1806测验1 Strang教授 1995年3月10日 娃名 习题误教师：Kac教授 Axelrod教授 答题时间（择一）：M2MGT10Kac)TI0(A)T12TI 分数： 1. 2. 3. 4 1.给定一个5×3矩阵A (@)怎样判定列向量c=几11可是不是A的列白量的一个线性组合？请用一句话说 明。 (b)怎样通过行运算（不用A的转置）来判定行向量？■11是不是A的行向量的 一个线性组合？ (c)若b)的都是肯定的回答，A的铁如何？在下面的方框内写明理由。 (d)若（以b)都是否定的回答。A的铁如何？在下面的方框内写明理由。 2,3×3矩阵A在下述行运算下化为恒等矩阵： (1)第二行减去第一行的-2倍。 (2)第三行减去第一行的3倍。 (3)第二行减去第三行， (4)第一行减去第二行的3倍。 《a)求41 (b)求A. 3.设矩阵A为： 1
1 1806 测验 1 Strang 教授 1995 年 3 月 10 日 姓名：____________________ 习题课教师：Kac 教授 Axelrod 教授 答题时间（择一）：M2 M3 T10(Kac) T10(A) T12 T1 分数： 1． 2． 3． 4． 1． 给定一个 5×3 矩阵 A (a) 怎样判定列向量 是不是 A 的列向量的一个线性组合？请用一句话说 明。 (b) 怎样通过行运算（不用 A 的转置）来判定行向量 是不是 A 的行向量的 一个线性组合？ (c) 若(a),(b)的都是肯定的回答，A 的秩如何？在下面的方框内写明理由。 （d）若(a),(b)都是否定的回答，A 的秩如何？在下面的方框内写明理由。 2．3×3 矩阵 A 在下述行运算下化为恒等矩阵 I： (1)第二行减去第一行的-2 倍。 (2)第三行减去第一行的 3 倍。 (3)第二行减去第三行。 (4)第一行减去第二行的 3 倍。 （a）求 。 （b）求 A。 3．设矩阵 A 为：
A=LU 888 0123 0000 (a)分别给出A的行空间和列空间的一组基. (6) 准确地给出A=0的所有解， 3 (e) 求出1z 的所有解（仅依懒于©）。 1 0 4。本题与矩阵A有关，且A满足下面的条作Ar E解。 Ar= 有用 一解。 (a)给出mn及A的铁r的所有可能情况的信息。 (6》若Ax0成立，叙述x的一个性质（不仅仅是指x在零空间中）. (©)给出满足本题所述条作的矩阵A的一个例子。 ()【与(a。()和（无关】，怎么知道一个矩阵的第一行和最后一行互换不改变其 秩？ 2
2 （a） 分别给出 A 的行空间和列空间的一组基。 （b） 准确地给出 Ax=0 的所有解。 （c） 求出 的所有解（仅依赖于 c）。 4．本题与矩阵 A 有关，且 A 满足下面的条件： 无解， 恰有唯 一解。 （a）给出 m,n 及 A 的秩 r 的所有可能情况的信息。 （b）若 Ax=0 成立，叙述 x 的一个性质（不仅仅是指 x 在零空间中）。 （c）给出满足本题所述条件的矩阵 A 的一个例子。 （d） ，怎么知道一个矩阵的第一行和最后一行互换不改变其 秩？
1806 测试2 Strang教授 1.(18分) ()若m×n矩阵Q的列是标准正交的，都么矩阵Q必定可逆吗？若是，情说 明理由。若不是，请举出反例， (6》给出Q的零空同（说明原因）。 (©)求将向量投影到Q的列空间上的投影矩阵。请尽可能避免矩阵求逆运算. 2.(30分)要找距〔ty一0-以12)和2-1)三点最近的直线yC+Dt ()若直线过这三点（实际不可能的），求应满足愿三个方程。 (6》由最小二乘法求C和D的最佳值. (©)解释所得C和D的含义。向量b气-12-1)和所要授影到上的平面的关系如何？ (d)求误差向量e的长度(-到平面的距离-l一A位I) 3.(22分)按要求求下列矩阵的行列式 11111 0111 1111 1 1110 08 1 IA 1100 (a) 求dkA)并说明理由。 (b)用初等变换求deB) (e) 对红求deC:在此可用行列式的性质1。 4.(30分) 12-3 22-4 (a)判断A是否可逆7 (b)给出A的列空间的一组标准正交基（若存在的话）： (©)为什么由P■A(ATA厂1AT不能给出到A的列空间上的投影矩阵？设法求出 授影矩阵。 3
3 1806 测试 2 Strang 教授 1．（18 分） （a）若 m×n 矩阵 Q 的列是标准正交的，那么矩阵 Q 必定可逆吗？若是，请说 明理由，若不是，请举出反例。 （b）给出 Q 的零空间（说明原因）。 （c）求将向量投影到 Q 的列空间上的投影矩阵。请尽可能避免矩阵求逆运算。 2．（30 分）要找距(t,y)=(0,-1),(1,2)和(2,-1)三点最近的直线 y=C+Dt （a）若直线过这三点（实际不可能的），求应满足哪三个方程。 （b）由最小二乘法求 C 和 D 的最佳值。 （c）解释所得 C 和 D 的含义，向量 b=(-1,2,-1)和所要投影到上的平面的关系如何？ （d）求误差向量 e 的长度（=到平面的距离= ） 3．（22 分）按要求求下列矩阵的行列式。 （a） 求 det(A)并说明理由。 （b） 用初等变换求 det(B). （c） 对 求 det(C)。在此可用行列式的性质 1。 4．（30 分） （a） 判断 A 是否可逆？ （b） 给出 A 的列空间的一组标准正交基（若存在的话）。 （c） 为什么由 不能给出到 A 的列空间上的投影矩阵？设法求出 投影矩阵
18.06 测试3 Strang教授 1995年5月10日 1.(30分) 求A的特征植和特征向量。 (b)设41=A4,其科0@ 0· 求初始向量o。 (©)若B是另外一个2×2知阵，请楚地解释AB和BA为什么有相同的特征值？ 0 2.(30分)设A 42 且为正定的。 024 (a)求b的可修值. (b)证明：对b,矩库P+I是正定的. (©)对于一般的矩序M,可能不是方阵，补充下面的氨述：若 则矩阵AT 是对称正定的。 3.(32分) 1 122 (a)P是到过(122)的直线上的投影矩库： P= 244 求其特征值， 244 并给出相应的特征向量。 (b)判断正误：3S,使得S-1PS是对角矩阵（因此P是可对角化的）. (c)求初值为u(0】 的微分方程尝=Pu的解。 (d)微分方程1一P,其中=(1,0,0，求四. 4.《8分)给出一个从4维空间到二维空间R的线性变换。 4
4 18.06 测试 3 Strang 教授 1995 年 5 月 10 日 1．（30 分） （a） ，求 A 的特征值和特征向量。 （b）设 ，其中 ，求初始向量 。 （c）若 B 是另外一个 2×2 矩阵，清楚地解释 AB 和 BA 为什么有相同的特征值？ 2．（30 分）设 且为正定的。 （a）求 b 的可能值。 （b）证明：对 ，矩阵 是正定的。 （c）对于一般的矩阵 M，可能不是方阵，补充下面的叙述：若____________,则矩阵 是对称正定的。 3。（32 分） （a）P 是到过 a=(1,2,2)的直线上的投影矩阵： 求其特征值， 并给出相应的特征向量。 （b）判断正误： ，使得 是对角矩阵（因此Ｐ是可对角化的）。 （c）求初值为 的微分方程 的解。 （d）微分方程 ，其中 ，求 。 ４．（８分）给出一个从４维空间 到二维空间 的线性变换
麻省理工学院 1806线性代数期末考试 1995年5月 本次考试为闭香考试（不准带计算器） 请将容案写在指定的地方（成直接拾我门容案） 置解将张贴在管理分数的两位量授Kac2.178)和Axeirod2-247)的办公室外。 视大家好运！ 下面的思与主对角线上下元素取值于12.心1其它元素为0的对称矩阵有关。 0100 010 1020 A= 0203 As=. 0030 1.(18分) (a)求实的乃A=L巧成立的置换矩阵乃，对角线均为1的下三角矩阵La和阶梯形 矩库巧。 0 (b》求Ar 4 的通解， 0 ()给出A山的左零空间的一组基。描述整个零空间。 (》求到A山的列空间上的投影矩阵（称作P) 2(12分) (a)求A3的特征值及特征向量。 初始向量O取何值时，鲁=A“的解退化为零？ (心)己知A4的两个特任值近似为365和0822。用 00 0 M-AM 求A:的其余两个特征向量。 3.(2分) (a) 5
5 麻省理工学院 1806 线性代数 期末考试 1995 年 5 月 本次考试为闭卷考试（不准带计算器） 请将答案写在指定的地方（或直接给我们答案） 题解将张贴在管理分数的两位教授 Kac(2-178)和 Axeirod(2-247)的办公室外。 祝大家好运！ 下面的题与主对角线上下元素取值于 1,2,…..,n-1,其它元素为 0 的对称矩阵有关。 1．（18 分） （a）求实的 成立的置换矩阵 ,对角线均为 1 的下三角矩阵 和阶梯形 矩阵 。 （b）求 的通解。 （c）给出 的左零空间的一组基。描述整个零空间。 （d）求到 的列空间上的投影矩阵（称作 P） 2.(12 分) (a)求 的特征值及特征向量。 (b)初始向量 u(0)取何值时， 的解退化为零？ (c)已知 的两个特征值近似为 3.65 和 0.822。用 求 的其余两个特征向量。 3．（12 分） （a）
f0100 1020 A5= 2030 00304 L00004 证明As是不可逆的. (b)A5可以对角化玛（相似于一个对角矩阵）？说明理由。 (c)求(A》(建议使用余子式). 4.(15分)4z - =的最小二解 [a-[] (a)求b到A的列空间上的投影P, (b)通出对应于这个最小二乘解的数合直线。并在图中标出P的3个分量。 (c)用Gam-Semd正交化方法，求A的列空间的正交基m,,并把A分解为QR形 式。 5 5.(12分)授Ax 的通解为三 +t -9 (a)求A),N(A)和N(AT)的维数. (b)对此A,判断对错暖不确定：A 有解，并说明理由。 0 (e)如何判斯ATA不是正定的2 6.(12分)列向量■(R,D4,I)的分量分别代表第K次选举中共和党，民主党和自由 竟的人数，在接下米的一次选举中全都共和党变为自由党，而三分之一的民主党和三分之一 6
6 证明 是不可逆的。 （b） 可以对角化吗（相似于一个对角矩阵）？说明理由。 （c）求 （建议使用余子式）。 4．（15 分） 的最小二乘解是 （a）求 b 到 A 的列空间上的投影 p. （b）画出对应于这个最小二乘解的拟合直线，并在图中标出 p 的 3 个分量。 （c）用 Gram-Schmidt 正交化方法，求 A 的列空间的正交基 ，并把 A 分解为 QR 形 式。 5．（12 分）设 的通解为 （a）求 的维数。 （b）对此 A，判断对错或不确定： 有解，并说明理由。 （c）如何判断 不是正定的？ 6．（12 分）列向量 的分量分别代表第 K 次选举中共和党，民主党和自由 党的人数，在接下来的一次选举中全部共和党变为自由党，而三分之一的民主党和三分之一
的白由党被此互相转变，即降+1一(+1，D1,岳41)相应的分量互相变化。 (a)若+1=A求A,用坠■1,00和4■(0,0》检验你的答案. (b)在R,D,Ix稳定状态时，透举中选票的比例是多少？ (©)求得所有特狂值和特征向量。初始向量 2 (化年后)若没有人支持共和 0 党，求， 7.(19分) ()若Ax=中能求解，则b经定和 中的每一个向量y都垂直。给出一个3×2矩 阵A和b及y的一个例子. (b)求b122,刀到平面1十2十)十4=0上的投影，你可以先把b授影到过a1,1,山，) 的线上， ()判断正误：若A有多重特征值，总可找到A的列空间的一组标准正交基， (d)判断正误：若老，物是产中的一组基，且b=q1十+-十cm, 则9=积. (©)求一个特征值为入=0,0,1和秩为2的矩阵，说明它为什么不可能是授影矩阵？
7 的自由党彼此互相转变，即 相应的分量互相变化。 （a） 若 求 A，用 检验你的答案。 （b） 在 稳定状态时，选举中选票的比例是多少？ （c） 求得所有特征值和特征向量，初始向量 ，（k 年后）若没有人支持共和 党，求 . 7．（19 分） （a）若 Ax=b 能求解，则 b 必定和_________中的每一个向量 y 都垂直。给出一个 3×2 矩 阵 A 和 b 及 y 的一个例子。 （b）求b=(1,2,2,7)到平面 上的投影，你可以先把b投影到过a=(1,1,1,1) 的线上。 （c）判断正误：若 A 有多重特征值，总可找到 A 的列空间的一组标准正交基。 （d）判断正误：若 中的一组基，且 ， 则 。 （e）求一个特征值为 和秩为 2 的矩阵，说明它为什么不可能是投影矩阵？
麻省理工学院1806线性代数期末缓考 1995年5月23日星期二 时间：900-12：00 1.在()和(b)部分中求出具有下列性质的矩阵A成解释为什么不可能， a)= 的-解为(】 假设A是3×阶矩殊并满足 求出向量b使得Axb无解。 2.设 131 2 -1-1-5 《可在下一页纸上作答》 a)将A进行U分解， b)求出A的4个基本子空间(A,R(A.(A(AF的一个基。 )求出下面方程的通解 3 Ir= 3 5 0 -1 0 3.假设)为反对角线上的元素为1，其余元素为0的阶矩阵。当=3时， 8
8 麻省理工学院 1806 线性代数 期末缓考 1995 年 5 月 23 日星期二 时间：9:00-12:00 1. 在（a）和（b）部分中求出具有下列性质的矩阵 A 或解释为什么不可能。 a) 的唯一解为 。 b) 的唯一解为 。 c) 假设 A 是 阶矩阵并满足 求出向量 b 使得 Ax=b 无解。 2. 设 （可在下一页纸上作答） a) 将 A 进行 LU 分解。 b) 求出 A 的 4 个基本子空间 的一个基。 c) 求出下面方程的通解 3. 假设 J 为反对角线上的元素为 1，其余元素为 0 的 n 阶矩阵。当 n=3 时
/001 = 010 、100 a)对任意的n值，用/和』表示和1+2 b)/十」的特征值可能是多少？当5时求出特任向量， e)/十J的秩为多少？（川n表示） 自当n叙大时」的特征值是多少？ 4.投 /120 B=(G) 011 下面的月题是关于矩阵的基本分解.L是对角线上元煮为1得下三角矩阵，U和R为主 元素非零的上三角矩阵。S可逆，Q正交，A可对角化 a)a为何值时A不能LU分解？ b)a为何值时A不能QR分解7 c)b为何值时B不能OAQ'分解？ d山b为何值时B不能SAS1分解？ 5.设 V为和：扩展而成的向量空间。 a)找出零空间为V的矩弄B。 b)设 应用Gram-Schmic边法正交化矩库的列并进行QR分解. c)求出6=7，一64.一5'到A的列空间上的授影。 6. 设1-（但名）是ov矩库 a)求出b,cd应满是的条件并由a,b,c,d求出两个最简的特任值。 b)当ab-3时，求出M并将其对角化为SAS-1。 c)对(b)中矩库求出对 ()当k→x时N的极限。 7.设 =(日 9
9 a) 对任意的 n 值，用 和 表示 和 。 b) 的特征值可能是多少？当 n=5 时求出特征向量。 c) 的秩为多少？（用 n 表示） d) 当 n 很大时 J 的特征值是多少？ 4. 设 下面的问题是关于矩阵的基本分解。L 是对角线上元素为 1 得下三角矩阵，U 和 R 为主 元素非零的上三角矩阵。S 可逆，Q 正交，A 可对角化。 a) a 为何值时 A 不能 LU 分解？ b) a 为何值时 A 不能 QR 分解？ c) b 为何值时 B 不能 分解？ d) b 为何值时 B 不能 分解？ 5. 设 V 为 和 扩展而成的向量空间。 a) 找出零空间为 V 的矩阵 B。 b) 设 应用 Gram-Schmidt 法正交化矩阵的列并进行 QR 分解。 c) 求出 到 A 的列空间上的投影。 6. 设 是 Markov 矩阵。 a) 求出 a,b,c,d 应满足的条件并由 a,b,c,d 求出两个最简的特征值。 b) 当 a=b=3c 时，求出 M]并将其对角化为 。 c) 对（b）中矩阵求出对 当 时 的极限。 7. 设
)求出A的特征值和对应的特征向量。 b,将A对角化为QAQ',其中Q为正交矩阵， e) 当(0一（时求解共=出，写出国)的公式。当→十x时。趋向 于厚个向量的倍数？ 山求出4= c 0 的伴随矩阵并计算I广。当ah,cd,e满足什么条件时A 0 d 可逗？ 10
10 a) 求出 A 的特征值和对应的特征向量。 b) 将 A 对角化为 ，其中 Q 为正交矩阵。 c) 当 时求解 。写出 u(t)的公式。当 时，u(t)趋向 于哪个向量的倍数？ d) 求出 的伴随矩阵并计算 。当 a,b,c,d,e 满足什么条件时 A 可逆？