
麻省理工 电子工程和计算机科学 6.011:通信,控制和信号处理导论 测试1,2003.存 试卷 测试是闭参的,但是允许携带两张便条。 ·在每张答置卷上写上自已的名学,并在试卷封皮上写出你答疑老师的名字和时间 ·在评分中只考虑容避卷,写在其他地方的答案不会按考虑,绝对没有例外 ·干练的工作和清楚的解释是有价值的,请写出所有的相关工作和推理过程。你可伦首先 在草稿纸上演算然后转到答题纸上,如果你需要额外的草纸请让我们知道。 ·测试总分是50分,三个问愿的分数如试卷所示(但是我们希望你们知道如果你们的答 案和共问错说表明修改分数权重更合适,我们保留评分时稍微修改分数的权力,)
麻省理工 电子工程和计算机科学 6.011:通信,控制和信号处理导论 测试 1 ,2003,春 试卷 z 测试是闭卷的,但是允许携带两张便条。 z 在每张答题卷上写上自己的名字,并在试卷封皮上写出你答疑老师的名字和时间。 z 在评分中只考虑答题卷,写在其他地方的答案不会被考虑,绝对没有例外。 z 干练的工作和清楚的解释是有价值的,请写出所有的相关工作和推理过程。你可能首先 在草稿纸上演算然后转到答题纸上,如果你需要额外的草纸请让我们知道。 z 测试总分是 50 分,三个问题的分数如试卷所示(但是我们希望你们知道如果你们的答 案和共同错误表明修改分数权重更合适,我们保留评分时稍微修改分数的权力。)

问题1(20分) (a)b)(c)(山相互熟立,可以分别完成, (a)(4分)一个T信号x[可的DTT变换为: xe)=e2m(l-ea) x ()4分)假设我们知通信号x可的TX(a)在口<0,4g时值为2,在04知s≤牙 时值未知,这个信号是顾响为H(ea)的理想低通滤波器的输入,H(e)在<025知时 值为3,0.25知≤≤x时时值为0,输出信号儿问的能量∑y[可为?给出原因. (©)(6分)段设X和Y为零均值单位方差的随机变量.如果Y的线性最小均方误差(LDsE) 估计了(X)可以用X表示为 x)-x 均方误差(SE)是什么?假设随机变量Q定义为Q■Y+3,Q的线性最小均方误差(USE) 估计Q(X)用X表示是什么?均方误差(SE)是什么?最后,X的线性最小均方误差 (LE)估计X()用Y表示是什么?均方误差(sE)是什么? ()(6分)假设x)是一个广义平稳随机过程,均值为马,·自相关函数为 C.(r)-2e州,x()的均值具有各态历经性,即时间平均等于总体平均, =7上0咖= (阳加1分:随机过程的什么特性保证均值具有各态历经性?) 如果y()=x()+Z,其中Z是一个均值为零,方差为σ2的随机变量,Z与x()相互验 立,求)的均值4,和自相关函数Cn(:),且对于()的一个样本函数求出时同平均 用这个结果求y()均值是否具有各态历经性
问题 1(20 分) (a)(b)(c)(d)相互独立,可以分别完成。 (a)(4 分)一个 DT 信号 x[n]的 DTFT 变换为: ( ) ( ) 2 3 1 jj j xe e e Ω Ω −Ω = − 求 x[n]。 (b)(4 分)假设我们知道信号 x[n]的 DTFT ( ) j X e Ω 在 Ω < 0.4π 时值为 2,在0.4π ≤Ω≤ π 时值未知,这个信号是频响为 ( ) j H e Ω 的理想低通滤波器的输入, ( ) j H e Ω 在 Ω < 0.25π 时 值为 3,0.25π ≤Ω≤ π 时时值为 0,输出信号 y n[ ] 的能量 [ ] 2 ∑ y n 为?给出原因。 (c)( 6 分)假设 X 和Y 为零均值单位方差的随机变量。如果Y 的线性最小均方误差(LMMSE) 估计 ˆY X( ) 可以用 X 表示为: ( ) 3 ˆ 4 YX X = 均方误差(MSE)是什么?假设随机变量Q 定义为Q Y = + 3,Q 的线性最小均方误差(LMMSE) 估计 ˆQ X( ) 用 X 表示是什么?均方误差(MSE)是什么?最后, X 的线性最小均方误差 (LMMSE)估计 ˆ X ( ) Y 用Y 表示是什么?均方误差(MSE)是什么? (a)( 6 分) 假 设 x ( )i 是一个广义平稳随机过程,均值为 μx ,自相关函数为 () 2 C e xx τ τ − = , x (i) 的均值具有各态历经性,即时间平均等于总体平均: ( ) 1 lim 2 T x T T x t dt T μ →∞ − = ∫ (附加 1 分):随机过程的什么特性保证均值具有各态历经性?) 如果 yt xt Z () () = + ,其中 Z 是一个均值为零,方差为 2 σ Z 的随机变量, Z 与 x ( )i 相互独 立,求 y ( )i 的均值 μ y 和自相关函数Cyy (τ ) ,且对于 y (i) 的一个样本函数求出时间平均 ( ) 1 lim 2 T T T y t dt →∞ T ∫− 用这个结果求 y ( )i 均值是否具有各态历经性

问思2(20分) 下图中消息信号儿可鼓加密且通过一个有噪信道传输,然后在接收端加密,滤波。设儿可 为广文平稳的零均值随机过程。自相关函数为R【网小,功率谱密度()为S,(e)- 信号P可用于发射机的如密和接收机的解常,是独立同分布的随机过程,在任意时刻+1和 -1等概率出现并且与()独立。注意对于所有的n,p[可-1。被传输信号g川为积 可 Eneryption/deesyption sigmal Neecausal Wiener Ber 3lemnge signal H(e0) 可 Channel noise (倍分)分别求出P可和[可的均值H。,马,·自相关函数R[四小R[四(用R,丹表 示),并求消息信号和棱传输信号的互相关函数R[m拦截被传输过程可对儿可]的线 性估计暑(可能是非因果的》是香有用。解释你的答案。 信道附如一个曼声信号可给按传输借号,所以接牧信号可以如下表示: g+-p可+r 假设v可为一个广义平稳的零均值随机过程.且R[m=6m小,且限设它与P小门 独立。 如以上都图所示,我们假设接收机知道加密信号P](即,用于加密的果样函数)。如果 没有信道噪声(即v可=0),解密将被简化为接收信号乘以可,因为: pmq可=pp可=p可=y 其中最后一个等式是p[可-1时的结果。 如果壁声,我们仍尝试以相同的方法解密,目是要加一个滤波过程,被滤波的信号如下:
问题 2(20 分) 下图中消息信号 y n[ ] 被加密且通过一个有噪信道传输,然后在接收端加密,滤波。设 y n[ ] 为广义平稳的零均值随机过程,自相关函数为 R yy [m],功率谱密度(PSD)为 ( ) j yy S e Ω 。 信号 p[n] 用于发射机的加密和接收机的解密,是独立同分布的随机过程,在任意时刻 +1和 −1等概率出现,并且与 y ( )i 独立。注意对于所有的n , [ ] 2 p n =1。被传输信号 q n[ ]为积 p[nyn ] [ ] (a)(8 分)分别求出 p[n] 和 q n[ ]的均值 , μ p q μ ,自相关函数 R pp qq [mR m ], [ ](用 R yy [i]表 示),并求消息信号和被传输信号的互相关函数 R yq [m] 。拦截被传输过程 q n[ ]对 y n[ ] 的线 性估计器(可能是非因果的)是否有用,解释你的答案。 信道附加一个噪声信号v n[ ] 给被传输信号,所以接收信号可以如下表示: qn vn pnyn vn [ ] += + [ ] [ ] [ ] [ ] 假设v n[ ] 为一个广义平稳的零均值随机过程,且 [ ] [ ] 2 Rvv v m m = σ δ ,且假设它与 p[i],y[i] 独立。 如以上框图所示,我们假设接收机知道加密信号 p[n] (即,用于加密的采样函数)。如果 没有信道噪声(即v n[ ] = 0),解密将被简化为接收信号乘以 y n[ ] ,因为: [ ] [ ] [ ]( [ ] [ ]) [ ] [ ] [ ] 2 p nqn pn pnyn p nyn yn = == 其中最后一个等式是 [ ] 2 p n =1时的结果。 如果有噪声,我们仍尝试以相同的方法解密,但是要加一个滤波过程,被滤波的信号如下:

=p(+=可+同小[网 (b)5分)求4·R[mR[两 (©)T分)假设在接牧端构造一个稳定的因果排纳滤液器,以产生川口]的线性最小均方 差估计川。求该滤波器的顾响H(e@),并检查在G=0和↑两件极限情况下是 否是你期望的值。并根据S,(e)和o写出滤波器均方误差(5E)的表达式,且检查在 G=0和G↑0两种极限情况下是否为你拥望的值
x[n pn pn yn vn yn pnvn ] = + =+ [ ]( ) [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] (b)(5 分)求 μx , Rxx [m] , R yx [m] (c)(7 分)假设在接收端构造一个稳定的非因果维纳滤波器,以产生 y n[ ]的线性最小均方 差估计 y n ˆ[ ]。求该滤波器的频响 ( ) j H e Ω ,并检查在 2 0 σ v = 和 2 σ v ↑ ∞ 两种极限情况下是 否是你期望的值。并根据 ( ) j yy S e Ω 和 2 σ v 写出滤波器均方误差(MSE)的表达式,且检查在 2 0 σ v = 和 2 σ v ↑ ∞ 两种极限情况下是否为你期望的值

问题3(10分) 假设广义平稳的零均值随机过程x[可的自相关函数R闭的Z变操为: 1 se-aea) 其中 a()-+a+a-++a 是一个L阶的多项式,且根都在单位圆内,很明显,我们可以写出S。(:)的另外一种形式: .(间间e可1+4+*0+a++a阳 ()(4分)求一个稳定因果滤波器,其逆也是稳定因果的,它的系饶函数M()满足 M(e)M(e)=S.(e) (b)(6分)求一个因果维纳滤被器的系统函数H,()和相应的单位采样响应么[可],它使 用门的观测值(包括时刻川)来产生x[:+刂的线性最小均方误差估计值(所以这个滤波 器是一步的维纳滤波)。 提示,《根据你处理问题的方法)你可能觉得用以下的关系会使解题更简便, a)==-马e+a++aE a() 且观测: ata++a a(=) 有一个因果稳定(即,绝对可和)的逆变换。 臀如2分:求“两步”因果推纳预测器的系统函数H,(巴)和单位轴样响应么().它使用刊 的观测值(但括时刻:)米估计可n+引,使之具有线性最小均方误差,你可以使用下列等 式中定义的A,,P2表示你的答案。 a阿-a:-B+B:++PE a(=)
问题 3(10 分) 假设广义平稳的零均值随机过程 x[n]的自相关函数 Rxx [m] 的 Z 变换为: ( ) ( ) ( ) 1 1 xx S z azaz− = 其中 ( ) 1 2 1 2 ..... LL L L a z z az a z a − − =+ + + + 是一个 L 阶的多项式,且根都在单位圆内,很明显,我们可以写出 S z xx ( ) 的另外一种形式: ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 ... 1 ... L L xx L L L z z S z a z az a z az a z a z − − − − = = + ++ + ++ (a)(4 分)求一个稳定因果滤波器,其逆也是稳定因果的,它的系统函数 M ( )z 满足 ( ) ( ) ( ) 1 M xx zM z S z − = 。 (b)(6 分)求一个因果维纳滤波器的系统函数 H z 1 ( ) 和相应的单位采样响应 h n 1 [ ],它使 用 x[i] 的观测值(包括时刻 n )来产生 x n[ +1] 的线性最小均方误差估计值(所以这个滤波 器是一步的维纳滤波)。 提示:(根据你处理问题的方法)你可能觉得用以下的关系会使解题更简便。 ( ) ( ) 1 1 1 2 ... L L L L z az a z a z z az az + − + ++ = − 且观测: ( ) 1 1 2 ... L L L az a z a z a z − + ++ 有一个因果稳定(即,绝对可和)的逆变换。 附加 2 分:求“两步”因果维纳预测器的系统函数 2 H z( ) 和单位抽样响应 2 h z( ) ,它使用 x[i] 的观测值(包括时刻 n )来估计 x n[ 2] + ,使之具有线性最小均方误差,你可以使用下列等 式中定义的 1, , L p " p 表示你的答案。 ( ) ( ) 2 1 2 1 2 1 ... L L L L z p z pz pz z az az az + − + ++ =− −

(这里的A,,P,根据a,…,4可以很容易写出,但在这并不重要)
(这里的 1, , L p " p 根据 1, , L a a " 可以很容易写出,但在这并不重要)