麻省理工学院 物理学系 823引，固体物理1 习愿3 间题I:正方格子（网K书的第大版的习墨4,1俱第七饭没有此题） 考虑晶格常数为a的平面正方备格的振动问思，每个原照中只有一个质量为M的原 子，它的振动棱限止在平面内（即只有横向运动）。我们假设只存在最近邻相互作用， 力常数为C。马。代表第/列第两行处原子的横向位移。 》证明运动方程为 M=G4tn-24++一-2.刀 dr b)迁明色散关系可从下式得到 Mw 2C(2-cosk,a-cosk,a) )找到第一布里渊区。天轴清足人■k,沿此轴从点 k的色散曲线。 )迁明对于小k色散曲线各向同性，找到当k→0时的群速度的极限，这就是品格 中声速。 问愿2：双原子线性蛙的原子位移 作ku书七版（或六板）第4章课后墨3《4)。 问题3一个不同的双原子壁 作出书七板（或六板）第4章误后题5(6). 有人说声子是品格中的声装。但这并不完金正确。声波事实上是与某一种声子相联系的谐振 子相干志。与此相拟，速调管的微该辐射和大于激光并国值的光幅射都是电磁场的相干志。 下面的三个问题向你介第（成国忆）》谐振子相干态
麻省理工学院 物理学系 8.231，固体物理Ⅰ 习题#3 问题 1: 正方格子（同 Kittel 书的第六版的习题 4，1 但第七版没有此题） 考虑晶格常数为 a 的平面正方晶格的振动问题。每个原胞中只有一个质量为 M 的原 子，它的振动被限止在平面内（即只有横向运动）。我们假设只存在最近邻相互作用， 力常数为 C 。 代表第 ul m, l 列第 m 行处原子的横向位移。 a) 证明运动方程为 ( ) ( ) 2 , 2 1, 1, , , 1 , 1 , d [ 2 d l m l m l m lm lm lm lm u M Cu u u u u u t = +− + +− + − + − 2 ] b) 证明色散关系可从下式得到 ( ) 2 2 2 cos cos M ω =− − C ka k x ya c) 找到第一布里渊区。xˆ 轴满足 x y k k = ，沿此轴从点 ,0 a ⎛ ⎞ π⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 到 , a a ⎛ ⎞ π π ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 画出ω 关于 k 的色散曲线。 d) 证明对于小 色散曲线各向同性，找到当 时的群速度的极限，这就是晶格 k k → 0 中声速。 问题 2：双原子线性链的原子位移 作 kittl 书七版（或六版）第 4 章课后题 3（4）。 问题 3：一个不同的双原子链 作 kittl 书七版（或六版）第 4 章课后题 5（6）。 有人说声子是晶格中的声波。但这并不完全正确。声波事实上是与某一种声子相联系的谐振 子相干态。与此相似，速调管的微波辐射和大于激光井阈值的光辐射都是电磁场的相干态。 下面的三个问题向你介绍（或回忆）谐振子相干态
问题4：依粮于时间的被语数 任意一个依赖于时阿的波函数可以利用不依赖于时间的能量本征态函数展开知下： a副设业.构成正交完全集平()增（国）dx=香。·用1=0时的液函 亚(x,I=0)表示系数C. b)在角频率为w的简单谐振子条件下，证明除去一个可能的因子一1外，业(x,是 T=2x/w的周期函数， 问题5：谱景子空间分布随时间的孩化 对于一个谐瓶子我们将证明如果亚(x,1=0)=(x一无)郑么亚（名，1=T/4)是一 个平面波。 )用能量本征函数业。展开业（工，）·找出用业（气）表示展开系数C,的表达式。 写出用能量木征态无穷和形式表示业(x,1=T/4)的表达式。 b)在a)中求出的亚(x,1=T/4)并不像一个平面被。然面，平面被是动量算符 -h已的本征态。将这个算符作用于(x,1=T4)。利用遥推关系将 灰 品重（创表达为重…(）和重().整理求和结果使重，（只出现一次 它的系数包合业（无）和业：（工，）·再次利用递裤关系将这样嘎合并重新得 到业(x,1=T/4),校子在1=T/4时的动量是多少？蒂振子能量本证态服从如 下递推美系 启+a.=5国 后-a.=i树 其中a三√m园
问题 4：依赖于时间的波函数 任意一个依赖于时间的波函数可以利用不依赖于时间的能量本征态函数展开如下； ( ) 0 , ( E t n i n n n x t ce ) ∞ − = Ψ= Ψ ∑ = t mn ) a) 设 构成正交完全集 Ψn m n ( ) ( )d x xx δ ，用 时的波函 ∞ ∗ −∞ ∫ ΨΨ = t = 0 Ψ = (x t, 0 表示系数 。 Cn b) 在角频率为 的简单谐振子条件下，证明除去一个可能的因子 外， ω −1 Ψ( ) x,t 是 T = 2π ω 的周期函数。 问题 5：谐振子空间分布随时间的演化 对于一个谐振子我们将证明如果 ( )( 0 Ψ == − x, 0 t x δ x ) 那么 Ψ = ( ) xt T , 4 是一 个平面波。 a) 用能量本征函数 展开 Ψn Ψ(x,t)。找出用 0 ( ) n Ψ x 表示展开系数 的表达式。 Cn 写出用能量本征态无穷和形式表示 Ψ = ( ) xt T , 4 的表达式。 b) 在 a）中求出的 Ψ = (xt T , 4) 并不像一个平面波。然而，平面波是动量算符 i x ∂ − ∂ = 的本征态。将这个算符作用于 Ψ = (xt T , 4) 。利用递推关系将 n ( )x x ∂ Ψ ∂ 表达为 n 1 ( )x Ψ + 和 Ψn−1 (x)。整理求和结果使 ( ) n x Ψ ′ 只出现一次， 它的系数包合 ( 0 ) n 1 x Ψ ′− 和 n 1 ( )0 x Ψ ′+ 。再次利用递推关系将这样项合并重新得 到 Ψ = ( ) xt T , 4 。粒子在t T = 4 时的动量是多少？谐振子能量本征态服从如 下递推关系 1 d () 2 () d n n x axn a x − ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ + Ψ= Ψ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ x 1 d () 2 () d n n x axn a x + ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ − Ψ= Ψ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ x 其中 a m ≡ = ω
间愿6：相干态 能量本征态的慢率密度不依赖于时间。准确地说。它不在空闻来回振动。最接近 经具诺振子行为的量子态度称作“相干态“。它并能量，坚标或动量的本征态。 exp 2x无 这里其中x为无量喇常数， )西出在点x找到粒子的概率随时问的变化关系。 b)验证满亚(x,)足含时薛定得方程（这个问题没有概么上的闲难，只需要细心 和耐心)： 你也许对相干态的其它性质感兴凝。对能量值的测量可以给出第：个能量本 征值为（如+为）它满足拍松分布，平均值（间=@2，相干态是降算符 的本征值为e心的本征态
问题 6：相干态 能量本征态的概率密度不依赖于时间。准确地说。它不在空间来回振动。最接近 经典谐振子行为的量子态度称作“相干态”。它并非能量，坐标或动量的本征态。 ( ) ( ) 1 2 4 2 2 0 2 0 0 0 0 1 2 cos , exp 2sin sin 2 2 22 2 it i x x t x t xx t x t x x x ω α ω α ωα ω π ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎢ ⎥ ⎡ ⎤ − Ψ = −− − − ⎟ ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ⎢ ⎥ ⎜⎜ ⎟ ⎢ ⎥ ⎝ ⎠ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 这里其中 x 为无量刚常数。 a) 画出在点 x 找到粒子的概率随时间的变化关系。 b) 验证满 Ψ(x,t)足含时薛定谔方程（这个问题没有概念上的困难，只需要细心 和耐心）。 你也许对相干态的其它性质感兴趣。对能量值的测量可以给出第 个能量本 征值为 n ( ) 1 2 =ω n+ ，它满足泊松分布，平均值 2 n = α 。相干态是降算符 的本征值为 的本征态。 i t e ω α −