MT开放式课件 http://ocw.mit.edu 18.02多变量微积分 2007年秋 关于引用这些资料的信息或使用条款，请参阅：0 w.mit edw1ms
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18.02习题1 07年9月13日，星期四，午12：5前应交 18.02补充注释与习题。这里可找到标有1A,1B等符号的练习. 习题分为两部分：A和B 习题A选自课本的习恩，其中很多的解答在深本的后面，注释中的习题在其后 也有解答.如果卡住了可以看解答，但尽量不要看解答.只交划线部分习愿，其它 的供更多练习.习题部分会很快给成绩，检查是否所有习题都交了而且答案不 是抄的 习题B由未解决的问题组成，应该给更多分，且会仔细地评分.这些问题中的很 多是较长的由好儿部分组成的练习，在这里提出来是因为它们不适合放在考试圈 或简答题里 说明：通过对比自己的答案与解答确定自己弄懂了习题中的问愿，不管是在规 定交作业之前（习题）或之后（习题）。把作业分成一些小块分别做，不要都 留到星期三晚上再做马拉松式的特久战.赶时间是难学好的.为了帮助你坚持，每 个问道都按天归了类，说明这天你将会具备解决它需要的知识 家糕作业标准：对于全部习题我们鼓励合作，但是 )要尝试自己做每个问圈的每一部分.在寻求帮助之前请认真阅读问题的每 一部分.如果你不明白问题的含意，找别人给你解释一下，然后真正尝试自己解决 它 b)独立地写完每个题目.希望你能用自已的语言回答练习A和B, )在习题甲写明你请教或与之商议的人及所用资源，否则你可能会被指控副瑜， 受到严历的怎罚： )查询上一学期的资料是不允许的. 练习A(15分) 只交划线部分习题：其它的供更多练习用， (符号表示：12.1/17=课本12.1节，17愿：1A/1=补充注释，A页，1题) 复习：9月5号星期三，向量的引入：加法，数乘 阅读：12.1 作业：12./17,23.45：1/1,5,6Z,8,8,11. 第1讲9月6日星期四，点积 阅读：12.2
! "#$ %& '()*'+$ ,- ./01 345678$9' $ :;?@ ?A BCD E 9F: GHI?A'JKLMNOIPQR STK?AOJP U8MN@VWXYZ4[\MNR ]^_`\MN@a1bcD ?A'Jd ef>?@ ?A9D gLhijk'lmnop8?Aq1ZrsNt_ nu@ vwMxyAzjR0{if 'sg|}~ @yAKL nvD zj>?'O3 nBd_OA NA3@ - H NtMNH Z?AKyA'_nO 1/ ?A9 P ?A : @ j ¡¢ £¤'_`q ¥6()¦§¨©¤ª«¬®¯@°±²n³´@BZµ¶·¸'¹ ºyAq»¼½Z¾'¿À¼·ÁgÂÃMxdÄ`ÅÆ@ ÇD?AÈÉÊ']n ✪✏✫ `ËH ¤¹ºyA¹ D @OÌ͵¶/ ÎÏ ÐyA¹ D @VW·_ÀÑyAÒÓ'5£Ôi·MT Õ'ÖPÏ×ËH Mx d@ ØÙÚ~ÛܹºAÝ @Þß·àH áâãN>?9F: @ äO?A3ÛÀ· åæçÔèpé'oê·4àgëìíîï' ð6ñòóô@ õmö¨ ´)n_÷ø@ $ . a1bcD ?AùJdef>?@ <=úû- $ ,@ $ ü$ !ýI$ ,@ $þ' $ !Aù $9ü$ ýST' 9' $A ?- "#.=()¦' -' Ð- $ ,@ $ E $ ,@ $ ü$ !' ,%' .ù $9ü$ ' .' ' !' ' "' $ $ @ $ "# &()*' ÐE $ ,@ ,
作业：1/1，名5地11,121314 第2讲9月7日星期五行列式.义积 阅读：注释D,课本12,3 作业：1C/1,23,58,6,7:1D/1,23,4,5Z 第3讲9月1日，星期二矩阵和逆矩阵 阅读：注释1，M.2(第1-7页) 作业：1F/5b49:1G/3,45 练习B(27分) 说明：尝试自己解决每一题的每一部分.若与他人合作，解答必须独立地写，查 阅上学期资料是不允许的.每个题目都有应做完的日期. 写下你请教或与之商议的人的姓名及所用资料，或注明“没有”或“未请教”， 这包括在习题课外拜访习题课老师.如果不知道姓名，必须识别他的身份，像 “助教”，“教室里坐在我旁边的学生”等 选择：注意这些人或资源，如果有的话，对你特别有帮助 1(星期四.5分：2+1+1+1) 以(0,0,0)为中心边长为2的立方体的八个项点在（仕1,1，±） )立方体的4个项点，使从(L,1,)出发形成一正四面体.通过求一条棱长证明你 的答案，并解释为什么所有棱长相等. )一个甲烷分子由在正四面体每个项点的一个氧原子和中心的一个碳原子组 成求“键角”，即从碳原子到两个氧原子的向量构成的角（用计算器，作舍入运 算) ©用点积求正四面体相邻两棱（一个公共顶点）的夹角，用对称性解释你的答 案 d(星期五)求正四面体的一个面的面积. 2(星期四.3分：1+1+1) 考虑平面上以P,B,B为项点的三角形
E $ :ü$ ' ,' .Ø' $ $ ' $ ,' $ %' $ @ , "#!&() ' Ð- ST' I$ ,@ % - $ ü$ ' ,' %' .' ' !ù $ ü$ ' ,' %' ' .' !@ % "#$& '() F Ð- ST @ $ ' @ , $ ! - $ ü.Ø' ' "ù $ ü%' ' .@ ,! ¿ÀE ËH Mx¹ A¹ D @ !Ô'MN"#ÙÚ~Û'm ¨´)n_÷ø@¹ºAÝq80¤Ü&)@ ÛÕ· åæçÔ$%èp'SÀ& '8( & w å( @ )*O?A+,-?A./@VW_Å0$%'"#Æ£!12'3 & ¶å( ' & å435OÈ67´8( ;@ G9E SÓÔé'VW8:'·;£8µ¶@ [ ' ' BK?7B,Ú@ABºCO ✬✮✭★✯✰✭☎✯✱✭✳✲ ± ± ± @ ✴ ✲Ú@A ºC'D ✬☎✭★✯✳✭★✯✵✭✳✲ EFj ×*QA@Í GHÀ· Nt'IMTBJKp8GL;@ ✶ ✲ ºMN OvO×*QA¹ºC ºPQOFK? ºRQOz j@Í& ST( 'UDRQO6CºPQOVjT ✷ Í×*QAL\CG º]^C_T'`aMT·N t@✸ ✲()Í×*QA ºQQ @ bcQ¨[ ✹✻✺✽✼ ✯✾✯ ✿❀✿❁✿ BC¦TF
)设可，可，可分别是平面上从P,P,P到一点P的向量.用点积和此三个向量表 示条件：P在从顶点P出发的三角形P??的高上（我们所指的高是过项点垂直于 其对边的整条线，不仅仅是顶点到对边的线段)， 6)设P为过P,乃的高的交点，证明只==民号 ©)在假设b)下，证明P也在过P的高上（因此各条高交于一点，称为垂心）. 3〔星期五.3分) 设有四个分别垂直于普通四面体的四个面的向量，每个都指向外且长度为这个 面的面积，证明这几个向量的和为零， 提示：用A,豆，C表示从某个固定顶点出发的棱，将此四个向量用A,瓦，C表示， 证明它们的和为零向量，不要引入坐标系， 4（星期二，9分：1+2+2+2+2) 正交矩阵为这样的矩阵A,满足AA?=I(I是单位矩阵)正交性的一个等价定 义是A「A=I,因为方阵的左逆和右递相同（见I0-9b).等式AA”=I说明A的行 相互垂直且具有单位长度，而AA■/说明A的列相互垂直且具有单位长度，正交 矩阵的几何意义是与正交矩阵相乘保持向量的长度及其夹角的绝对值， 4问=问且(4,4=∠，网 有两种类型的正交矩阵：旋转变换与反射变换矩阵， )在二维空间，旋转变换为 006B Ag= -sin sin6 c068 求i=A,正=A,,并作立，在0=年/4时的图像. b)用正弦和余弦的加法公式推出A4。·A4,用语言描述这个矩阵公式关于 旋转变换的意义 ©)计算，并用它验证AA=I(换句话说，旋转变换矩阵是正交矩阵).进一
✴ ✲ d ❂❄❃☎❅❇❆ ❈ ❉❊❉❋❉ £ncQ¨D ❂✻❃✽❆ ❈✾❈ ●❀●❁● 6 ❍ @ Fe¦ºú û- ❍ ODC ❍❂ E¦TF ❍❏❍❑❍ ❂✕❃■❆ f¨ÈpìfnCgh J7ic'_jjnC67ck @ ▲ d ❍ B ❍❀❍❂▼❃ ❈ f1'HÀ ❂◆❃ ❂❁❆ ❃❖❆ P◗P P▼P P❘P ⋅ = ⋅ = ⋅ @ ❙ OldØÕ'HÀ ❍ UO ❍❆ f¨emf1 '`Bg? @ d8*º £ghn*QA*ºQ'¹ºqì+soBº QQ 'HÀºFBp@ û- ❈❚❈ ❯✮❱❄❲ úûDqºrC EG'Áe*º ❈❚❈ ❯✮❱❄❲ úû' HÀdFBp@_`57s@ ×1Bt ❯ 'uv ❳ ❯❨❯ ❩ = ×1a º;y zn ❳ ❯❬❯ ❩ = ' B@{F|L}~$ "Ø @; ❳ ❯❨❯ ❩ = ¿À ❯ LghsÂ8wxo'r ❳ ❯❬❯ ❩ = ¿À ❯ LghsÂ8wxo@×1 Ózn×1L oèJ_T@ ❭❫❪ ❪ = s ❴ ❵ ❛ ❴❜❵❝❛ ❭❫❪❞❭❫❡ ❪❢❡ ∠ = ∠ @ 8C ¾×1-@ ❣✏❤O²'B Í ✐❵ ✐❵ ❥ ❭❧❦♠❪ ❭✱♥ = θ = θ I ❈ ♦q♣ O θ = π rts ±3@ ✉✞✈×F] ✇❀① ✇❜① ②❄② ② θ θ = θ +θ 'áâº] Óz@ ③✏✈ WX ② ❂ θ − 'IdH ④ ②✮② ⑤ θ θ = :¿'n×1 @
步验证=A。并从几何上解释为什么此式成立 d)求四个2×2正交矩阵，其第一个元素为，=-1/√互.提示：尝试取不同符号 (见1F-9与1F-10). ©)在d)部分表中每个矩阵后，画出矩阵对平面上F的作用，解释矩阵的行列式 与变换了的F的形式有怎样的关系： 5(星期二，7分：1+2+2+2) 饼干，炸面包圈和羊角面包的成分本质上是一样的（面粉，糖，蛋和黄油）但比例 不同.如2克面粉做一块饼干，40克一个炸面包图，0克一个羊角面包.不同糕点 的成分可以排成一4×3矩阵 /2240 50 18 10 3 M= 514 5 1010 22 其中第i行代表做各类糕点所需要的第种成分的含量，(i■1，面粉含量：i=2, 糖含量：1=3，鸡蛋含量：1=4，黄油含量) 副考虑由无块饼干，无个炸面包圆和x个羊角面包构成的一个分类，得到列矩 降 那么向量MX对应的元素是什么？ 6)四种成分中的每一种都有特殊的营养价值.如100克面粉含10克蛋白质，76克 碳水化合物.1克脂斯.类似地继续考虑四种成分中的每一种可得一3×4矩阵 0.1000.13 N 0.761.000.01 0 0.01 00.100.82 其中第列代表蛋白质、碳水化合物和脂旷在第：种成分中的比例 给出)中糕点种类的总营养价值矩阵（将答案用符号形式记下来，不要用数字 表示 ©)给出达到另克蛋白质，另克碳水化合物，片克脂防的各类糕点的数目x,将 答案表示成X■AY的形式并给出A的公式及其元素的取值（用计算器或Maab 软件，Matlab的筒单指南可在课程网页的作业都分找到. d)对2000卡路里的日常饮食建议其蛋白质、碳水化合物和脂肪的摄入量分别为 50、300和65克，吃饼干、炸面包圈和羊角面包时若按照这个准则，你每天该吃多 少糕点？你的答案有什么问题？请解释
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