麻省理工 电子工程和计算机科学 6.011:通信，控制和信号处理导论 测试1,2003.存 试卷 测试是闭参的，但是允许携带两张便条。 ·在每张答置卷上写上自已的名学，并在试卷封皮上写出你答疑老师的名字和时间 ·在评分中只考虑容避卷，写在其他地方的答案不会按考虑，绝对没有例外 ·干练的工作和清楚的解释是有价值的，请写出所有的相关工作和推理过程。你可伦首先 在草稿纸上演算然后转到答题纸上，如果你需要额外的草纸请让我们知道。 ·测试总分是50分，三个问愿的分数如试卷所示（但是我们希望你们知道如果你们的答 案和共问错说表明修改分数权重更合适，我们保留评分时稍微修改分数的权力，)
麻省理工 电子工程和计算机科学 6.011：通信，控制和信号处理导论 测试 1 ，2003，春 试卷 z 测试是闭卷的，但是允许携带两张便条。 z 在每张答题卷上写上自己的名字,并在试卷封皮上写出你答疑老师的名字和时间。 z 在评分中只考虑答题卷，写在其他地方的答案不会被考虑，绝对没有例外。 z 干练的工作和清楚的解释是有价值的，请写出所有的相关工作和推理过程。你可能首先 在草稿纸上演算然后转到答题纸上，如果你需要额外的草纸请让我们知道。 z 测试总分是 50 分，三个问题的分数如试卷所示（但是我们希望你们知道如果你们的答 案和共同错误表明修改分数权重更合适，我们保留评分时稍微修改分数的权力。）
问题1(20分) (a)b)(c)(山相互熟立，可以分别完成， (a)(4分)一个T信号x[可的DTT变换为： xe）=e2m(l-ea） x ()4分)假设我们知通信号x可的TX(a）在口<0,4g时值为2，在04知s≤牙 时值未知，这个信号是顾响为H(ea)的理想低通滤波器的输入，H(e)在<025知时 值为3,0.25知≤≤x时时值为0，输出信号儿问的能量∑y[可为？给出原因. (©)(6分)段设X和Y为零均值单位方差的随机变量.如果Y的线性最小均方误差(LDsE) 估计了(X)可以用X表示为 x)-x 均方误差(SE)是什么？假设随机变量Q定义为Q■Y+3,Q的线性最小均方误差(USE) 估计Q(X)用X表示是什么？均方误差(SE)是什么？最后，X的线性最小均方误差 (LE)估计X()用Y表示是什么？均方误差(sE)是什么？ ()(6分)假设x)是一个广义平稳随机过程，均值为马，·自相关函数为 C.(r)-2e州，x()的均值具有各态历经性，即时间平均等于总体平均， =7上0咖= (阳加1分：随机过程的什么特性保证均值具有各态历经性？) 如果y()=x()+Z,其中Z是一个均值为零，方差为σ2的随机变量，Z与x()相互验 立，求)的均值4，和自相关函数Cn(:),且对于()的一个样本函数求出时同平均 用这个结果求y()均值是否具有各态历经性
问题 1（20 分） (a)(b)(c)(d)相互独立，可以分别完成。 (a)(4 分)一个 DT 信号 x[n]的 DTFT 变换为： ( ) ( ) 2 3 1 jj j xe e e Ω Ω −Ω = − 求 x[n]。 (b)(4 分)假设我们知道信号 x[n]的 DTFT ( ) j X e Ω 在 Ω < 0.4π 时值为 2，在0.4π ≤Ω≤ π 时值未知，这个信号是频响为 ( ) j H e Ω 的理想低通滤波器的输入， ( ) j H e Ω 在 Ω < 0.25π 时 值为 3，0.25π ≤Ω≤ π 时时值为 0，输出信号 y n[ ] 的能量 [ ] 2 ∑ y n 为？给出原因。 (c)( 6 分)假设 X 和Y 为零均值单位方差的随机变量。如果Y 的线性最小均方误差（LMMSE） 估计 ˆY X( ) 可以用 X 表示为： ( ) 3 ˆ 4 YX X = 均方误差（MSE）是什么？假设随机变量Q 定义为Q Y = + 3，Q 的线性最小均方误差（LMMSE） 估计 ˆQ X( ) 用 X 表示是什么？均方误差（MSE）是什么？最后， X 的线性最小均方误差 （LMMSE）估计 ˆ X ( ) Y 用Y 表示是什么？均方误差（MSE）是什么？ (a)( 6 分) 假 设 x ( )i 是一个广义平稳随机过程，均值为 μx ，自相关函数为 () 2 C e xx τ τ − = ， x (i) 的均值具有各态历经性，即时间平均等于总体平均： ( ) 1 lim 2 T x T T x t dt T μ →∞ − = ∫ （附加 1 分）：随机过程的什么特性保证均值具有各态历经性？） 如果 yt xt Z () () = + ，其中 Z 是一个均值为零，方差为 2 σ Z 的随机变量， Z 与 x ( )i 相互独 立，求 y ( )i 的均值 μ y 和自相关函数Cyy (τ ) ，且对于 y (i) 的一个样本函数求出时间平均 ( ) 1 lim 2 T T T y t dt →∞ T ∫− 用这个结果求 y ( )i 均值是否具有各态历经性
问思2(20分) 下图中消息信号儿可鼓加密且通过一个有噪信道传输，然后在接收端加密，滤波。设儿可 为广文平稳的零均值随机过程。自相关函数为R【网小，功率谱密度()为S,(e)- 信号P可用于发射机的如密和接收机的解常，是独立同分布的随机过程，在任意时刻+1和 -1等概率出现并且与()独立。注意对于所有的n,p[可-1。被传输信号g川为积 可 Eneryption/deesyption sigmal Neecausal Wiener Ber 3lemnge signal H(e0) 可 Channel noise (倍分)分别求出P可和[可的均值H。,马，·自相关函数R[四小R[四（用R,丹表 示)，并求消息信号和棱传输信号的互相关函数R[m拦截被传输过程可对儿可]的线 性估计暑（可能是非因果的》是香有用。解释你的答案。 信道附如一个曼声信号可给按传输借号，所以接牧信号可以如下表示： g+-p可+r 假设v可为一个广义平稳的零均值随机过程.且R[m=6m小，且限设它与P小门 独立。 如以上都图所示，我们假设接收机知道加密信号P](即，用于加密的果样函数)。如果 没有信道噪声（即v可=0），解密将被简化为接收信号乘以可，因为： pmq可=pp可=p可=y 其中最后一个等式是p[可-1时的结果。 如果壁声，我们仍尝试以相同的方法解密，目是要加一个滤波过程，被滤波的信号如下：
问题 2（20 分） 下图中消息信号 y n[ ] 被加密且通过一个有噪信道传输，然后在接收端加密，滤波。设 y n[ ] 为广义平稳的零均值随机过程，自相关函数为 R yy [m]，功率谱密度（PSD）为 ( ) j yy S e Ω 。 信号 p[n] 用于发射机的加密和接收机的解密，是独立同分布的随机过程，在任意时刻 +1和 −1等概率出现，并且与 y ( )i 独立。注意对于所有的n ， [ ] 2 p n =1。被传输信号 q n[ ]为积 p[nyn ] [ ] (a)(8 分)分别求出 p[n] 和 q n[ ]的均值 , μ p q μ ，自相关函数 R pp qq [mR m ], [ ]（用 R yy [i]表 示），并求消息信号和被传输信号的互相关函数 R yq [m] 。拦截被传输过程 q n[ ]对 y n[ ] 的线 性估计器（可能是非因果的）是否有用，解释你的答案。 信道附加一个噪声信号v n[ ] 给被传输信号，所以接收信号可以如下表示： qn vn pnyn vn [ ] += + [ ] [ ] [ ] [ ] 假设v n[ ] 为一个广义平稳的零均值随机过程，且 [ ] [ ] 2 Rvv v m m = σ δ ，且假设它与 p[i]，y[i] 独立。 如以上框图所示，我们假设接收机知道加密信号 p[n] （即，用于加密的采样函数）。如果 没有信道噪声（即v n[ ] = 0），解密将被简化为接收信号乘以 y n[ ] ，因为： [ ] [ ] [ ]( [ ] [ ]) [ ] [ ] [ ] 2 p nqn pn pnyn p nyn yn = == 其中最后一个等式是 [ ] 2 p n =1时的结果。 如果有噪声，我们仍尝试以相同的方法解密，但是要加一个滤波过程，被滤波的信号如下：
=p(+=可+同小[网 (b)5分)求4·R[mR[两 (©)T分)假设在接牧端构造一个稳定的因果排纳滤液器，以产生川口]的线性最小均方 差估计川。求该滤波器的顾响H(e@),并检查在G=0和↑两件极限情况下是 否是你期望的值。并根据S,(e)和o写出滤波器均方误差(5E)的表达式，且检查在 G=0和G↑0两种极限情况下是否为你拥望的值
x[n pn pn yn vn yn pnvn ] = + =+ [ ]( ) [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] （b）(5 分)求 μx ， Rxx [m] ， R yx [m] （c）(7 分)假设在接收端构造一个稳定的非因果维纳滤波器，以产生 y n[ ]的线性最小均方 差估计 y n ˆ[ ]。求该滤波器的频响 ( ) j H e Ω ，并检查在 2 0 σ v = 和 2 σ v ↑ ∞ 两种极限情况下是 否是你期望的值。并根据 ( ) j yy S e Ω 和 2 σ v 写出滤波器均方误差（MSE）的表达式，且检查在 2 0 σ v = 和 2 σ v ↑ ∞ 两种极限情况下是否为你期望的值
问题3(10分) 假设广义平稳的零均值随机过程x[可的自相关函数R闭的Z变操为： 1 se-aea） 其中 a(）-+a+a-++a 是一个L阶的多项式，且根都在单位圆内，很明显，我们可以写出S。(:）的另外一种形式： .(间间e可1+4+*0+a++a阳 ()(4分)求一个稳定因果滤波器，其逆也是稳定因果的，它的系饶函数M()满足 M(e)M(e）=S.(e) (b)(6分)求一个因果维纳滤被器的系统函数H,()和相应的单位采样响应么[可]，它使 用门的观测值（包括时刻川）来产生x[:+刂的线性最小均方误差估计值（所以这个滤波 器是一步的维纳滤波)。 提示，《根据你处理问题的方法)你可能觉得用以下的关系会使解题更简便， a)==-马e+a++aE a() 且观测： ata++a a(=) 有一个因果稳定（即，绝对可和）的逆变换。 臀如2分：求“两步”因果推纳预测器的系统函数H,(巴)和单位轴样响应么().它使用刊 的观测值（但括时刻：）米估计可n+引，使之具有线性最小均方误差，你可以使用下列等 式中定义的A,,P2表示你的答案。 a阿-a:-B+B:++PE a(=)
问题 3（10 分） 假设广义平稳的零均值随机过程 x[n]的自相关函数 Rxx [m] 的 Z 变换为： ( ) ( ) ( ) 1 1 xx S z azaz− = 其中 ( ) 1 2 1 2 ..... LL L L a z z az a z a − − =+ + + + 是一个 L 阶的多项式，且根都在单位圆内，很明显，我们可以写出 S z xx ( ) 的另外一种形式： ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 ... 1 ... L L xx L L L z z S z a z az a z az a z a z − − − − = = + ++ + ++ （a）（4 分）求一个稳定因果滤波器，其逆也是稳定因果的，它的系统函数 M ( )z 满足 ( ) ( ) ( ) 1 M xx zM z S z − = 。 （b）（6 分）求一个因果维纳滤波器的系统函数 H z 1 ( ) 和相应的单位采样响应 h n 1 [ ]，它使 用 x[i] 的观测值（包括时刻 n ）来产生 x n[ +1] 的线性最小均方误差估计值（所以这个滤波 器是一步的维纳滤波）。 提示：（根据你处理问题的方法）你可能觉得用以下的关系会使解题更简便。 ( ) ( ) 1 1 1 2 ... L L L L z az a z a z z az az + − + ++ = − 且观测： ( ) 1 1 2 ... L L L az a z a z a z − + ++ 有一个因果稳定（即，绝对可和）的逆变换。 附加 2 分：求“两步”因果维纳预测器的系统函数 2 H z( ) 和单位抽样响应 2 h z( ) ，它使用 x[i] 的观测值（包括时刻 n ）来估计 x n[ 2] + ，使之具有线性最小均方误差，你可以使用下列等 式中定义的 1, , L p " p 表示你的答案。 ( ) ( ) 2 1 2 1 2 1 ... L L L L z p z pz pz z az az az + − + ++ =− −
(这里的A,,P,根据a,…,4可以很容易写出，但在这并不重要)
（这里的 1, , L p " p 根据 1, , L a a " 可以很容易写出，但在这并不重要）