的探讨． 同 时，由于迭代计算过程中要用到多尺度广义自洽模 型，所以该模型的适用性对本模拟结果影响比较大． 由于多尺度广义自洽模型对受拉材料属性的预测还 需要经验公式配合，所以运用多尺度广义自洽模型 准确预测材料受拉状态下材料属性的工作将是笔者 进一步研究的重点． 参 考 文 献 ［1］ Shashidhar N，Shenoy A． On using micromechanical models to describe dynamic mechanical behavior of asphalt mastics． Mech Mater，2002，34( 10) : 657 ［2］ Robin J M，Berthand Y，Schmitt N． Thermomechanical behaviour of magnesia-carbon refractories． Br Ceram Trans，1998，97( 1) : 1 ［3］ Schmitt N，Berthaud Y，Themines D，et al． Modeling of the thermomechanical behavior of magnesia carbon refractory materials/ / Proceedings of UNITECR’95． Kyoto，1995: 148 ［4］ Schmitt N，Burr A，Berthaud Y，et al． Micromechanics applied to the thermal shock behavior of refractory ceramics． Mech Mater， 2002，34( 11) : 725 ［5］ Zhong Z，Meguid S A． On the elastic field of a spherical inhomogeneity with an imperfectly bonded interface． J Elast，1997，46 ( 2) : 91 ［6］ Evans A G，Zok F W，McMeeking R M． Fatigue of ceramic matrix composites． Acta Metall Mater，1995，43( 3) : 859 ［7］ Hashin Z． The spherical inclusion with imperfect interface． J Appl Mech，1991，58( 2) : 444 ［8］ Wang Z G，Li N，Kong J Y，et al． Prediction of properties of Al2 O3 -C refractory based on microstructure by an improved generalized self-consistent scheme． Metall Mater Trans B，2005，36 ( 10) : 577 ［9］ Christensen R M，Lo K H． Solutions for effective shear properties in three phase sphere and cylinder models． J Mech Phys Solids， 1979，27( 4) : 315 ［10］ Schmitt N，Berthaud Y，Poirier J． Tensile behaviour of magnesia carbon refractories． J Eur Ceram Soc，2000，20( 12) : 2239 ·473·