麻省理工学院 电气工程与计算机科学系 第9组题 6.632电磁波理论 2003年若季 指定阅读：JA.Kong著“电磁波理论”中的434.4节 题P9. 一绕杆(le)天线由两个互成直角放置的赫兹偶极子组成，两个偶极子分 别具有下式给出的恒定电流分布 J-8) 和 J,=(r) (a)证明此天线产生的电场为 +后+（信）月--言+（信台）》 ()求x少平面上B=2时的远区(>1)总电场。证明电场的实数空间一时间 关系取c-草一kP》形式。注意 章-产ce5sn度-sin有+0 cos 6co0 y=Fsin sin◆+草cs+@sin cos日 y平面上的辐射波是什么极化？ (c)求y平自上的辐射功南方向阁。 (d求：轴上的总细射电场，：方向的辐射波是什么极化？ (©)计算远场中+：方向的辐财功率密度，并与+云方向的幅射功率密度作比较。 思P9.2 在核磁共报成像(MRI)应用中，假设原子核的磁矩为M=M,(cscw+snw): 式中拉莫尔(Larmor)角颊率四=yBa.恒定磁场B,在8方向。 (a)诽明：由原了核附近的白旋原了核产生的磁场为
麻省理工学院 电气工程与计算机科学系 第 9 组题 6.632 电磁波理论 2003年春季 指定阅读：J.A.Kong著“电磁波理论”中的4.3-4.4节 题 P9.1 一绕杆（turnstile）天线由两个互成直角放置的赫兹偶极子组成，两个偶极子分 别具有下式给出的恒定电流分布 ˆ ( ) 1 J = xIlδ r 和 ˆ ( ) 2 J = yiIlδ r (a) 证明此天线产生的电场为 (b) 求 x-y 平面上 θ = π/2 时的远区 (kρρ>>1) 总电场。证明电场的实数空间－时间 关系取 cos(ωt − φ − kρρ) 形式。注意 φ φ φ φ θ cosφ cosθ ˆ sin ˆ xˆ = rˆ cos sin − + φ φ φ φ θ sinφ cosθ ˆ cos ˆ yˆ = rˆsin sin + + x-y 平面上的辐射波是什么极化？ (c) 求 x-y 平面上的辐射功率方向图。 (d) 求 z 轴上的总辐射电场。 zˆ 方向的辐射波是什么极化？ (e) 计算远场中+ zˆ 方向的辐射功率密度，并与 + xˆ 方向的辐射功率密度作比较。 题 P9.2 在核磁共振成像（MRI）应用中，假设原子核的磁矩为 0 M = + M x( cˆ osωt yˆsinωt)， 式中拉莫尔（Larmor）角频率 ω = γB0，恒定磁场 B0 在 zˆ 方向。 (a) 证明：由原子核附近的自旋原子核产生的磁场为 1
m=1{-+3 ®)一个拾音线调位于x=d处的：平面上，其中心线与x轴相一致，求与该线 图交链的时变磁场的x分量：拾音线圈上的感应电压（磁势力）可用下面公式 求得 v=-品{daB,, 证明拾音线圈上的感应电压只有下面形式 V=Ue小sin 求系数U(,为什么需要大的恒定磁场，以使在拾音线图上获得大的感应电 压？ (©假设两个具有相同的旋磁比？的阀极子位于：轴上，间距为.设两个磁偶 极予掌近原点，因此每个磁偶极了产生的感应电压近似为=U(@,sno=l, 2》.利用射類(RF)拾者线陶可以精确测量拉莫尔(Larmor)類率。令a1 02m,根据△w利y求作用在两个磁偶极子上的恒定磁场B,之差。 个设恒定磁场为=+)，拉英尔须率差为0一M。根据w,7和1 求两个燃偶极矩的间距8。 (@假设该做偶极了为室温下的旋转水质了，质了的旋做比为7=27×10T'.设 两个质子位于：轴上。施如的恒定磁场为品=6+)，式中=1.0T、 b1-l.0T血：求拾音线倒测革：抽上间距8-0.5mm的两个质f时的颜率分辨 率（以z为单位） 题P9.3 两个间距为d=4,成直角放置的短偶极子如贸9.3所示.振子1位于y=d2处， 取向为方向，偶极矩为，.振子2位于y=-d2处，取向为方向，偶极矩为，( 回)计算少轴上(0=2Q=2)远区电场矢址E。描述E的极化方式，绘出极化 椭园，简要说明在固定点上E)随时间的旋转方向 )对于女 上(0=2,0-0)的远区电场E，复() (心)计算远区场时间平均坡印廷失量 (根据单偶极了的辐射地阻R,计算双偶极了系统辐射的总时间平均功。注 藏R=20ht
(b) 一个拾音线圈位于 x = d 处的 y-z 平面上，其中心线与 x 轴相一致，求与该线 圈交链的时变磁场的 x 分量。拾音线圈上的感应电压（磁势力）可用下面公式 求得 证明拾音线圈上的感应电压具有下面形式 V = U (ω)sin ωt 求系数U (ω)。为什么需要大的恒定磁场，以便在拾音线圈上获得大的感应电 压？ (c) 假设两个具有相同的旋磁比 γ 的磁偶极子位于 z 轴上，间距为 δ。设两个磁偶 极子靠近原点，因此每个磁偶极子产生的感应电压近似为Vi= U (ωi)sin ωit (i =1, 2)。利用射频（RF）拾音线圈可以精确测量拉莫尔（Larmor）频率 ωi。令ω1− ω2=∆ω。根据 ∆ω 和 γ 求作用在两个磁偶极子上的恒定磁场 B0 之差。 (d) 设恒定磁场为 0 0 1 B z = ˆ(b + b z)，拉莫尔频率差为 ω1− ω2=∆ω。根据 ∆ω , γ 和 b1 求两个磁偶极矩的间距 δ。 (e) 假设该磁偶极子为室温下的旋转水质子，质子的旋磁比为 γ =2.7 × 108 T-1 s -1。设 两个质子位于 z 轴上。施加的恒定磁场为 0 0 1 B z = ˆ(b + b z) ，式中 b0 =1.0 T 、 b1=1.0T/m。求拾音线圈测量 z 轴上间距 δ =0.5mm 的两个质子时的频率分辨 率（以Hz为单位）。 题 P9.3 两个间距为 d = λ/4，成直角放置的短偶极子如图9.3所示。振子1位于y = d/2 处， 取向为 zˆ 方向，偶极矩为 0 I A 。振子2位于y = −d/2 处，取向为 xˆ 方向，偶极矩为 0 I A 。 (a) 计算 +y 轴上(θ = π/2,φ = π/2)远区电场矢量 E 。描述 E 的极化方式，绘出极化 椭圆，简要说明在固定点上 E(t)随时间的旋转方向。 (b) 对于+x 轴上(θ = π/2,φ =0)的远区电场 E ，重复(a)。 (c) 计算远区场时间平均坡印廷矢量。 (d) 根据单偶极子的辐射电阻 Rrad，计算双偶极子系统辐射的总时间平均功率。注 意Rrad = 20( kA ) 2 。 2
g=2 d=MA 图93 题 位于嫩市西海岸的无线电台如图95()所示，发射天线塔模拟成偶极矩为，（的 赫兹侗极子天线 图95 (间无线电台菱安装另一个天线塔。相对第一个天线塔，第二个天线塔的距离d和
图 9.3 题 P9.4 位于城市西海岸的无线电台如图9.5(a)所示。发射天线塔模拟成偶极矩为 0 I A 的 赫兹偶极子天线 海洋 海岸 天线塔 图 9.5 (a) 无线电台要安装另一个天线塔。相对第一个天线塔，第二个天线塔的距离 d 和 3
馈电相位差w(一w≤下)应该是多少，能够使细射图在海祥方向上有一个零 点，在接收区没有“凭”点，如9.5b)所示。 o)如图9.5c)所示，假设另一个无线电台必须服务于两个城市，其大部分能量传送 到陆坤区域。在海洋方向只传送很少的能址（在印=180方向有一个攀点）。要 求在两个城市方向(p一±60)具有最人辐射，在接收区(s90°)内无零点 或“死”点，确定满足这些要求的两个天线塔的向距d和相对相位差w(心w≤ x)
馈电相位差 ψ ( −π<ψ ≤ π )应该是多少，能够使辐射图在海洋方向上有一个零 点，在接收区没有“死”点，如图9.5(b)所示。 (b) 如图9.5(c)所示，假设另一个无线电台必须服务于两个城市，其大部分能量传送 到陆地区域，在海洋方向只传送很少的能量（在φ = 180o 方向有一个零点）。要 求在两个城市方向（φ = ±60o ）具有最大辐射，在接收区（|φ|≤ 90o ）内无零点 或“死”点。确定满足这些要求的两个天线塔的间距 d 和相对相位差 ψ ( −π<ψ ≤ π )。 4