8514极聚方和原子物甲中的多体现象 习圈7,8 超导体中的准粒子输运 1,电子遂安 考地两个正常态和超导态的金属通过一个随道结祸合在一起 H,=∑TiaCiaCan+hC (1) 其中C,和C。分别是金属和超导体中的单电子费米算符。 )考电在势会上如电压V时的莲穿电流。利用黄金规测m一牙以，1。计算 从材料1到材料2的跃证儿率并正明 AfIT N(E)f(E)N:(E+ev)-f(E+ev)E (2) 其中N:(E)是两个材料中的态密度dN1d6，(E)是费米分布。A是归一化常数，而 IT-∑T. b)根据计算(2)式的办法，得到一个类似的从材料2到材料1的流I2的表达式。对 于总的逐穿流/■2一：·我们得到 I=AfITF N,(E)N:(E+ev)f(E)-f(E+ev)dE (3) )正明一对具有常数态密度的正常金属。其逐穿电流满足欧博定律，I■GV, 山考忠正常金属和超导体的递穿。分析电流的表达式并面出低温和零温的V曲线。 证明遂穿态密度W(r)=山/dWV在零温时正比于BCS准粒子态密度 W)xN(E)=AE2-公)2 2.Andreev反射 正常金属一短导体交界面的电荷输运可以用B0 goliube一dGes方程来描述，此方程具 有位置依赖的配对强度△(r), 0- (5) 其中H是无相互作用单粒子哈密顿量， )考虑一个几有阶梯型配对函数△(x0)=△的一维问题，其哈密顿量
8.514 凝聚态和原子物理中的多体现象 习题#7，8 超导体中的准粒子输运 1. 电子遂穿 考虑两个正常态和超导态的金属通过一个隧道结耦合在一起 = ∑ + + k q t k q k q H T c c h c , , , , , . σ σ σ （1） 其中 q,σ c 和 k ,σ c 分别是金属和超导体中的单电子费米算符。 a) 考虑在势垒上加电压 V 时的遂穿电流。利用黄金规则 2 | | 2 dW f H i t h π = ，计算 从材料 1 到材料 2 的跃迁几率并证明 ∫ ∞ −∞ I → = A | T | N1 (E) f (E)N2 (E + eV)[1− f (E + eV )]dE 2 1 2 （2） 其中 ( ) N1,2 E 是两个材料中的态密度 dN / dε ， f (E) 是费米分布。A 是归一化常数，而 2 , , 2 | | = ∑ | | k q T Tk q ε ε 。 b) 根据计算（2）式的办法，得到一个类似的从材料 2 到材料 1 的流 2→1 I 的表达式。对 于总的遂穿流 = 1→2 − 2→1 I I I ，我们得到 ∫ ∞ −∞ I = A | T | N1 (E)N2 (E + eV )[ f (E) − f (E + eV )]dE 2 （3） c) 证明一对具有常数态密度的正常金属，其遂穿电流满足欧姆定律， I = GV 。 d) 考虑正常金属和超导体的遂穿。分析电流的表达式并画出低温和零温的 I-V 曲线。 证明遂穿态密度W (v) = dI / dV 在零温时正比于 BCS 准粒子态密度 2 2 1/ 2 0 ( ) ( ) /( ) E E eV W V N E v ∝ = Δ − Δ = 2. Andreev 反射 正常金属—超导体交界面的电荷输运可以用 Bogoliubov—deGennes 方程来描述，此方程具 有位置依赖的配对强度 Δ(r)， ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ Δ − Δ =⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ v u r H H r v u E * * ( ) ( ) （5） 其中 H 是无相互作用单粒子哈密顿量。 a) 考虑一个具有阶梯型配对函数 Δ(x 0) = Δ 的一维问题，其哈密顿量
5引4凝聚态和原子物理中的多体现象 习题7.8 为H。-正-E·考忠能量板于BCS能限，B-E,kA,的单电子入射S交界面 2m 的散射率。证明解在超导体中的部分是一个逐渐消失的波，在金属的部分是一个反财的空穴。 b)现在考电能量略高于能取，|E-E:上4，的电子入射：描述这个电子的散射结果： )将)部分的结果推广到3D体系。考虑电子以角度B入射金属一却导体交界面。计算 出射空穴的方向。 费米液体弹论 3热力学函数，比热。 )理想贵米气的热力学势可以表达为 n=-T∫lnl+eM'p2) (6) 从这个表达式开始，证明在T<<E,时比热是温度的线性函数.计算关系C=T中的系数。 b)利用较子一空穴清限子表象研究热力学势。我们来看它是否给出与正则贵米表象一 样的结果。没有相互作用时， (7) 其中01一(P+k)/2m-p/2m。将这个公式应用与自由装色系综的热力学势， =T∑nl-e)=T∑1n-e) 其中o4=V-k+k'/2m,V=p/2m.月牙型的区线R:定义为平移的费米球p+kPP% 与未平移的费米球P卡P的交集。与)富分的结果退行比较，为了简化分析，贝考感低温 情况，计算T<<E,时的比热： ©)利月谐振子表象研究相互作用费米体系的热力学函数， Ha=∑oR或A (8) P民 与无相互作用的情况递行比较。类似b)部分，假设T<E,进行计算。 4屏蔽 考e具有电子何有库伦排拆八-∫(e2八redr4震2/k2的3D电子气对外场的 屏蔽效应。证明对缓变场，屏数场可以表述为
8.514 凝聚态和原子物理中的多体现象 习题#7，8 为 x EF m H = − ∂ −2 2 2 h 。考虑能量低于 BCS 能隙，| E − EF | Δ ，的电子入射。描述这个电子的散射结果。 c) 将 a)部分的结果推广到 3D 体系。考虑电子以角度θ 入射金属—超导体交界面。计算 出射空穴的方向。 费米液体理论 3. 热力学函数，比热。 a) 理想费米气的热力学势可以表达为 3 3 ln(1 ) /(2 ) ∫ − Ω = − + πh βε T e d p p （6） 从这个表达式开始，证明在T p 与未平移的费米球 0 | p |< p 的交集。与 a)部分的结果进行比较，为了简化分析，只考虑低温 情况，计算T << EF 时的比热。 c) 利用谐振子表象研究相互作用费米体系的热力学函数， ∑′∈ = ′ ′ k p p k k p k p k k p k p R H V , , , * , 1/ 2 , 1/ 2 int ω , ω φ φ （8） 与无相互作用的情况进行比较。类似 b)部分，假设T << EF 进行计算。 4. 屏蔽 考虑具有电子间有库伦排斥 2 3 2 2 ( / | |) 4 / k kr k V e r e d r e i = = π ∫ 的 3D 电子气对外场的 屏蔽效应。证明对缓变场，屏蔽场可以表述为
5引4极聚志和原子物理中的多体现象 题7,8 k2 (9) 其中v是费米面上的态密度。是屏蓝半径。我们可以从屏蔽库轮场的形式二e%中看到 它
8.514 凝聚态和原子物理中的多体现象 习题#7，8 ext s V r Vk k k k 2 2 2 − + = ， 2 2 r 2 ve s = π − （9） 其中v 是费米面上的态密度。 s r 是屏蔽半径，我们可以从屏蔽库伦场的形式 s r r e r 1 − / 中看到 它