麻省理工学院 物理学系 8.231,固体物理1 下午2：00交 习恩7 问愿1：一塘品格的微扰 在一维自由丰相互作用电子气中存在匀值为零的微扰劳如下 vs)=&-∑x-网) a VO) )图出并仔细标注此蜀相互作用对自由电子色酸曲线的修正。 b)写出第H个带原的能量巴，的表达式。以两个末被扰动的波函数为基，找出带原处 波函登的近似表示。只需给出大概的形式。 )利用b)中的二分量波函数导出第n个带宽△.的表达式： d)写出带隙处被函数的具体形式。指出拿一个能量高。川物理解释为什么其中之一 的能量比另一个高： c)不计微扰，计算能量态密度函数D(E):画出相互作用对DE)的修正： 间题2：高阶布里溪区 )建立二排正方品格的前5个布里渊区。另外画出第2到第3布里渊区投影判第1 布里渊区的图像。 )当每个原子有二个或三个电子时，在简的布里渊区阳像中找出自由电子费米面的
麻省理工学院 物理学系 8.231，固体物理Ⅰ 下午 2：00 交 习题#7 问题 1：一维晶格的微扰 在一维自由非相互作用电子气中存在匀值为零的微扰势如下 ( ) ( ) 0 0 V Vx V a n =− − ∑ δ x na a) 图出并仔细标注此弱相互作用对自由电子色散曲线的修正。 b) 写出第 个带隙的能量 的表达式。以两个未被扰动的波函数为基，找出带隙处 波函数的近似表示。只需给出大概的形式。 n n ε c) 利用 b)中的二分量波函数导出第 n 个带宽 的表达式。 Δn d) 写出带隙处波函数的具体形式，指出拿一个能量高。用物理解释为什么其中之一 的能量比另一个高。 e) 不计微扰，计算能量态密度函数 D(ε)。画出相互作用对 D(ε)的修正。 问题 2：高阶布里渊区 a) 建立二维正方晶格的前 5 个布里渊区。另外画出第 2 到第 5 布里渊区投影到第 1 布里渊区的图像。 b) 当每个原子有二个或三个电子时，在简约布里渊区图像中找出自由电子费米面的
位置。 问愿3：品格基元 考必基元为b的品格势能。总势能的一个好的近似是下述单原子贡献的和 v)=∑∑U,-- 回忆倒格失处势能的博里叶分量为 a=∫V(F)dp 证霸。=丹习U。中U。是基元中第1个银子势能向的里叶分 量。注意它与行射强度计算中出现的结构因子的相似性。 )如果著元完全相同，U。基木相同。它们为何不是完全相同？在一胶的两简 并度近似下，如果它们全同，布里溪区边界处部分的能带将不会被撕裂《即 无带隙)： ©)考虑金刚石结构。假设基元上的两个碳原子黄献相同的Ud·证明V在 G=4虹（任++）处等于零，傅里叶分量在哪些对称性等价G处为零？我 们己经考查了布里渊区相反方向波失基差为G的两简并态的规合。在上述条 件下属出金侧石每里深区的边界图像，说明由于势能傅里叶分量的清失能带 不会被撕裂。 问愿：大角密排结构 考虑福格常数为a和©的简六方品格的第一布里渊区。G代表平行于品格C轴的 最复倒格失。 a)证明六方密排品格势橙V()的傅里叶分量V。.为零， b)V为零吗？ ©)为什么简六方品格格点上为二价原子到可形成绝缘体？ )为什么简六方晶格格点上为一价原子时不能形成绝缘体？
位置。 问题 3：晶格基元 考虑基元为 的晶格势能。总势能的一个好的近似是下述单原子贡献的和: i b G V U ( ) j( ) j i j i R b r rR = − ∑∑G G −b G G G G 回忆倒格失处势能的傅里叶分量为 ( ) G 3 G 1 V V V i r r e− = dr ∫ G G i G G a) 证明 G G Ui,G N V V i i i b b e − = ∑ G G i G G Ui,G G 其中 G 是基元中第 个原子势能向傅里叶分 量。注意它与衍射强度计算中出现的结构因子的相似性。 i b) 如果基元完全相同， Ui,G G 基本相同。它们为何不是完全相同？在一般的两简 并度近似下，如果它们全同，布里渊区边界处部分的能带将不会被撕裂（即 无带隙）。 c) 考虑金刚石结构。假设基元上的两个碳原子贡献相同的 Ui,G G 。证明 VG G 在 ( 4 G xy ˆ ˆ ˆ a π = ++ G z)处等于零。傅里叶分量在哪些对称性等价G 处为零？我 们已经考查了布里渊区相反方向波失基差为 G G G 的两简并态的耦合。在上述条 件下画出金刚石布里渊区的边界图像，说明由于势能傅里叶分量的消失能带 不会被撕裂。 问题 4：六角密排结构 考虑晶格常数为 a 和 c 的简六方晶格的第一布里渊区。Gc G 代表平行于晶格 C 轴的 最短倒格失。 a) 证明六方密排晶格势能 V(r) G 的傅里叶分量 VGc G 为零。 b) 为零吗？ G2 V c G c) 为什么简六方晶格格点上为二价原子时可形成绝缘体？ d) 为什么简六方晶格格点上为一价原子时不能形成绝缘体？
间愿5：二维能带的简并损升 考虑品格常数为。的二维正方品格的自由电子能带。在简钓布里渊区图像中，第二 能缓在k=0点为四重简并，能量为入为入= n2(2x月 2m a )画出倒格失。找到这四个简并点在未移入第一布里渊区前的位置，指出连结这 些简并态的8个倒格失 b)假段存在与找出的8个例格失一一对应的品格势博里叶交换分量。利用简并 微扰理论找到可以解出新态及其能级的4×4矩阵方程。 ©)假设势能关于任意格点军具有四重靛转对称性，当这些G的分量中大量为零时， 计算新伦级，当这些G的分量中小量为零时重复上面的计算
问题 5：二维能带的简并提升 考虑晶格常数为 a 的二维正方晶格的自由电子能带。在简约布里渊区图像中，第二 能级在 点为四重简并，能量为入为 k = 0 G 2 2 2 2m a π λ ⎛ ⎞ ≡ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = 。 a) 画出倒格失，找到这四个简并点在未移入第一布里渊区前的位置。指出连结这 些简并态的 8 个倒格失 b) 假设存在与 a)找出的 8 个倒格失一一对应的晶格势傅里叶交换分量。利用简并 微扰理论找到可以解出新态及其能级的 4 4 × 矩阵方程。 c) 假设势能关于任意格点都具有四重旋转对称性。当这些G G 的分量中大量为零时， 计算新能级，当这些G G 的分量中小量为零时重复上面的计算