表514凝聚态和原了子物用中的多体现象 习11 路径积分，玻色子和费米子 阅读，M,Sone,The Physics of Quntum Fields 1.玻色气 考虑具有药排斥相互作用的非理想玻色气。对其微孩点近拟， z-n丽.2，s-可传+ce-H.动 (1) 原=-+.>0 )证明酸点方程S/币=0给出Gross-Pitaevskii(GP)方程， b)做虚时变化，【+-H,考虑在GP方程稳定解草=√“用近的减落，计算有限温 度时蓬落对Z的贡献，并说明结果与我们将B唱u准较子当作自由素色子所得到的结 果符合。 工理想费米气 考地理想无自旋贵米气的路径积分表示， z=4ple传mp+cc-na=-p-”a 为了得到有限盟度的配分函数，变换到虚时，1→一，并对反对易变量够和可积分， Z=det(d,-Ho) (3) 计算行列式。，考虑费米场满足反周期边界条作，(1+们=y)。《在得立叶变量中。 这是一个松原频率的求和，y)=∑ey。·包，=(2n+T,)证明结果与理想费米 气的配分函数符合。 3.BCS配对。路径积分方法。 考心具有吸引相互作用的贵米气： z-,e三+ee-iw+av (4 A,=--, 2<0 这描述了CS配对。利用路径积分表示，我们可以限方便的构造出平均场理论
8.514 凝聚态和原子物理中的多体现象 习题#11 路径积分。玻色子和费米子 阅读：M. Stone, The Physics of Quantum Fields 1. 玻色气 考虑具有弱排斥相互作用的非理想玻色气，对其做鞍点近似， ∫ = S i Z d e h [φ ,φ] ， ∫∫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ∂ + c c − H d xdt i S t 3 . ( , ) 2 φ φ φ φ （1） 2 2 ( ) 2 1 2 1 (φ ,φ) φ ⎟φ + λ φφ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ H = − ∇ − u ， λ > 0 a) 证明鞍点方程δS /δφ = 0 给出 Gross-Pitaevskii（GP）方程。 b) 做虚时变化，t → −it ，考虑在 GP 方程稳定解 θ φ i = ne 附近的涨落，计算有限温 度时涨落对 Z 的贡献，并说明结果与我们将 Bogoliubov 准粒子当作自由玻色子所得到的结 果符合。 2. 理想费米气 考虑理想无自旋费米气的路径积分表示， ∫ ∫∫ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ∂ + c c − H d xdt i Z d i t 3 0 ˆ . 2 [ψ ,ψ ]exp ψ ψ ψ ψ ， H = − ∇ − u 2 0 2 1 ˆ （2） 为了得到有限温度的配分函数，变换到虚时，t → −it ，并对反对易变量ψ 和ψ 积分， ) ˆ det( Z t − H0 = ∂ （3） 计算行列式，，考虑费米场满足反周期边界条件，ψ (t + β ) = −ψ (t) 。（在傅立叶变量中， 这是一个松原频率的求和， = ∑n n i t n ψ t e ψ ω ( ) ，ωn = (2n +1)πT 。）证明结果与理想费米 气的配分函数符合。 3. BCS 配对。路径积分方法。 考虑具有吸引相互作用的费米气， ∫ ∫∫ ∑ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ∂ + − + =↑ ↓ ↓ ↑ ↑ ↓ , 3 0 ˆ . 2 [ , ]exp α ψ ψ ψ ψ c c ψH ψ λψ ψ ψ ψ d xdt i Z d i t （4） H = − ∇ − u 2 0 2 1 ˆ ， λ < 0 这描述了 BCS 配对。利用路径积分表示，我们可以很方便的构造出平均场理论
发514藏聚态和原子物理中的多体现象 习选山 a)做向虚时的变换，I→一i,并利用Habbard-Stratonovich恒等式：利用对复场M飞，) 的积分米解屏四次相互作用项： Z-∫da,eo (5) 乙-p,pleE网w*e-i..w)-ap-a.可 现在我们可以形式的对w和亚积分。结果是 Z=∫da.ea 0,-H。x,) det H。=-p- (6) (x.)0,+H。 2 b)考虑泛函积分(6)的酸点近似。正明对于常数△，方程西/还=0具有形式 2+m+14下@，=(2n+，东=p212m- 4=Ar (7) 证明这个方程与CS能原方程等价： )泛函积分方法的优点在于它能在不改变形式的情况下允许序参量具有空闻依载性。 在临界点用近，我们预期△银小。将上面得到的有效作用量展开， 5(A)(.) ⊙，-H A(x.1) (8) x,0 -@,+H。 以均匀的△（假设随空间变化很缓慢）的级数做展开，导出Ginzburg-Landau泛函 (9) 将系数a,b,e与微观BCS哈密顿量的参数联系起米，正明二次项的系数a在BCS相变点变 号，而b和e总是正的. 'GL方程的优点在于它整研究给界点则冠的减落，更重要的是，它能研究园导体在磁场中的复条行为。 与腰场的锅合是通过长导数-风→-V-2兰A. he
8.514 凝聚态和原子物理中的多体现象 习题#11 a) 做向虚时的变换，t → −it ，并利用 Habbard-Stratonovich 恒等式：利用对复场 Δ(x,t) 的积分来解耦四次相互作用项： ∫ Δ − Δ ∫∫ Z = d Δ Δ e Z t dxdt 2 | ( , )| 2 1 [ , ] x λ （5） ∫ ∫∫ ∑ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − ∂ + − − Δ − Δ =↑ ↓ Δ ↑ ↓ ↓ ↑ , 3 0 ( , ) ˆ . 2 [ , ]exp α ψ ψ ψ ψ c c H ψ ψ ψ ψ ψ ψ d xdt i Z d t 现在我们可以形式的对ψ 和ψ 积分。结果是 ∫ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ Δ ∂ + ∫∫ ∂ − Δ = Δ Δ − Δ 0 0 | ( , )| 2 1 ( , ) ( , ) [ , ] det 2 t H H t Z d e t t t dxdt x x x λ ， H = − ∇ − u 2 0 2 1 （6） b) 考虑泛函积分（6）的鞍点近似。证明对于常数 Δ ，方程δS /δΔ = 0 具有形式 ∑ + + Δ Δ Δ = n n T ω ξ ω λ , 2 2 2 p | | p ， ωn = (2n +1)πT ， = / 2m − u 2 ξ p p （7） 证明这个方程与 BCS 能隙方程等价。 c) 泛函积分方法的优点在于它能在不改变形式的情况下允许序参量具有空间依赖性。 在临界点附近，我们预期 Δ 很小。将上面得到的有效作用量展开， ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ Δ − ∂ + ∂ − Δ Δ = Δ − ∫∫ 0 2 3 0 ( , ) ( , ) | ( , ) | ln det 2 1 ( ) t i H i H t S t d xdt t t x x x λ （8） 以均匀的 Δ （假设随空间变化很缓慢）的级数做展开，导出 Ginzburg-Landau 泛函1 ∫∫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ S = a Δ + b Δ +c ∇Δ d xdt 2 4 2 3 | | | | 2 1 | | （9） 将系数 a,b,c 与微观 BCS 哈密顿量的参数联系起来。证明二次项的系数 a 在 BCS 相变点变 号，而 b 和 c 总是正的。 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1 GL 方程的优点在于它能研究临界点附近的涨落，更重要的是，它能研究超导体在磁场中的复杂行为。 与磁场的耦合是通过长导数 A c e i i h 2 − ∇ → − ∇ −
至5引4根累态和原子物理中的多体现象 习题山 4,对于自旋12的路径积分（可悲） 在这个题目中我们首次介绍自旋12算符的费米表示，并利用它来导出e-Zumo自 旋路径积分。 )考虑两个费米子，用正算符a2和a亡米描述。其对易关系为口，a,+0,a,=0, aa,+0,a,=6。·迁明算符 o'=aa.o"=aa:,o:=[o",o"]=a;a:-aa (10) 满足泡利对易关系。注意到这些算符与粒子数算符方=aa,+a:对易，这个2×2=4- 维的希尔自特空间几有2维的子空间，府=1，在此空间中可以实现自旋的正则表示 )考地哈密领量H,=∑，aa,n。,其中n是单位矢量a是泡利矩阵 (口=x,只，：)·从将H的配分函数表示为两个反对易变量的积分 乙=∫应d血，加成开始。对x做高斯积分，并得到指述n动力学的有效作用 量。假投缓变的时何变量（对大入），对时间导数8，做最低阶展开。结果是单位矢量()的 路径积分，它描述自旋12. c)添加上外场的Zeeman糯合，B.n,并通过对这个路径积分做截点近似得到Bloch 方程
8.514 凝聚态和原子物理中的多体现象 习题#11 4. 对于自旋 1/2 的路径积分（可选） 在这个题目中我们首次介绍自旋 1/2 算符的费米表示，并利用它来导出 Wess-Zumino 自 旋路径积分。 a) 考虑两个费米子，用正则算符 a1,2 和 + 1,2 a 来描述，其对易关系为 aia j + a jai = 0， i j j i ij a a + a a = δ + + 。证明算符 a2 a1 + + σ = ， a1 a2 − + σ = ， 2 2 1 1 z [ , ] a a a a + − + + σ = σ σ = − （10） 满足泡利对易关系。注意到这些算符与粒子数算符 1 1 2 2 nˆ a a a a + + = + 对易，这个 2× 2 = 4 − 维的希尔伯特空间具有 2 维的子空间， nˆ = 1，在此空间中可以实现自旋的正则表示。 b) 考虑哈密顿量 ∑ + = ij i j ij H a a nα α n λ σ ，其中 n 是单位矢量 α σ ij 是泡利矩阵 （ α = x, y,z ）。 从 将 H 的配分函数表示为两个反对易变量的积分 ∫ = ∂ − ∫ i ix x H dt j t j Z dx dx dx dx e ( ) 1 2 * 2 * 1 * n 开始，对 i x 做高斯积分，并得到描述n 动力学的有效作用 量。假设缓变的时间变量（对大λ ），对时间导数 t ∂ 做最低阶展开。结果是单位矢量n(t)的 路径积分，它描述自旋 1/2。 c) 添加上外场的 Zeeman 耦合，μB⋅n ，并通过对这个路径积分做鞍点近似得到 Bloch 方程