麻省理工学院 物理学系 8.231,固体物理1 习题2 问题：娜 下图为元素耀的一种品形的初基元胞。空刺格子为六角格子，其中 a=a成a=ai+9a或.a=ce 基元为(000)，（子），00)，) -a a》计算倒格失G。用文字描述并画出倒格子。 b)再出第一布里渊区。给出关键尺寸的值。 ©》计算与倒格子点(100).(001)和(120)相关的结构因子。 d)(120)与(100)处散射强度的比值是多少2
麻省理工学院 物理学系 8.231，固体物理Ⅰ 习题#2 问题 1：镅 下图为元素镅的一种晶形的初基元胞。空间格子为六角格子，其中 12 3 1 3 ˆ ˆˆ , ,.ˆ 2 2 a ax a ax ay a cz = =+ = GG G 基元为 221 1 11 3 334 2 334 (000),( ),(00 ),( ) a）计算倒格失G G 。用文字描述并画出倒格子。 b）画出第一布里渊区。给出关键尺寸的值。 c）计算与倒格子点(100),(001) 和(120) 相关的结构因子。 d）(120) 与(100) 处散射强度的比值是多少？
问题2：智射峰的宽度 品格衔射的数学基陆是把一个线的点库（三维ca函数）傅里叶变换到变换域的点 阵。我们将在一维情况下利用这一概念确定有限尺度样品行射峰的宽度。 考虑距离a沿x轴分离的a函数阵列的博立叶变换。首先考虑具有启发性的以 原点为中心对称分布的M+1个dea函数组成的有限阵列(M为一偶数). X)= (X-ma) F△=了nd=ea a)求和得到 F(△k)= sinM+)△ha) sin3△ka】 其中利用了 2 b)冲求得的函数当4k等于2的的整数倍时有主极大值。在主极大点，高度为 多少？每个主极大峰下方邻近区域的面积为多少T利用这些结果证明当 M→Oo时F(△)趋于 c) 散射强度正比于F。由可得 F= sin2(5(M+)△ha sm(3△a 记得课程803的一些同学可以爱现以上强度讲是由M+【个全同等同隔的ǒ函数 引起的。对于M多1，面出极大值附近的函数形状，峰值下强度为极大值一半时 的宽度为多少？确切地说，这个宽度怎样依赖于总列宽M?函数在任峰植下
问题 2: 衍射峰的宽度 晶格衍射的数学基础是把一个域的点阵（三维 delta 函数）傅里叶变换到变换域的点 阵。我们将在一维情况下利用这一概念确定有限尺度样品衍射峰的宽度。 考虑距离 a 沿 x 轴分离的 delta 函数阵列的傅立叶变换。首先考虑具有启发性的以 原点为中心对称分布的 M＋1 个 delta 函数组成的有限阵列（M 为一偶数）。 2 2 () ( ) M m M n X X ma δ =− = ∑ − / 2 / 2 ( ) () d M i kx im ka m M F k nxe x e ∞ −Δ − Δ −∞ =− Δ = = ∫ ∑ a) 求和得到 1 sin( ( 1) ) 2 ( ) 1 sin( ) 2 M ka F k ka + Δ Δ = Δ 其中利用了 1 0 1 1 N N n n x x x − = − = ∑ − b) a)中求得的函数当Δk 等于 2π/a 的整数倍时有主极大值。在主极大点，高度为 多少？每个主极大峰下方邻近区域的面积为多少？利用这些结果证明当 M → ∞时 F k ( ) Δ 趋于 2 2 ( ) j k j a a π π δ ∞ =−∞ ∑ Δ − c) 散射强度正比于 2 F 。由 a)可得 2 2 2 1 sin ( ( 1) ) 2 1 sin ( ) 2 M ka F ka + Δ = Δ 记得课程 8.03 的一些同学可以发现以上强度谱是由 M +1个全同等间隔的δ 函数 引起的。对于 M 1，画出极大值附近的函数形状。峰值下强度为极大值一半时 的宽度为多少？确切地说，这个宽度怎样依赖于总列宽 aM ？函数在任一峰值下
的面积为多少？试证明峰值下的总强度正比于函数列中网数的个数。 问题3：氢原子形状因子 对于氢原子基态，电子数密度为州r)=(m)广exp(-2ra)其中a为玻尔华径. 正明形状因子为。=16(4+G需y。 间题4：初基元胞与惯用元胞倒格子的比较 在博里叶空间体积一定的条件下。为什么初基元围的倒格子点G最少？ )考虑到)的结论，为什么给定结构的允许反射不候赖于晶格元胞的选择？ 问题5：钢 铜具有体心四方的品格。惯用元胞参数为☑=3.244A,c=4.983A:基元为 (000).(士)。平移基失量为 4= + + 2 a,=+-9 2 21 2 =g-- 22 2 )仔细面出一个惯用元胞。它的体积是多少？ )仔耀国出利用上述失量定文的初基元型。它的体积是多少？ c)仔细面出维格纳一赛茨元亂。注意c>√2a 山计算倒格失平移基失量。它属于何种晶格类型？注意，你的结果属于讲义中的 14种拉特格子鸭7 ©)仔细面出并标注第一布里渊区。 )元数中有多少个原子？初基元園的基元中有多少个原子？这对于倒格子空间的 结构因子意丽者什么？找到结构因子在四方惯用元围中的表达式。计算倒格子上 儿点的结构因子，检险你的假设
的面积为多少？试证明峰值下的总强度正比于函数列中函数的个数。 问题３：氢原子形状因子 对于氢原子基态，电子数密度为 3 1 0 0 nr a ra ( ) ( ) exp( 2 ) π − = − 其中 0 a 为玻尔半径。 证明形状因子为 2 22 0 16 (4 ) Gf = +G a 。 问题４；初基元胞与惯用元胞倒格子的比较 a) 在傅里叶空间体积一定的条件下，为什么初基元胞的倒格子点G G 最少？ b) 考虑到 a)的结论，为什么给定结构的允许反射不依赖于晶格元胞的选择？ 问题５：铟 铟具有体心四方的晶格。惯用元胞参数为 a = 3.244AD ， c = 4.983AD ；基元为 111 222 (000),( ) 。平移基失量为 1 2 3 ˆ ˆ ˆ 222 ˆ ˆ ˆ 222 ˆ ˆ ˆ 222 aac a xyz aac a x yz aac a xyz =++ = + − = − − G G G a) 仔细画出一个惯用元胞。它的体积是多少？ b) 仔细画出利用上述失量定义的初基元胞。它的体积是多少？ c) 仔细画出维格纳一赛茨元胞。注意c a > 2 d) 计算倒格失平移基失量。它属于何种晶格类型？注意，你的结果属于讲义中的 14 种布拉维格子吗？ e）仔细画出并标注第一布里渊区。 f）元胞中有多少个原子？初基元胞的基元中有多少个原子？这对于倒格子空间的 结构因子意谓者什么？找到结构因子在四方惯用元胞中的表达式。计算倒格子上 几点的结构因子，检验你的假设
问题6：简谐振子间的花·德·瓦尔斯相互作用 这个问恩是书中第3章范·德·瓦尔斯相互作用问愿的扩展。目的是学习可解析表 达的范·德·瓦尔斯相互作用模型。作为课上用微扰方法处理两氢原子范·德·瓦 尔斯相互作用的补充。 )考虑一个一维鞋立谐素子，其振动角坝率为，·质量为刷，离开平衡位置的 位移为X。找出基态波函数并利用它求出概率密度函数风x),它表示在离开 平衡位置x处找到振子的微率。结果应具有均值为零的高斯分布形式，即： e (2g0,Y2 其中是同基态被函数分布相关的特征长度。用hm,吨表示©。· 现在考虑两个振动中心相距R的全同请振子。振子均为具有中心静电荷和移动 电荷一的偶极子。两个移动电荷离开中心的矩离分别为，利和马： b》不考电电荷间的静电相互作用，写出两振子的哈密顿量H。,找出两轮子的 被函数(，x)及相应的概率密度函数(x,无)。当概率密度可分离时， P武属，名》=P风黑》武离)这两变量是统计独立的。对于本恩上式成立吗？计 算平均值（〉.〈》和(》 ©)写出四个电荷间的相互作用哈密领量H,限设x和匀运小于R,证明二 阶表示为 4=-25 4nER' 证明这正表达了偶极矩分别为A=一，和乃=一，的两个一维偶极子 的相互作用： d)证明简正作标变换 =方6+6=方6-
问题６：简谐振子间的范·德·瓦尔斯相互作用 这个问题是书中第３章范·德·瓦尔斯相互作用问题的扩展。目的是学习可解析表 达的范·德·瓦尔斯相互作用模型。作为课上用微扰方法处理两氢原子范·德·瓦 尔斯相互作用的补充。 a) 考虑一个一维独立谐振子，其振动角频率为ω0 ，质量为 m ，离开平衡位置的 位移为 x 。找出基态波函数并利用它求出概率密度函数 p( ) x ，它表示在离开 平衡位置 x 处找到振子的概率。结果应具有均值为零的高斯分布形式，即: 2 2 0 2 1 2 0 1 ( ) (2 ) x px e σ πσ − = 其中σ0 是同基态波函数分布相关的特征长度。用 0 h m, ,ω 表示σ0 。 现在考虑两个振动中心相距 R 的全同谐振子。振子均为具有中心静电荷 e 和移动 电荷− e 的偶极子。两个移动电荷离开中心的矩离分别为 1 x 和 2 x 。 b）不考虑电荷间的静电相互作用，写出两振子的哈密顿量 H0 。找出两粒子的 波函数 1 2 Ψ(, ) x x 及相应的概率密度函数 1 2 p(, ) x x 。当概率密度可分离时， 12 1 2 p(, ) ()( ) x x px px = 这两变量是统计独立的。对于本题上式成立吗？计 算平均值 1 x , 2 1 x 和 1 2 x x 。 c）写出四个电荷间的相互作用哈密顿量 H1 假设 1 x 和 2 x 匀远小于 R，证明二 阶表示为 2 1 2 1 3 0 2 H 4 e xx πε R =− 证明这正表达了偶极矩分别为 1 1 p ex =− 和 2 2 p ex =− 的两个一维偶极子 的相互作用。 d）证明简正作标变换 ( ) 12 12 ( ) 1 1 , 2 2 s a x =+= x xx xx −
可使哈密顿量H=H。十H分离为对称和反对称的两项之和. )迁明两个新振子的振动角颜率分别为 以=0-()g=1+c 其中无量刚小参量（可表为 =2 (相距为R电荷均为的两电荷库仑能)d 无扰动谐振子基态能)】 R )相互作用系统的基态对应于再新振子的基态。我出一个表达式，说明相互作 用使总能量下降了多少，证明三阶结合能可用（表为。2，并证明它正 8 比于R。这就是范·德·瓦尔斯相互作用的分离相关性。 g)找出两粒子关于新变量的被函数（工，x)及相应的顺率密度函数 风x,x)·并证明(：》=（名》=0。重要的物理事实是对于每个核的左右 对移性的破坏并没有在这些核处产生新的偶极矩。 )迁明（任名）=为。其特理解释是，显然两位移的平均值均为零，但两 个电荷的运动是相关的，正是这种相关导致了能量的下降！ ))部分表明x,和x,是统计独立的变量〔更确切地说。它们服分均值为零的 高斯分布)。对于与物理量直接相关的变量名和名，)部分表明我们不再那 么幸运，它们是相关的。可以通过变量替换将黑和x的联合概率密度转化为 无和名的联合概米密度。这样就可以计算条件假率密度风x玉)：即在视 子1在，处的条件下在属处找到粒子2的概率注意在这个函数中局是变 量，无是参量]。计算步置是根清楚地，但实际的代数计算相当繁杂。计算 结果已经给出，条件概率密度的结果如下 - 川3)▣ (20 面出函数图形井解释结果：
可使哈密顿量 HH H = +0 1分离为对称和反对称的两项之和. e) 证明两个新振子的振动角频率分别为 1 1 2 2 0 0 (1 ) , (1 ) ωω ζωω ζ s a = − = + 其中无量刚小参量ζ 可表为 ( ) ( ) 2 0 2 R, 2 R σ ζ = 相距为 电荷均为 e的两电荷库仑能 无扰动谐振子基态能 f）相互作用系统的基态对应于两新振子的基态。找出一个表达式，说明相互作 用使总能量下降了多少。证明三阶结合能可用ζ 表为 2 0 1 8 =ω ζ ，并证明它正 比于 6 R− 。这就是范·德·瓦尔斯相互作用的分离相关性。 g）找出两粒子关于新变量的波函数 (, ) s a Ψ x x 及相应的概率密度函数 (, ) s a p x x 。并证明 1 2 x x = = 0。重要的物理事实是对于每个核的左右 对称性的破坏并没有在这些核处产生新的偶极矩。 h）证明 2 12 0 1 2 x x = σ ζ 。其物理解释是，虽然两位移的平均值均为零，但两 个电荷的运动是相关的。正是这种相关导致了能量的下降！ i) g)部分表明 s x 和 a x 是统计独立的变量（更确切地说，它们服分均值为零的 高斯分布）。对于与物理量直接相关的变量 1 x 和 2 x ，h)部分表明我们不再那 么幸运,它们是相关的。可以通过变量替换将 s x 和 a x 的联合概率密度转化为 1 x 和 2 x 的联合概率密度。这样就可以计算条件概率密度 2 1 px x ( ) 。即在粒 子 1 在 1 x 处的条件下在 2 x 处找到粒子 2 的概率[注意在这个函数中 2 x 是变 量， 1 x 是参量]。计算步骤是很清楚地，但实际的代数计算相当繁杂。计算 结果已经给出，条件概率密度的结果如下 ( ) 2 2 1 2 0 1 2 2 2 1 1 2 0 1 ( ) (2 ) x x px x e ζ σ πσ − − = 画出函数图形并解释结果
同题7：杂化 )找出可在三个平面健方向形成杂化轨道的多，P,和P,的线性组合。 )设原轨道及杂化轨道匀为正交归一化。 )设展开式系数为实数。 而设其中一条杂化轨道在X方向取得最大。 v)利用对称性 设杂化轨道之一在n=2的壳层，西出其图形. b)考虑苯分子，设1s态电子属于原子实。这解释了每个碳原子6个电子中的两 个。碳原子怎样通过杂化轨道同氢原子及相邻碳原子健合？这些键可以解释 每个碳原子的另外3个电子. ©)现在利用碳原子众下的志电子维铁结合分子。把中心在碳上的6个原子态线 性组合成一个大分子键。由对称性，分子轨道的6个系数必相等，即它们只 能有相角差。沿原子链相角差必一致增大一倒定值并最终同到初值。 d六个可能的相角为向=0，士/3，士2/3和可：这些分子轨道中厚一个能量 最低，厚一个最高？煤些是成健态，哪些是反键态？事些是简并的？苯是顺 磁性的吗？
问题 7：杂化 a) 找出可在三个平面键方向形成杂化轨道的 , x s p 和 y p 的线性组合。 i ) 设原轨道及杂化轨道匀为正交归一化。 ii) 设展开式系数为实数。 iii) 设其中一条杂化轨道在 X 方向取得最大。 iv) 利用对称性 设杂化轨道之一在 n = 2 的壳层，画出其图形。 b) 考虑苯分子。设 1s 态电子属于原子实。这解释了每个碳原子 6 个电子中的两 个。碳原子怎样通过杂化轨道同氢原子及相邻碳原子键合？这些键可以解释 每个碳原子的另外 3 个电子。 c) 现在利用碳原子余下的态电子继续结合分子。把中心在碳上的 6 个原子态线 性组合或一个大分子键。由对称性，分子轨道的 6 个系数必相等，即它们只 能有相角差。沿原子链相角差必一致增大一固定值并最终回到初值。 5 0 () ( ) k im kk m m r ce r r φ = Ψ =∑ Ψ − d) 六个可能的相角为 0, 3, 2 3 φ ππ k =± ± 和 π 。这些分子轨道中哪一个能量 最低，哪一个最高？哪些是成键态，哪些是反键态？哪些是简并的？苯是顺 磁性的吗？