电子科技大学：《现代网络理论与综合 Theory and Synthesize of Electric Network》研究生课程教学资源（课件讲稿）第8讲 网络分析的状态变量法（状态方程求解）

第8讲状态方程求解 第四章网络分析的状态变量法 《网综》UESTC-陈会主讲

第8讲 状态方程求解 第四章 网络分析的状态变量法 《网综》UESTC-陈会主讲

五、状态方程的时域求解 回顾一阶微分方程求解法 当一阶时， x =ax+b 相对于，令：f=1(直流信号) x(0)=0 特征根有： x-ax=bf 例 通解： S-a=0 RC du +u=U x=Kear dt 《网综》UESTC-陈会主讲

五、状态方程的时域求解 x  ax  bf ' 特征根有： 当一阶时， (0) 0 '    x x ax b at x  Ke s a  0 f 1 通解： 相对于，令： 回顾一阶微分方程求解法 （直流信号） u U dt du RC   例 《网综》UESTC-陈会主讲

特解： x=A 代入微分方程 x =ax+b b 可得： A- a 全解： x=Ke ”、b a 因此： 当： b b b K- x(t)= a a a 《网综》UESTC-陈会主讲

ab x Keat   特解 ： ab A   x  A 代入微分方程 全解 ： 当： ab K  x ( 0 )  0 因此： ab e ab x t at ( )   x  ax  b ' 可得： 《网综》UESTC-陈会主讲

思考：状态方程的时域求解？ 方程及初始条件： 进一步，1阶微分方程组？ x=Ax+Bf x(to)=xo 《网综》UESTC-陈会主讲

0 0 ' x(t ) x x Ax Bf    思考：状态方程的时域求解？ 方程及初始条件: 进一步，1阶微分方程组 ？ 《网综》UESTC-陈会主讲

换一种方法求1阶微分方程 x =ax+bf x(to)=xo 由参数变易法，令： x(t)=W(t)x (t) 有： x(t)=ax(t)+bf(t) [m(u)xa]=aWx④+bf o品0+xo=awx0+@ a0-ao冰(0=-wo+bfg dt dt 《网综》UESTC-陈会主讲

0 0 ' x(t ) x x ax bf    ( ) ( ) ( ) ] ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( ) ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 b f t d t d x t a W t x t W t d t d W t W t a W t x t b f t d t d x t x t d t d W t W t x t a W t x t b f t d t d x t a x t b f t d t d            换一种方法求1阶微分方程 ( ) ( ) ( ) 1 x t W t x t 有： 由参数变易法，令: 《网综》UESTC-陈会主讲

令：9-a01-0 1阶 人为定义的函数 则： W() dx①=bft) dt W(t)=ea dx (1)=W-(t)bf(t) W-(1)=e-ar dt 上例： 积分有： x()=x(0)+∫e"bdr x()=x(to)+[W(r)bf(r)dr =0+ 又因为， x(t)=W(t)x (t) x(t)=W(t)x(t) =ex-e+=oe+e- x(t)=W(t)x(t) a a x(to)=W-(to)x(to) x1=ea0x(0)=0 《网综》UESTC-陈会主讲

    tt x t x t W bf d 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 0    ( )] 0 ( ) [  aW t  dt dW t ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 W t bf t dt dx t bf t dt dx t W t    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 1 1 0 1 1 1 x t W t x t x t W t x t x t W t x t    令 : 积分有： 则: at W ( t )  e at W t e   ( )  1 上例： ab e ab x x t x e bd at t at        ( 0 ) ( ) ( 0 ) 1 0 1 1  ab e ab x e ab e ab e x x t W t x t at at at at         [ (0) ] (0) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 (0 ) 0 0 1    x e x a 人为定义的函数 ? 1 阶 又因为， 《网综》UESTC-陈会主讲

方程及初始条件： x=Ax+Bf 一N阶 x(to)=Xo 令：x(t)=W(t)x,(t) 有： dx (t)=Ax(t)+Bf(t) dF④x]=AW(x@)+Bf(0 o品x0*x0品r0=Awx0+f dt d0-Awod=-mO匹@+f0） dt 《网综》USTC陈主讲

0 0 ' x(t ) x x Ax Bf    ( ) ( ) ( ) ] ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( ) ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 Bf t d t d x t AW t x t W t d t d W t W t AW t x t Bf t d t d x t x t d t d W t W t x t AW t x t Bf t d t d x t Ax t Bf t d t d            ( ) ( ) ( ) 1 x t W t x t 方程及初始条件: 有： 令: N阶 《网综》UESTC-陈会主讲

令： dW()-AW(t)]=0 dt 则： dx(1)=Bf(t) w()-dt 、 dx (t)=W-(t)Bf(t) dt 积分有： x(t)=x(t)+W-()Bf()dr x(t)=W(t)x (t) x(t)=W(t)x(t) x,(t)=W-(t)x(t) 《网综》UESTC-陈会主讲

    t t x t x t W Bf d 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 0    ( )] 0 ( ) [  AW t  dt dW t ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 W t Bf t dt d x t Bf t dt d x t W t    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 1 1 0 1 1 1 x t W t x t x t W t x t x t W t x t      令: 积分有： 则: 《网综》UESTC-陈会主讲

因此有： x(t)=W(t)x,(t)=W(t)W-(to)x(t)+[W(t)W()Bf(z)dr 定义：Φ(t,x）=W(t)W() x)=ΦD(t,)x(o)+①(t,t)Bf(x)dx 对于线性时不变网络： Φ(t,x)=Φ(t-T)=W(t)W(x) x(t)=Φ(t-to)x(to)+广D(t-t)Bf(rdz 《网综》UESTC-陈会主讲

      t t x t W t x t W t W t x t W t W Bf d 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 0 1 1    x t t t x t t  Bf  d t t       0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 ( , ) ( ) ( ) ( ) 1      t   t  W t W      t t x t t t x t t Bf d 0 ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) 0 0    ( , ) ( ) ( ) 1     t W t W 因此有: 定义： 对于线性时不变网络： 《网综》UESTC-陈会主讲

状态转移矩阵函数： Φ(t)=? 一阶： dy-ay=0 dt 先再回到一阶 y(to)=1 求解这微分方程： 所以： S-a=0 s=a y(t)=ea(t-to） y(t)=Kea t=to y(to)=1 y(to)=Ke to =1 K=_ 1 《网综》UESTC-陈会主讲

( ) 1 0 0    y t ay dt dy 0 0 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 0 0 0 0 at at at e K y t Ke t t y t y t Ke s a s a          ( ) 0 ( ) a t t y t e   状态转移矩阵函数: (t) 一阶： 求解这微分方程： 所以： =？ 先再回到一阶 《网综》UESTC-陈会主讲