第十四章线性动态电路的复频域分析 ●重点 (1)拉普拉斯变换的基本原理和性质 (2) 掌握用拉普拉斯变换分析线性电 路的方法和步骤 (3) 电路的时域分析变换到频域分析 的原理
第十四章 线性动态电路的复频域分析 重点 (1) 拉普拉斯变换的基本原理和性质 (2) 掌握用拉普拉斯变换分析线性电 路的方法和步骤 (3) 电路的时域分析变换到频域分析 的原理
14.1 拉普拉斯变换的定义 1.拉氏变换法 拉氏变换法是一种数学积分变换，其核心是把时域函数 )与频域函数Fs)联系起来，把时域问题通过数学变换为频 域问题，把时域的高阶微分方程变换为频域的代数方程以便 求解。 拉氏变换： 对应 时域函数f)原函数) 频域函数F(S(象函数)
拉氏变换法是一种数学积分变换，其核心是把时域函数 f(t)与频域函数F(s)联系起来，把时域问题通过数学变换为频 域问题，把时域的高阶微分方程变换为频域的代数方程以便 求解。 14.1 拉普拉斯变换的定义 1. 拉氏变换法 拉氏变换： 对应 时域函数f(t)(原函数) 频域函数F(s)(象函数)
例 熟悉的变换 对数变换 把乘法运算变换为对数加法运算 A x B=AB ↓ 个 g A+lg B=lg AB 相量法 把时域的正弦运算变换为复数运算 正弦量i1+i2=i 相量
相量法 I I I i i i 1 2 1 2 相量 正弦量 把时域的正弦运算变换为复数运算 例 熟悉的变换 对数变换 A B AB A B AB lg lg lg 把乘法运算变换为对数加法运算
2.拉氏变换的定义 一个定义在0，∞)区间的函数0的拉普拉斯变换式定义为 F(s)=f(t)e-"di 正变换 s为复数 s=0+jo Fs)称为f)的象函数，t)称为F⑤)的原函数
2. 拉氏变换的定义 一个定义在 [0,∞)区间的函数f(t) 的拉普拉斯变换式定义为 F(s)称为f(t)的象函数，f(t)称为F(s)的原函数。 (s) ( ) 0 F f t e dt st s为复数 s j 正变换
F(s)=()e-"di 正变换 w-2 F(s)esds 反变换 简写 烟网 正变换 反变换 应用拉氏变换进行电路分析的方法称为电路的复频域分 析法，又称运算法
(s) 2 1 ( ) F e ds j f t st c j c j 反变换 应用拉氏变换进行电路分析的方法称为电路的复频域分 析法，又称运算法。 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 f t F s F s f t 简写 正变换 反变换 (s) ( ) 0 F f t e dt st 正变换
F(s)=[f(t) 正变换 简写 f)=-[F(s] 反变换 注 F(s))ed=f()e-"df)e"d 在=0至=0+ )=δ()时此项≠0 ② 象函数F(s)用大写字母表示，如Is),Us)。 原函数t)用小写字母表示，如i(),(t)
注 在t＝0 至t＝0＋ f(t)=(t)时此项 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 f t F s F s f t 简写 正变换 反变换 F s f t e dt f t e dt f t e dt st st st 0 0 0 0 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 象函数F(s) 用大写字母表示,如 I(s)，U(s)。 原函数f(t) 用小写字母表示，如 i(t), u(t)。 2
3 象函数F(S)存在的条件： 。f()edt为有限值 e为收敛因子 如果存在有限常数M和c使函数)满足： f(t)≤Met∈0，ool 总可以找到一个合适的s值使上式积分为有限值， 即)的拉氏变换式F(s)总存在
如果存在有限常数M和c使函数f(t)满足： f (t) Me t [0,] ct 总可以找到一个合适的s值使上式积分为有限值， 即f(t)的拉氏变换式F(s)总存在。 3 象函数F(s) 存在的条件： ( ) 为有限值 0 f t e dt st e st 为收敛因子
3.典型函数的拉氏变换 F(s)=f()e-"dt (1)单位阶跃函数的象函数 f(t)=(t) Fs)=[s(t】=et)e"dh 二 h e 00 1 S
3.典型函数的拉氏变换 (1)单位阶跃函数的象函数 ( ) ( ) 0 F s f t e dt st f (t) (t) F s t t e dt st 0 ( ) [ ( )] ( ) 0 1 st e s s 1 0 e dt st
(2)单位冲激函数的象函数 f(t)=6(t) F(s)=[(]=[6(te "dt =[8(t)e-"dt =e-"=1 (3)指数函数的象函数 f(t)=ea 00 F(s)=Pe"=[e"e-"di -e (s-a)t s+a 0. s-a
(3)指数函数的象函数 0 1 (s )t e s s 1 (2)单位冲激函数的象函数 0 0 (t)e dt st f (t) (t) F s t t e dt st 0 ( ) [ ( )] ( ) 1 0 s e t f t e ( ) F s e e e dt t t st 0 ( )
14.2拉普拉斯变换的基本性质 1.线性性质 若[f()]=F(s),出[f()】=F2(s) 则[A)+A,f)]=A,[f)]+A,2[f2()] =A,F(S)+A2F2(S)A1,A为任意实常数 证：2[A0+A,)=[A0+AO A(te"d+(te"de =A F(s)+A2F2(S)
14.2 拉普拉斯变换的基本性质 1.线性性质 f t f t e dt st 0 1 1 2 2 A ( ) A ( ) f t e dt f t e dt st st 0 2 2 0 1 1 A ( ) A ( ) A ( ) A ( ) 1 1 2 2 F s F s A ( ) A ( ) 1 1 2 2 F s F s [ ( )] ( ) , [ ( )] ( ) 1 1 2 2 若 f t F s f t F s A ( ) A ( ) 1 1 2 2 则 f t f t A ( ) A ( ) 1 1 2 2 f t f t A ( ) A ( ) 1 1 2 2 证： f t f t A1 , A2 为任意实常数