逻辑代数 第一章 逻辑函数及其表示方法 定义:用有限个与或非逻辑运算符号按某种逻辑关系将逻 辑变量A,B,G,连接起来,所得到的表达式Y=F(A B,C,)称为逻辑函数 四种表示方法:真值表,函数式,逻辑图,卡诺图 A 逻辑函数式:Y=(A+B)C B B C 等效电路图 逻辑图 2021/2/23 作者:清华大学电子工程系罗嵘 第27页
2021/2/23 作者：清华大学电子工程系罗嵘 第27页 –逻辑函数及其表示方法 定义：用有限个与或非逻辑运算符号按某种逻辑关系将逻 辑变量A，B，C，…连接起来，所得到的表达式Y＝F（A， B，C,...）称为逻辑函数 四种表示方法：真值表，函数式，逻辑图，卡诺图 逻辑代数 第一章 + － A B C Y 逻辑函数式：Y=(A+B)C A B C Y 等效电路图 逻辑图
从函数式画出逻辑图:用逻辑符号画出对应的运算; 从逻辑图画出函数式:从输入到输出依次列出逻辑符号所对应的逻 辑运算的输出; 从函数式列出真值表:用变量的所有取值组合列出Y的值; 从真值表写出函数式:将Y=1的项相加 真值表 ABC Y=ABC +ABC+aBc 0 (AB+AB+AB)C (B+B=1 0 0 (AB+A)C=(4+BC(4+AB=4+B) BC00011110 0d1 00 000 0 诺图 2021/2/23 作者:清华大学电子工程系罗嵘 第28页
2021/2/23 作者：清华大学电子工程系罗嵘 第28页 真值表 A B C Y 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 BC A 00 01 11 10 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 卡诺图 从函数式画出逻辑图：用逻辑符号画出对应的运算； 从逻辑图画出函数式：从输入到输出依次列出逻辑符号所对应的逻 辑运算的输出； 从函数式列出真值表：用变量的所有取值组合列出Y的值； 从真值表写出函数式：将Y＝1的项相加 AB A C A B C AB AB AB C Y ABC ABC ABC ( ) ( ) ( ) = + = + = + + = + + (B + B =1) (A+ AB = A+ B)
逻辑函数的两种标准形式:最小项与最大项 设有n个逻辑变量,由它们组成具有n个变量的与项中,每个变量以原变量或反变量的形 式出现一次且仅出现一次,则称这个与项为最小项 性质:见表1.15 对于n个变量来说,可有2个最小项; 在输入变量的任何取值下必有一个最小项,而且仅有一个最小项的取值为1。将最 小项为1时各输入变量的取值看成二进制数,其对应的十进制数i作为最小项的编号 并把最小项记作吗,i0~(21-1); 任意两个最小项之积为0; 全体最小项之和为1; 具有相邻性的两个最小项之和可以合并成一项,并消去一个因子; 例1y=AB+BC+ABC AB(C+C)+(A+A)BC +ABC AbC + abc +abc ++abc =m,+m2+m2+m2+m ∑m(2,3,4,7) 2021/2/23 作者:清华大学电子工程系罗嵘 第29页
2021/2/23 作者：清华大学电子工程系罗嵘 第29页 逻辑函数的两种标准形式：最小项与最大项 设有n个逻辑变量，由它们组成具有n个变量的与项中，每个变量以原变量或反变量的形 式出现一次且仅出现一次，则称这个与项为最小项。 性质：见表1.15 对于n个变量来说，可有2 n个最小项； 在输入变量的任何取值下必有一个最小项，而且仅有一个最小项的取值为1。将最 小项为1时各输入变量的取值看成二进制数，其对应的十进制数i作为最小项的编号， 并把最小项记作mi,i=0～(2 n-1)； 任意两个最小项之积为0； 全体最小项之和为1； 具有相邻性的两个最小项之和可以合并成一项，并消去一个因子； = = + + + + = + + + + = + + + + = + + (2,3,4,7) ( ) ( ) 3 2 7 3 4 m m m m m m ABC ABC ABC ABC ABC AB C C A A BC ABC 例1 Y AB BC ABC
设有n个逻辑变量,由它们组成具有n个变量的或项中,每个变量以原变量或反变量的形 式出现一次且仅出现一次,则称这个或项为最大项。 性质:见表1:16 对于n个变量来说,可有2个最大项 在输入变量的任何取值下必有一个最大项,而且仅有一个最大项的取值为0。将最 大项为0时各输入变量的取值看成二进制数,其对应的十进制数i作为最大项的编号 并把最大项记作M,i=0~(2-1); 任意两个最大项之和为1; 全体最大项之积为0 只有一个变量不同的两个最大项之积等于各相同变量之和 例2 最大项性质5 Y=(A+B). (A+B+C (4+B+C(A+B+C) (4+B+C·C)(A+B+C) (A+ B)(A+B)+(A+ B)(C+ c =(A+B+C(A+B+C)(A+BC =MMMRERAS =A+B+1·(4+B) ∏M(01,4) A+B+A+B=a+B 2021/2/23 作者:清华大学电子工程系罗嵘 第30页
2021/2/23 作者：清华大学电子工程系罗嵘 第30页 设有n个逻辑变量，由它们组成具有n个变量的或项中，每个变量以原变量或反变量的形 式出现一次且仅出现一次，则称这个或项为最大项。 性质：见表1.16 对于n个变量来说，可有2 n个最大项； 在输入变量的任何取值下必有一个最大项，而且仅有一个最大项的取值为0。将最 大项为0时各输入变量的取值看成二进制数，其对应的十进制数i作为最大项的编号， 并把最大项记作Mi,i=0～(2 n-1)； 任意两个最大项之和为1； 全体最大项之积为0； 只有一个变量不同的两个最大项之积等于各相同变量之和； A B A B A B A B A B A B A B A B C C A B C A B C = + + + = + = + + + = + + + + + + + 1 ( ) ( )( ) ( )( ) ( ＋ ＋ )( ) 最大项性质5 (0,1,4) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 4 M M M M A B C A B C A B C A B C C A B C Y A B A B C = = = + + + + + + = + + + + = + + + 例2
最大项与最小项的关系 第一章 实例1 m4BC=BC=+B+C=M三 模例2Y=∑m(2,3,4,7) ++M.+M M2M3·M4·M ∏IM(2,3,4,7) 实例Y=∑m(2,34,7) ∑m(O,I,5,6) ∏M(O,1,56) Y=M(015.6) 2021/2/23 作者:清华大学电子工程系罗嵘 第31页
2021/2/23 作者：清华大学电子工程系罗嵘 第31页 第一章 实例2 (0,1,5,6) (0,1,5,6) (0,1,5,6) (2,3,4,7) Y M Y M Y m Y m = = = = (2,3,4,7) (2,3,4,7) 2 3 4 7 2 3 4 7 2 3 4 7 M M M M M M M M M Y m m m m Y m = = = + + + = + + + = 实例3 实例1 m6 = ABC = ABC = A + B +C = M6 最大项与最小项的关系
第一章 表1.15最小项 最小项一最小项为1时,输入变量的值十进制数 ABc ABC A BC C0T0 mmmm BBB ABC ABC 表1.16最大项 最大项最大项为0时,输入变量的值十进制数 AIBIC B 0 +B+ 0123 MMMMM +B+C A+B+ 2021/2/23 作者:清华大学电子工程系罗嵘 第32页
2021/2/23 作者：清华大学电子工程系罗嵘 第32页 表 1.15 最小项 最小项 最小项为 1 时，输入变量的值 A B C 十进制数 i mi ABC 0 0 0 0 m0 ABC 0 0 1 1 m1 ABC 0 1 0 2 m2 ABC 0 1 1 3 m3 ABC 1 0 0 4 m4 ABC 1 0 1 5 m5 ABC 1 1 0 6 m6 ABC 1 1 1 7 m7 表 1.16 最大项 最大项 最大项为 0 时，输入变量的值 A B C 十进制数 i Mi A＋B＋C 0 0 0 0 M0 A＋B＋C 0 0 1 1 M1 A＋B＋C 0 1 0 2 M2 A＋B＋C 0 1 1 3 M3 A＋B＋C 1 0 0 4 M4 A＋B＋C 1 0 1 5 M5 A＋B＋C 1 1 0 6 M6 A＋B＋C 1 1 1 7 M7 第一章
逻辑函数的化简法 第一章 公式化简法三 I.并项法AB+AB=A 2.吸收法4+AB=4 3.消项法AB+AC+BC=AB+AC 4.消因子法A+B=A+B 配项法A+A=AA+A=1 Y=AC+BC+BD+CD+A(B+C)+ABCD+ABDE9E9 ac+bc+bd+cd+ abc+ abde Ac+bc+BD+CD+4+ABDE A+BC+BD +CD A+bc+BD 2021/2/23 作者:清华大学电子工程系罗嵘 第33页
2021/2/23 作者：清华大学电子工程系罗嵘 第33页 – 逻辑函数的化简法 公式化简法 第一章 1. 并项法 AB + AB = A 2. 吸收法 A + AB = A 3. 消项法 AB + AC + BC = AB + AC 4. 消因子法 A + AB = A + B 5. 配项法 A + A = A; A + A = 1 A BC BD A BC BD CD AC BC BD CD A ABDE AC BC BD CD ABC ABDE Y AC BC BD CD A B C ABCD ABDE = + + = + + + = + + + + + = + + + + + = + + + + + + + 3 2 4 2 ( )
卡诺图化简法 第 逻辑函数的卡诺图表示法 B=0:1 用卡诺图表示最小项一 用卡诺图表示逻辑函数 0m()m( 用卡诺图化简逻辑函数 m2 具有随意项的逻辑函数的化简图1二变量的卡诺图 BC‖0 11 AB00011110 00 mo 01 m m13 m10 图2三变量的卡诺图 图3四变量的卡诺图 2021/2/23 作者:清华大学电子工程系罗峡 第34页
2021/2/23 作者：清华大学电子工程系罗嵘 第34页 –卡诺图化简法 第一章 逻辑函数的卡诺图表示法 用卡诺图表示最小项 用卡诺图表示逻辑函数 用卡诺图化简逻辑函数 具有随意项的逻辑函数的化简 CD A B 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 m0 m1 m3 m2 0 1 m4 m5 m7 m6 1 1 m1 2 m1 3 m1 5 m1 4 1 0 m8 m9 m1 1 m1 0 BC A 0 0 0 1 1 1 1 0 0 m0 m1 m3 m2 1 m4 m5 m7 m6 图2三变量的卡诺图 图3四变量的卡诺图 B A 0 1 0 m0( AB ) m1(AB ) 1 m2(AB ) m3( AB) 图1二变量的卡诺图
CDE|0001001-011010°11011101100 第一章 AB 0*m+ my s mg m2 m6 m吗m图4五变量的卡诺图 g 11.m1o-1415--13m12 11mn?吗m。mmm mmm。m8m2m23m Y=ABCDTABD+ACD+AB 2m(=1,46,8,9,10,1,15) CD 00 01 10 AB 00 0 0 O1 1,:01 10 图5用卡诺图表示逻辑函数 2021/2/23 作者:清华大学电子工程系罗嵘 第35页
2021/2/23 作者：清华大学电子工程系罗嵘 第35页 CDE 第一章 AB 000 001 011 010 110 111 101 100 00 m0 m1 m3 m2 m6 m7 m5 m4 01 M8 m9 m11 m10 m14 m15 m13 m12 11 m24 m25 m27 m26 m31 m30 m29 m28 10 m16 m17 m19 m18 m22 m23 m21 m20 图4五变量的卡诺图 = ( =1,4,6,8,9,10,11,15) = m i Y ABCD ABD ACD AB i ＋ ＋ ＋ CD AB 00 01 11 10 00 0 1 0 0 01 1 0 0 1 11 0 0 1 0 10 1 1 1 1 图5 用卡诺图表示逻辑函数
第一章 Y=AC+AC+BC+BC=∑m(,2,3,4,5,6) BC+00+0k11-10 BC00·0-1--10 A0.1 0 0:1 Y=AB+AC+ BC Y=AC+BC+AB CD::10 Y=ABC+ABD+ACD+CD+ABC+ACD TAB =AD Y=Y=ADA+D 101 图6用卡诺图化简逻辑函数 2021/2/23 作者:清华大学电子工程系罗嵘 第36页
2021/2/23 作者：清华大学电子工程系罗嵘 第36页 第一章 图6 用卡诺图化简逻辑函数 Y = AC + AC + BC + BC = m(1,2,3,4,5,6) B C A 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 B C A 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 Y = AB + AC + BC Y = AC + BC + AB C D A B 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 Y = ABC＋ABD＋ACD＋CD＋ABC＋ACD Y Y AD A D Y AD Y Y = = ＝ ＋ = + =1