MT开放式课件 http:/ocw mit业 18.02多变量微积分 2007年秋 关于引川这些资料的信总或使用条款，请参阅：http://ocw.mit.cdu/terms
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18.02习题11 07年11月29日，星期四，下午12：45前应交 练习A(1T分) 只交划线部分习愿：其它的供更多练习用 第30讲11月15日，星期四3维空间中的向量场、面积分与通量 阅读：注释V8,V9, 作业：6的/1,2,3,4：6B/L,23,4,6,8 第31讲11月16日，星期五散度公式 阅读：注解V10,15.6 作业：6C/1品，2，是，五，6,7a,8. 第32讲11月20日，星期二散度公式续：应用与F明 阅读：注释V10:15.6及1054-1055关于热流的内容 作业：4C/5腿用v2第一种方法》，b(用第二种方法)，6a业（用两种方法》 第33讲11月27日，星期二空：间线积分、旋度、恰当性与势函数 阅读：注释11,12：101了-1018关于淀度的内容 作业：6D/1be,2,4,2:E/1,2,3h(ii边（用两科方法），2 练习B(26分】 说明：尝试自己解决每一通的每一部分.若与他人合作，解答必须独立地写，查 州上学期资料是不允许的.每个题目都有应做完的日期. 写下你请教或与之商议的人的姓名及所用资海湖， 1(星期四11/15.2分)注释63/7 2(星期i11/16,8分：1+21312) 老虑项点在B0,0,0,PL,0,).P(1,0,-)及0,1,0)的四面体 哪两个面在对称变接2+-：下互用交换？ )求每个面向外的法向量（取最简单的，单位法向量）（运用对称性可减少一 次运算). c)计算F=”过每个而的通量（因F关于z→一x对称，运用对称性又可减少· 次运算) d)对四面休和向量场F通过对每个面的计算验证放度理论
! " "#$%& '()*'+," $- ./012 4 " ! 5 62789 :;?@A:B CD E " "#" /& '()* DFGHIJKL M NO PQ RS TU' T%B VWQ XYZ" ' $' D' .< X[Z" ' $' D' .' X' UB CD"E " "#" X& '()\ ]^_ PQ RST" ' " /B X VWQ X`Z"a' $' D' /' X' !a' UB CD$E " "#$ & '()b ]^_c- 1Nde PQ RST" < " /B Xf" /.g" //hijk VWQ .`Z/a4T$Clmno5 ' /p4Cbmno5 ' Xap 4qmno5 CDDE " "#$!& '()b GH8 L r^L stuNvwx PQ RST" " ' T" $< " " !g" " Ur^jk VWQ XyZ"apz{' $' .' /< X|Z" ' $' Dap4 } } 5 4qmno5 ' /B 4 $X 5 ~eQ l; l9 BNV'' )B ;1&)B + N ¡¢£¤f¥¦B 4()*" " Z" /' $ 5 RSX[Z! 4()\" " Z" X' U - "§$§D§$5 ¨©ª«¬ ✪ ✫ ✬ ✭✮✣✦ ✣ ✦ ✣✞✯✦ ✭✛ ✦ ✣ ✦ ✛✯ ✦ ✭✛ ✦ ✣ ✦ ✰ ✰ ✰ ✛✯ − f ✱ ✭✛ ✦ ✛ ✦ ✰ ✣✞✯ *Ma5®qM¬¯°± ✲ → −✲ +²³2±´ p5µ MJ¶oJ4·¸¹º'»º¼oJ5 4½¯°u¾¿Àl Á½Â5 B z5à✳ ✴ ✵✷✶ = ✸ Ä MO4Å ✹✺ ✲ → −✲ ¯°'½¯°uƾ¿Àl Á½Â5 {5¯*MÇJK ✹✺ Oį MÃÂÈd]^ÉÊB
3(星期五11/16,5分，2+1+2) 令化，片)-=公+y2+,计算F.y,并从儿何上解释向量场F. b)求F过半径为a,中心在原点的球的通量. c)证明dhF■0.b)中所得答案与散度公式矛盾吗？解释理由. 4(星期四11/20,6分：1+2+2+1) 函数f的拉普拉斯变换为Vf·厂+fw+厂，函数∫称为调和的，若其满足拉 管拉斯方程T2f=0。 )证明：若S为包围区域D的闭曲面，且f在D内有二阶连续导数，则 儿子S=∬n”dW(特别地，调和函数通过一个闭曲面的通量总是为零). )证明：若S为包围区域城D的闭曲面，且∫在D内有二阶连续导数，则 ∥yias=j∬nUf+aw c)用)的结果证明：若f在区域D内处处调和，并在其边界S上为零，则f在 D内处处为零（先证财=0）. 山证明若二函数了，g在区域D内处处调和，且在边界S上有∫■g,则在D内 处处有f=g 5(星期二11/27,5分：2+1+2) a计算（用常数a,b表示）向量场F=(asnz+by)7+2xj+cOS2-z2)沿爆 旋线x=cos,y=snk,z=t从(L,0,0)到(1,0,2x)所做的功. b)计算curl F,对的a,b的哪些值向量场F保守？ ©)设a,b是上面求得的值，用系统的方法求F的一个势函数，并用微积分基本 定理收证)所得答案
Ë ()\" " Z" X' / ' $§" §$Ì a5Í ✬ ✬ ✬✻✫✽✼✾✬ ✿ ❅❇❆❉❈❋❊ ❀❂❁❃❁❂❄ ❀❆ ❈ ❊ ❄ ρ − = = + + Bà❁ ✹ ❅ ✺ = ∇ ÎÏÐÑSJK ✹✺ B p5µ ✹✺ ÄÒÓÔ ● L IÕ¬Ö«×OB z5de ❍ ■✞❏✟❑✗▲ = ▼ B p5I¥ØÙN]^_ÚÛÜ´ SÉÝB 4()*" " Z$ ' X - " §$§$§" 5 wx ❅ ÞßÞà±Ô ◆ ❖✾❖ P✾P ◗◗ ❘ ❘ ❘ ❘ ∇ = + + 'wx ❅ °ÔáÇ'=âãÞ ßÞànä ◆ ❙ ❅ ∇ = B a5de - ❚ Ôåæçè ❯ éêM' ë ❱ ¬ ❯ jbìícîx' ï ❳ ❲ ❨ ❩ ❬❪❭✞❫✞❴ ❬✏❫☛❵ ∇ ⋅ = ∇ ❛❜❛ ❛❜❛❝❛ 4ðñ'áÇwxOÄléêMOòÔó5 B p5de- ❞ Ôåæçè ❯ éêM' ë ❱ ¬ ❯ jbìícîx' ï ❲ ❲ ✳ ❀ ❄ ❡ ❱❣❱❪❤✞✐✞❞ ∇ ⋅ = ❢ ❱∇ ❱ + ∇❱ ✐☛❥ ❦❜❦ ❦❜❦❝❦ z5p5ôõde- ❱ ¬çè ❯ jööáÇ'ά=÷ø ❞ Ôó'ï ❱ ¬ ❯ jööÔó4ùd ∇❱ = ❧ 5 B {5debwx ❱❇♥♠ ¬çè ❯ jööáÇ'ë¬÷ø ❞ ❱ = ♥ 'ï¬ ❯ j öö ❱ = ♥ B 4()b" " Z$!' / - $§" §$5 a5ÃÂ4úx ♠ ♦❂♣ ûü5JK q r q r q r ⑥ s✉t✇✈✟① ② ③ s✉④✏⑤✞t ② ♦ ⑦⑧♣✢⑨✏⑩❷❶ ⑨❸⑩❺❹ ⑨ ⑦❻⑦❽❼ ✺ = + + + − ýþ r8 ④✏⑤✞t ♠ t✇✈✟① ♠ ⑨ ❾❿⑩ ❾➀⑦➁❾ = = = Ï s★➂♠✗❧➃♠✗❧② s★➂♠✗❧➃♠ ③❪② π ¥B p5à➄➆➅✞➇★➈ ➉ ▼ B¯ ♠ ♦❂♣ ®JK ⑥ ✺ ´ z5 ♠ ♦❂♣ MµØ'noµ ⑥ ✺ lvwx'Î ÉÈda5¥ØÙB