麻省理工学院 物理系 物理学8033 2000年12月19日 测验2 姓名 间题 1,完成下面8个问题， 得分 等级 2.每个间题大约军是13分。 1 3.闭卷考试：但允许带两页笔记（常用公式）， 2 4。如果可能，解题时先给出公式，最后一步代入数据。 3 4 5 6 7 8 总分 一些可能用到的关系式和积分 -)+当)+) -（-兴)盖 --当)5 ∫a-m-aoto ∫a丽“a-m ∫ =+aln(s-a) 盖（微） =0, tae=密 -工（微》
麻省理工学院 物理系 物理学 8.033 2002 年 12 月 19 日 测验 2 姓名 1． 完成下面 8 个问题。 2． 每个问题大约都是 13 分。 3． 闭卷考试；但允许带两页笔记（常用公式）。 4． 如果可能，解题时先给出公式，最后一步代入数据。 一些可能用到的关系式和积分 问题 得分 等级 1 2 3 4 5 6 7 8 总分
间盟山 “园可夫斯基图” (a)校准轴 下图显示的闵可夫斯基图的象限，包含S参考系的和x轴，也包括运动的S·参考 系的’和x’轴(S’参考系运动速率是B=4/5,53。标出x”轴上的A点， 其坐标为(x’,4”)=(1,0)。下图是严格按比例画出的 (i0 线段AD与轴平行。用洛仑独变挽求出S参考系中x轴上的D点的坐 标。检查你的答案是否和图上读出的值一致。 (in) 线段AC与口'轴平行，用洛仑些变换求出S参考系中x轴上的C点的坐 标。检查你的答案是否和图上读出的值一政。 (i) 这条相的曲线把A点和B点连接起米，并用外推法使之与x拍相交于1.0。 此外，它他将与图中所画的轴《与对应的)相交于x1。求出这条 粗曲线关于x()的方程， (b) 加速运动的时钟变慢 证明：通过你自己的闵可夫斯基图。并利用时空不变近叔，说明在两个时空点P和Q 之间运动的时钟比静止不动的时钟走的慢。如果选择一个合适的初始参考系，则这个 证明并不需要川到变换微积分。 间题2 “相对论动力学” 考虑一个系统由三个粒子组成：一个能量是10GeV的质子，一个能量是100GeV的 电子，一个h一10O0GeV的光子，它们的运动方向如下图所示， X photon 1000 GeV proton 物 下面的问思(a),(b》,()的答案。用字母成符号表示出米即可。例如，用M像在
问题 1 “闵可夫斯基图” （a） 校准轴 下图显示的闵可夫斯基图的象限，包含 S 参考系的 ct 和 x 轴，也包括运动的 S′参考 系的 ct′和 x′轴（S′参考系运动速率是β= 4/5，γ=5/3）。标出 x′轴上的 A 点， 其坐标为（x′，ct′）=（1，0）。下图是严格按比例画出的。 （i） 线段 AD 与 ct 轴平行。用洛仑兹变换求出 S 参考系中 x 轴上的 D 点的坐 标。检查你的答案是否和图上读出的值一致。 （ii） 线段 AC 与 ct′轴平行。用洛仑兹变换求出 S 参考系中 x 轴上的 C 点的坐 标。检查你的答案是否和图上读出的值一致。 （iii） 这条粗的曲线把 A 点和 B 点连接起来，并用外推法使之与 x 轴相交于 1.0。 此外，它也将与图中所画的 x″轴（与β″对应的）相交于 x″=1。求出这条 粗曲线关于 x（t）的方程。 （b） 加速运动的时钟变慢 证明：通过你自己的闵可夫斯基图，并利用时空不变近似，说明在两个时空点 P 和 Q 之间运动的时钟比静止不动的时钟走的慢。如果选择一个合适的初始参考系，则这个 证明并不需要用到变换微积分。 问题 2 “相对论动力学” 考虑一个系统由三个粒子组成：一个能量是 10GeV 的质子，一个能量是 100GeV 的 电子，一个 hν=1000GeV 的光子。它们的运动方向如下图所示。 下面的问题（a），（b），（c）的答案，用字母或符号表示出来即可。例如，用 M′s, γ′s
的和表示，不要用到GeV. 《a》写出这个系统总动量的表达式手（矢量形式）. (6) 写出这个系统总能量的表达式E (e) 写出从一个惯性参考系到另一个惯性参考系的动量变换的一般表达式， 包括平行和垂直分量，（这涉及到两个参考系的相对运动，以及与相对运 动平行和垂直的动量分量，)应用这些变换找出动量为零的参考系（后面 的“质心”参考系)中速率的一般表达式。（一般把这个参考系称为S 参考系) 下面的(d),(e)和(f)部分的答案需要代入数值。不管单位是GeV还是没有 量钢的数值。在这个问愿中，你应该假定质子和电子的修是统一的。 (d)求出质心参考系的速率民： (e》 对动量或能量使用相对论变赖定律求出质心参考系的总旋量©： (D 用能量或动量不变性验任《e》部分答案。 间思3 “如速器问题” 一个静止质量是M的较子在半径为R的轨道上运动。存在外磁场品，且磁力线垂直 于轨道平面。粒子受到一个恒定的力F。,这个力总是沿着粒子的速度矢量（也就是， 章方向)。当粒子加速到较高速度（书）时，磁场强度也随之作调整。使较子可以继 续沿半径为R的轨道运动。 (a)写出描述粒子运动的定整的失量方程F■本/山。 (6)由方程式F=命/业的中分量找出微分方程城)，段定这个粒子从静止开始 运动。解微分方程)： (©)由方程式F■位/d由的P分量，证明磁场需要怎样变化《关于的函数)？注 意，这部分问题是独立的。与前面几邻分没有联系： 网思4 “电场和碰场中的相对论“ 利用下面给出的提示步黑，推导出E,E和：的变换定律。由S参考系的法拉第定 律：分量开始： 0E_8E10B e (a)S”参考系以速率B沿轴运动，将偏微分2/，0/y,0/}转化成s坐 标系中的相应形式。也就是，找出下面关系式中的系数a和加
β′s 和ν表示，不要用到 GeV。 （a） 写出这个系统总动量的表达式 ptot G （矢量形式）。 （b） 写出这个系统总能量的表达式 Etot。 （c） 写出从一个惯性参考系到另一个惯性参考系的动量变换的一般表达式， 包括平行和垂直分量。（这涉及到两个参考系的相对运动，以及与相对运 动平行和垂直的动量分量。）应用这些变换找出动量为零的参考系（后面 的“质心”参考系）中速率的一般表达式。（一般把这个参考系称为 S 参考系） 下面的（d），（e）和（f）部分的答案需要代入数值，不管单位是 GeV 还是没有 量纲的数值。在这个问题中，你应该假定质子和电子的β′s 是统一的。 （d） 求出质心参考系的速率βCM。 （e） 对动量或能量使用相对论变换定律求出质心参考系的总能量 ECM。 （f） 用能量或动量不变性验证（e）部分答案。 问题 3 “加速器问题” 一个静止质量是 M 的粒子在半径为 R 的轨道上运动，存在外磁场 B，且磁力线垂直 于轨道平面。粒子受到一个恒定的力 Fφ，这个力总是沿着粒子的速度矢量（也就是， φ ˆ 方向）。当粒子加速到较高速度（γ, β）时，磁场强度也随之作调整，使粒子可以继 续沿半径为 R 的轨道运动。 （a） 写出描述粒子运动的完整的矢量方程 F dp / dt G G = 。 （b） 由方程式 F dp / dt G G = 的φ ˆ 分量找出微分方程 u(t)。假定这个粒子从静止开始 运动，解微分方程 u(t)。 （c） 由方程式 F dp / dt G G = 的 rˆ 分量，证明磁场需要怎样变化（关于γ的函数）？注 意，这部分问题是独立的，与前面几部分没有联系。 问题 4 “电场和磁场中的相对论” 利用下面给出的提示步骤，推导出 Ex，Ey和 Bz的变换定律。由 S 参考系的法拉第定 律 z 分量开始： （a） S′ 参考系以速率β 沿 x-轴运动，将偏微分{∂ / ∂x,∂ / ∂y,∂ / ∂t}转化成 S′ 坐 标系中的相应形式。也就是，找出下面关系式中的系数 a 和 b：
0 0 街 =a10 :-byoop 0 步 (如果你无法完成()部分，可以利用上面关系式（系数特定）直接作(b)部 分，) (b)将这些变换微分应用到上面给出的法拉第定律的：方向分量 (e) 用绕义相对论的基本假定和(6》部分的结果求出推导出E,E和B的相对 论变换定律。尤其是，要说清楚你引用了两个基本假定的哪一条。 ()在=0时刻，一个点电荷g在原始参考系S中沿x方向以速率B运动。利用 (》部分中你得到的结果。说明为什么电场(x,共二，)=《0，上，0.0)的，因 子比从因定电神的库仑定律中得到的y(4)大， 题5 “费马原理在瓦席度规中的应用“ 用费马原理推导捕述施瓦席度规下光子的轨道。这部分内容中，贵马原理指出从A 点飞到B点所用时间（纪录纪录的时间）最短的路径，就是光子所走的路径。 (a)写出瓦席度规。令d:等于沿光子轨道运动所需时间的近似值。 (b) 重新整理表达式，月径向()方向和角向方向（✉）的运动表示出记录时 间的增量， (c) 用(b)部分的结果推导光子从A(,)点运动到ra阳)点所用时间的积 分表达式。（注意：这里从A(P么：》点运动到倒黑南）点所用时间是指纪景 灵所记录的时间。) (d)选择一个合适的拉拉格铜日方程是这个路径积分取最小值，并找出d体 (成本仙é》的方程式。 (e) 确定(d)部分出现的积分常数，以及误本中（由Taylor和Wheeler给出》的 光子轨道方程中的积分常数。 问思6 “牛顿字宙论” 对于字害来说，Q+1,字害演化方程的“标度因子”g是： a2=民 g+ 其中风是现在的哈勃常数(H。Dk刚/s·Ac》,2,和分别是物质和暗能量 密度，单位是临界密度（物质和能量的密度与路界密度之比）。由以上方程式作出发 点完成下面的计算： ()推导标度因子以时间为自变量的积分函数的表达式，国)：但是不用求解。 (b)推导现在的加速参数的表达式。 (©)写出标度因子a和红移：的关系。用这个表达式和上面a的表达式推导出关 于一个红移物体年龄的积分表达式。（这个积分式只有一个自变量：。）
（如果你无法完成（a）部分，可以利用上面关系式（系数待定）直接作（b）部 分。） （b） 将这些变换微分应用到上面给出的法拉第定律的 z 方向分量。 （c） 用狭义相对论的基本假定和（b）部分的结果求出推导出 Ex，Ey和 Bz的相对 论变换定律。尤其是，要说清楚你引用了两个基本假定的哪一条。 （d） 在 t= 0 时刻，一个点电荷 q 在原始参考系 S 中沿 x 方向以速率β 运动。利用 （c）部分中你得到的结果，说明为什么电场（x, y, z, t）=（0, y, 0, 0）的γ 因 子比从固定电荷的库仑定律中得到的γ（q/y2 ）大。 问题 5 “费马原理在施瓦席度规中的应用” 用费马原理推导描述施瓦席度规下光子的轨道。这部分内容中，费马原理指出从 A 点飞到 B 点所用时间（纪录员纪录的时间）最短的路径，就是光子所走的路径。 （a） 写出施瓦席度规。令 dτ 等于沿光子轨道运动所需时间的近似值。 （b） 重新整理表达式，用径向（dr）方向和角向方向（rdφ）的运动表示出记录时 间的增量。 （c） 用（b）部分的结果推导光子从 A（rA, φA）点运动到 B(rB, φB)点所用时间的积 分表达式。（注意：这里从 A（rA, φA）点运动到 B(rB, φB)点所用时间是指纪录 员所记录的时间。） （d） 选择一个合适的欧拉-拉格朗日方程是这个路径积分取最小值，并找出 dφ /dr （或 dr /dφ）的方程式。 （e） 确定（d）部分出现的积分常数，以及课本中（由 Taylor 和 Wheeler 给出）的 光子轨道方程中的积分常数。 问题 6 “牛顿宇宙论” 对于宇宙来说，ΩΛ+ΩM=1，宇宙演化方程的“标度因子”a 是： 其中 H0 是现在的哈勃常数（ H ≈ 70km / s⋅ Mpc 0 ），ΩΛ和ΩM 分别是物质和暗能量 密度，单位是临界密度（物质和能量的密度与临界密度之比）。由以上方程式作出发 点完成下面的计算： （a） 推导标度因子以时间为自变量的积分函数的表达式，a(t)。但是不用求解。 （b） 推导现在的加速参数 q0的表达式。 （c） 写出标度因子 a 和红移 z 的关系。用这个表达式和上面 . a 的表达式推导出关 于一个红移物体年龄的积分表达式。（这个积分式只有一个自变量 z。）
(d)对于=1和0的转味情况，“追瀛封间”到达宇宙微波青景(CMB)发 源的时间《：=1000)。“追满时间”定义为o一：其中4是字宙现 在的年龄，@是微被青景发薄时字由的年静。你的容案的单位是H或者 Gyro 包盟1 “较子在史瓦西度规中的动力学“ 〔a)一个静止质量为m的物体系在绳子的下端，在史瓦西度规中从到.如果 这个物体在：处从静止开始释做。求出它的能量（例如。运动的能量常数》。 在这都分以及《6)部分，？表示“起录厨”的半径坐标（也就是。“圆周" 的率轻坐标或“简化”后的半径坐标)。 (b》站在半径为r的球壳上的夏测者。观察一个静止质量为的物体，这个物体 由静止开雄运动。观测者沿半径方向投出物体，则物体例刚离开观测者的时 候具有能量E=了y取什么值才能使这个物体迹到无穷远处？ (e) 一颗人造卫星在国周上运动，L2m2一墙A1-3r求出相应的（匀速运动） 能量E。对于卫星上的时针米说，卫星的运动周期是什么T 位题8 “史瓦西度规中的光” ()领率为的片光从坐标为《：有》点传播到无穷远处的点（电，停），推导出领率 的表达式，现在，关于中子星表面的红移光谱线。首先需要的条件是 (入一入)/=035，其中名是发财处的被长，入是在无穷远处观测到的 波长，这里霜地球。找出中子星的缪的值。 (6)以史瓦西度规为出发点，崔导出光的径向速率的表达式（相对于景）。对 于纪录员来说，光从5M传播到一2+M需要到长时间？其中c是一个很 小的无量粥的数。商单解释你的结果
（d） 对于ΩΛ=1 和ΩM=0 的特殊情况，“追溯时间”到达宇宙微波背景（CMB）发 源的时间（ z ≈1000 ） 。 “追溯时间”定义为 t0− tCMB，其中 t0 是宇宙现 在的年龄，tCMB 是微波背景发源时宇宙的年龄。你的答案的单位是 1 0 − H 或者 Gyr。 问题 7 “粒子在史瓦西度规中的动力学” （a） 一个静止质量为 m0 的物体系在绳子的下端，在史瓦西度规中从∞ 到 r。如果 这个物体在 r 处从静止开始释放，求出它的能量（例如，运动的能量常数）。 在这部分以及（b）部分，r 表示“纪录员”的半径坐标（也就是，“圆周” 的半径坐标或“简化”后的半径坐标）。 （b） 站在半径为 r 的球壳上的观测者，观察一个静止质量为 m0 的物体，这个物体 由静止开始运动。观测者沿半径方向投出物体，则物体刚刚离开观测者的时 候具有能量 Eshell = γ m0。γ 取什么值才能使这个物体逃到无穷远处？ （c） 一颗人造卫星在圆周上运动，L2 /m 2 = Mr/(1−3M/r)。求出相应的（匀速运动） 能量 E。对于卫星上的时钟来说，卫星的运动周期是什么？ 问题 8 “史瓦西度规中的光” （a） 频率为的ν 0 光从坐标为（r,φ1）点传播到无穷远处的点（ 2 ∞,φ ）。推导出频率 的表达式，现在，关于中子星表面的红移光谱线，首先需要的条件是 (λ ∞ − λ0 )/ λ0 = 0.35，其中λ0 是发射处的波长，λ∞ 是在无穷远处观测到的 波长，这里指地球。找出中子星的 M/R 的值。 （b） 以史瓦西度规为出发点，推导出光的径向速率的表达式（相对于纪录员）。对 于纪录员来说，光从 r=6M 传播到 r=(2+ε)M 需要到长时间？其中ε是一个很 小的无量纲的数。简单解释你的结果