麻省理工学院 物理学系 8231,固体物理1 习题5 问题1：内能 3 迁明具有N个电子的三维自由电子气在T=0时的内能为三N8· 间题2：电子气的压强与体弹性模量 )求出T■0时自由电子气体的压力，从以热力学第一及第二定律为基陆的压强 表达式出发。利用问题1的结果及用，表示的体积。 证明PT=0)可表示为2，/N. 3 )证明T=0时的电子气弹性模量B=-r8那 为P线品加住意提聚然 10 力学第三定律在T=0时等温（求偏导T为常量）和绝热（等箱）过程的体弹性 慎量相等。 ©)利用Kl书中表6.1估计电子对钠周体体弹性横量的贡献。 问愿3：二维电子气体的化学势 找到二维无相互作用自由电子气体的能量态密度关系。 )对于此系饶可以找到化学式关于温度的解析表达式。证明 u(T)=kTin exp(er/k,T)-1 利用刀表示单位体积的电子数。 问题4：超导体的志密度 考电真实金属中的电子形成球形的费米面，具有数米失量k:和贵米能E年·我们只 对费米面用近的状态够兴便。能量可以用下式近似表达为： Em6-E=V:h(k-ky) :是相对贵米能的能量值（可为正值咸香值）。￥，为费米面处的群速度，作为参量
麻省理工学院 物理学系 8.231，固体物理Ⅰ 习题#5 问题 1：内能 证明具有 N 个电子的三维自由电子气在T = 0 时的内能为 3 5 N F ε 。 问题 2：电子气的压强与体弹性模量 a) 求出T = 0 时自由电子气体的压力。从以热力学第一及第二定律为基础的压强 表达式出发，利用问题 1 的结果及用 F ε 表示的体积。 证明 P T( 0) = 可表示为 0 2 3 U V 。 b) 证明T = 0 时的电子气弹性模量 P B V V ∂ =− ∂ 为 3 5 P 或 0 9 10 U V [注意根据热 力学第三定律在T = 0 时等温（求偏导T 为常量）和绝热（等熵）过程的体弹性 模量相等。 c) 利用 Kittel 书中表 6.1 估计电子对钠固体体弹性模量的贡献。 问题 3：二维电子气体的化学势 a) 找到二维无相互作用自由电子气体的能量态密度关系。 b) 对于此系统可以找到化学式关于温度的解析表达式。证明 μ ε ( ) T kT kT B FB ln exp 1 ( ) = ⎡ − ⎤ ⎣ ⎦ 利用 n 表示单位体积的电子数。 问题 4：超导体的态密度 考虑真实金属中的电子形成球形的费米面，具有费米失量 F k 和费米能 F ε 。我们只 对费米面附近的状态感兴趣。能量可以用下式近似表达为： ε εε ≡ − F F = vF =( ) k k − ε 是相对费米能的能量值（可为正值或否值）。vF 为费米面处的群速度，作为参量
)对于半相互作用电子气体找出V:的表达式。有时2与(k一k:)之间的正比关系 并不用V,米表达，而是利用关于激发的“有效质量”刷”来表达，利用你刚刚得 到的结果作指导，用适当定义的m”表示2。 )超导相互作用出现时，新的能量”与旧的修量E有下述关系 2"=+V2+△ 若2>0 =-V+△ 若'2k,都属出结果。 问题6：星体中的费米气体 量子力学在研究星体结构和演化的过程中发挥了重要的作用。本题肯在介绍一些重 要的概念，提高我们处理零度费米气体的能力。 a)太中心温度约为1.5×10K,质子或电子的数密度大约为1.0×10cm, 利用理想气体定律计算太阳中心处较子引起的压强。在这种密度条件下计算零 度电子气体的费米能和压强。太阳中心处的电子气体是否简并？ )当星体中的核聚度过程到达尽头时。核燃烧停止，温度开始下降。粒子的动能 压强和辐射压强军将下降，引力将迫使星体压缩。到达更高的密度，在有些情
a) 对于非相互作用电子气体找出 vF 的表达式。有时ε 与( ) F k k − 之间的正比关系 并不用 vF 来表达，而是利用关于激发的“有效质量”m∗ 来表达，利用你刚刚得 到的结果作指导，用适当定义的 m∗ 表示ε 。 b) 超导相互作用出现时，新的能量ε′ 与旧的能量ε 有下述关系 2 2 ε ε ′ =+ +Δ 若ε′ > 0 2 2 ε ε ′ =− +Δ 若ε′ =k 都画出结果。 问题 6：星体中的费米气体 量子力学在研究星体结构和演化的过程中发挥了重要的作用。本题旨在介绍一些重 要的概念，提高我们处理零度费米气体的能力。 a) 太阳中心温度约为 7 1.5 10 × K ，质子或电子的数密度大约为 26 3 1.0 10 cm− × 。 利用理想气体定律计算太阳中心处粒子引起的压强。在这种密度条件下计算零 度电子气体的费米能和压强。太阳中心处的电子气体是否简并？ b) 当星体中的核聚度过程到达尽头时，核燃烧停止，温度开始下降。粒子的动能 压强和辐射压强都将下降，引力将迫使星体压缩，到达更高的密度。在有些情
况下，质量密度达到时10gm这种压增才会停止。因为简并电子气阻止 了进一步的奶增。这时的费米能是多少？此时星体依然根热约1.0×10？K,此 温度下T/C,是多少？这种电子气的费米压强是多少？ ©)b)描述了白凝星，它的质量和半径之间存在一种有趣的关系。载到这种关系最 简单的方法是使星体总能量E。=E方十E取得最小。引力能为 -(G产/R,其中（是单位阶无量钢长数，依赖于星体密度关于半径的函数 关系。仅用星体的质量M和华径R(设电子密度均匀)表示电子气的内能（质 子的贡献很小)。画出E。(R)的图线。证明在有限率径R处存在一个稳定平 衢点。找到平衡半径R并证明它与M一”成正比。这就是说白矮星的体积与质 量成反比！ d山©的计算过程中存在一个问题，即电子的能量太高，速度接近光速。利用©哈 出的密度计算费米面上电子的速度。此问题不只是简单的计算。利用月题山 的结果证明经奥电子气的费米压强正比于？。气体表现出相对论性后，由于 压强随密度的增加变慢，态方程“和缓”了。证明对于色散美系为E(k)=k 的超相对论性气体，费米压强正比于P。 )由于贵米压强的相对论性援化，展体的质量变得很大，密度变得很高，电子压 蛋无法同引力压强相抗衡，于是星体雅线奶缩为更致密的中子星成黑洞。面出 超相对论性的白圾最的E。(R)曲线。这时的平衡条件又是什么？
况下，质量密度达到时 6 3 10 g cm− ⋅ 这种压缩才会停止。因为简并电子气阻止 了进一步的坍缩。这时的费米能是多少？此时星体依然很热约 7 1.0 10 × K 。此 温度下 F kT ε 是多少？这种电子气的费米压强是多少？ c) b)描述了白矮星，它的质量和半径之间存在一种有趣的关系。找到这种关系最 简单的方法是使星体总能量 E总 = + E E 引力 动能 取得最小。引力能为 2 −ζ GM R ，其中ζ 是单位阶无量钢长数，依赖于星体密度关于半径的函数 关系。仅用星体的质量 M 和半径 R（设电子密度均匀）表示电子气的内能（质 子的贡献很小）。画出 E总 ( ) R 的图线，证明在有限半径 R 处存在一个稳定平 衡点。找到平衡半径 R 并证明它与 1 3 M − 成正比。这就是说白矮星的体积与质 量成反比！ d) c)的计算过程中存在一个问题，即电子的能量太高，速度接近光速。利用 c)给 出的密度计算费米面上电子的速度。此问题不只是简单的计算。利用问题 2a 的结果证明经典电子气的费米压强正比于 5 3 n 。气体表现出相对论性后，由于 压强随密度的增加变慢，态方程“和缓”了。证明对于色散关系为ε( ) k ck = = 的超相对论性气体，费米压强正比于 4 3 n 。 e) 由于费米压强的相对论性缓化，星体的质量变得很大，密度变得很高，电子压 强无法同引力压强相抗衡，于是星体继续坍缩为更致密的中子星或黑洞。画出 超相对论性的白矮星的 E总 ( ) R 曲线。这时的平衡条件又是什么？