6011 2004.122测验1 麻省理工 电子工程和计算机科学 6.011；通信，控制和信号处理导论 测试1,10月12,2004 答案 金名 测试是闭参的，允许携墙笔记，计算器不是必活的也不允许使用 在上面指定的空格填写自己的名字，在导师的名字旁边填写骨铺时间 检查这份答案是香为12真。这份答案包含所有答案空阿 干练的工作和清楚的解释是有价值的，请写出所有的相关工作和推理过程。你青能首先 在草稿纸上演算然后转到答题纸上，如果你需要额外的草纸请让我们知道，在评分中只 考虑这份答题纸，其他写到任何地方的答案将不予考思。绝对设有例外。 试卷上有两个问题。分数如试卷上所示。 不要和今天没有参知测试的学生讨论测试的内容。 问题 分数 1(35分) 2(15分) 总计(50分)
6.011 2004.12.测验 1 麻省理工 电子工程和计算机科学 6.011：通信，控制和信号处理导论 测试 1 ，10 月 12，2004 答案 全名 z 测试是闭卷的，允许携带笔记，计算器不是必需的也不允许使用 z 在上面指定的空格填写自己的名字，在导师的名字旁边填写背诵时间 z 检查这份答案是否为 12 页，这份答案包含所有答案空间 z 干练的工作和清楚的解释是有价值的，请写出所有的相关工作和推理过程。你肯能首先 在草稿纸上演算然后转到答题纸上，如果你需要额外的草纸请让我们知道，在评分中只 考虑这份答题纸，其他写到任何地方的答案将不予考虑。绝对没有例外。 z 试卷上有两个问题，分数如试卷上所示。 z 不要和今天没有参加测试的学生讨论测试的内容。 问题 分数 1（35 分） 2（15 分） 总计（50 分）
6D11 2004.12测验1 问题1(35分) 1(a》(10分)一个离散时间L1系统频响为： H(e）= eim e-o 求它的单位采样响应：]（知果你的做法正确，你会发现这个系统近不是因果的也不是非 因果的)：并求出 三州 和H(eadm 注意，为了获取这部分的分数，你活要获得积分结果，请认真阅读问题，并在不做任何计算 的情况下求积分，下列公式可能对你有帮助： 空r,·H 在此处写下1(a)答案：
6.011 2004.12.测验 1 问题 1（35 分） 1（a）（10 分） 一个离散时间 LTI 系统频响为： ( ) 2 1 1 2 j j j e H e e Ω Ω − Ω = − 求它的单位采样响应 h n[ ]（如果你的做法正确，你会发现这个系统既不是因果的也不是非 因果的）。并求出 [ ] k h k ∞ =−∞ ∑ 和 ( ) 2 0 j He d π Ω ∫ Ω 注意：为了获取这部分的分数，你需要获得积分结果，请认真阅读问题，并在不做任何计算 的情况下求积分，下列公式可能对你有帮助： 0 1 1 i i r r ∞ = = − ∑ ， r <1 在此处写下 1（a）答案：
6011 2004.12别脸1 三4 n()o-
6.011 2004.12.测验 1 h n[ ] = [ ] k h k ∞ =−∞ ∑ = ( ) 2 0 j He d π Ω Ω = ∫
6011 2004.12.测验1 1(D)(5分)如果同表示一个广文平稳的随机过程，均值为4，·自协方差为 C[m=a刷，根据x[可，求n+2的线性最小均方误差。换句话说，求 a+2小-a可+B中的a和B使得E《n+2斗-a+2}最小，并计算相关的最小 均方误差(MSE). a■ B- MSE=
6.011 2004.12.测验 1 1（b）（5 分）如果 x[n] 表示一个广义平稳的随机过程，均值为 μx ，自协方差为 [ ] [ ] 2 Cm m xx x = σ δ ，根据 x[n] ， 求 x n[ + 2] 的线性最小均方误差。换句话说，求 xn xn ˆ[ += + 2] α [ ] β 中的α 和 β 使得 {( ) [ ][ ] } 2 E xn xn +− + 2 2 ˆ 最小，并计算相关的最小 均方误差（MSE）。 α = β = MSE=
6011 2004.12测验1 1(C)(10分)如果1(b)中随机过程x[可作为1(a)中系统的输入，求输出川可的功 率瑞密度5(e)?同样求出E{}.E{[可和 =三州 在此处写下1(c)答案： sn(em）= E(y(m))= E{儿}= =之 注意：如果你发联白己在1()上花了太多时间或遇到了麻烦，请转做下一题. 1()(10分)使用前面已经定义的量，并假设马，=0，对于所有的”，能够测量 可=可+小，其中可是均值为零且强度为的白噪声且和x不相关。计算 非因果维纳滤波器W()的顿率响应，该滤被器m时刻的输入为q可，输出为具有线性 最小均方误差意义的估计值[n+2]。当=0时，检查答案是否和预期一致。 在此处写下1(d)答案：
6.011 2004.12.测验 1 1（c）（10 分）如果 1（b）中随机过程 x[n]作为 1（a）中系统的输入，求输出 y n[ ] 的功 率谱密度 ( ) j yy S e Ω ？同样求出 E{y n[ ]}， { [ ]} 2 E y n 和 [ ] 1 lim 2 1 N N k N y k →∞ N + =− ∑ 在此处写下 1（c）答案： ( ) j yy S e Ω = E yn { [ ]} = { [ ]} 2 Ey n = [ ] 1 lim 2 1 N N k N y k →∞ N =− = + ∑ 注意：如果你发现自己在 1（d）上花了太多时间或遇到了麻烦，请转做下一题. 1（d）（10 分）使用前面已经定义的量，并假设 0 μx = ，对于所有的 n ，能够测量 qn yn n [ ] = + [ ] υ [ ]，其中υ [n] 是均值为零且强度为 2 συ 的白噪声且和 x[k]不相关。计算 非因果维纳滤波器 ( ) j W e Ω 的频率响应，该滤波器 n 时刻的输入为 q n[ ]，输出为具有线性 最小均方误差意义的估计值 x n ˆ[ + 2] 。当 2 0 σ v = 时，检查答案是否和预期一致。 在此处写下 1（d）答案：
6011 2004.12别验1 w(e)- 当c2=0,会变成 解释合理性：
6.011 2004.12.测验 1 ( ) j W e Ω = 当 2 0 σ v = ，会变成： 解释合理性：
6011 2004.12.测验1 问思2(15分) 2(Q)(5分)假设x)被一个频响为}-心的稳定系能滤波后得到g),置设气)经 1+p 过相同的系统得到4()，用S(四)表示互请密度S(四)（设马和名是联合广义平 稳的) Se(n)= 2(b》(10分)对于下面每个函数[网·陈述它们是否可能为一个广文平稳的离酸时间随 机过程的自相关函数，其中所表示廷送。如果它不可能，解释为什么：如果可能。请详细 解释如何通过对一个伯努利过程进打滤被米获得这样一个随机过程，伯努利过程在每个时刻 等概半地取+1和-. (Dm=0时R刷=1，州=1时m=0.7,其他地方R刷=0 (Dm-0时m-2,网-1时m--1,其他地方网]-0 1 街=0 2(b)(D[m=0.7m=1 0 other
6.011 2004.12.测验 1 问题 2（15 分） 2（a）（5 分）假设 x1 ( )t 被一个频响为1 1 jw jw − + 的稳定系统滤波后得到q t 1 ( ) ，假设 x2 ( )t 经 过相同的系统得到 q t 2 ( ) ，用 ( ) 1 2 x x S jω 表示互谱密度 ( ) 1 2 q q S jω （设 1 x 和 2 x 是联合广义平 稳的） ( ) 1 2 q q S jw = 2（b）（10 分）对于下面每个函数 R[m] ，陈述它们是否可能为一个广义平稳的离散时间随 机过程的自相关函数，其中 m 表示延迟。如果它不可能，解释为什么；如果可能，请详细 解释如何通过对一个伯努利过程进行滤波来获得这样一个随机过程，伯努利过程在每个时刻 等概率地取 +1和 −1。 （i） m = 0时 R m[ ] =1， m =1时 R m[ ] = 0.7 ，其他地方 R m[ ] = 0 （ii） m = 0时 R m[ ] = 2 ， m =1时 R m[ ] = −1，其他地方 R m[ ] = 0 2（b）（i） [ ] 1 0 0.7 1 0 m Rm m other ⎧ = ⎪ = = ⎨ ⎪ ⎩
6011 2004.12.判验1 所=0 2(b)()R[m= -1网=1 0 other
6.011 2004.12.测验 1 2（b）（ii） [ ] 2 0 1 1 0 m Rm m other ⎧ = ⎪ =− = ⎨ ⎪ ⎩