麻省理工学院 16.07动力学 习题11 出题日期：2004年11月24日 提交作业日期：2004年12月1日 所用时间（分钟 习题1 习题2 习题3 习题4 (选做) 完成时间 各习题使用不同表格，便于分别打分
麻省理工学院 16.07 动力学 习题 11 出题日期：2004 年 11 月 24 日 提交作业日期：2004 年 12 月 1 日 所用时间（分钟） 习题 1 习题 2 习题 3 习题 4 （选做） 完成时间 各习题使用不同表格，便于分别打分
习题 A部分 000g的火箭携带17000kg进视，自山静止平发附。与家两人可这前发动机 空力。对每合发动机，计火箭车炎完5 B部分 发动机占 习题二 A部分 B部分
————————————————————————— 习题一 —————————————————————————————————— A 部分 20000kg 的火箭携带17000kg 推进剂，由静止垂直发射。考察两个可选的发动机 1) 发动机 A 以80kg s 的恒定速率燃烧推进剂，产生速度为2500m s 的喷气。 2) 发动机 B 以160kg s 的恒定速率燃烧推进剂，产生速度为2500m s 的喷气。 假设重力加速度为 2 8.9 m s ，忽略空气阻力，对每台发动机，计算火箭在燃烧完后的 速度和高度，以及能达到的最大高度。 B 部分 要将质量mL =100kg 的有效荷载送入低地轨道，这要求∆v = 9000m s 。假设壳体和 发动机占所携带推进剂重量的10% ，可用的发动机能产生速度为3000m s 的喷气，在下述 条件下，计算火箭在起飞时的总质量： 1) 单级，忽略气动阻力和重力。 2) 两级，每级∆v = 4500m s，忽略气动阻力和重力。此处假设在第一级释放后，壳 体和发动机占所携带推进剂重量的10% 。 ————————————————————————— 习题二 —————————————————————————————————————— A 部分 质量为 m =100kg 的卫星在绕地球的近似圆形轨道中。在所考察时刻，轨道周期是 6300s。由于与稀薄大气层的摩擦，卫星受到非常小的阻力，结果卫星缓慢地悬向地球。由 于摩擦力很小，在半径上的改变很慢，因此可假设，在任何时刻卫星都在圆形轨道中。根据 测量，轨道周期每环绕一周减少 .0 15s 。对所考察时刻，计算 a) 轨道半径和每环绕一周轨道半径的变化。 b) 阻力。 c) 每环绕一周动能的改变。由于阻力作用，动能是增加还是减少？解释原因。 B 部分 在 t = 0 时刻，两个质量为 M = 20kg 和 m = 5kg 的质点以速度 =10m s M v 和 = 23m s m v 释放，如图。两个质点只在它们之间的引力作用下运动，引力大小为 2 F = G′Mm r 其中 2 2 G′ = 80 N ⋅m kg ，r 是质点间的距离。证明 m 相对于 M 的轨迹是 椭圆，求出轨道周期T 。计算在t = T 时刻两个质点的位置
10m Vm 习题三 A部分 在圆形轨道内运动的下平A,和在网形轨道内运对的卫军B在点C相撞，迷皮一体。 如果下果的通量相等，计算历得轨赏的域大A。 B EAKTH T B部分 下星在绕地球的椭圆物道内，厂=6,600k和r。=6,900kt。为势卫军转移至半径 r=100D00km的回道，考察 )从初始桶团过地点开龄的两冲量的霍曼转移 b)从初始椭圆远地点开好的两冲量的霏曼转多 c从初妒树网讲t点于珀的三神录的市曼转移。斯时。考黎点P的两个位骨： r=200.000km.r=300,000km 对上自的所有情况，计算所需的总△y,(址个△r的觉对位之)爆个方向潘要的△，取 小.计特修时间和下军白质北my/m,杖设发动机能产生3000，s的矿气尘中%是 卫在制始桶进上的质量，m,是足在总后为图形制逆上的质 习题四
————————————————————————— 习题三 —————————————————————————————————————— A 部分 在圆形轨道内运动的卫星 A ，和在椭圆形轨道内运动的卫星 B 在点C 相撞，连成一体。 如果卫星的质量相等，计算所得轨道的最大 max h 。 B 部分 卫星在绕地球的椭圆轨道内， rπ = ,6 600km 和 rα = ,6 900km 。为将卫星转移至半径 r =100,000km 的圆形轨道，考察 a) 从初始椭圆进地点开始的两冲量的霍曼转移。 b) 从初始椭圆远地点开始的两冲量的霍曼转移。 c) 从初始椭圆进地点开始的三冲量的霍曼转移。此时，考察点 P 的两个位置： rP = 200,000km ，rP = 300,000km 对上面的所有情况，计算所需的总 T ∆v (每个∆v 的绝对值之和)。哪个方向需要的 T ∆v 最 小。计算转移时间和卫星的质量比mf m0 ，假设发动机能产生3000m s 的喷气(其中m0 是 卫星在初始椭圆轨道上的质量，mf 是卫星在最后的圆形轨道上的质量)。 ————————————————————————— 习题四 ——————————————————————————————————————
A部分 站作。完成该遥目的学生将获特一说作些深所分。 中心少运动，总机能守何， 1--瓦-你数 2 同时h=r28=常数，2=2+(r的（因为v=e,+r出） 明，对r和F可写出能甲方程 r,=E=常数 1) 其巾 w)=本丝 是单位贡量上的有效特能、'(2r)称作向心势能。 by:(r) c和)式决定了流点在中心力作用下的沿礼迹半径方向的运动。求出平衡点即如果初始 户-0利任可叫剑产-0的点)。平商点是雪定？岂1衣示可件机过 d)对蚧定的动矩h,量小能精过为有？ B部分 如果张射机旅要与面相交，使B=0.计算在B点际必家的发球度和轨迹与5 生水平面所成的角度口。轨迹上最高点的高度是05R. R/2 EARTH
A 部分 选作。完成该题目的学生将获得一次作业额外分。 中心力运动，总机械能守恒。 − = E = 常数 r v 2 µ 2 1 同时h = r 2 θ & = 常数， 2 2 2 ( θ) & v = r& + r (因为 θ θ e e & v r& r = r + ) a)证明，对r 和r& 可写出能量方程 (r) +V eff (r) = E = 常数 2 1 2 & (1) 其中 r r h V r eff µ = −2 2 2 ( ) 是单位质量上的有效势能。 2( ) 2 2 h r 称作向心势能。 b)画出V (r) eff c) (1) 式决定了质点在中心力作用下的沿轨迹半径方向的运动。求出平衡点(即如果初始 r& = 0 则任何时刻r& = 0 的点)。平衡点是否稳定？它们表示出何种轨迹。 d)对给定的动量矩h ，最小能量轨迹为何？ B 部分 如果抛射轨迹要与地面相交，使 o β = 90 ，计算在 B 点所必须的发射速度和与轨迹与当 地水平面所成的角度α 。轨迹上最高点的高度是 5.0 R