MTT开成式课件 http://ocw.mitcdu 1802多变量微积分 2007年秋 关于引用这些资料的信息或使用条款，请参阅：pc亚mitd加cms
✂✁☎✄ ✆✞✝✟✝✟✠☛✡ ☞✟☞✟✌✞✍✏✎✒✑✓✕✔✖✝✗✑✘✏✙✞✚ ✛✢✜ ✑✣✞✤ ✤✞✣✞✣✞✥ ✦ ✡ ✆✞✝✟✝✟✠☛✡ ☞✟☞✟✌✞✍✏✎✒✑✓✕✔✖✝✗✑✘✏✙✞✚✞☞✟✝✟✘✏✧★✓✕✩ ✑
18.02习题4 07年10月4日，星期四，下午12：45前应交 练习A(15分】 只交划线部分习题：其它的供更多练习用。 第10讲9月27日.星期四最大值最小值.最小二乘法 阅读：135878-8图1,884-885：注释1S 作业：F/1bh,2:2/1h,4 第11讲9月28日，星期五二阶导判定，边界和无穷远 阅读：13.10到930页顶端：注释SD 作业：2H/1ag3,46:13.10/32 第12讲10月2日，星期二微分，链式法则 阅读：13.6第889-892页：13.7 作业：2C/1abc423,5b:2E/1abe2hc,5,8ab 警告：不要把微分与差混滑，诸如d与△x,△y.例如，等式()(T)(9)没有意义的， 应该用(6)(8)(10). 有些题写的方式是随梯度符号面定的.在做之前先看13,8节梯度的定义(910页 项端)以了解它 练习B(25分) 说明：尝试自己解决每一思的每一部分，若与他人合作，解答必须独立地写，查 阅上学明资料是不允许的.每个题目都有应做完的日期. 写下你请教或与之商议的人的姓名及所用资源 1(星期四，11分：20+3+2+3+1)一最小二乘法及数据分析 此圈的b)一)部分牵移到运用Ma1ab软件，你可以有选择的使用其它类似的软 件或甚至计算墨，在那种情况下请说明你用的工具及你如何进行的.必须做真正 的计算不要依赖于可能建在你使用的软件中的统计函数 副在做完之前先读注释LS并做下面的：考思行向量=[属，无…x 方=%，为…片与=11…门(n个).令y=r+b是对n个点(g,y)的最佳拟合线. 把LS中的公式(4》翻译成一个2×2矩阵方程 Az=r. 以Malb需要的格式写出A与r的元素，不要用求和，而使用如云◆立代替∑x,通
! " #$% &'()&*+" ,- $./01 3 " . 4 51678 9:;?@9A B" C D#,!% &'() EFGEHG&EHIJK L- " MA . N!NONN" & NN$ONN.;PQRS TU- VW"XY& ,; ,ZW "XY& $A B" "C D#,N% &'([ I\]^_&`abcde Lf " MA " gDM hij;PQSk TUf ,lW"Xm& M& $& n; " MA " WM,A B" ,C " #,% &'(I &oKp Lf " MA nBNNDOND, ✪h; " MA ! TU ✫f ,qW"XYmr& ,& M& .XY; ,sW"XYm& ,Ym& .& NXY ✪tuf vwx yz{|&}~ y ∆✬ ∆A~&3 .4 3 !4 3 D4& 0 3 n4 3 N4 3 " 4 A ✫ :_A/" MA N_3 D" h ij4=A 3 ,. 4 - : 8 A¡y¢£¤T&¥¦§¨©ª&« ¬(v®¯A°:±²0³%(A *´ µy¶·£¸¹º»¼ ½ '()& " " - ,¾ ¾M¾,¾M¾" ¿ ÀEHIJKºÁ à Ä:Y4ÀÅ48 ÆÇgÈ ✭✯✮✏✰✟✱✟✮✏✲É&´ÊËÌ<=ÍÎÉ ÏÐÑÒÓAÔÕÖ×* ´ØÙº´~ÚÛÜA¦§ÝÞ ÑÒ&vwßàÊáâ´ÉãäÑåÁA ✮✏✳ ³/LPQRSæ*ç - èéÜê ✴✶✵ ✷ ✬ ✸★✬ = ✹ ✺ ✴✻✵ ✷ ✬ ✸ ✷✽✼✬ ✼✾✼✸ = = ✹ ✺ ✹ ✺ 3 °4 Aë = + ì °í ✿❀✬❁✳ Eîï¤7A xRSãð3 $4ñòó °,ô ,õö÷ ✭✯✮✏✰✟✱✟✮✏✲øwùú ûü&vwýb&~ ∗′ ❂❃❂ þ A
过在c)部分用具体例子在Malb里检验你的结果能证明你的结果的正确性： b)从2001到2005世界Pod年销售量（以百万为单位）如下（资料米源：Wikipedia, 草果季度报告)： 年(x) 01 02 03 04 05 销售量（男》 0.125 0.470 1.451 8263 31.960 (为了使数据答案容易读取，我们去变量x用年份减2D00,故对给定的数据 点，x从1到5取值) 在这次练习的最后看Mb的作图指南，对标有*号的数据点作个离差图（不用 交上米，在)部分会再次做这些) c)用Ma助，从b)得的数据及在)部分建立的公式求这些点的最佳拟合直线 y=r+b,计算y的实际数据与预测的y=+b间的差，报告a,b与最大误差， (选做，但建议大家真正做：检查你关于a,b的答案是否与Maab运算 Polyfit(,男，)一计算与数据x,y最佳拟合的一次多项式的系数的结果一致.若 c=Polyfit(x,y,1),则c=[a,b问是a)中列向量：的转置，以此可以检验你在a)部分 的答案》. )当一种新产品投产时，其销售量在初期趋向指数增长而不是线性增长的.用 Ma赋ab求ny=a,x+y的最佳拟合.（注：Matlab用og表示自然对数，用logI0表 示以10为底的对数，所以，在Maab的符号系统下，要用1Dgy)报告你的a,么值. 如果对此方程取指数，得 y=ebeai 计算y与按此公式的顶测值之间的差并报告最大误差 ©》交画在同一幅图里的下列打印结果：标有*的(x,)的离差图，拟合直线 (x,+b)作虚线，曲线（偶，），用普通的线相连 fD根据指数最佳拟合.2006年卖出多少iPod72015年将卖出多少（比较：世界人 口有6亿)？事实上，增长不可能还是指数规律的.2006年仅卖了4B40万部Po4 2(星期五.8分：2+2*2+2) 考虑平面上内接于单位圆的三角形，其一个顶点在(1，)，其它两个顶点用递时 针方向的极角8与8表示
m48 Ù✭✯✮✏✰✟✱✟✮✏✲´ á ´ Þ A ✲4, "g, .a ❄✖❅❇❆✞❈ 34~*3¼- ❉❊❄✟❋✞❄✟●✞❍✏❈✞❄✟✮& u4 f ½ ¿ ■❏ ✼ ❏✞❑ ❏✞▲ ❏✞▼ ❏✞◆ ½ ¿ ❏☛❖ ✼ ❑✞◆ ❏☛❖▼✞P✞❏ ✼ ❖▼✞◆ ✼ ◗ ❖❑✞❘✞▲ ▲ ✼ ❖❙✞❘✞❏ 3ÁÂ¥ L & ! "#, &$ì%_Á í& "g. G4 A &@9E'✭❚✮✏✰✟✱✟✮✏✲T()*&ì+,ÁÂíT°-z(3v 1¬&r48 ./&4 A ❯✏✳ ✭✯✮✏✰✟✱✟✮✏✲✞✬ Y40ÁºX48 â©ðýíEîï¤17 = + &ÑÒ 23ÁÂy45 = + 6z&u ✬ yEF7zA 3Ë& 8â·F9ÝÞ- «´ ✬ ¥:y ✭✯✮✏✰✟✱✟✮✏✲ ÈÒ ❅❱❆✞✱❳❲❩❨★❄✟✰ ✿❬✬❭✬ ✼ ✳ ÀÑÒyÁ ❪ Eîï¤ &;ê ?@& ÄÊ´X48 ¥4 A r4A ÕBCDECF&ST - +, ❤ ❪④❧ -z(&ï¤17 ❤ ❪ + ❧ TU7&V7 ⑤⑥⑤ ❤ ❪ ❧ &W7XYA ❞ 4ZÂ)ÁEîï¤& , n [ú\ ❢✟❫❱❴r], " . ^[ú\3_`-a£ annb4 c d2¬&IJvÊáe)Áfg& , n h[$n$ 8 ❢✟❫❱❴r☛⑦ ½ '([& N - ,¾,¾,¾,¿ èéiç¬jklmno&< °ií ❤ ❥☎❪✗①✞❧ &<=p°iíqF rêsn θ✴θ✵ KLA
a》将三角形面积A用8,8表示，A,8可能的取值范围是什么？ b)在此范围内求函数A的临界点. ©)通过计算A在临界点的值及在其有定义的边界的变化.求A的最大值与最 小值（证明你的结论），描述对应于这两种情形的三角形的形状 d)用二阶导判定证明你在)中求出的临界点的性质. 3(星期二，6分：1+2+2+1)〔也可参看2E/5) a)令w=f(红，y),将直角坐标转化为极坐标：x=rcos8,y=rsin8.用链式法则 导出变量变化的矩库： ][] 写出关于r,8的函数的2×2矩阵A的元素 b)用公式r=√R+y,8=m2类似地导出逆变换公式： ]=[s] 写出关于x,y的函数的2×2矩阵B的元素。 ©)由计算AB与变量替换验证B=A d如果在极坐标为r=5,8=本/2处，=2，W。=10,计算M,",在同一点的值
t 4 ^mnoç θ✴❁✵ ❪ θ KL& θ✴❁✵ ❪ θ Êá Gtuvwc ✉ 4 ÄtujýåÁ xaíA ⑧ 4 ÑÒ xaíGº<_`ay&ý EFGyE HG3 ´ z4 &{|ì0pÕÖomnoo}A r4 I\]^_ ´Y4ãýúxaí ~A ½ '(I& n - " ¾,¾,¾" ¿ 3Ê ,sW.4 t 4ë ❤ = ❪⑨❧ &^1n+?ys+- ⑧❴✞⑩ ❪ ⑩❶❢✟✈ = θ = θ AoKp ]úyõö- ú ❪ θ åÁ ❷❃❷ × õö ûüA ✉ ❧ð ❸ ❸ ❺ ❻✟❼✏❽ ❹ θ − = + = ÍΪ]úqðf ú ❺ åÁ ❾❃❾ × õö ûüA ❿✏➀ÑÒ y ❹ − = A ➁➀ ~ s+ = ➂❺ θ = π ➃ ❾ ❾❺ ➄✢➅➆❺ = θ = ÑÒ ➇ Q íGA
Matlab使用指南 你可以IT的务器上通过点击主菜单（左下方有脚注的图标），然后点击数 学/作图，然后点击Matlab. 要附心等待，登陆Matlab需要好几秒钟，等待提示符，通过键入exit减rtum, 或关闭窗口等可以退出Matlab.Matlab计算矩阵、向量并作2维与3维图像.跳过介 绍和帮助文档，作为基本的应用，只要阅读和完成下面的： 输入矩阵和向量在Maab中，变量代表矩阵和向量，等号“=”表示在等式的右 边付值给等式左边的符号，按顺序键入这行，看结果怎样（总是点击[return]来终 止一行或一个命令). A·[123:456:789](可以用逗号而非空格：1,2,3：) b=[521] 6(转置：Maab当作[5：2：1]的向量的列向量) 试着出错：C=[1,2,3:4,)]按四个箭头中的任一个使这一行后退从而出错（也可 以在文本编辑器里准备命令用鼠标拷到Mah命令行) 矩阵和向量的运算 和、差A+B,A一B(矩阵必须是同型的) 积 A◆B(矩阵的规格要相容) 幂 AR 转置 A 逆 A)(或A-1》 试键入（用上面的A和b的值）Ab,A◆b,bA 数组运算回想*和是矩的乘积与暴.在*或”前加点这些运算减作用在元素 上，因此，若x■[…x],则 C迎(x)=[cp(x)...-exp(x】(sin,cos,og等运算类似 x+y■[国+…X+男]（减法运算类似） x,*y=[x另…x] 玉^m■[写，“]（刚可以是零） 冒号运算它产生元素等距离的向量，如： [0:2:12☒=[024681012]：[2：-1：l.可=[2.0191.81.71.6)
´Ê Ó¬í3*P(+4 &M'íÁ WT(&M'í➈✯➉✏➊✟➋✟➉✏➌☛➍ w& ➈✯➉✏➊✟➋✟➉➎➌øw&L ➏ A ➐✏➑➓➒✟➊ ➔★➐✏➊✟→✞➔★➣✞➇ aÊú ➈✯➉✏➊✟➋✟➉✏➌☛➍✢➈✯➉✏➊✟➋✟➉✏➌ÑÒõö êæT,yM(A ¡ ¢b£¤¥¦&T§¨0&5w Lb³ó*çf ➈✯➉✏➊✖➋✟➉✏➌ã&þKõöbê&© ª« KL¬ `G%`&O®¯Ü& °±3²í³ ➔★➐✏➊✟→✞➔★➣´µ ¶ Ü °·ë4 A 3ʸ¹ºù- " & ,& M; 4 ′ 3?@- ➈✯➉✏➊✟➋✟➉✏➌AT³ .; ,; " ´ê>ê4 »ú¼- = ↔✽↕☎➇➛➙❩➇♠➜✏➝➟➞❩➇❦➠❩➡ O)°½¾ã¿ ° Ü'ú¼½ Ê ¥¨ÀÁÓÂ÷ëÄ+Åg➈✯➉✏➊✟➋✟➉Y·ëÜ¿ b z + ➇ − ½ õö¦§QÆ¿ ➢ ½ õöfùwX ¿ Ç ➤ ?@ ′ q ➥➧➦ ½ ➤ − ↕ ¿ ½ ¬ç b G¿ ∗ ➇ ∗′➇ ∗ ÈÉ,bÊõöJ yÇA,Ê/ËíÈÒÌTûü ¬&ÍÄ&¡ ↔➫➇➭➇ ➨✶➩ ➡ = ➯ &p ➐➲➑✞➳✞➥❚➦➵↔✽➐✏➑✞➳✞➥➸➦☎➇➺➐✏➑✞➳✞➥➻➦★➡ ➨ = ➯ 3 ➼❶➒✟➣✞➇✗➽✏➾✞➼❶➇✗➋❝➾✞➚ ÈÒÍÎ4 ↔ ➨ ➨ ➇ ➡ + = + ➯ + 3#KÈÒÍÎ4 ➍ ↔ ➨➪➨ ➇ ➡ ∗ = ➯ ➶ ➍✟➹ ↔➵➇ ➡ = ➘ 3 ÊÎ4 =CÏûüÐ-ê&~f ↔✖➴➟➷✗➙➟➷☎↕✢➙✞➡➬↔✖➴➮➙➮➞✃➱❒❐➮↕✢➴♦↕✢➙✞➡ = ; ↔✟➙➟➷❮➍✽↕❱➷★↕✞➍ − ➱✞➡➬↔✟➙☛➍ = ➴❰↕✞➍ÏÐ↕✞➍❐❒↕✞➍Ñ✃↕✞➍➱✞➡
Maah中的二维描图 给定x=[,高，…无y=[男乃，…y] pl6t(,y)作n个点(x,y),用实线段连接 plot (x,,-)作n个点（代，），用虚线段连接 Plt(x,男，)作n个点作为单个星形（或点、圆周等） Prit将当前荧光屏上的图打印出来 试按顺序运行（每个命令后按[return]键）： x=[0:.1:2] plot(z.sin(x)) p1at(红，4*x.“3) (这是作y=4x的图，注意署要数组运算) 也可将两个作图命令结合起来，如： P105(红，81nx),',x,608(x),-=)
Ò❭Ó✞Ô★Õ✟Ó✞Ö %_ ↔➫➇➭➇ ➶❁× ➡☎➇ÙØ ↔❀➇Ú➇ ➶✻× ➡ = ➘ = ➘ ➳✞➋✟➾✞➊ ➥q➇④➦ T °í ➥❀➇❁➦ &27ÑYk ➳✞➋✟➾✞➊ ➥q➇✐➇✗Û − − Û➦ T °í ➥❀➇❁➦ &U7ÑYk ➳✞➋✟➾✞➊ ➥q➇✐➇✗Û✒Û ∗ ➦ T °íT°'o3í lÒ4 ➳✞➔★➒✟➣✞➊ ^A/ÓÔÕ¬(STú O®¯ÈÜ3°·ë'O³ Ö×ØÙÖÚ´4 f 3T = ➞ Ü (&PøwÁÛÈÒ4 Ê^p°T(·ë ¤Ü&~f