麻省理工学院 物理系 物理系8.282 2003年4月16日 测验2 姓名 解瓷 (请用印利体字) 1.解答10个月题中的7个一清楚地表明蝶7道题你想要得分。 2.花20分钟评估所有的问题，并选择7道题。 3。在这之后随即有2个小时的答题时间。 4.所有的问题是14分。 5.闭卷考试：但可以参考两真笔记，可以用计算器。 6。答题时，只要可能，尽量使用一般的分析表达式，在最后一步再代入数据 7。如果你有任何的问题。给授课教师发？-a11。 开始时间： 结束时间！ 签名 问题 得分 评阅话 1 2 3 4 5 6 8 9 10 总分
麻 省 理 工 学 院 物理系 物理系 8.282 2003 年 4 月 16 日 测验 2 姓名 解答 （请用印刷体字） 1． 解答 10 个问题中的 7 个—清楚地表明哪 7 道题你想要得分。 2． 花 20 分钟评估所有的问题，并选择 7 道题。 3． 在这之后随即有 2 个小时的答题时间。 4． 所有的问题是 14 分。 5． 闭卷考试；但可以参考两页笔记，可以用计算器。 6． 答题时，只要可能，尽量使用一般的分析表达式，在最后一步再代入数据。 7． 如果你有任何的问题，给授课教师发 e-mail。 开始时间： 结束时间： 签名
有用的常数 常数 屈米克秒单位 米干克秒单位 e (speed of light) 3×100cm/c 3×101m/s G (grnvitation constant) 7×10-s dypoem2/g2 7×10-1N-m2/kg2 (Boltzmann's constant) 1A×10-6eg/K 1.4×10-J/K [Planck's comsta暖 66×100 erg-sec 6.6×10-34 上 Tlpeoton 16x10-4 1.6×10-F kg eV (eleetron Volt) 16x10-12 erg 1.6×10-9 Ma (solar mass) 2×105 g 2×100kg Le{solar luminceity） 4×105 g/司 4×10满 J/see R(solar radius) 7×100cm 7×10m (Stefan-Boltzmann cons) 6×10-erg/cm2we-K 6×10-4J/m2-k A(Angstrom) 10-s cm 10-0m km(kilometer) 10 cm 10 pe (parsee) 3×1018cm 3×10M kpe (kiloparsec) 3×10c 3×109m Mpe (megaparsec) 3×104 cin 3×102 year 3×10F 3×10w w 86100e0 86008a0 AU 1.5×101scm 1.5×10l 1'(are mimute) 1/8400d 1/3400rad 1"(are socond) 1/200.00md 1/2a,000d
有用的常数 常数 厘米 - 克 - 秒单位 米 -千克 - 秒单位
问思1 在星系31探测到一而非常热的恒星，距离我们800k知c.恒星的湿度了-6×10穴并且到达地 球的流量为10严erzs cn°ee“(10飞加。把恒星的表面当成黑体辐财体， a。找出恒星的光度。 L=4D2Fam=1024x800×3×102Y=7x10ergs 问题的描述中有一个错淡：ks单位和c器的值并不匹配。在这种情况下，流量要大10倍 才是正角的答案。 b,计算恒星的半径， R=(L/4oT）-87x10cm=0.012R (知果流量你用k8单位半径会大1心倍，》 ©，发出的相射的峰值被长是多少？ 利用雏恩位移定律： 入m=029/Tem=48A 但题2 一个双星系统的光请在儿个月的时同中按记承下来，发现其中一朝恒星的波长以周期7天的 正弦由线形式发生变化。被长红移的叛幅的一半为4入/1一0001。另一颗恒星的光进设 有核探测到。问：可以精骑地得到两颗恒星质量的什么信息？进行定量计算。《提示，你的 答案要包括这个系统“质量函数”的形念和数值结果。) A2=1=103 '=3×10'cm-s 然而，“速度”n'只是恒星速度在视线方门的投影。如果i是轨道侧角，椰么的’=sni: 2ra,sini=(3sin0P=(3×10cw-X7天) as1ni=2.9×10cw 从开普勒第三定律，我们可以构造质量函数： f(M)= M.sin'i (2 (a sini) 它只依赖于已知的量，由于sin/(1+4/)<1,f(的是基的下限。 fM)=3.9×l0"g=19.5Me
问题 1 在星系 M31 探测到一颗非常热的恒星，距离我们 800kpc。恒星的温度 T=6×105 K 并且到达地 球的流量为 10-12 ergs cm -2 sec -1(10-9Wm-2)。把恒星的表面当成黑体辐射体。 a． 找出恒星的光度。 ( ) 37 1 2 2 12 21 4 10 4 800 3 10 7 10 - - L = D Flux = ´ ´ = ´ erg ×s p Earth p 问题的描述中有一个错误：mks 单位和 cgs 的值并不匹配。在这种情况下，流量要大 106倍 才是正确的答案。 b． 计算恒星的半径。 ( ) 1/ 2 4 8 R = L / 4psT = 8.7´ = 10 cm R 0.012 （如果流量你用 mks 单位半径会大 103倍。） c．发出的辐射的峰值波长是多少？ 利用维恩位移定律： Tcm A lmax = 0.29/ = 48 问题 2 一个双星系统的光谱在几个月的时间中被记录下来。发现其中一颗恒星的波长以周期 7 天的 正弦曲线形式发生变化。波长红移的振幅的一半为 Δλ/λ＝0.001。另一颗恒星的光谱没 有被探测到。问：可以精确地得到两颗恒星质量的什么信息？进行定量计算。（提示：你的 答案要包括这个系统“质量函数”的概念和数值结果。） 7 1 1 1 3 ' 3 10 10 ' - - = ´ × = = D v cm s c v l l 然而，“速度”v1′只是恒星速度在视线方向的投影。如果 i 是轨道倾角，那么 v1′＝v1sini。 7 1 1 1 12 1 2 sin ( sin ) (3 10 )(7 ) sin 2.9 10 a i v i P cm s a i cm p - = = ´ × = ´ 天 从开普勒第三定律，我们可以构造质量函数， ( ) ( ) ( ) 2 3 1 2 2 2 1 3 2 2 sin 1 sin P a i G M M M i f M p = ÷ ÷ ø ö ç ç è æ + = 它只依赖于已知的量。由于 sin3 i/(1+M1/M2) 2 <1，f(M)是 M2的下限。 34 f (M ) = 3.9´ = 10 g M 19.5
题3 下图是两个状星团：3和5的日一R图。(V是视星等，) a,确定3的日一R图上不问的恒星的演化状态。你可以在图中直接作答。 b。求出两个限团距离的关系，例知，/山。 水平支位于3的155等和5的15.1等，而主序载止于18.8等和1825等。这给出了平 均星等差是Q.47。 0.47=51o5 dn=1.24 dus 心。两个演化阶段主导的核反应是什么？爱生在恒星的什么地方？〔剑如，在壳层或是核区) 你不需要写出详细的核反应，简单的写出什么元素在“撼烧”就行。 主序：日e在核区 巨星，H→He在壳层 渐进巨星支：H一e和e一C在壳层 水平支：le一C和D在核区 d.多少颠一20主序星的亮度等于一=12.5的巨星的亮度7 =-2.5l0g 一颗恒星：'=20，所以：20=-2502 或F6=10 N颗恒星的流量为NF/F,且'=12.S v=125=-2.51og -2sn -2.5log N=20-2.5log N W=10
问题 3 下图是两个球状星团：M3 和 M5 的 H－R 图。（V 是视星等。） a． 确定 M3 的 H－R 图上不同的恒星的演化状态。你可以在图中直接作答。 b． 求出两个星团距离的关系，例如，dM3/dM5。 水平支位于 M3 的 15.5 等和 M5 的 15.1 等，而主序截止于 18.8 等和 18.25 等。这给出了平 均星等差是 0.47。 1.24 0.47 5log 5 3 5 3 = ÷ ÷ ø ö ç ç è æ = M M m M d d d d c． 两个演化阶段主导的核反应是什么？发生在恒星的什么地方？（例如，在壳层或是核区） 你不需要写出详细的核反应，简单的写出什么元素在“燃烧”就行。 主序：H→He 在核区 巨星：H→He 在壳层 渐进巨星支：H→He 和 He→C 在壳层 水平支：He→C 和 O 在核区 d． 多少颗 V＝20 主序星的亮度等于一颗 V＝12.5 的巨星的亮度？ 0 8 0 0 0 0 0 2.5log 20, : 20 2.5log , 10 . , 12.5. 12.5 2.5log 2.5log 2.5log 20 2.5log F V F F V F F F N NF F V NF F V N N F F - æ ö = - ç ÷ è ø æ ö = = - = ç ÷ è ø = æ ö æ ö = = - ç ÷ = - ç ÷ - = - è ø è ø 一颗恒星: 所以 或 颗恒星的流量为 且 3 = N 10
创题4 画我们眼河系的图《正向和侧向的》，定性地画出结构和不同天体所占的区域。标上任何你 知道的尺度大小。如果太阳圆烧很河系中心的纯道速度是20/se©（更准确速，在局部 静止坐标系)，告计银司系在太阳轨道内部的质量（以太附质量为单位品）。选择你恰巧知 道的任何太闲到假河系中心的距离。 ·太别 是国 50k国 格来 估计太阳轨道内部银河系的质量： GM(H/2,密度迅速地下降为0。 求得并画出对于所有z值(+和一》的引力场。（提示：利用高斯定律，但是用于引力。） 设想面一个高斯圆柱体。其底面积为A,位于土名《闲知，对称地位于银道面两边)。用于引 力的高斯定律为 unB·di=-4 Godv. 左边总是一2g4:而如果：H/2。右边为 -4Gp,(HA).所以在盘内有=4mGp在盘外有=2xGp,H
问题 4 画我们银河系的图（正向和侧向的），定性地画出结构和不同天体所占的区域。标上任何你 知道的尺度大小。如果太阳围绕银河系中心的轨道速度是 220 km/sec（更准确地，在局部 静止坐标系），估计银河系在太阳轨道内部的质量（以太阳质量为单位 M⊙）。选择你恰巧知 道的任何太阳到银河系中心的距离。 估计太阳轨道内部银河系的质量： ( ) ( ) ( ) 2 2 2 5 44 10 220 10 8 ( ) ( ) 1.7 10 9 10 GM R v R R kpc M R G M R M H / 2 ，密度迅速地下降为 0。 求得并画出对于所有 z 值（＋和－）的引力场。（提示：利用高斯定律，但是用于引力。） 设想画一个高斯圆柱体，其底面积为 A，位于±z（例如，对称地位于银道面两边）。用于引 力的高斯定律为 g ×dA = -4 . p r G dV ò ò 圆柱体 内部 左边总是－2gA；而如果 z H / 2 ，右边为 G (HA) - 4p r0 。所以在盘内有 g G z 0 = 4p r ，而在盘外有 0 g = 2p r G H
这幅图表示三的分量，单位是G月。 题6 最近的测量发现银河系的奥尔转常爱A和奥尔特常数B分别为1k■ske和-12张■ sec"kpc'.(还记得A=-寸R(do/dR)和B=A-a.) a.对常数A和B的推导爽面特方程用到了什么假段？ @()是骨的单到下降的函数 所有的轨道是圈形的 只利用一1ke距离以外的恒星 b。确定A和B需要测量什么？ 测量，《自行)，和恒星的距商作为了的函数。 ©。利用上面的A和B的值我出太用侧绕银河系旋转的顾率〔或具期)： B=A-创 0=A-B=14-(-12)=26 kmsec"kpe4 o=26km/se3×l0km 8.7x radians/see P=7×105sc=250百万年 d.从奥而特的方法中我门俊够了解眼河系“()的什么信息？ A=-JRdo】 2o八R @=14 4nR-28.-28 =-1 dIn 26
这幅图表示 g 的 z-分量，单位是Gr0H 。 问题 6 最近的测量发现银河系的奥尔特常数 A 和奥尔特常数 B 分别为 14km sec -1kpc -1和-12km sec -1kpc -1。（还记得 A R(d / dR) 2 1 º - w 和 B º A -w 。） a．对常数 A 和 B 的推导奥而特方程用到了什么假设？ ω(R)是 R 的单调下降的函数 所有的轨道是圆形的 只利用～1kpc 距离以外的恒星 b．确定 A 和 B 需要测量什么？ 测量 vr，vt（自行），和恒星的距离作为 l 的函数。 c．利用上面的 A 和 B 的值找出太阳围绕银河系旋转的频率（或周期）。 1 1 16 16 15 14 ( 12) 26 sec 26 /sec/ 3 10 2 8.7 10 /sec 7 10 sec 250 B A A B km kpc km km radians P P w w w p w - - - = - = - = - - = = ´ = ´ = » ´ = 百万年 d．从奥而特的方法中我们能够了解银河系 ω(R)的什么信息？ 1 14 2 ln 28 28 1 ln 26 R d A dR d R d w w w w w æ öæ ö = - ç ÷ç ÷ è øè ø = - = - -
题2 简答题 a。解释为什么恒星的星等差，仁B制量了恒星的留度： U=-2.5logF+常数 B=-25logF+同样的常数 U-B=-2.5oF) 所以B测量了两个不同波长上的流量比，因此燕量了温度， 6,由决定我们在银河氛所处的雷分的本地质量常度的情况。解释什么是“奥而特极限”。带 在沙及到的物理是什么？ “奥而特极限”假设大部分的质量位于很道面附近，所以g是常数。在平衡态时，物质粒子 以指数形式分布，标高依粉于《)和g的已知形式。通过测量标高和(，我们可以确定 ,由此确定本地质量密夜， c。什么是1水1gF图？如果观测到的天体成球对称分布。它的斜率表示什么？ 这样的图表示可见的天体数目()和它们光度的关系，军西在对数坐标中。由于在地球测 量的流量随变化，对给定光语型的天体能被看到的最大距离与天体的光度的平方根成反 比，我们观测天体的空间体积（与N成正比）是d的三次方。所以110g图的斜率为-3/2， 问题8 我门将在讲座中学到简并电子压支撑的气体的压力为： P=Kpso 其中X是常数，·是物质的密度。知果恒星完全由简并电子压支撑，利用流体静力学方程 的无量好分析： dp 。一P d 来确定这样的一顾由它的质量决定的恒星的半径是多少。 Kpin GMM 、g R KM GM RR R R=K GAM内
问题 7 简答题： a．解释为什么恒星的星等差，U-B 测量了恒星的温度。 ÷ ÷ ø ö ç ç è æ - = - = - + = - + B U B U F F U B B F U F 2.5log 2.5log 2.5log 同样的常数 常数 所以 U-B 测量了两个不同波长上的流量比，因此测量了温度。 b. 由决定我们在银河系所处的部分的本地质量密度的情况，解释什么是“奥而特极限”。潜 在涉及到的物理是什么？ “奥而特极限”假设大部分的质量位于银道面附近，所以 g 是常数。在平衡态时，物质粒子 以指数形式分布，标高依赖于〈v 2〉和 g 的已知形式。通过测量标高和〈v 2〉，我们可以确定 g，由此确定本地质量密度。 c．什么是 logN-logF 图？如果观测到的天体成球对称分布，它的斜率表示什么？ 这样的图表示可见的天体数目（N）和它们光度的关系，都画在对数坐标中。由于在地球测 量的流量随 d -2变化，对给定光谱型的天体能被看到的最大距离与天体的光度的平方根成反 比。我们观测天体的空间体积（与 N 成正比）是 d 的三次方。所以 log-log 图的斜率为-3/2。 问题 8 我们将在讲座中学到简并电子压支撑的气体的压力为： 5 / 3 P = Kr 其中 K 是常数，ρ 是物质的密度。如果恒星完全由简并电子压支撑，利用流体静力学方程 的无量纲分析： gr dr dP = - 来确定这样的一颗由它的质量 M 决定的恒星的半径是多少。 5/3 2 3 3 5/3 2 5 5 1/3 ~ K GM M R R R M R KM GM RR R K R GM r r æ öæ ö ç ÷ç ÷ è øè ø
问题9 把太用所有的能量（势能加热能）表示为下列简单形式， E=-GM: R 其中星和是分别是质量和半径。假设太阳内部能量的产生突然停止并且太阳慢慢收第。在这 个过程中，它的质量会保村不变，并且在银好的近拟情况下，它表面的温度也将保持不变一 58即0K。限设太阳的总能量一直由上式灵定，只是？在变小。写出太阳表面粼射功半和太阳 总能量变化（利用上面的表达式）的关系的简单（微分）方程。积分方程得出太阳半径收缩 到现在的1/2所用的时间（单位为年）. L=4xGR'T=dE/dr= GMdR rasa dR 4xoT 1 4xoT】 3(R/2)3R=- GM 1= GM (8 1 1207产R=22×10秒=75百万年 7GM 间思10 太阳主要的核反成是由4个氧核（日）结合成为一个'核。在太阳演化骏期，三个'核将 聚变为一个C核（通过一个国“三”的反应）。，和和C的原子质量剩余分别为 7,29,2.42和0WY。利用这个信息得旧氢燃烧相比e据烧的效率，你：可以把“效率”定义 为反应过程中质量的净损失留分，△联，（注意：原子的剩余质量一（上A·a小，比如， 原子实乐的质量诚去原子质量单位乘以它的质量数，热后换算为V能量单位，)最后，知 道1au静止质量能量为一90WV会有朽曲， 4H→：He+△E 4x729-242=AE=27MeV 32ie→。C2+A5=726MeV 27MeV 5u= =0.007 4×940MeV 7.3MeV 5w"I2×940MeV 40.0007
问题 9 把太阳所有的能量（势能加热能）表示为下列简单形式： 2 GM E R - 其中 M 和 R 分别是质量和半径。假设太阳内部能量的产生突然停止并且太阳慢慢收缩。在这 个过程中，它的质量 M 会保持不变，并且在很好的近似情况下，它表面的温度也将保持不变～ 5800K。假设太阳的总能量一直由上式决定，只是 R 在变小。写出太阳表面辐射功率和太阳 总能量变化（利用上面的表达式）的关系的简单（微分）方程。积分方程得出太阳半径收缩 到现在的 1/2 所用的时间（单位为年）。 ( ) 2 2 4 2 4 0.5 4 2 0 4 3 3 2 2 4 3 3 2 15 4 3 4 / 4 1 1 4 3 / 2 3 8 1 12 7 2.2 10 75 12 R t R GM dR L R T dE dt R dt dR T dt R GM T t R R GM GM t T R R GM t T R ps ps ps ps ps æ ö = = = ç ÷ è ø = - æ ö - + = -ç ÷ è ø æ ö = - ç ÷ è ø = = ´ = ò ò 秒 百万年 问题 10 太阳主要的核反应是由 4 个氢核(1H 1 )结合成为一个 2He4核。在太阳演化晚期，三个 2He4核将 聚变为一个 6C 12 核（通过一个叫“三 α”的反应）。1H 1，2He4 和 6C 12 的原子质量剩余分别为 7.29，2.42 和 0MeV。利用这个信息得出氢燃烧相比 He 燃烧的效率。你可以把‘效率’定义 为反应过程中质量的净损失部分，ΔM/M，（注意：原子的剩余质量＝(M-A× amu)c 2，比如， 原子实际的质量减去原子质量单位乘以它的质量数，然后换算为 MeV 能量单位。）最后，知 道 1 amu 静止质量能量为～940MeV 会有帮助。 1 4 1 2 1 1 4 12 2 6 2 H 4 4 7.29 2.42 27MeV 3 7.26MeV 27MeV 0.007 4 940MeV 7.3MeV 0.0007 12 940MeV He H He E E He C E e e ® + D ´ - = D = ® + D = = ´ = ´